2/2專題巧構(gòu)等腰三角形的基本模型目錄A題型建模?專項(xiàng)突破TOC\o"1-2"\h\u題型一、等腰三角形中過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形 1題型二、利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形 8題型三、巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形 12題型四、利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形 18B綜合攻堅(jiān)?能力躍升題型一、等腰三角形中過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造等腰(邊)三角形模型分析：在等腰三角形內(nèi)部或外部作任意一邊的平行線均可構(gòu)造出新的等腰三角形.條件：如圖1，若AC=BC,過(guò)點(diǎn)D作D作DE//BC.結(jié)論：△ADE是等腰三角形.條件：如圖2，若AC=BC,過(guò)點(diǎn)D作D作DE//AB.結(jié)論：△CDE是等腰三角形.1.如圖，是的角平分線，，交于點(diǎn)．(1)求證：是等腰三角形．(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、等腰三角形的性質(zhì)和判定、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，角平分線定義，熟練掌握等腰三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由角平分線得．再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，進(jìn)而．即可證明結(jié)論成立；（2）由等邊對(duì)等角及平行線的性質(zhì)得，，從而．由（）得，，從而．【詳解】（1）證明：證明：∵是的角平分線，∴．∵，∴，∴．∴，∴是等腰三角形；（2）解：．理由如下：∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即．由（）得，∴，∴．2．綜合與探究如圖，在中，，為延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn)，且，交于點(diǎn)．(1)如圖1，求證：是等腰三角形．(2)如圖2，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)，理由見(jiàn)解析．【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及垂線的定義．解題的關(guān)鍵是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性質(zhì)．（1）通過(guò)已知條件證明和相等就能證明是等腰三角形；（2）由，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)可得，再根據(jù)勾股定理求出，過(guò)A點(diǎn)作，再通過(guò)證明三角形全等得出．【詳解】（1）證明：，．，，，．又，，，是等腰三角形；（2）解：，理由如下：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）得，∵，．，，．又為的中點(diǎn)，．在和中，，，．3．【問(wèn)題初探】（1）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，點(diǎn)E是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)D，若，求證：．①如圖2，小樂(lè)同學(xué)從中點(diǎn)的角度，給出了如下解題思路：在線段上截取，使，連接，利用兩個(gè)三角形全等和已知條件，得出結(jié)論；②如圖3，小亮同學(xué)從平行線的角度給出了另一種解題思路：過(guò)點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，利用兩個(gè)三角形全等和已知條件，得出了結(jié)論；請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的解題思路，寫(xiě)出證明過(guò)程；【類比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)兩位同學(xué)的做法非常巧妙，為了讓同學(xué)們更好的理解這種轉(zhuǎn)化的思想方法，李老師提出了新的問(wèn)題，請(qǐng)你解答，如圖4，在中，點(diǎn)E在線段上，D是的中點(diǎn)，連接，，與相交于點(diǎn)N，若，求證：；【學(xué)以致用】（3）如圖5，在中，，，平分，點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作，交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)D，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）①選擇小樂(lè)同學(xué)的做法：證明見(jiàn)解析；②選擇小亮同學(xué)的做法：證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形綜合問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)和判定、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、含30度角的直角三角形【分析】（1）①證明，得出，，證明，得出，證明，得出，即可證明結(jié)論；②證明，得出，根據(jù)等腰三角形的判定證明，即可證明結(jié)論；（2）延長(zhǎng)，取，連接，證明，得出，，根據(jù)等腰三角形判定得出，即可證明結(jié)論；（3）延長(zhǎng)，使，連接，證明，得出，，證明，得出，根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出，根據(jù)，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）延長(zhǎng)，取，連接，如圖所示：∵D是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴；（3）延長(zhǎng)，使，連接，如圖所示：∵，，∴，∴，，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴．題型二、利用平行線+角平分線構(gòu)造等腰三角形模型分析：由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換進(jìn)行解題．平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個(gè)條件都可以得出第三個(gè)。（簡(jiǎn)稱：“知二求一”，在以后還會(huì)遇到很多類似總結(jié)）。平行四邊形中的翻折問(wèn)題就常出現(xiàn)該類模型。

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過(guò)OO’的一點(diǎn)P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過(guò)點(diǎn)O作的平行線與，分別相交于點(diǎn)M，N．結(jié)論：△BOM、△CON都是等腰三角形。1.已知如圖中，，平分，平分，過(guò)作直線平行于，交，于，．(1)求證：是等腰三角形；(2)求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行內(nèi)錯(cuò)角相等、根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等．（1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，可得，據(jù)此即可證得；（2）同理（1）可得，根據(jù)的周長(zhǎng)，求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，平分，，，，∴是等腰三角形；（2）解：∵，，平分，，，，∵，，∴的周長(zhǎng)為：．2.如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D．過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：是等腰三角形；(3)若，求的長(zhǎng)（用含m，n的式子表示）．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、三角形的外角的定義及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】（1）根據(jù)和平分，可以求出和，然后利用三角形外角即可求解；（2）根據(jù)條件證明，再根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明；（3）根據(jù)題意和（1）（2）問(wèn)的結(jié)論證明，，是等腰三角形即可．【詳解】（1）解：∵在中，，∴，∵平分，∴，∴；（2）證明：由（1）得：，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（3）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，由（2）得：，∴，∴，∴；3.（1）如圖1，中，，，的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作交，于點(diǎn)E，F(xiàn)．圖中有個(gè)等腰三角形．猜想：與，之間有怎樣的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，若，其他條件不變，圖中有個(gè)等腰三角形；與，間的關(guān)系是；（3）如圖3，，若的角平分線與外角的角平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作交于E，交于F．圖中有個(gè)等腰三角形．與，間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】（1）2，，理由見(jiàn)解析．（2）5，（3）2，【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】（1）本題考查平行線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)得到角相等，再進(jìn)行等量代換得到，，再利用等角對(duì)等邊，得到，，即可解題．（2）本題考查平行線性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)，再進(jìn)行等量代換得到、、、，再利用等角對(duì)等邊，得到對(duì)應(yīng)線段相等，即可解題．（3）本題解法與（1）類似．【詳解】（1）解：，理由如下：，的平分線交于O點(diǎn)，，，

，，，，，，，和為等腰三角形，即圖中有2個(gè)等腰三角形．．故答案為：2．（2）解：，即為等腰三角形，，，的平分線交于O點(diǎn)，，，即為等腰三角形，，，，，，，，即為等腰三角形，，，和為等腰三角形，．綜上所述，共有5個(gè)等腰三角形，故答案為：5，．（3）解：的角平分線與外角的角平分線交于點(diǎn)O，，，，，，，，，，和為等腰三角形，即圖中有2個(gè)等腰三角形．．故答案為：2，．題型三、巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形模型解析：如圖，△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD?△ACD,從而得AB=AC,BD=CD.即一邊上的高與這邊所對(duì)的角平分線重合，易得這個(gè)三角形是等腰三角形.1.如圖，在中，的平分線交于D，過(guò)C作交于II，交于N．(1)求證：為等腰三角形；(2)求證：．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、全等三角形綜合問(wèn)題、等腰三角形的性質(zhì)和判定【分析】本題主要考查了三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．（1）由平分交于，可得；由交于可得；兩者結(jié)合由三角形內(nèi)角和定理可得，即可得，從而得到是等腰三角形；（2）連接，先證，得到，，從而可得，由此即可得到．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵平分，∴，又∵在和中，，∴，∴，∴為等腰三角形；（2）證明：，理由如下：如圖：連接，∵和中：，∴，∴，又∵，∴，又∵中，，∴，∴，∴．2.如圖1：在中，平分，且，(1)若，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若交于，交于，且為等腰三角形，求的長(zhǎng)．【答案】(1)10(2)【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定義【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)．證明，由即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意得到，由為等腰直角三角形，證明即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．平分，，，又，，，即，在中，，，；（2）解：如圖，（對(duì)頂角），，，又為等腰直角三角形，，，在與中，，，，即．3.利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖①平分．點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作,

垂足為C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)B，可證得，則，．【問(wèn)題提出】（1）如圖②，在中，平分，于點(diǎn)E，若，，通過(guò)上述構(gòu)造全等的辦法，求∠的度數(shù)；【問(wèn)題探究】（2）如圖③，在中，，，平分，，垂足E在的延長(zhǎng)線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系；【問(wèn)題解決】（3）如圖④是一塊肥沃的土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，他進(jìn)行了如下操作：①作的平分線；②再過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)D．已知米，米，面積為平方米，求劃出的的面積．【答案】（）；（），理由見(jiàn)解析；（）【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、角平分線的有關(guān)計(jì)算、等邊對(duì)等角、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】（）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由已知可知，再由等腰三角形的在得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證，得，再由已知可知，即可得出結(jié)論；（）延長(zhǎng)交于，由已知可知，，則再由三角形面積關(guān)系得，即可得出結(jié)論．【詳解】（）解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由已知可知，∴，∵，∴；（）解：，證明如下：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，由已知可知，，∴；（）解：如圖，延長(zhǎng)交于，由已知可知，，，∴，∵，∴，∴．題型四、利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形模型分析：當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，一般通過(guò)轉(zhuǎn)化倍角尋找等腰三角形．條件：如圖1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC.結(jié)論：△BDC是等腰三角形.條件：如圖2，若∠ABC=2∠C,延長(zhǎng)CB到D,使BD=BA,連接AD.結(jié)論：△ADC是等腰三角形.條件：如圖3，若∠B=2∠ACB,以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.結(jié)論：△DBC是等腰三角形.1.如圖1，是的角平分線，，試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小明的解題思路如下：①如圖2，在上取一點(diǎn)，使，連接．②由，平分，是公共邊，可得（理由：________），則，．③由，則．又因?yàn)椋?，則________又由，得．④根據(jù)上述的推理可知，，之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______．(1)請(qǐng)你補(bǔ)全小明的解題思路．(2)小明又想嘗試其它方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．請(qǐng)你幫助小明，完成解答過(guò)程．【答案】(1)，，(2)見(jiàn)解析【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；（2）根據(jù)題意作輔助線，根據(jù)等邊對(duì)等角得到，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，證得，得到，等量代換即可證明．【詳解】（1）解：①如圖2，在上取一點(diǎn)，使，連接．②由，平分，是公共邊，可得（理由：），則，．③由，則．又因?yàn)椋?，則又由，得．④根據(jù)上述的推理可知，，之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）證明：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．如圖所示：∵，∴，∴，∵∴∵平分，∴，∵是公共邊，∴，∴．2.問(wèn)題背景：在中，，點(diǎn)為線段一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)滿足某種條件時(shí)，探討在線段、、、四條線段中，某兩條或某三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系．(1)在圖1中，當(dāng)時(shí)，則可得，請(qǐng)你給出證明過(guò)程．(2)當(dāng)時(shí)，如圖2，求證：；(3)當(dāng)是的角平分線時(shí)，判斷、、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)，理由見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】三角形的外角的定義及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形綜合問(wèn)題【分析】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)得到，證明結(jié)論；（2）在上截取，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)證明；（3）在上截取，連接，證明，仿照（2）的證明方法解答．【詳解】（1），，，，，，，；（2）在上截取，連接，在和中，，，，，，，，，，，；（3），理由如下：在上截取，連接，在和中，，，，，，，，，，，．3．已知在中，滿足．

(1)【問(wèn)題解決】如圖1，當(dāng)，為的角平分線時(shí)，在上取一點(diǎn)E，使得，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系_________；(2)【問(wèn)題拓展】如圖2，當(dāng)，AD為的角平分線時(shí)，在上取一點(diǎn)E，使得，連接，（1）中的結(jié)論還成立嗎?若成立，請(qǐng)你證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)【猜想結(jié)論】如圖3，當(dāng)為的外角平分線時(shí)，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使得，連接，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的數(shù)量關(guān)系_________．【答案】(1)(2)（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由為的角平分線，得到，通過(guò)≌，得到，，由于，得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；（2）由為的角平分線時(shí)，得到，通過(guò)≌得到，由已知得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，即可得解；（3）由為的角平分線時(shí)，得到，通過(guò)≌得到，，由已知得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，即可得解．【詳解】（1）解：∵為的角平分線在和中≌，（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：∵是的角平分線，∴在和中∴≌∴，，又∵，∴∴∴∴即：（3）解：證明：∵平分∴在與中∴≌【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．1．已知如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，．求證：是等腰三角形．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答此題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，利用平行線的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用得出，再利用全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定得出即可．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．2．常見(jiàn)的“角平分線+平行線→等腰三角形”模型有以下兩種：(1)如圖①，平分，，則；(2)如圖②，，平分，則是等腰三角形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊．（1）由角平分線的定義求得，由平行線的性質(zhì)求得，推出，再根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明；（2）由平行線的性質(zhì)求得，，再由角平分線的定義求得，推出，即可證明是等腰三角形．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴；（2）證明：∵，∴，，∵平分，∴，∴，∴，即是等腰三角形．3．如圖，已知，平分，交于點(diǎn)E．(1)求證：是等腰三角形；(2)若于點(diǎn)D，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．（1）由角平分線的定義得到，由可得，根據(jù)等量代換可得；（2）由垂直的定義得出，可得，由平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線的定義即可得解．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴．4．（1）學(xué)完等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，小明逆向思考提出了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，是邊上的一點(diǎn)，平分，且，求證：．（2）如圖2，在中，平分，，，求證：．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)；（1）證明，即可得到；（2）延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，由（1）可知：，得到，，，再由得到，得到，最后根據(jù)即可證明結(jié)論成立．【詳解】（1）證明：平分，，，，，，；（2）證明：延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，

由（1）可知：，，，，，，是的一個(gè)外角，，，，，．5．問(wèn)題初探：（1）如圖1，在等腰直角中，，，將沿著折疊得到，的對(duì)應(yīng)邊落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，折痕交于點(diǎn)．求證：；方法遷移：（2）如圖2，是的角平分線，．求證：；問(wèn)題拓展：（3）如圖3，在中，，是的外角的平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．請(qǐng)你直接寫(xiě)出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（3）線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可證三角形全等，可得對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，結(jié)合已知，可得等腰直角三角形，等量代換，即可證得結(jié)論；（2）在上截取，綜合全等三角形的判定和性質(zhì)，可得，結(jié)合已知和三角形外角的性質(zhì)，可得等腰三角形，等量代換，即可證得結(jié)論；（3）在射線上截取，結(jié)合角平分線，可證三角形全等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，由已知結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，可得等腰三角形，等量代換，即可得出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．（2）證明：如圖，在上截取，∵是的角平分線，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．（3）解：，證明：如圖，在射線截取，連接，∵是的外角的平分線，∴，在和中，，∴，∴，，設(shè)，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，答：線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．6．【基礎(chǔ)探究】（1）如圖1，平分，，是等腰三角形嗎？為什么？【形成經(jīng)驗(yàn)】當(dāng)角平分線遇上平行線時(shí)一般會(huì)產(chǎn)生等腰三角形．【經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用】（2）如圖2，，平分，平分，試探究線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展提升】（3）如圖3，在四邊形中，，為的中點(diǎn)，且平分，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）是，理由見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；（3）【分析】本題考查等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由角平分線可得，由平行線的性質(zhì)得，，從而，進(jìn)而可證是等腰三角形；（2）同理（1）分別證明和，從而可證；（3）延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F．先根據(jù)等角對(duì)等邊證明，再根據(jù)證明得，進(jìn)而可證．【詳解】解：（1）是等腰三角形，理由如下：∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴，∴是等腰三角形；（2），理由：如圖，∵，∴．∵平分，∴，∴，∴．∵，∴．∵平分，∴，∴，∴，∴；（3），理由：如圖，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F．∵，∴，∵平分，∴，∴，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴．故答案為：．7．綜合與實(shí)踐問(wèn)題提出：如圖1，在中，平分，交于點(diǎn)D，且，可以探究，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系．方法運(yùn)用（1）我們可以通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形來(lái)解題．如圖2，在上取一點(diǎn)E，使，連接．請(qǐng)你根據(jù)給出的輔助線判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系并寫(xiě)出解題過(guò)程；（2）以上方法叫做“截長(zhǎng)法”：我們還可以采用“補(bǔ)短法”，即通過(guò)延長(zhǎng)線段構(gòu)造全等三角形來(lái)解題．如圖3，延長(zhǎng)線段到E，使得________，連接________．請(qǐng)補(bǔ)全空格，并在圖3中畫(huà)出輔助線．延伸探究（3）小明發(fā)現(xiàn)“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”還可以幫助我們解決其他多邊形中的問(wèn)題．如圖4，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是、上的點(diǎn)，且，判斷線段，，有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1），過(guò)程見(jiàn)解析（2），，圖見(jiàn)解析（3），理由見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線，等角對(duì)等邊，通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）先證明，得出，從而證得，所以，即可得出結(jié)論