2025年大學《數學與應用數學》專業(yè)題庫——抽象代數在密碼學中的應用考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、1.設G是一個群，a,b∈G。若存在g∈G使得b=ga且g?1a=b?1，證明a=b。2.證明循環(huán)群的所有子群都是循環(huán)群。3.設F是一個域，f(x),g(x)∈F[x]且f(x)≠0,g(x)≠0。證明(f(x)g(x))的次數等于f(x)的次數加上g(x)的次數。二、1.令F_p=Z_p，其中p是素數。在F_p中，定義一個多項式f(x)=x^p-x。證明f(x)是F_p[x]中的本原多項式。2.設F_q是一個有限域，其中q=p^n，p是素數，n是正整數。證明F_q中的非零元構成一個乘法群，并求該群的階。3.在有限域F_q上，計算元素α的n次方根，其中α是F_q中的一個非零元，n是給定的正整數（q,α,n已知）。三、1.RSA公鑰密碼體制中，選擇n=pq，其中p和q是兩個不同的奇素數，e是公鑰指數，滿足1<e<φ(n)且gcd(e,φ(n))=1。簡述密鑰生成過程。假設n,e已知，密文c也已知，如何解密得到明文m？2.ElGamal公鑰密碼體制中，選擇一個大的素數p，本原元α∈Z_p*，用戶選擇的私鑰d。公鑰為(p,α,α^dmodp)。簡述加密和解密過程。假設p,α,α^dmodp已知，密文(y?,y?)也已知，如何解密得到明文m？3.AES的S-box設計中應用了有限域GF(2^8)的性質。簡述AESS-box的設計思路及其與GF(2^8)運算的關系。試卷答案一、1.證明：由b=ga，得g?1b=a。又由g?1a=b?1，代入得g?1b=b?1。在群G中，b?1與b可約去，故g?1=b?1。兩邊同乘b，得g=b2。再代入g?1a=b?1，得b2?1a=b?1。兩邊同乘b?1，得ba=a。在群G中，a與a可約去，故b=e（單位元）。再由b=ga，得e=ga，即a=g?1。又g?1=b2，故a=b2。但在群中，單位元e的任意次冪仍為e，故a=e。所以a=b。2.證明：設G是循環(huán)群，生成元為a。任取G的一個子群H，若H={e}，則H是循環(huán)群（生成元為e）。若H≠{e}，任取H中一個非單位元b≠e?？紤]子群?b?=<b>={b^k|k∈Z}。由于H是循環(huán)群，它包含所有整數次冪的b。又因為b≠e，存在最小的正整數m使得b^m∈H。若m>|H|，則由拉格朗日定理，m必有更小的正整數倍數k*m'<m使得b^(k*m')∈H，矛盾。故m≤|H|。又因為b^m∈H且H是子群，包含b^(m-1),...,b^0=e，故H=?b?。所以H是循環(huán)群。3.證明：設f(x)=x^f(x)+...+x+a_f，deg(f)=m；g(x)=x^g(x)+...+x+a_g，deg(g)=n。不失一般性，設a_m≠0,a_n≠0?？紤]f(x)g(x)的最高次項為(x^m)(x^n)=x^(m+n)。該最高次項的系數為a_m*a_n≠0（因為a_m,a_n≠0，且域中乘法單位元為1）。因此，f(x)g(x)的次數為m+n。二、1.證明：首先證明f(x)是F_p[x]中的可逆元。假設f(x)不可逆，則存在非零多項式g(x)∈F_p[x]使得f(x)g(x)=0。設deg(f)=n，deg(g)=m。則deg(f(x)g(x))=n+m≥0。在F_p中，0不是唯一的零元，故f(x)g(x)=0推出f(x)=0或g(x)=0，與假設矛盾。因此f(x)可逆。設f(x)的逆元為h(x)∈F_p[x]，則f(x)h(x)=1。考慮f(x)的階，即最小的正整數k使得f(x)^k=1。若k<p^n，則f(x)^k=1∈F_p。由于F_p是域，f(x)^k-1是F_p[x]中的非零多項式，其階數≥1，矛盾。故k≥p^n。又因為f(x)是F_p[x]中的可逆元，其階數必為p^n。因此f(x)是F_p[x]中的本原多項式。2.證明：F_q中的非零元為{1,α,α2,...,α^(q-2)}。定義乘法運算為普通多項式乘法后模f(x)計算得到的乘積。由于f(x)是本原多項式，F_q在F_p上的擴展次數為n，且F_q[x]/(f(x))是一個域，其階為q^n。非零元集合在乘法下封閉（乘積仍為非零元），結合律成立（多項式乘法滿足結合律），存在乘法單位元1。對任意非零元α，其逆元為α^(q-2)（由f(x)本原，α^(q^n)=1，即α^(q-1)=α?1）。因此，{1,α,α2,...,α^(q-2)}在乘法下構成一個有限阿貝爾群，階為q-1。3.解析思路：計算α的n次方根，即求解方程x^n=α在F_q中的解。這通常轉化為求解離散對數問題。步驟如下：a.檢查α是否在F_q中。α是F_q中的非零元，必然在。b.計算F_q的階q-1。設τ=q-1。c.檢查n與τ互質。若gcd(n,τ)≠1，則方程可能有有限個解（或無解，取決于n是否是τ的冪）。若gcd(n,τ)=1，則方程有唯一解。d.使用擴展歐幾里得算法計算n在模τ意義下的乘法逆元t，即找到整數t使得nt≡1(modτ)。e.α的n次方根為α^t。可以驗證(α^t)^n=α^(nt)=α^(1+ktτ)=α^1*(α^τ)^k=α*1^k=α。三、1.密鑰生成過程：a.選擇兩個大素數p和q，計算n=pq。n是模數，公開。b.計算φ(n)=(p-1)(q-1)，其中φ是歐拉函數。φ(n)是私鑰指數，秘密。c.選擇一個整數e，滿足1<e<φ(n)且gcd(e,φ(n))=1。e是公鑰指數，公開。d.計算e關于φ(n)的模逆元d，即滿足ed≡1(modφ(n))。d是私鑰指數，秘密。公鑰為(n,e)，私鑰為(n,d)。解密過程：已知n,e,c。明文m=c^dmodn。RSA基于計算c^dmodn在大數情況下難以進行的原理。2.加密過程：選擇一個隨機數k∈Z_p*（即k與p-1互質）。計算密文：y?=α^kmodpy?=mα^kmodp其中m是明文。密文為(y?,y?)，公開。解密過程：已知p,α,α^dmodp,y?,y?。明文m=(y?*(y?^d)modp)modp。解析：a.計算y?^dmodp=(α^k)^dmodp=α^(kd)modp。b.m=(y?*α^(kd)modp)modp=(mα^k*α^(kd)modp)modp=m*(α^(k+k'd)modp)modp。c.由于α是p的本原元，α^(p-1)=1。d是α的私鑰指數，即d=(p-1)/φ_p，其中φ_p是p-1的階。k與p-1互質，故k與φ_p互質。d.kd與p-1互質。因此α^(kd)是α^(p-1)的乘法逆元，即α^(kd)=α^(-1)。e.m=(m*α^(-1))modp=(mα^k*α^(kd)modp)modp=(mα^k*α^(-1))modp=mmodp。3.AESS-box設計思路與GF(2^8)的關系：AESS-box的設計目標是提供非線性，抵抗差分密碼分析和線性密碼分析。其設計基于有限域GF(2^8)上的運算。具體思路是：a.有限域GF(2^8)上的加法是異或(⊕)運算，乘法是模一個特定多項式f(x)（如x?+x?+x3+x+1）的乘法運算，除法是模逆元計算。b.AESS-box的每個輸出值a_i可以看作GF(2^8)中的一個元素，其輸入可以看作另一個元素。c.S-box的設計算法（如RijndaelS-box）涉及將輸入看作GF(2^8)