2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——微分幾何學(xué)的發(fā)展及應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題1.在黎曼幾何中，度量的反變形式稱為_(kāi)_________，它度量了切空間中基向量之間的角度。2.聯(lián)絡(luò)是定義在流形上的一個(gè)微分形式，其協(xié)變導(dǎo)數(shù)消去項(xiàng)稱為_(kāi)_________，它是描述測(cè)地線加速度的關(guān)鍵量。3.對(duì)于一個(gè)n維黎曼流形，其Ricci曲率張量是_______維的張量場(chǎng)，而標(biāo)量曲率是一個(gè)_______標(biāo)量。4.舒爾茨公式建立了測(cè)地線曲率與度量的二階偏導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，它表明測(cè)地線曲率可以表示為_(kāi)_________（用度量及其偏導(dǎo)數(shù)表示）。5.在廣義相對(duì)論中，時(shí)空被描述為一個(gè)具有度量的四維流形，物質(zhì)和能量的分布通過(guò)__________場(chǎng)來(lái)描述，它決定了時(shí)空的幾何結(jié)構(gòu)。6.黎曼幾何中，一個(gè)流形是完備的，如果通過(guò)任意一點(diǎn)的所有測(cè)地線都是__________。7.在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，參數(shù)曲面上的法向量可以通過(guò)計(jì)算兩個(gè)切向量的__________得到。8.哈密頓-雅可比方程在微分幾何中與__________（某個(gè)幾何對(duì)象或概念）密切相關(guān)，它在辛幾何中扮演著核心角色。9.信息幾何學(xué)研究概率分布的幾何結(jié)構(gòu)，在高斯分布族中，F(xiàn)isher信息矩陣與度量的__________相對(duì)應(yīng)。10.微分同胚是保持兩點(diǎn)之間距離關(guān)系的流形同構(gòu)，它要求兩個(gè)流形具有相同的__________和__________。二、選擇題1.下列哪個(gè)概念不是黎曼幾何的基本對(duì)象？A.流形B.度量C.聯(lián)絡(luò)D.線性空間2.在一個(gè)二維球面上，測(cè)地線是？A.直線B.圓弧C.拋物線D.橢圓3.下列哪個(gè)物理理論廣泛使用了微分幾何的語(yǔ)言和工具？A.經(jīng)典力學(xué)B.量子力學(xué)C.廣義相對(duì)論D.熱力學(xué)4.下列哪個(gè)不是辛幾何的研究對(duì)象？A.辛流形B.聯(lián)絡(luò)C.對(duì)合形式D.哈密頓動(dòng)力學(xué)5.在數(shù)據(jù)降維中，黎曼優(yōu)化方法利用了數(shù)據(jù)的__________結(jié)構(gòu)。A.線性B.非線性C.黎曼幾何D.拓?fù)?.哈密頓-雅可比方程的解集在相空間中構(gòu)成一個(gè)__________。A.測(cè)地線B.恒等映射C.流形D.線性空間7.仿射聯(lián)絡(luò)與黎曼聯(lián)絡(luò)的主要區(qū)別在于？A.仿射聯(lián)絡(luò)不滿足平行移動(dòng)的平行性條件B.仿射聯(lián)絡(luò)只適用于二維流形C.仿射聯(lián)絡(luò)不涉及曲率D.仿射聯(lián)絡(luò)的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為零8.形狀分析中，用于比較不同曲面相似性的指標(biāo)之一是？A.勾股定理B.哈密頓量C.平均曲率D.舒爾茨公式9.信息幾何中，馮·諾伊曼熵與黎曼度量中的__________有關(guān)聯(lián)。A.Ricci曲率B.舒爾茨常數(shù)C.聯(lián)絡(luò)系數(shù)D.度量張量10.下列哪個(gè)人物對(duì)非歐幾何和黎曼幾何的創(chuàng)立做出了開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)？A.牛頓B.萊布尼茨C.黎曼D.高斯三、計(jì)算題1.設(shè)M為二維黎曼流形，其度量為g=dx2+2λdx?dx?，其中λ為常數(shù)。計(jì)算該度量對(duì)應(yīng)的Ricci曲率張量和標(biāo)量曲率R。2.在三維歐氏空間R3中，考慮單位球面S2，其嵌入為x2+y2+z2=1。求球面上任意一點(diǎn)p處的法向量，并計(jì)算該點(diǎn)沿球面測(cè)地線的測(cè)地線曲率。3.給定一個(gè)在二維流形M上的向量場(chǎng)X=x2dx?-ydx?，計(jì)算其沿度量為g=dx?2+dx?2的聯(lián)絡(luò)?（這里假設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)聯(lián)絡(luò)）。特別地，計(jì)算?_XX。四、證明題1.證明：在黎曼流形上，測(cè)地線的測(cè)地線曲率沿測(cè)地線方向?yàn)榱恪?.證明：對(duì)于一個(gè)n維完備黎曼流形，如果其曲率張量處處為零，則該流形在局部同胚于歐氏空間。3.證明：在信息幾何框架下，對(duì)于一個(gè)由概率分布參數(shù)化的高斯分布族，其Fisher信息矩陣是黎曼度量的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)。五、論述題1.論述微分幾何在廣義相對(duì)論中的作用，并說(shuō)明時(shí)空幾何如何影響物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)。2.論述微分幾何在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用，例如在曲面建模或形狀分析中如何利用測(cè)地線和曲率等概念。3.論述信息幾何的核心理念，并說(shuō)明它如何將統(tǒng)計(jì)學(xué)與微分幾何聯(lián)系起來(lái)，以及這對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)可能帶來(lái)的啟示。試卷答案一、填空題1.對(duì)偶度量(或協(xié)變度量)2.測(cè)地線曲率(或慣性標(biāo)量)3.n-1n4.?_X?_Yg-?_Y?_Xg-?_{[X,Y]}g（或其等價(jià)形式）5.時(shí)空(或引力)6.無(wú)窮遠(yuǎn)(或指向無(wú)窮遠(yuǎn))7.外積(或拉格朗日乘子法)8.哈密頓函數(shù)(或哈密頓量)9.對(duì)數(shù)(或度量)10.維度曲率二、選擇題1.D2.B3.C4.B5.C6.C7.A8.C9.A10.C三、計(jì)算題1.解：計(jì)算Ricci曲率張量組件R_ij(X,Y)=?_j?_iX-?_{j|i}X，其中X為標(biāo)準(zhǔn)基向量?/?x_i。g=dx2+2λdx?dx?,sog_ij={1,2λ}fori,j=1;0otherwise.?_j?/?i=δ_ji?/?i+Γ^k_ij?/?k（克里斯托費(fèi)爾符號(hào)Γ^k_ij=1/2g^kl(?g_jl/?x_i-?g_jk/?x_l+?g_ik/?x_l)）Γ^1_1=0,Γ^1_2=λ,Γ^2_1=λ,Γ^2_2=0.?_1?_1g=0,?_1?_2g=?_1(λ(?/?1?/?2+?/?2?/?1))=λ(λ)=λ2.?_2?_1g=?_2(λ(?/?1?/?2+?/?2?/?1))=λ(λ)=λ2.?_2?_2g=0.Ricci張量組件：R_11=?_1?_1g-?_{1|1}g=λ2-0=λ2.R_12=R_21=?_1?_2g-?_{2|1}g=λ2-λ=λ(λ-1).R_22=?_2?_2g-?_{2|2}g=0-0=0.Ricci張量R_ij={λ2,λ(λ-1),λ(λ-1),0}.Ricci曲率張量=(R_ij/(n-1))g^ij=(1/2)g^ij{λ2,λ(λ-1),λ(λ-1),0}.標(biāo)量曲率R=g^ikR_ik=g^11R_11+g^22R_22=1*λ2+1*0=λ2.2.解：?jiǎn)挝磺蛎鍿2在R3中嵌入為x2+y2+z2=1。取局部坐標(biāo)系，令p=(x?,y?,z?)∈S2。球面上點(diǎn)p處的法向量n是該點(diǎn)位置向量的負(fù)梯度（或單位化）：n=-?(x2+y2+z2)/||?(x2+y2+z2)||=(-2x,-2y,-2z)/2=(-x,-y,-z)。單位化后，n=(-x?,-y?,-z?)/sqrt(x?2+y?2+z?2)=(-x?,-y?,-z?)（因?yàn)閤?2+y?2+z?2=1）。測(cè)地線是球面上的最短路徑，即大圓的弧。設(shè)測(cè)地線參數(shù)為s，曲線為γ(s)=(x(s),y(s),z(s))。γ'(s)是切向量。沿測(cè)地線方向，測(cè)地線曲率κ_g=||γ''(s)×γ'(s)||/||γ'(s)||2。由于γ(s)在球面上，γ'(s)與n正交，即γ'(s)·n=0。γ''(s)在切平面內(nèi)，因此γ''(s)=α(s)n+β(s)γ'(s)。κ_g=||α(s)n+β(s)γ'(s)||/||γ'(s)||2?？紤]||γ'(s)||=const=R=1。γ''(s)·γ'(s)=(α(s)n+β(s)γ'(s))·γ'(s)=α(s)n·γ'(s)+β(s)||γ'(s)||2=β(s)。||γ''(s)×γ'(s)||2=||γ''(s)||2||γ'(s)||2-(γ''(s)·γ'(s))2=||α(s)n+β(s)γ'(s)||2-β(s)2。||α(s)n+β(s)γ'(s)||2=(α(s)2||n||2+2α(s)β(s)n·γ'(s)+β(s)2||γ'(s)||2)=α(s)2+2α(s)β(s)0+β(s)2=α(s)2+β(s)2。所以||γ''(s)×γ'(s)||2=α(s)2+β(s)2-β(s)2=α(s)2。κ_g=||α(s)n||/1=||α(s)||=||γ''(s)||。由于γ''(s)=α(s)n，其模長(zhǎng)即為n的模長(zhǎng)，為1。因此，球面上任意一點(diǎn)沿測(cè)地線的測(cè)地線曲率為1。3.解：標(biāo)準(zhǔn)聯(lián)絡(luò)（Levi-Civita聯(lián)絡(luò)）滿足平行性條件(?_XY)·Z=X·(Y·Z)和反對(duì)稱性(?_XY)=-(?_YX)。X=x2?/?x?-y?/?x?。計(jì)算協(xié)變導(dǎo)數(shù)：?_X?/?x?=(x2)?_X?/?x?+Γ^k_(X)?/?k=x2(0)+(Γ^1_(x2?/?x?)?/?x?+Γ^2_(x2?/?x?)?/?x?)=(Γ^1_1x2?/?x?+Γ^1_2x2?/?x?)=0+2λxx2?/?x?=2λx2?/?x?。?_X?/?x?=(x2)?_X?/?x?+Γ^k_(X)?/?k=x2(0)+(Γ^1_(x2?/?x?)?/?x?+Γ^2_(x2?/?x?)?/?x?)=(Γ^1_2x2?/?x?+Γ^2_2x2?/?x?)=λx2?/?x?+0=λx2?/?x?。Γ^1_1=0,Γ^1_2=λ,Γ^2_1=λ,Γ^2_2=0（由g=dx?2+2λdx?dx?計(jì)算）。?_XX=?_X(x2?/?x?-y?/?x?)=x2?_X?/?x?-y?_X?/?x?=x2(2λx2?/?x?)-y(λx2?/?x?)=2λx??/?x?-λx2y?/?x?。四、證明題1.證明：設(shè)測(cè)地線為γ(t)，其切向量為γ'(t)。由測(cè)地線定義，?_γ'(t)γ'(t)=0。計(jì)算測(cè)地線曲率κ_g(t)=||γ''(t)×γ'(t)||/||γ'(t)||2。由于γ(t)在測(cè)地線上，γ'(t)與n(t)正交，n(t)是單位法向量，滿足n(t)·γ'(t)=0且||n(t)||=1。n'(t)=-<n(t),γ''(t)>γ'(t)（其中<,>表示內(nèi)積）。n'(t)與γ'(t)正交。γ''(t)=α(t)n(t)+β(t)γ'(t)。因?yàn)棣?'(t)在切平面內(nèi)（垂直于n(t)）。κ_g(t)=||α(t)n(t)+β(t)γ'(t)||/||γ'(t)||2?？紤]γ''(t)·γ'(t)=(α(t)n(t)+β(t)γ'(t))·γ'(t)=β(t)||γ'(t)||2=β(t)。||γ''(t)×γ'(t)||2=||γ''(t)||2||γ'(t)||2-(γ''(t)·γ'(t))2=||α(t)n(t)+β(t)γ'(t)||2-β(t)2。||α(t)n(t)+β(t)γ'(t)||2=α(t)2||n(t)||2+2α(t)β(t)n(t)·γ'(t)+β(t)2||γ'(t)||2=α(t)2+β(t)2。所以||γ''(t)×γ'(t)||2=α(t)2+β(t)2-β(t)2=α(t)2。κ_g(t)=||α(t)||=||γ''(t)||。因此沿測(cè)地線的測(cè)地線曲率等于該點(diǎn)曲率向量的模長(zhǎng)。2.證明：設(shè)M是n維完備黎曼流形，其曲率張量處處為零，即R_ijkl=0?？紤]測(cè)地線坐標(biāo)，在該鄰域內(nèi)，度量的分量g_ij可以寫(xiě)成g_ij=1+h_ij，其中h_ij是小量?？死锼雇匈M(fèi)爾符號(hào)Γ^k_ij=1/2g^kl(?g_jl/?x_i-?g_jk/?x_l+?g_ik/?x_l)=1/2(?h_jl/?x_i-?h_jk/?x_l+?h_ik/?x_l)（因?yàn)間^kl=δ^kl，?(1)/?x=0）。?_j?/?i=δ_ji?/?i+Γ^k_ij?/?k=?/?i+Γ^k_ij?/?k?？紤]向量場(chǎng)X=?/?i，其協(xié)變導(dǎo)數(shù)為?_jX=?/?j。在測(cè)地線坐標(biāo)下，測(cè)地線方程(?_γ'(t)γ'(t)=0)可以寫(xiě)成(?γ^k/?t)Γ^k_ij(?γ^j/?t)=0。這表明在測(cè)地線坐標(biāo)下，測(cè)地線是直線（參數(shù)為t的直線）。因?yàn)镸是完備的，任何兩點(diǎn)之間存在測(cè)地線連接。對(duì)于任何點(diǎn)p和點(diǎn)q，存在測(cè)地線連接它們。由于測(cè)地線坐標(biāo)鄰域內(nèi)測(cè)地線是直線，且測(cè)地線坐標(biāo)鄰域可以任意覆蓋M（因?yàn)闇y(cè)地線坐標(biāo)是局部坐標(biāo)），這意味著在整個(gè)流形M上，測(cè)地線都是直線。在黎曼幾何中，測(cè)地線是測(cè)地線曲率為零的曲線。如果所有測(cè)地線都是直線，則所有測(cè)地線曲率必須為零。但題目條件是曲率張量處處為零，這比測(cè)地線曲率處處為零更強(qiáng)。曲率張量處處為零（特別是Riemann張量處處為零）確實(shí)意味著測(cè)地線曲率處處為零，并且更一般地，意味著該流形在局部同胚于歐氏空間。具體來(lái)說(shuō)，對(duì)于任何點(diǎn)p，存在鄰域U和U中的測(cè)地線坐標(biāo)γ，使得在γ下，度量g_ij=η_ij（Minkowski度量的對(duì)角形式），其中η_ij={1,-1,...,-1}（對(duì)于n維）。這樣的流形在局部同胚于n維歐氏空間。3.證明：在信息幾何中，考慮由參數(shù)θ決定的高斯分布族p(x|θ)=(2π)^(-n/2)|Σ(θ)|^(-1/2)exp(-1/2(x-μ(θ))?Σ(θ)?1(x-μ(θ)))。其中μ(θ)是均值向量，Σ(θ)是協(xié)方差矩陣。Fisher信息矩陣I(θ)=E_θ[?_θlogp(x|θ)(?_θlogp(x|θ))?]=E_θ[?_θlog|Σ(θ)|Σ(θ)?1?_θlogp(x|θ)?]（利用?log|Σ|/?Σ=Σ?1Tr(?Σ/?Σ)=Σ?1?Σ/?θ）。Fisher信息矩陣I(θ)=Σ(θ)?1(?μ(θ)/?θ)?Σ(θ)?1Σ(θ)?1(?Σ(θ)/?θ)Σ(θ)?1+Σ(θ)?1(?Σ(θ)/?θ)Σ(θ)?1（因?yàn)?_θlogp=?_θ(-n/2log(2π))-1/2?_θTr(Σ?1?Σ/?θ)=-1/2?_θTr(Σ?1?Σ/?θ)）。Fisher信息矩陣I(θ)=(?μ(θ)/?θ)?Σ(θ)?1(?Σ(θ)/?θ)Σ(θ)?1+Σ(θ)?1(?Σ(θ)/?θ)Σ(θ)?1。在信息幾何中，哈密頓度量為H=logp(x|θ)+1/2(x-μ(θ))?Σ(θ)?1(x-μ(θ))。?H/?θ=?μ(θ)/?θ?Σ(θ)?1(x-μ(θ))-1/2(x-μ(θ))?(?Σ(θ)/?θ)Σ(θ)?1(x-μ(θ))+1/2(x-μ(θ))?Σ(θ)?1(?Σ(θ)/?θ)Σ(θ)?1(x-μ(θ))-1/2Σ(θ)?1(?Σ(θ)/?θ)(x-μ(θ))。?H/?θ=?μ(θ)/?θ?Σ(θ)?1(x-μ(θ))-1/2(x-μ(θ))?(?Σ(θ)/?θ)Σ(θ)?1(x-μ(θ))+1/2(x-μ(θ))?Σ(θ)?1(?Σ(θ)/?θ)Σ(θ)?1(x-μ(θ))。取E_θ[?_θlogp(x|θ)(?_θlogp(x|θ))?]時(shí)，令x=μ(θ)。E_θ[?_θlogp(μ(θ)|θ)(?_θlogp(μ(θ)|θ))?]=E_θ[?_θlog|Σ(θ)|Σ(θ)?1?_θlogp(μ(θ)|θ)?]。E_θ[?_θlogp(μ(θ)|θ)(?_θlogp(μ(θ)|θ))?]=E_θ[?_θlog|Σ(θ)|Σ(θ)?1(?μ(θ)/?θ?Σ(θ)?1+Σ(θ)?1(?Σ(θ)/?θ))]（因?yàn)?_θlogp=...=?_θlog|Σ|Σ?1?μ/?θ+1/2Σ?1?Σ/?θ）。E_θ[?_θlogp(μ(θ)|θ)(?_θlogp(μ(θ)|θ))?]=E_θ[Σ(θ)?1(?μ(θ)/?θ)?Σ(θ)?1+Σ(θ)?1(?Σ(θ)/?θ)Σ(θ)?1]=(?μ(θ)/?θ)?Σ(θ)?1(?Σ(θ)/?θ)Σ(θ)?1+Σ(θ)?1(?Σ(θ)/?θ)Σ(θ)?1。因此，F(xiàn)isher信息矩陣I(θ)=E_θ[?_θlogp(μ(θ)|θ)(?_θlogp(μ(θ)|θ))?]=(?μ(θ)/?θ)?Σ(θ)?1(?Σ(θ)/?θ)Σ(θ)?1+Σ(θ)?1(?Σ(θ)/?θ)Σ(θ)?1。對(duì)比哈密頓量H=logp+1/2(x-μ)?Σ?1(x-μ)，計(jì)算?2H/?θ2。取x=μ。?2H/?θ2|_(x=μ)=?/?θ[?H/?θ|_(x=μ)]=?/?θ[?μ/?θ?Σ?1(μ-μ)-1/2(μ-μ)?(?Σ/?θ)Σ?1(μ-μ)+1/2(μ-μ)?Σ?1(?Σ/?θ)Σ?1(μ-μ)|_(x=μ)]=?/?θ[0]=0。但如果考慮H=logp+1/2(x-μ)?Σ?1(x-μ)，且Σ=Σ(θ)，μ=μ(θ)。?H/?θ=?μ/?θ?Σ?1(x-μ)-1/2(x-μ)?(?Σ/?θ)Σ?1(x-μ)+1/2(x-μ)?Σ?1(?Σ/?θ)Σ?1(x-μ)。?2H/?θ2=?/?θ[?μ/?θ?Σ?1(x-μ)-1/2(x-μ)?(?Σ/?θ)Σ?1(x-μ)+1/2(x-μ)?Σ?1(?Σ/?θ)Σ?1(x-μ)]。?2H/?θ2=(?2μ/?θ2)?Σ?1(x-μ)+(?μ/?θ?)Σ?1(-?μ/?θ)-1/2[(-?μ/?θ)?(?Σ/?θ)Σ?1(x-μ)+(x-μ)?(?2Σ/?θ2)Σ?1(x-μ)-(x-μ)?(?Σ/?θ)Σ?1(-?μ/?θ)+(x-μ)?(?Σ/?θ)Σ?1(?Σ/?θ)Σ?1(x-μ)]+1/2[(x-μ)?(?2Σ/?θ2)Σ?1(x-μ)-2(x-μ)?(?Σ/?θ)Σ?1(-?μ/?θ)+(x-μ)?Σ?1(?Σ/?θ)Σ?1(x-μ)]。在信息幾何中，哈密頓度量的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)是黎曼度量。考慮H=logp+1/2(x-μ)?Σ?1(x-μ)。?H/?θ=(?μ/?θ)?Σ?1(x-μ)-1/2(x-μ)?(?Σ/?θ)Σ?1(x-μ)+1/2(x-μ)?Σ?1(?Σ/?θ)Σ?1(x-μ)。?2H/?θ2=(?2μ/?θ2)?Σ?1(x-μ)+(?μ/?θ?)Σ?1(-?μ/?θ)-1/2[(-?μ/?θ)?(?Σ/?θ)Σ?1(x-μ)+(x-μ)?(?2Σ/?θ2)Σ?1(x-μ)-(x-μ)?(?Σ/?θ)Σ?1(-?μ/?θ)+(x-μ)?(?Σ/?θ)Σ?1(?Σ/?θ)Σ?1(x-μ)]+1/2[(x-μ)?(?2Σ/?θ2)Σ?1(x-μ)-2(x-μ)?(?Σ/?θ)Σ?1(-?μ/?θ)+(x-μ)?Σ?1(?Σ/?θ)Σ?1(x-μ)]。在信息幾何中，有結(jié)論：黎曼度量g_ij=(?2H/?θ_i?θ_j)|_(x=μ)。因此，F(xiàn)isher信息矩陣I(θ)=(?μ/?θ)?Σ(θ)?1(?Σ(θ)/?θ)Σ(θ)?1+Σ(θ)?1(?Σ(θ)/?θ)Σ(θ)?1=g_ij(θ)。五、論述題1.論述：微分幾何為廣義相對(duì)論提供了堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。在廣義相對(duì)論中，物理學(xué)家愛(ài)因斯坦將時(shí)空視為一個(gè)四維的、彎曲的黎曼流形，稱為“時(shí)空”。物質(zhì)和能量的分布通過(guò)一個(gè)稱為“時(shí)空度規(guī)”的二階對(duì)稱張量來(lái)描述，它決定了時(shí)空的幾何結(jié)構(gòu)。度規(guī)張量g_μν不僅度量了時(shí)空點(diǎn)之間的距離，更重要的是，它決定了引力場(chǎng)本身。愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程G_μν=R_μν-1/2g_μνR=8πGT_μν將時(shí)空的幾何曲率（由R_μν、R、G_μν表示）與物質(zhì)能量的動(dòng)量分布（由T_μν表示）聯(lián)系起來(lái)。這里R_μν是黎曼曲率張量，R是標(biāo)量曲率，G是萬(wàn)有引力常數(shù)，T_μν是能量-動(dòng)量張量。微分幾何的工具，如度規(guī)、聯(lián)絡(luò)、曲率張量、場(chǎng)方程等，使得愛(ài)因斯坦能夠精確地描述引力的幾何本質(zhì)。例如，黑洞的時(shí)空結(jié)構(gòu)（史瓦西度規(guī)、克爾度規(guī)）就是通過(guò)求解愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程得到的黎曼流形。微分幾何還提供了描述引力波傳播、宇宙膨脹等宇宙學(xué)現(xiàn)象的語(yǔ)言和框架。因此，微分幾何不僅是廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，也是理解宇宙基本規(guī)律的關(guān)