2/215.3.1(第2課時(shí))等腰三角形的判定目錄TOC\o"1-3"\h\u類型一、根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng) 1類型二、根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等 8類型三、等腰三角形的性質(zhì)和判定綜合 13TOC\o"1-3"\h\u類型一、根據(jù)等角對(duì)等邊求邊長(zhǎng)1．如圖，在中，，將沿射線平移到，若點(diǎn)D落在的平分線上，則平移的距離為（

）A．m B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了平移的性質(zhì)，等腰三角形的判定．根據(jù)平移的性質(zhì)得：，平移的距離為的長(zhǎng)，再結(jié)合角平分線的定義可得，從而得到，即可求解．【詳解】解：由平移的性質(zhì)得：，平移的距離為的長(zhǎng)，∴，∵平分，∴，∴，∴，即平移的距離為m．故選：A．2．如圖，的周長(zhǎng)為，和的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，，那么的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，由角平分線定義可得，由平行線的性質(zhì)可得，則，所以，同理，然后由的周長(zhǎng)，，可得，最后由的周長(zhǎng)即可求解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理：，∵的周長(zhǎng)，，∴，∵的周長(zhǎng)為，∴的周長(zhǎng)是，故選：．3．為了使橋面更加穩(wěn)固，橋面上的斜拉鋼纜一般與橋面呈三角形結(jié)構(gòu)，如圖是橋面上兩條繩索與橋面的示意圖，已知，則的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等角對(duì)等邊這一判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的判定定理（等角對(duì)等邊），判斷三角形的邊的關(guān)系，進(jìn)而求出的長(zhǎng)度．【詳解】解：在中，，（等角對(duì)等邊），又，．故選：C．4．如圖，在中，．以為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫圓弧，分別交，于和，再分別以和為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫圓弧，兩弧交于．射線交于，垂足為，垂足為．若，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】本題考查了尺規(guī)作圖做角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，等角對(duì)等邊．由作圖可知是的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到，根據(jù)等邊對(duì)等角得到，即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：由作圖可知是的角平分線，∵，，∴，∵，∴，∴，即，∴，故選：C．5．如圖，中，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接，若，，則的長(zhǎng)度為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊，先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得，，再結(jié)合得，則，整理得，根據(jù)等角對(duì)等邊得，即可作答．【詳解】解：∵垂直平分，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，則，∴故選：A．6．如圖，點(diǎn)為右側(cè)一點(diǎn)，連接、，，，若，，則的周長(zhǎng)為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】本題考查了等角對(duì)等邊．根據(jù)等角對(duì)等邊求得，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴的周長(zhǎng)為，故選：B．7．如圖，在中，平分交于點(diǎn)，，交于點(diǎn)．若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線性質(zhì)、平行線性質(zhì)、以及等角對(duì)等邊的性質(zhì)等，進(jìn)行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出，即可得出進(jìn)而求出即可．【詳解】解：平分交于，，，，，，，．故選：C．8．如圖，是的角平分線，，將沿所在直線翻折，點(diǎn)B在邊上的落點(diǎn)記為點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】3【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的判定可得，由此即可得．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故答案為：3．9．如圖，在四邊形中，，連接，平分，若，則的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等角對(duì)等邊，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的定義得到，則有，再利用等角對(duì)等邊即可得出答案．【詳解】解：∵∴，∵平分，∴，∴，∴．故答案為：4．10．如圖，已知在中，是的外角的平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．若，則的長(zhǎng)度為．【答案】【分析】本題考查角平分線的對(duì)應(yīng)、平行線的性質(zhì)及等角對(duì)等邊，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可得出，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得答案．【詳解】解：∵是的外角的平分線，∴，∵，∴，，∴，∵，∴．故答案為：11．如圖，一艘船從處出發(fā)，向正西方向航行69海里到達(dá)處，分別從A，B處望燈塔，測(cè)得，，則處到燈塔的距離是海里．【答案】69【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的判定和三角形外角的性質(zhì)理可得到結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得：海里，，，，海里，即從海島到燈塔的距離是69海里，故答案為：69．12．一艘輪船由西向東航行，在A處測(cè)得小島的方位是北偏東，又繼續(xù)航行7海里后，在處測(cè)得小島的方位是北偏東，則的距離是海里．【答案】7【分析】本題主要考查了方向角有關(guān)的計(jì)算、角的和差、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)方向角、角的和差關(guān)系、三角形的內(nèi)角和定理得到，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得即可．【詳解】解：由圖和題意，可知：，，，∴，∴，∴．故答案為：7．類型二、根據(jù)等角對(duì)等邊證明邊相等13．如圖，李大伯用籬笆搭建了一塊四邊形土地用來(lái)種花，，為四邊形土地的一條小路（點(diǎn)E在邊上），且恰好平分．若籬笆的長(zhǎng)度為5米，籬笆的長(zhǎng)度為米，則籬笆的長(zhǎng)度是（

）A．米 B．米 C．6米 D．米【答案】A【分析】本題主要考查了等角對(duì)等邊，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證明，則米，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵，∴，∵恰好平分，∴，∴，∴，米，米，米，∴米，故選：A．14．如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，連接，，，則的長(zhǎng)度等于（

）A．7 B．8 C．10 D．6【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的判定，根據(jù)等角對(duì)等邊求出，然后根據(jù)線段的和差關(guān)系求解即可．【詳解】解∶∵，，∴，∵，∴，故選∶B．15．如圖，在中，．尺規(guī)作圖操作如下：（1）以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交邊于點(diǎn)M，N；（2）以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交邊于點(diǎn)；再以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與前一條以點(diǎn)C為圓心的弧相交于三角形內(nèi)部的點(diǎn)；（3）過(guò)點(diǎn)畫射線交邊于點(diǎn)D．下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了等角對(duì)等邊，三角形內(nèi)角和定理，大角對(duì)等邊，作與已知角相等的角的尺規(guī)作圖，由作圖方法可得，則由三角形內(nèi)角和定理和等邊對(duì)等角得到，，由大角對(duì)大邊得到，再由可得．【詳解】解：由作圖方法可得，故A結(jié)論正確，不符合題意；∴，，故B、C結(jié)論都正確，不符合題意；∵，∴，∵，∴，故D結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．16．如圖，，若，則的長(zhǎng)度為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)，推出，結(jié)合，推出，即可得到，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故選：A．17．如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，則（用含的數(shù)式表示）．【答案】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖、等角對(duì)等邊、平行線的性質(zhì)，熟練掌握尺規(guī)作角平分線的方法是解題的關(guān)鍵．由作圖可得，平分，得到，利用平行線的性質(zhì)得到，則有，推出，即可得出答案．【詳解】解：由作圖可得，平分，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：．18．如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，；若，則的長(zhǎng)是．【答案】4【分析】本題主要考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，根據(jù)等腰三角形的判定定理求出，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出．【詳解】解：，，，是的垂直平分線，，故答案為：4．19．已知：如圖，在中，是的角平分線，垂直平分分別交、于點(diǎn)、，連接．(1)如果，求的度數(shù)；(2)過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，如果，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)16【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義以及線段垂直平分線的性質(zhì)可得，即可求解；（2）根據(jù)以及角平分線的定義，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求解．【詳解】（1）解：是的角平分線，垂直平分，，∴；（2）解：如圖，是的角平分線，∴，∵．20．如圖，，E是上的一點(diǎn)，且．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；由得，則可證明，從而有．【詳解】證明：∵，∴；在與中，，∴，∴．類型三、等腰三角形的性質(zhì)和判定綜合21．已知：如圖，在中，已知分別平分和，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線平行于，交分別于點(diǎn)D、E，，．求的周長(zhǎng)．解：BM平分，_______．，（_______）．_______．（_______）．同理可得_______．周長(zhǎng)_______．【答案】；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；等角對(duì)等邊；；【分析】本題主要考查了等角對(duì)等邊，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，由角平分線的定義得到，由平行線的性質(zhì)得到，則可證明得到，同理可得，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)計(jì)算公式求解即可．【詳解】解：平分，．，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．．（等角對(duì)等邊）．同理可得．周長(zhǎng)．22．如圖，在中，，是角平分線，是高，、相交于點(diǎn)．求證：．【答案】證明見解析【分析】本題考查了余角性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，等腰三角形的判定等，由余角性質(zhì)可得，進(jìn)而由對(duì)頂角相等得，即可求證，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵是角平分線，∴，∴，∵，∴，∴．23．如圖，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，先證明，結(jié)合，，證明即可.【詳解】證明：∵，∴，∵，，∴，∴.24．已知：中，的角平分線相交于點(diǎn)D，過(guò)D作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了角平分線定義，平行線性質(zhì)，等腰三角形的判定的應(yīng)用，注意：等角對(duì)等邊．根據(jù)角平分線定義和平行線性質(zhì)求出，推出，同理得出，即可求出答案．【詳解】證明：∵平分，平分，，，，，，，，即．25．如圖，為等腰直角三角形，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上（）．連接，E為邊上一點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)交于F．(1)猜想與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析(2)的度數(shù)為．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）證，得出，即可推出；（2）延長(zhǎng)至H，使，先證，得出，，再由，即知，推出是等腰直角三角形，即可得出答案．【詳解】（1）解：與的位置關(guān)系為，理由如下：在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖，延長(zhǎng)至H，使，由（1）知：，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴的度數(shù)為．26．如圖，在中，為的中點(diǎn)，連接垂直平分，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵；對(duì)于（1），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得是的垂直平分線，可得，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，即可得，此題可解；對(duì)于（2），根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求，再根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余得出答案．【詳解】（1）證明：∵，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴是的垂直平分線，∴．∵是的垂直平分線，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：∵，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，，∴．在中，．27．如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于，點(diǎn)O在的垂直平分線上，(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．（1）先證明垂直平分，得出，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得出，即可得出，說(shuō)明是等腰三角形；（2），，得出，，根據(jù)，得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出，即可得出，最后根據(jù)等邊對(duì)等角即可求出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴垂直平分，∴，∵點(diǎn)在的垂直平分線上，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）解：∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．1．如圖，在中，平分，，若與互補(bǔ)，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，補(bǔ)角性質(zhì)，等腰三角形的判定，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可證，得到，，由補(bǔ)角性質(zhì)可得，即得，得到，進(jìn)而即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．2．如圖，在中，，，是邊上一點(diǎn)，與關(guān)于直線成軸對(duì)稱，若，則；若，，則的面積為．【答案】/60度/【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理應(yīng)用，等腰三角形的判斷，三角形面積計(jì)算，先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)折疊得出，求出；證明，得出，求出，根據(jù)，求出三角形面積即可．【詳解】解：∵，，∴，根據(jù)折疊可知：，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：；．3．如圖，分別作兩個(gè)內(nèi)角的角平分線，過(guò)點(diǎn)作直線，分別交、于點(diǎn)、．若，，則的周長(zhǎng)為．【答案】21【分析】本題考查了角平分線定義，等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)．先根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)證明，，再根據(jù)的周長(zhǎng)，從而得出答案．【詳解】解：平分，，，，，，同理，的周長(zhǎng)，故答案為：．4．如圖，已知等腰中，．過(guò)點(diǎn)作射線，上取一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)．過(guò)點(diǎn)作平分交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)若，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出的度數(shù)；(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)恰好關(guān)于對(duì)稱，且時(shí)，求證：；(3)在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，與是否存在某一不變的數(shù)量關(guān)系？若存在，試求出它們的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)，見解析【分析】（1）根據(jù)題意，，解答即可；（2）先根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)恰好關(guān)于對(duì)稱，且，計(jì)算，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，確定，根據(jù)平行線的判定即可得證；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，變形證明即可．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，，．（2）解：點(diǎn)與點(diǎn)恰好關(guān)于對(duì)稱，，∵平分，∴，又，，，，等腰中，，又，，．（3）解：，理由如下：，，又，設(shè)，則平分，設(shè)，則在中，由為的外角，得，．1．在四邊形中，．(1)如圖，為的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，射線交于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求證：；(2)如圖，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，，為的中點(diǎn)，，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（）證明即可求證；（）延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，可證，得到，，再證明，得到，進(jìn)而即可求證．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）證明：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，在與中，，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴．2．綜合與實(shí)踐問(wèn)題提出：如圖1，在中，平分，交于點(diǎn)D，且，可以探究，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系．方法運(yùn)用（1）我們可以通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形來(lái)解題．如圖2，在上取一點(diǎn)E，使，連接．請(qǐng)你根據(jù)給出的輔助線判斷，，之間的數(shù)量關(guān)系并寫出解題過(guò)程；（2）以上方法叫做“截長(zhǎng)法”：我們還可以采用“補(bǔ)短法”，即通過(guò)延長(zhǎng)線段構(gòu)造全等三角形來(lái)解題．如圖3，延長(zhǎng)線段到E，使得________，連接________．請(qǐng)補(bǔ)全空