專題軸對稱之將軍飲馬模型重難點題型歸納（五大類型）【題型01：“2定點1動點”作圖問題】【題型02：“2定點1動點”求周長最小值問題】【題型03：“2定點1動點”求線段最小值問題】【題型04：“1定點2動點”-線段/周長最小問題】【題型05：“1定點2動點”-角度問題】【題型01：“2定點1動點”作圖問題】【典例1】如圖，一條筆直的河l，牧馬人從P地出發(fā)，到河邊M處飲馬，然后到Q地，現(xiàn)有如下四種方案，可使牧馬人所走路徑最短的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：使牧馬人所走路徑最短的是，故選：D．【變式1-1】如圖，河道l的同側有M，N兩個村莊，計劃鋪設管道將河水引至M，N兩村，下面四個方案中，管道總長度最短的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：作點M關于直線l的對稱點M′，連接M′N交直線l于點Q，則MP+NP＝M′N，此時管道長度最短．故選：B．【變式1-2】已知：如圖，點A和點B在直線l同一側．求作：直線l上一點P，使PA+PB的值最?。敬鸢浮恳娫囶}解答內容【解答】作法：作A點關于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，則P點為所求．【題型02：“2定點1動點”求周長最小值問題】【典例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，面積是30，AC的垂直平分線EF分別交AC、AB邊于E、F點，若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（）A．13 B．12 C．10 D．6【答案】A【解答】解：連接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×6×AD＝30，解得AD＝10，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關于直線EF的對稱點為點A，∴MA＝MC，∵AD≤AM+MD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝10+×6＝10+3＝13．故選：A．1【變式2-1】如圖所示，在邊長4為的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，連接BP、GP，則△BPG的周長的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解答】解：要使△PBG的周長最小，而BG＝2一定，只要使BP+PG最短即可，連接AG交EF于M，∵等邊△ABC，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，∴AG⊥BC，EF∥BC，∴AG⊥EF，AM＝MG，∴A、G關于EF對稱，即當P和E重合時，此時BP+PG最小，即△PBG的周長最小，AP＝PG，BP＝BE，最小值是：PB+PG+BG＝AE+BE+BG＝AB+BG＝4+2＝6．故選：C．【變式2-2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面積是14，AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（）A．10 B．9 C．8 D．6【答案】B【解答】解：連接AD，AM，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴AM＝CM，當點M在AD上時，DM+CM最小，最小值為AD，∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝7+×4＝7+2＝9．故選：B．【變式2-3】如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上一動點，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，則△APC周長的最小值是（）A．13 B．14 C．15 D．13.5【答案】A【解答】解：∵直線m垂直平分BC，∴B、C關于直線m對稱，設直線m交AB于D，∴當P和D重合時，AP+CP的值最小，最小值等于AB的長，∴△APC周長的最小值是AB+AC＝6+7＝13．故選：A．【變式2-4】如圖，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面積為12，CD⊥AB于點D，直線EF垂直平分BC交AB于點E，交BC于點F，P是線段EF上的一個動點，則△PBD的周長的最小值是（）A．6 B．7 C．10 D．12【答案】B【解答】解：如圖，連接CP，∵AC＝BC，CD⊥AB，∴BD＝AD＝3，∵S△ABC＝?AB?CD＝12，∴CD＝4，∵EF垂直平分BC，∴PB＝PC，∴PB+PD＝PC+PD，∵PC+PD≥CD，∴PC+PD≥4，∴PC+PD的最小值為4，∴△PBD的最小值為4+3＝7，故選：B【題型03：“2定點1動點”求線段最小值問題】【典例3】已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一點，F(xiàn)是腰AB上任一點，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么線段BE+EF的最小值是（）A．5 B．3 C． D．【答案】C【解答】解：如圖作點F關于AD的對稱點F′，連接EF′．作BH⊥AC于H．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD＝3，∴點F′在AC上，∵BE+EF＝BE+EF′，根據(jù)垂線段最短可知，當B，E，F(xiàn)′共線，且與H重合時，BE+EF的值最小，最小值就是線段BH的長．在Rt△ACD中，AC＝5，∵?BC?AD＝?AC?BH，∴BH＝，∴BE+EF的最小值為，故選：C【變式3-1】如圖，等腰△ABC的面積為9，底邊BC的長為3，腰AC的垂直平分線EF分別交AC、AB邊于點E、F，點D為BC邊的中點，點M為直線EF上一動點，則DM+CM的最小值為（）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】C【解答】解：連接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×3×AD＝9，解得AD＝6，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關于直線EF的對稱點為點A，∴CM＝AM，∴CD+CM+DM＝CD+AM+DM，∵AM+DM≥AD，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴DM+CM的最小值為6．故選：C．【變式3-2】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果點M，N分別為BD，BC上的動點，那么CM+MN的最小值是（）A．4 B．4.8 C．5 D．6【答案】B【解答】解：如圖所示：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M，過點M作MN⊥BC于點N，∵BD平分∠ABC，∴ME＝MN，∴CM+MN＝CM+ME＝CE．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CE⊥AB，∴S△ABC＝?AB?CE＝?AC?BC，∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8．即CM+MN的最小值是4.8，故選：B．【題型04：“1定點2動點”-線段/周長最小問題】【典例4】如圖，已知∠AOB的大小為30°，P是∠AOB內部的一個定點，且OP＝1，點E、F分別是OA、OB上的動點，則△PEF周長的最小值等于（）A． B． C．2 D．1【答案】D【解答】解：作P點關于OA的對稱點P'，作P點關于OB的對稱點P''，連接P'P''交OA于點E、交BO于點F，連接OP'、OP''，由對稱性可知，PE＝P'E，PF＝P''F，∴△PEF周長＝PE+PF+EF＝P'E+P''F+EF＝P'P''，此時△PEF周長最小，∵PO＝OP'，OP＝OP''，∴OP'＝OP''，∵∠AOB＝30°，∴∠P'OP''＝60°，∴△OP'P''是等邊三角形，∵OP＝1，∴P'P''＝1，故選：D．【變式4-1】如圖，已知∠AOB＝30°，點P是∠AOB內部的一點，且OP＝4，點M、N分別是射線OA和射線OB上的一動點，則△PMN的周長的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解答】解：分別作點P關于OA、OB的對稱點C、D，連接CD，分別交OA、OB于點M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．∵點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；∵點P關于OB的對稱點為D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝4，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD＝OC＝OD＝4．∴△PMN的周長的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝4，故選：B．【變式4-2】如圖，∠MON＝50°，P為∠MON內一點，OM上有點A，ON上有點B，當△PAB的周長取最小值時，∠APB的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．100°【答案】C【解答】解：如圖，分別作P關于OM、ON的對稱點P1、P2，然后連接兩個對稱點即可得到A、B兩點.∴△PAB即為所求的三角形，根據(jù)對稱性知道：∠APO＝∠AP1O，∠BPO＝∠BP2O，還根據(jù)對稱性知道：∠P1OP2＝2∠MON，OP1＝OP2，而∠MON＝50°，∴∠P1OP2＝100°，∴∠AP1O＝∠BP2O＝40°，∴∠APB＝2×40°＝80°．故選：C．【典例5】如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，點E、F分別是AD、AB上的動點，若∠BAC＝50°，當BE+EF的值最小時，∠AEB的度數(shù)為（）A．105° B．115° C．120° D．130°【答案】B【解答】解：過點B作BB′⊥AD于點G，交AC于點B′，過點B′作B′F′⊥AB于點F′，與AD交于點E′，連接BE′，如圖，此時BE+EF最?。逜D是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，∴∠AE′F′＝65°，∵BB′⊥AD，∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，∵AG＝AG，∴△ABG≌△AB′G（ASA），∴BG＝B′G，∠ABG＝∠AB′G，∴AD垂直平分BB′，∴BE＝BE′，∴∠E′B′G＝∠E′BG，∵∠BAC＝50°，∴∠AB′F′＝40°，∴∠ABE＝40°，∴∠BE′F′＝50°，∴∠AE′B＝115°．故選：B．【變式5-1】如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，當BM+MN取得最小值時，AN＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解答】解：作B點關于AD的對稱點E，過E點作EN⊥AB交AB于點N，交AD于CM于點M，連結BM，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴E點在AC上，∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此時BM+MN的值最小，由對稱性可知，AE＝AB，∵AB＝4，∴AE＝4，在Rt△ABE中，∠EAN＝60°，∴∠AEN＝30°，∴AN＝2，故選：A．【變式5-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分線．若P，Q分別是AD和AC上的動點，則PC+PQ的最小值是（）A．2.4 B．4.8 C．4 D．5【答案】B【解答】解：如圖，過點C作CM⊥AB交AB于點M，交AD于點P，過點P作PQ⊥AC于點Q，∵AD是∠BAC的平分線．∴PQ＝PM，這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，∵S△ABC＝AB?CM＝AC?BC，∴CM＝＝，即PC+PQ的最小值為．故選：B．【題型05：“1定點2動點”-角度問題】【典例6】如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分別找一點M，N，使△AMN的周長最小時，則∠ANM+∠AMN的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．100° D．130°【答案】C【解答】解：作A點關于CD的對稱點F，作A點關于BC的對稱點E，連接EF交CD于N，交BC于M，連接AM、AN，∵∠B＝∠D＝90°，∴AN＝NF，AM＝EM，∴△AMN的周長＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此時△AMN的周長有最小值，∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD，∵∠BAD＝130°，∴∠E+∠F＝50°，∴∠BAM+∠FAN＝50°，∴∠MAN＝130°﹣50°＝80°，∴∠ANM+∠AMN＝180°﹣∠MAN＝100°，故選：C．【變式6-1】如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，點E，F(xiàn)分別為BC和CD上的動點，連接AE，AF．當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為（）A．60° B．90° C．100° D．120°【答案】C【解答】解：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．∵DAB＝140°，∴∠AA′E+∠A″＝180°﹣140°＝40°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°．故選：C．【變式6-2】如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，當△AMN周長最小時，則∠MAN的度數(shù)為（）A．a B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a﹣90°【答案】B【解答】解：延長AB到A′使得BA′＝AB，延