專題05全等三角形章末易錯考點題型目錄 易錯題型一、命題的概念易錯題型二、命題的真假易錯題型三、寫出命題的題設與結論易錯題型四、逆命題易錯題型五、舉反例易錯題型六、邏輯推理與論證易錯題型七、全等圖形易錯題型八、網格中的全等圖形易錯題型九、全等三角形的性質易錯題型十、用SSS證明三角形全等易錯題型十一、用SAS證明三角形全等易錯題型十二、用ASA（AAS）證明三角形全等易錯題型十三、用HL證明三角形全等易錯題型十四、全等的性質與判定綜合易錯題型十五、靈活選用判定方法證明三角形全等易錯題型十六、全等三角形的證明步驟易錯題型十七、尺規(guī)作圖中的全等三角形易錯題型十八、倍長中線模型易錯題型十九、旋轉模型易錯題型二十、垂直模型易錯題型二十一、尺規(guī)作圖—角易錯題型二十二、尺規(guī)作圖—線易錯題型一、命題的概念1．有下列語句：（1）畫線段AB=2cm；（2）兩條直線相交，有幾個交點？（3）內錯角相等；（4）直角都相等；（5）若，則．其中是命題的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】一般的，在數學中我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，所以需要找到可以判斷真假的語句，對各個選項各個分析即可．【詳解】解：根據命題的定義，需要可以判斷真假的語句．（1）畫線段AB=2cm，不是判斷真假的語句，故不是命題；（2）兩條直線相交，有幾個交點？，不是判斷真假的語句，故不是命題；（3）內錯角相等，是判斷真假的語句，是命題；（4）直角都相等，是判斷真假的語句，是命題；（5）若，則，是命題．所以屬于命題的是（3）（4）（5），共3個．故選：B．【點睛】本題考查了命題的定義，要求對命題的定義有很好的掌握，屬于基本的題型，比較簡單．2．下列語句中，是命題的是（）①若∠1＝60°，∠2＝60°，則∠1＝∠2；②同位角相等嗎？③畫線段AB＝CD；④如果a＞b，b＞c，那么a＞c；⑤直角都相等．A．①④⑤ B．①②④ C．①③④ D．②③④⑤【答案】A【分析】根據命題的定義分別進行判斷即可．【詳解】解：①若∠1＝60°，∠2＝60°，則∠1＝∠2，是命題，符合題意；②同位角相等嗎？是疑問句，不是命題，不符合題意；③畫線段AB＝CD，沒有對事情作出判斷，不是命題，不符合題意；④如果a＞b，b＞c，那么a＞c，是命題，符合題意；⑤直角都相等，是命題，符合題意，命題有①④⑤．故選：A．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題，命題有題設與結論兩部分組成；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經過推理論證的真命題稱為定理．3．在討論“對頂角不相等”是不是命題的問題時，甲說：“這不是命題，因為這句話是錯誤的．”乙說：“這是命題，因為它作出了判斷，只不過這一判斷是錯誤的，所以它是假命題．”由此可判斷的說法是正確的．【答案】乙【分析】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式；有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．根據命題的定義對兩種說法進行判斷．【詳解】解：乙的說法正確．因為“對頂角不相等”是一個判斷語句，所以它是命題，根據對頂角的性質可得到它是假命題．故答案為：乙．易錯題型二、命題的真假4．下列命題中，是真命題的有（

）①對頂角相等；②內錯角相等；③如果直線，直線，那么；④同旁內角相等，兩直線平行A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．根據平行線的性質、對頂角、平行線的判定判斷即可．【詳解】解：①對頂角相等，是真命題；②兩直線平行，內錯角相等，原命題是假命題；③如果直線，直線，那么，真命題；④同旁內角互補，兩直線平行，原命題是假命題；故選：B．5．下列命題①同旁內角相等，兩直線平行，②內錯角相等，③對頂角相等，④垂直于同一直線的兩直線平行，是真命題的是．【答案】③【分析】本題考查了真假命題判斷與定理，平行線的性質和判定，對頂角相等，熟練掌握定理，并能準確判斷真假命題是解題的關鍵．對于選項①②④利用平行線的判定和性質進行判斷，對于選項③利用對頂角的概念進行判斷．【詳解】解：①同旁內角互補，兩直線平行，故①是假命題，不符合題意；②兩直線平行，內錯角相等，故②是假命題，不符合題意；③對頂角相等，是真命題，故③符合題意；④垂直于同一直線的兩條直線位置不確定，故④是假命題，不符合題意；故答案為：③．6．判斷下列命題是真命題還是假命題，若是假命題，舉一個反例說明．(1)一個角的補角必是鈍角；(2)過已知直線上一點及該直線外的一點的直線與已知直線必是相交直線．【答案】(1)假命題，反例見解析(2)真命題【分析】本題考查命題，關鍵是掌握補角，鈍角的定義．（1）如果兩個角的和等于（平角），就說這兩個角互為補角．即其中一個角是另一個角的補角，由此即可判斷；（2）由相交線的定義，即可判斷．【詳解】（1）解：假命題，反例：如果一個角是，則它的補角是，而的角不是鈍角．（2）解：過已知直線上一點及該直線外的一點的直線與已知直線必是相交直線是真命題．易錯題型三、寫出命題的題設與結論7．把命題“同角的余角相等”改寫成“如果……，那么……”的形式，下面正確的是（

）A．如果是同角，那么余角相等B．如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的余角C．如果是同角，那么相等D．如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等【答案】D【分析】本題考查了命題，命題是由題設與結論兩部分組成．根據把命題的題設寫在“如果”后面，結論寫在“那么”后面，進而得出結論．【詳解】解：命題“同角的余角相等”改寫成“如果……那么……”的形式為“如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等”．故選：D．8．請將命題“平行于同一直線的兩直線互相平行”改成“如果…，那么…”的形式：【答案】如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線相互平行【分析】本題考查了命題與定理，平行線公理，把命題的題設部分寫在如果的后面，把結論部分寫在那么的后面．【詳解】解：命題“平行于同一直線的兩直線互相平行”寫成“如果…，那么…”的形式為：如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線相互平行，故答案為：如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線相互平行．9．如圖，現有以下三個條件：①，②，③．請你以其中兩個作為題設，另一個作為結論構造命題．

(1)你構造的是哪幾個命題？(2)你構造的命題有真命題嗎？若有真命題，請給予證明．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查的是命題與定理，掌握平行線的判定和性質是解題關鍵．（1）根據題意寫出命題即可；（2）根據平行線的判定和性質證明．【詳解】（1）解：可構造三個命題：命題一：如果，，那么；命題二：如果，，那么；命題三：如果，，那么；（2）解：①選擇“如果，，那么”進行驗證：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴該命題為真命題；②選擇“如果，，那么”進行驗證：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴該命題為真命題；③選擇“如果，，那么”進行驗證：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴該命題為真命題；∴綜上所述，三個命題都是真命題．易錯題型四、逆命題10．下列三個定理中，存在逆定理的有（

）①同角的余角相等；②同位角相等，兩直線平行；③同角的補角相等．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】本題考查的是真假命題的判斷，逆命題，逆定理的含義，先分別寫出命題的逆命題，再判斷逆命題的真假即可得到答案．【詳解】解：同角的余角相等的逆命題是：相等的兩個角是同一個角的余角；該逆命題是假命題，不存在逆定理，故①不符合題意；同位角相等，兩直線平行的逆命題是：兩直線平行，同位角相等；該逆命題是真命題，存在逆定理；故②符合題意；同角的補角相等的逆命題是：相等的兩個角是同一個角的補角；該逆命題是假命題，不存在逆定理，故③不符合題意；故選：B11．命題“如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的對應邊相等”的逆命題是．【答案】如果兩個三角形的對應邊相等，那么這兩個三角形全等【分析】本題考查命題與定理，關鍵掌握三角形全等的判定定理及性質．將原命題的條件與結論互換即可得到其逆命題．【詳解】解：∵原命題的條件是：如果兩個三角形全等，結論是：那么這兩個三角形的對應邊相等，∴其逆命題是：如果兩個三角形的對應邊相等，那么兩個三角形全等．故答案為：如果兩個三角形的對應邊相等，那么這兩個三角形全等．12．寫出下列命題的逆命題，并判斷這些逆命題是否成立．(1)兩直線平行，同位角相等；(2)如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等；(3)全等三角形的對應角相等．【答案】(1)同位角相等，兩直線平行，該真命題(2)如果兩個實數的絕對值相等，那么它們也相等，為假命題(3)如果兩個三角形的對應角相等，那么它們?yōu)槿热切?，為假命題【分析】本題主要考查了逆命題以及判定命題的真假，熟練掌握相關知識是解題關鍵．一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆的命題，我們稱其中的一個命題為原命題，另一個則為逆命題．（1）根據逆命題的定義確定原命題的逆命題，然后根據平行線的判定定理即可確定該逆命題為真命題；（2）根據逆命題的定義確定原命題的逆命題，然后根據絕對值的性質即可確定該逆命題為假命題；（3）根據逆命題的定義確定原命題的逆命題，然后根據全等三角形的判定定理可知該逆命題為假命題．【詳解】（1）解：同位角相等，兩直線平行，該真命題；（2）解：如果兩個實數的絕對值相等，那么這兩個實數相等，為假命題；（3）解：如果兩個三角形的對應角相等，那么它們?yōu)槿热切?，為假命題．易錯題型五、舉反例13．為說明命題“若，則”是假命題，下列反例正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】本題考查了舉反例說明命題為假命題，理解舉反例的方法是解題的關鍵．舉例符合已知條件，但得出的結論與已知的結論矛盾，可說明原命題是假命題，據此逐一判斷，即可求解．【詳解】解：A.當，時，可得出，是反例，符合題意；B.當，時，可得出，不符合題意；C.當，時，可得出，不是反例，不符合題意；D.當，時，可得出，不符合題意；故選：A．14．舉反例說明命題對于“對于任意實數x，代數式的值總是正數”是假命題，你舉的反例是（寫出一個x的值即可）．【答案】0【分析】本題考查的是舉反例及代數式的值問題，掌握代數式的求值方法是解題關鍵．把代入即可得出答案．【詳解】解：當時，，∴“對于任意實數x，代數式的值總是正數”是假命題，故答案為：015．請從下列四個命題中選取兩個命題，并判斷所選命題是真命題還是假命題．如果是真命題，給出證明；如果是假命題，舉出反例．(1)若，則；(2)對于任意實數，一定有；(3)兩個連續(xù)正奇數的平方差一定是8的倍數；(4)一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形一定是平行四邊形．【答案】(1)假命題，見解析；(2)假命題，見解析；(3)真命題，證明見解析；(4)假命題，見解析．【分析】本題考查了真命題與假命題．熟練掌握真命題與假命題的定義是解題的關鍵．題設成立結論也成立的命題叫做真命題，題設成立結論不成立的命題叫做假命題．判斷一個命題是真命題通常由已知條件出發(fā)，經過一步步推理，最后推出結論正確；要說明一個命題是假命題，通常舉出一個反例（具備命題的條件，不具備命題的結論的例子）即可根據真命題和假命題的定義判斷并說明即可．【詳解】（1）解：是假命題，反例：當時，，，∴結論不成立；（2）解：是假命題，反例：當時，，∴結論不成立；（3）解：是真命題，證明：設兩個連續(xù)的正奇數為，（為正整數），則∵為正整數，∴是8的倍數，∴兩個連續(xù)正奇數的平方差一定是8的倍數；（4）解：是假命題，反例：當四邊形為等腰梯形時結論不成立．易錯題型六、邏輯推理與論證16．A、B、C、D、E、F六人賽棋，采用單循環(huán)制，現在知道A、B、C、D、E五人已經分別賽過5、4、3、2、1盤，問這時F已賽過（）盤．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】本題考查代數推理，根據單循環(huán)賽制，每人最多賽5盤．通過逐步分析各選手的對陣情況，確定F的已賽場數．【詳解】1．A賽過5盤，在6人單循環(huán)賽中，說明A與其余所有人（B、C、D、E、F）都賽了一盤．2．E賽過1盤，由第1點可知，E的這一盤對手必然是A．因此，E沒有與B、C、D、F比賽．3．B賽過4盤，已知B與A賽過一盤，且B沒有與E比賽，所以B的另外三盤是與C、D、F賽的．4．D賽過2盤，已知D與A賽過一盤，且D沒有與E比賽．由第3點可知，B與D賽過一盤，因此D的2盤對手分別是A和B．5．C賽過3盤，已知C與A賽過（由第1點），與B賽過（由第3點），且C沒有與E、D比賽（由第2、4點），因此C的第三盤對手是F．綜上，F的對手有：A（來自第1點）、B（來自第3點）、C（來自第5點）．所以F一共賽了3盤．故選：C．17．數獨是一款風靡全球的邏輯推理填數游戲，起源于18世紀瑞士數學家萊昂哈德?歐拉研究的“拉丁方塊”．其玩法規(guī)則是在一個的方格網格中，用數字1到9填滿整個網格，這個網格又被劃分為9個的小宮格，要求每一行、每一列、每一個的小宮格都必須包含數字1到9，且不能重復．如圖，在下面的數獨游戲中，◆的位置應該填的數字是（

）A．3 B．6 C．4 D．7【答案】B【分析】本題考查了“拉丁方塊”，邏輯推理與論證，觀察規(guī)律，理解其玩法規(guī)則是解題的關鍵．觀察發(fā)現第一列的6出現在第一個小宮格，第二列的6出現在第二個小宮格，第三列的6可以出現在第三個小宮格的◆的位置和的位置，通過觀察可以發(fā)現，所在的行已有6出現，那么6只能在◆的位置．【詳解】解：根據題意，要求每一行、每一列、每一個的小宮格都必須包含數字1到9，且不重復，那么每一列都要出現一個6，第一列的6出現在第一個小宮格，第二列的6出現在第二個小宮格，第三列的6可以出現在第三個小宮格的◆的位置和的位置，通過觀察可以發(fā)現，所在的行已有6出現，那么6只能在◆的位置．故選：B．18．劉老師的手機密碼是四位數字，請你根據下面四個條件，推斷正確的密碼是．①6、5、3、8只有兩個數字正確且位置正確；②6、0、5、7只有兩個數字正確但位置都不正確；③3、4、2、9四個數字都不正確；④1、8、0、9只有三個數字正確但位置都不正確．【答案】0518【分析】本題考查了邏輯推理，根據已知推斷求解即可．【詳解】解：由③可知，3、4、2、9四個數字都不正確，即密碼中沒有3、4、2、9四個數字；由④可知，1、8、0、9只有三個數字正確但位置都不正確，即密碼中一定有1、8、0三個數字，且位置都不正確；由①可知，6、5、3、8只有兩個數字正確且位置正確；即密碼中數字8在第四位，另一個正確的數字為6在第一位或5在第二位；若6在第一位為正確密碼，則與②推斷矛盾，即正確的密碼中的數字為5在第二位；由②④可知，密碼數字0不在第二位和第三位，即在第一位。則數字1在第三位，即正確的密碼是，故答案為：．易錯題型七、全等圖形19．下列各組圖形中，屬于全等形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了全等圖形的概念，正確理解全等圖形的概念是解題的關鍵．根據全等圖形的概念判斷即可．【詳解】解：根據全等圖形的概念可得：選項C的圖形是全等形．故選：C．20．下列5個說法：①兩個形狀相同的圖形稱為全等圖形；②兩個圓是全等圖形；③兩個正方形是全等圖形；④全等圖形的形狀和大小都相同；④面積相等的兩個三角形是全等圖形．其中，說法正確的是．【答案】④【分析】此題主要考查了全等形．根據全等形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形進行分析即可．【詳解】解：①兩個形狀相同的圖形大小不一定相等，不一定是全等圖形，原說法錯誤；②兩個圓形狀相同，大小不一定相等，不一定是全等圖形，原說法錯誤；③兩個正方形形狀相同，大小不一定相等，不一定是全等圖形，原說法錯誤；④全等圖形的形狀和大小都相同，說法正確；⑤面積相等的兩個三角形形狀不一定相同，不一定是全等圖形，原說法錯誤；正確的說法只有④，故答案為：④．21．如圖所示的是兩個全等的五邊形，，，，，，，，點B與點H、點D與點J分別是對應頂點，則圖中標的，°．【答案】11115【分析】此題考查了全等多邊形的性質，根據全等多邊形對應邊相等，對應角相等求解即可．【詳解】∵五邊形和五邊形全等∴，故答案為：11，115．易錯題型八、網格中的全等圖形22．如圖，是由4個相同的小正方形組成的網格，其中與的關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的兩個銳角互余，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．根據題意證明，得到，由得到．【詳解】解：如圖，，，，，，，∴，故選：B．23．如圖是一個的正方形網格，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質．如圖，先根據判定，可得，然后可得，同理，，，，進一步即可求出答案．【詳解】解：如圖，在和中，∵，，，∴，∴，∴，同理，，，，∴，故選：A．24．如圖，已知方格紙中是9個相同的小正方形，則的度數為．【答案】【分析】本題考查了利用全等的性質求網格中的角度，三角形外角的性質，等腰直角三角形的性質，得出是解題的關鍵．觀察圖形可知與所在的直角三角形全等，則，根據外角的性質卡得，即可求解．【詳解】解：觀察圖形可知與所在的直角三角形全等（兩直角邊分別為1和2），∴，∵，∴，故答案為：．易錯題型九、全等三角形的性質25．如圖，，，，，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的性質和三角形內角和定理．根據全等三角形的性質得出對應角相等，，在中，根據三角形內角和為，可得，通過角的和差關系求的度數．【詳解】解：由題可知，，，，，，，，．故選：B．26．如圖，，，，如果點P在線段上以秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q從C點出發(fā)沿射線運動，若經過t秒后，與全等，則t的值是．【答案】1或2/2或1【分析】本題主要考查了全等三角形的性質，利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：①當和②當時，利用全等三角形對應邊相等，列出方程即可求解，利用全等三角形對應邊相等，列出方程是解題的關鍵．【詳解】解：由題意知，，，，①當時，∴，，；②當時，∴，，，綜上，當的值是1或2時，能夠使與全等，故答案為：1或2．27．【數材呈現】活動2用全等三角形研究：“箏形”如圖，四邊形中，，．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，請你自己畫一個箏形，用測量、折紙等方法猜想箏形的角、對角線有什么性質、然后用全等三角形的知識證明你的猜想．請結合教材內容，解決下面問題：【概念理解】（1）如圖1，在正方形網格中，點、、是網格線交點，請在網格中畫出箏形．【性質探究】（2）嘉嘉得到箏形角的性質是“箏形有一組對角相等”，請你幫他將證明過程補充完整．已知：如圖2，在箏形中，，．求證：．證明：（3）淇淇連接箏形ABCD的對角線，交于點，發(fā)現“箏形的一條對角線垂直平分另一條對角線”請你幫他補全證明過程．已知：如圖3，在箏形中，，，分別連接箏形的對角線，交于點．求證：垂直平分．證明：【拓展應用】（4）如圖4，在中，，，點、分別是邊，上的動點，當四邊形為箏形時，請直接寫出的度數．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；（4）或【分析】（1）取格點的關于的對稱點，連接、即可求解；（2）連接，利用證得即可求解；（3）利用（2）的證得，得、，再利用即可求解；（4）根據題意，分兩種情況：①當箏形中，，時；②當箏形中，，時，分別求解即可．【詳解】解：（1）如圖，四邊形為所求．（2）如圖，連接，在和中，，，．（3）由（2）得，，在和中，，，，，，，垂直平分．（4）根據題意，可分兩種情況：①如圖，當箏形中，，，由（2）得：，；②當箏形中，，，，在中，，，是的一個外角，，．綜上所述，當四邊形為箏形時，的度數為或．【點睛】本題主要考查了網格作圖，全等三角形的判定與性質，三角形的內角和，外角的性質，熟練掌握全等三角形的各種判定方法是解題關鍵．易錯題型十、用SSS證明三角形全等28．如圖，①以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點C，D；②畫一條射線，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點；③以點為圓心，長為半徑畫弧，與第②步所畫的弧交于點；④過點畫射線，則有．其依據是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了作圖-基本作圖和全等三角形的判定．利用基本作圖得到，然后根據全等三角形的判定方法對各選項進行判斷．【詳解】解：由作法得，所以，所以，即．故選：A．29．如圖，已知點A，D，C，F在同一條直線上，，，要使，根據還需要添加一個條件是．【答案】（或）【分析】本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關鍵．根據定理即可得．【詳解】解：①根據還需要添加一個條件是，∴，即，在和中，，∴．②根據還需要添加一個條件是，在和中，，∴，故答案為：（或）．30．這是小明同學作一個三角形與已知三角形全等的方法：已知：．求作：，使得．作法：如圖．①分別以點A，B為圓心，線段長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；②連接線段，則即為所求作的三角形．請你根據以上材料完成下列問題：(1)完成下面證明過程（將正確答案填在相應的橫線上）：證明：由作圖可知，在和中，∴()．(2)小甜看到小明的作圖有一個特別的想法，若連接，交于點E，已知與的線段長能否求出的面積呢？假設，請你嘗試求出.【答案】(1)，，(2)6【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．（1）由作圖可得，即可由求證；（2）先證明，則，再由三角形面積公式求解．【詳解】（1）證明：由作圖可知，在和中，∴；（2）解：∵∴，∴在和中∴，∴∵∴易錯題型十一、用SAS證明三角形全等31．如圖，和相交于點O，，若用“”證明，則還需添加（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定方法：．根據兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等，由此即可得到答案．【詳解】證明：在和中，，，用“”證明，則還需添加故選：32．如圖，在中，，．將從點處沿虛線剪開，當線段的長度為時，剪下的兩個三角形全等．【答案】2【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，當時，利用即可證明兩個三角形全等．【詳解】解：如圖所示，當時，則，∴，故答案為：2．33．如圖，已知，．點B、E、C、F在同一條直線上并且．(1)試說明：；(2)判斷線段與線段的數量關系和位置關系，說明理由．【答案】(1)見解析(2)．理由見解析【分析】本題考查平行線的性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形的全等條件．（1）直接利用全等三角形的判定方法可得出答案；（2）由全等三角形的性質可得出結論．【詳解】（1）證明：∵，∴∵，∴，在和中，，∴．（2）解：．理由如下：∵，∴，∴．易錯題型十二、用ASA（AAS）證明三角形全等34．已知，如圖，點A、D、B、E在同一直線上，，，．(1)求證：；(2)當，時，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定、線段的和差．（1）由線段的和差得，由即可得證；（2）由線段的和差得，即可求解．【詳解】（1）證明：，，即：，在和中，（）；（2）解：，，，．35．如圖，四邊形的對角線交于點，．若_________，則．從①，②，③這三個選項中選擇一個作為條件，使結論成立，并說明理由．【答案】①（答案不唯一）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，由邊的關系與角的關系得到三角形全等是解決本題的關鍵．選擇①：根據平行線的性質，即“兩直線平行，內錯角相等”可得，再由角邊角的證明方法即可證明與全等，由此可得結論；選擇②：根據平行線的性質，即“兩直線平行，內錯角相等”可得，再由角角邊的證明方法即可證明與全等，由此可得結論．【詳解】解：選擇①，∵，∴，∵，且，在與中，由，∴≌，∴；故答案為：①．選擇②，∵，∴，∵，在與中，由，∴≌，∴．故答案為：②．36．已知中，，，一直線過頂點C，過A，B分別作其垂線，垂足分別為E，F，求證：．

【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據垂直的定義和余角的性質得到，再根據證明．【詳解】證明：∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴．易錯題型十三、用HL證明三角形全等37．如圖，在和中，，要使≌，則需再添加一個條件為．（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．根據推出，再考慮添加的條件即可．【詳解】解：條件可以是：；證明：∵，∴，即，∵，∴，在和中，，∴≌．故答案為：（答案不唯一）．38．如圖，在和中，，，若要用“斜邊、直角邊（）”直接證明，則還需補充哪一對邊相等：．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，題目比較典型，難度適中．根據直角三角形的全等判定解答即可．【詳解】解：補充，在和中，，∴，故答案為：．39．如圖，小明和小芳以相同的速度分別同時從點A，B出發(fā)，小明沿行走，小芳沿行走，兩人分別同時到達，點C，D，若．(1)與相等嗎？為什么？(2)若，求的度數．【答案】(1)，見解析(2)【分析】本題主要考查直角三角形全等的判定和性質，熟練掌握直角三角形全等判定的特殊方法是解題的關鍵．（1）根據題意，得到，又，利用直角三角形全等的判定方法證明；從而得證；（2）由（1）得，得到，結合，即可得解．【詳解】（1），理由如下：∵小明和小芳以相同的速度分別同時從點A，B出發(fā)，兩人分別同時到達，，，在和中，，，；（2），，又，．易錯題型十四、全等的性質與判定綜合40．如圖，中，分別是邊上的點，．(1)若，求證：；(2)把（1）中的條件和結論反過來，即若，則，這個命題是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)成立，見解析【分析】本題是三角形綜合題，考查了角的和差，全等三角形的判定與性質，三角形的外角與不相鄰兩個內角的關系，重點掌握全等三角形的判定與性質，難點作輔助線構建全等三角形．（1）證明即可；（2）過點、分別作于點M，于點N，證明，得到，再結合條件可以證明，進而得到即可求解．【詳解】（1）解：如圖1所示：由三角形的外角定理可知：，且，，，在和中，，；（2）解：成立，理由如下：過點、分別作于點M，于點N，如圖2所示：，，，又，在和中，．，又，，，又，．．即若，則此命題成立．41．如圖，在中，為高，，點E為上的一點，，連接，交于O，若．(1)求的度數；(2)動點從點出發(fā)，沿線段以每秒個單位長度的速度向終點運動，動點從點出發(fā)沿射線以每秒個單位長度的速度運動，、兩點同時出發(fā)，當點到達點時，、兩點同時停止運動，設點的運動時間為秒，①設的面積為．請用含的式子表示，并直接寫出相應的的取值范圍；②點是直線上一點，且．當與全等時，求的值．【答案】(1)(2)①；②或【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形面積以及分類討論等知識，本題綜合性強，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵．（1）根據全等三角形的性質可得，進而根據直角三角形的兩個銳角互余，得出，進而等量代換，即可得證；（2）①分兩種情況，當時，當時，分別利用三角形面積公式即可求解；②兩種情況，點在線段延長線上，當時，，得，解得；點在線段上，當時，，得，解得即可．【詳解】（1）解：∵在中，為高，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：①∵，∴，∵，，∴，當點Q運動到點E時，，當點運動到點時，，當時，如圖，；當時，如圖，．綜上所述，；②∵，∴，當點F在線段延長線上時，如圖，∵，∴，∵，∴當時，，∴，解得：；當點在線段上時，如圖，∵，∴，∴當時，，∴，解得：．綜上所述，當與全等時，t的值為或．42．（1）如圖1，在四邊形中，，分別是邊上的點，且，則與的數量關系為_______________．（2）如圖2，在四邊形中，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且，請直接寫出三條線段間的數量關系_________________．（3）如圖3，在四邊形中，，分別是直線上的點，且，請直接寫出三條線段間的數量關系，并證明．【答案】（1）．（2）．（3），理由見解析【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會正確添加輔助線，構造全等三角形解決問題，解題時注意一些題目雖然圖形發(fā)生變化，但是證明思路和方法是類似的．（1）設，則，延長到點，使，連接，證明，即可解答；（2）延長到點，使，連接，證明，，即可解答；（3）在上截取，連接，同理得，，即可解答．【詳解】解：（1），理由如下：設，則，如圖1，延長到點，使，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：；（2）三條線段間的數量關系為：，理由如下：如圖2，延長到點，使，連接，∵，∴，∵，∴，由（1）同理得：，∴，∵，∴，∴；故答案為：；（3），理由如下：如圖3，在上截取，連接，同理得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．易錯題型十五、靈活選用判定方法證明三角形全等43．如圖，已知E，F是線段AB上的兩點，，從①，②，③中選擇兩個作為補充條件，余下的一個作為結論，請寫出結論成立的證明過程．你選的補充條件是______，結論是______．（填序號）證明：【答案】①③、②；見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法（SAS，ASA，AAS，SSS，還有直角三角形的HL）是解題的關鍵．本題主要考查了全等三角形的判定與性質．選的補充條件是①③，結論是②，證明即可.【詳解】證明：，，即在與中.44．如圖，點四點在一條直線上，，老師說：再添加一個條件就可以使．下面是課堂上三個同學的發(fā)言，甲說：添加，乙說：添加；丙說：添加．(1)甲、乙、丙三個同學說法錯誤的是______；(2)請你從正確的說法中選擇一種，給出你的證明．【答案】(1)甲、丙(2)答案不唯一，見解析【分析】本題考查三角形全等的判定以及平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．（1）根據平行線的性質，由可得，再加上條件，只需要添加一個能得出邊相等的條件即可證明兩個三角形全等，添加不能證明；（2）添加，然后再利用判定即可．【詳解】（1）解：，，，甲說：添加，由兩個三角形全等的判定定理即可判定全等；乙說：添加，只能得到角度相等，無法確定邊的相等關系，無法確定全等；丙說：添加，則，由兩個三角形全等的判定定理即可判定全等；綜上所述，說法正確的是：甲、丙，故答案為：甲、丙：（2）解：選擇甲，證明如下：，，在和中，，．45．【問題呈現】我們學習了三角形全等的判定方法（即“”、“”、“”、“”）和直角三角形全等的判定方法（即“”），事實上，在一定條件下，“”定理是能夠用來論證三角形全等的．下面我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應相等”的情形進行研究．〔初步探究〕如圖，不妨設：在和中，，，，然后對且進行分類，可分為“是直角、鈍角、銳角”三種情況進行探究．〔深入探究〕第一種情況：當是直角時，．（1）如圖①，在和中，，，，根據___________，可以得到．第二種情況：當是鈍角時，．（2）如圖②，在和中，，，，且、都是鈍角，求證：．（請寫出證明過程）第三種情況：當是銳角時，和不一定全等．（3）如圖③，在和中，，，，且、都是銳角，請你根據圖③作出，使得和不全等．（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（4）當和滿足什么條件時，則．請直接寫出結論：在和中，，，，且、都是銳角，當__________，則．【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析；（4）或．【分析】本題屬于三角形的綜合應用，主要考查了全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．（1）直接利用定理得出即可解答；（2）首先得出則，進而得出，再求出；（3）利用已知圖形再做一個鈍角三角形即可解答；（4）利用（3）中方法可得出當時，則；另外當也可得到．【詳解】（1）解：如圖①，∵，在和中，∴．故答案為：．（2）證明：如圖②，過點C作交的延長線于G，過點F作交的延長線于H，∵，且都是鈍角，∴，即，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴．（3）解：如圖③中，在和，，和不全等；（4）解：由圖③可知，，∴，∴當時，就唯一確定了，則．當時，即，在和中，，∴．故答案為：或．易錯題型十六、全等三角形的證明步驟46．如圖，點B，F，C，E在一條直線上，，．(1)在下列條件①；②；③中，只添加一個條件就可以證得，則所有可以添加的條件的序號是________．(2)根據已知及(1)中添加的一個條件，證明．【答案】(1)②③(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，（1）根據全等三角形的判定定理逐一判斷即可；（2）證明即可得出結論．【詳解】（1）解：，，又，添加①無法證得；添加②根據可證得；添加③根據可證得；所有可以添加的條件的序號是②③，故答案為：②③；（2）添加②，在與中，)，；添加③，在與中，)，．47．如圖，點A，D，C，F在同一條直線上，．有下列三個條件：①，②，③．(1)請在上述三個條件中選取一個條件，使得．你選取的條件為（填寫序號）（只需選一個條件，多選不得分），你判定的依據是（填“”或“”或“”或“”）；(2)利用（1）中選取的方法說明與的位置關系．【答案】(1)選擇①結合，可利用證明；選擇②結合，可利用證明；（任選一個即可）(2)，證明見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，平行線的判定：（1）根據全等三角形的判定定理求解即可；（2）選擇①或②都可通過證明，得到，進而證明．【詳解】（1）解：選擇①結合，可利用證明；選擇②結合，可利用證明；（2）解：選擇①，在和中，，∴，∴，∴；選擇②：在和中，，∴，∴，∴．48．如圖，在與中，已知．(1)在不添加任何輔助線的前提下，以下條件中，能使的條件有_____（填序號），①；②；③；④；(2)分別對（1）中添加條件的情況證明，并指出兩個三角形全等的判定方法．【答案】(1)①③(2)見解析【分析】此題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關鍵．（1）利用，，，的判定定理進行判斷；（2）利用，進行證明即可．【詳解】（1）解：由題意知：，可利用，證明兩三角形全等，故選：①③，故答案為：①③．（2）解：選①時，在和中，，；選③時，在和中，，．易錯題型十七、尺規(guī)作圖中的全等三角形49．根據下列條件，畫出的不唯一的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據全等三角形的判定方法逐項判斷即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．【詳解】解：、，，，符合全等三角形判定方法，畫出的唯一，該選項不合題意；、，，，符合全等三角形判定方法，畫出的唯一，該選項不合題意；、，，，符合全等三角形判定方法，畫出的唯一，該選項不合題意；、，，，兩邊及一邊的對角相等，不能判定三角形全等，畫出的不唯一，該選項符合題意；故選：．50．如圖，在中，延長，在射線的延長線上截取．任務1：實踐與操作：①如圖1，請用無刻度直尺與圓規(guī)作與全等（不寫作法，保留作圖痕跡）．②你作的與全等的依據是、、、．任務2：猜想與證明：如圖2，，平分，平分．①試猜想．②請你求出的度數．【答案】任務1：①見解析；②；任務2：①90；②．【分析】本題考查應用與設計作圖，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握相關知識解決問題．任務一：根據作出三角形即可；任務二：①猜想：；②利用平行線的性質以及角平分線的定義證明即可．【詳解】解：任務一：①如圖1中，即為所求；②依據是：，故答案為：；任務2：①猜想：．故答案為：90；②，，，，平分，平分，，，，．51．作一個角等于已知角的方法：已知：求作：，使，

作法：（1）如圖，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點C、D；（2）畫一條射線，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點；（3）以點為圓心，長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧相交于點；（4）過點畫射線，則．請你根據提供的材料完成下列問題．(1)請你證明．(2)這種作一個角等于已知角的方法的依據是________________________．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由作圖過程得到相應條件，再根據證明即可；（2）根據作圖過程可得這種作一個角等于已知角的方法的依據是．【詳解】（1）解：證明：在和中，，，．（2）這種作一個角等于已知角的方法的依據是．故答案為：【點睛】本題考查了作圖應用與設計作圖，全等三角形的判定，解決本題的關鍵是掌握作一個角等于已知角的方法．易錯題型十八、倍長中線模型52．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小麗在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到點M，使，連接，可證，從而把，，集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線的取值范圍．【方法總結】解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，有時需要考慮倍長中線（或與中點有關的線段）構造全等三角形，把分散的已知條件和所求集中到同一個三角形中．我們把這種添加輔助線解題的方法稱為“倍長中線法”．【問題解決】(1)直接寫出圖1中的取值范圍：______；(2)猜想圖2中與的數量關系和位置關系，并加以證明；(3)如圖3，是的中線，，，，判斷線段和線段的數量關系和位置關系，并加以證明．【答案】(1)(2)，．理由見解析(3)，．證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，三角形的三邊關系定理．通過“倍長中線法”構造全等三角形，將分散的邊、角條件集中到同一三角形中，結合三角形三邊關系、全等三角形性質及角度推導解決問題．靈活運用全等判定（）和性質，以及角度之間的轉化（如補角、內錯角等）是解題的關鍵．（1）利用倍長中線構造全等，將轉化為，再用三邊關系確定范圍；（2）由全等三角形對應邊、角相等，推導與的數量和位置關系；（3）再次倍長中線構造全等，結合角度關系證明三角形全等，進而確定與的數量和位置關系．【詳解】（1）解：延長到點M，使，連接，D是中點，，在和中，，，，在中，，，即，又，，即．故答案為：．（2），．理由如下：，，，．（3），．證明如下：如圖，延長到點Q，使得，連接．同理可證，，．，．在中，，，．，，．在和中，，．如圖，延長交于點P．，，，，．，．，．綜上所述，，．53．如圖，在中，，(1)求邊的長的取值范圍？(2)若是的中線，求取值范圍？【答案】(1)(2)【分析】（1）根據三角形三邊的關系求解即可；（2）延長至E，使，連接，證明，得到，由三角形三邊關系得到，則．【詳解】（1）解：由三角形的三邊關系可知：，∵，∴；（2）解：延長至E，使，連接，在中，∵，∴，∴，由三角形的三邊關系：，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形三邊的關系，全等三角形的性質與判定，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．54．佳佳同學遇到這樣一個問題：如圖，中，，，是中線，求的取值范圍．她的做法是：延長到，使，連接，證明，經過推理和計算使問題得到解決．請回答：(1)為什么？寫出推理過程；(2)求出的取值范圍；(3)如圖，是的中線，在上取一點，連結并延長交于點，若，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）由“”可證；（2）由全等三角形的性質可得，由三角形的三邊關系可求解；（3）延長至，使，連接，由“”可證，可得，，由等腰三角形的性質可得，可得．【詳解】（1）解：∵是中線，∴，延長到，使，且，∴．（2）解：由（1）可知，，，在中，，，∴，即，∴．（3）證明：如圖，延長至，使，連接，∵是的中線，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，中線的性質，等腰三角形的判定和性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．易錯題型十九、旋轉模型55．如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22【答案】B【分析】將關于對稱得到，從而可得的面積為15，再根據對稱的性質可得，然后根據三角形全等的判定定理證出，從而可得，最后根據與的面積之和等于與的面積之和即可得．【詳解】解：如圖，將關于AE對稱得到，則，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即與的面積之和為21，故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱的性質、三角形全等的判定定理與性質等知識點，通過作輔助線，構造全等三角形和直角三角形是解題關鍵．56．如圖，將繞點順時針旋轉得到，點、、在同一條直線上．若，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據全等三角形的性質和三角形內角和定理解答即可；【詳解】∵將繞點順時針旋轉得到，∴，∴，，，∴，∵點、、在同一條直線上，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴；故選：B．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，三角形的外角性質，準確計算是解題的關鍵．57．在中，，，是過A的一條直線，于點D，于E，（1）如圖（1）所示，若B，C在的異側，易得與，的關系是____________；（2）若直線繞點A旋轉到圖（2）位置時，（），其余條件不變，問與，的關系如何？請予以證明；（3）若直繞點A旋轉到圖（3）的位置，（），問與，的關系如何？請直接寫出結果，不需證明．【答案】（1）；（2），證明過程見解析；（3）【分析】（1）根據已知條件證明即可得解；（2）根據已知條件證明即可得解；（3）根據已知條件證明即可得解；【詳解】（1）在和中，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，又，∴，即；故答案是：；（2）答：；證明：∵于D，于E，∴．∴，∵，∴．在和中，，∴（），∴，，∴；（3）∵于D，于E，∴．∴，∵，∴．在和中，，∴（），∴，，∴；【點睛】本題主要考查了全等三角形的綜合應用，準確分析證明是解題的關鍵．易錯題型二十、垂直模型58．如圖，三點在同一條直線上，，，．(1)求證：；(2)當滿足__________時，？【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明．（1）根據證明，得出，即可證明；（2）根據，得出，根據三角形全等的性質即可得出，得出，根據平行線的判定得出．【詳解】（1）證明：在和中，∴；∴，∵，∴．（2）解：當時，．理由如下：∵，∴，∵，∴．∴．∴．59．已知，中，，，直線m過點A，且于D，于E，當直線m繞點A旋轉至圖1位置時，我們可以發(fā)現．(1)當直線m繞點A旋轉至圖2位置時，問：與、的關系如何？請予證明；(2)直線m在繞點A旋轉一周的過程中，、、存在哪幾種不同的數量關系？（直接寫出，不必證明）【答案】(1)，證明見解析；(2)，，．【分析】（1）利用條件證明，再結合線段的和差可得出結論；（2）根據圖，可得、、存在3種不同的數量關系；【詳解】（1）證明：如圖2，∵，，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，，∴（AAS），∴，∵，∴．（2）直線m在繞點A旋轉一周的過程中，、、存在3種不同的數量關系：，，．如圖1時，，如圖2時，，如圖3時，，（證明同理）【點睛】本題主要考查三角形全等，注意證三角形全等的方法及三角形全等后的性質．60．如圖，已知：在中，，，直線經過點，，．（1）當直線繞點旋轉到圖（1）的位置時，求證：；（2）當直線繞點旋轉到圖（2）的位置時，求證：；（3）當直線繞點旋轉到圖（3）的位置時，試問、、具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系：____________．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據AAS即可得到答案；（2）結論：DE=AD-BE．與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．（3）結論：DE=BE-AD．證明方法類似．【詳解】解：（1）證明：如圖1，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；（2）如圖2，∵BE⊥EC