分式章末易錯(cuò)壓軸題型（19易錯(cuò)+6壓軸）目錄易錯(cuò)題型一、分式的相關(guān)概念易錯(cuò)題型二、分式有無意義的條件易錯(cuò)題型三、分式的求值易錯(cuò)題型四、分式的基本性質(zhì)易錯(cuò)題型五、分式變形易錯(cuò)題型六、最簡(jiǎn)分式與最簡(jiǎn)公分母易錯(cuò)題型七、通分與約分易錯(cuò)題型八、分式的乘除法易錯(cuò)題型九、分式的乘方運(yùn)算易錯(cuò)題型十、零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪易錯(cuò)題型十一、分式的加減法易錯(cuò)題型十二、分式的四則混合運(yùn)算易錯(cuò)題型十三、分式的應(yīng)用易錯(cuò)題型十四、分式的化簡(jiǎn)求值易錯(cuò)題型十五、分式方程易錯(cuò)題型十六、根據(jù)分式方程解的情況求值易錯(cuò)題型十七、分式方程的增根問題易錯(cuò)題型十八、分式方程的無解問題易錯(cuò)題型十九、分式方程的應(yīng)用壓軸題型一、分式的規(guī)律性問題壓軸題型二、分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍壓軸題型三、分式的化簡(jiǎn)求值綜合壓軸題型四、分式最值問題壓軸題型五、分式方程的含參問題壓軸題型六、分式方程的綜合應(yīng)用易錯(cuò)題型一、分式的相關(guān)概念1．下列式子是分式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了分式的定義．根據(jù)分式的定義，分母中含有字母的代數(shù)式稱為分式．需逐一判斷各選項(xiàng)分母是否含有字母，即可．【詳解】解：選項(xiàng)A：，分母為常數(shù)3，不含字母，屬于整式，故本選項(xiàng)不符合題意．選項(xiàng)B：，分母為，含字母和，符合分式定義，故本選項(xiàng)符合題意．選項(xiàng)C：，分母為常數(shù)13，不含字母，屬于整式，故本選項(xiàng)不符合題意．選項(xiàng)D：，分母為圓周率（常數(shù)），不含字母，屬于整式，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．2．在代數(shù)式，，，中，分式有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了分式的定義，理解分式的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的定義，逐項(xiàng)分析即可，一般地，如果、（不等于零）表示兩個(gè)整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中稱為分子，稱為分母．【詳解】在代數(shù)式，，，中，分式有，，2個(gè)，是整式．故選B．3．請(qǐng)你寫出一個(gè)滿足下述兩個(gè)特點(diǎn)的分式：．①這個(gè)分式中只含有字母；②當(dāng)時(shí)，分式的值是0．【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查分式值為零的條件，分式的定義；根據(jù)分式值為零的條件，分子為0，分母不為0，進(jìn)行解答即可．【詳解】解：分式中只含有字母且當(dāng)時(shí)，分式的值是0的分式為：；故答案為：．易錯(cuò)題型二、分式有無意義的條件4．請(qǐng)寫出一個(gè)使分式值為0的值：．【答案】2（答案不唯一）【分析】本題考查了分式的值為零，分式有意義，根據(jù)分式值為0得出分子為0，分母不為0進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵分式值為0∴解得故答案為：2（答案不唯一）5．若分式的值等于，則．【答案】【分析】本題考查分式值為零的條件，涉及絕對(duì)值方程、分式有意義的條件等知識(shí)，根據(jù)題意得到，且，求解即可得到答案．熟記分式值為零的條件是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：分式的值等于，，且，解得，故答案為：．6．已知分式．(1)當(dāng)時(shí)，求分式的值；(2)當(dāng)為何值時(shí)，分式有意義？(3)當(dāng)為何值時(shí)，分式的值為0？【答案】(1)(2)且(3)【分析】本題考查的是分式的求值，分式有意義的條件，分式的值為0的條件，掌握分式的基礎(chǔ)概念是解本題的關(guān)鍵；（1）直接把代入計(jì)算即可；（2）由分母不為0建立不等式求解即可；（3）由分子為0，分母不為0，再求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，；（2）∵有意義，∴且，解得：且；（3）∵的值為0，∴，解得：，∵且，∴且；∴；易錯(cuò)題型三、分式的求值7．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了求分式的值．將分式變形為，然后整體代入求值即可．【詳解】解：∵，∴，故選：C．8．若，則．【答案】【分析】本題考查了分式求值，先把整理得，再把通分整理得，然后把代入進(jìn)行計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故答案為：9．已知．(1)求的值．(2)求的值．【答案】(1)7(2)【分析】本題主要考查了分式的求值，完全平方公式，熟知完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式可得，據(jù)此可得答案；（2）根據(jù)完全平方公式可得，據(jù)此可得答案．【詳解】（1）解；∵，即，∴，即，∴，即；（2）解：∵，∴．易錯(cuò)題型四、分式的基本性質(zhì)10．把分式中的x和y都擴(kuò)大為原來的5倍，那么分式的值（

）A．?dāng)U大為原來的5倍 B．?dāng)U大為原來的10倍C．不變 D．縮小為原來的倍【答案】A【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，將原分式中的x和y均擴(kuò)大為原來的5倍，代入化簡(jiǎn)后與原式比較，判斷分式值的變化．【詳解】原分式為，當(dāng)x和y均擴(kuò)大為原來的5倍時(shí)，代入得：，∴式中的x和y都擴(kuò)大為原來的5倍后的值為原來的5倍．故選A．11．若分式的值為6，當(dāng)、都變?yōu)樵瓉淼?倍，所得分式的值是．【答案】3【分析】本題考查了分式基本性質(zhì)．將原分式中的x和y分別用和代替計(jì)算，即可得出答案．【詳解】解：由題意，，當(dāng)、都變?yōu)樵瓉淼?倍時(shí)，，故答案為：3．12．若，的值擴(kuò)大為原來的倍，下列分式的值如何變化？(1)(2)(3)【答案】(1)不變(2)不變(3)不變【分析】（1）用替換原來的x、y，然后化簡(jiǎn)并與原式比較即可解答；（2）用替換原來的x、y，然后化簡(jiǎn)并與原式比較即可解答；（3）用替換原來的x、y，然后化簡(jiǎn)并與原式比較即可解答．【詳解】（1）解：的，的值擴(kuò)大為原來的倍可得：，即分式的大小不變；（2）解：的，的值擴(kuò)大為原來的倍可得：，即分式的大小不變；（3）解：的，的值擴(kuò)大為原來的倍可得：，即分式的大小不變．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用分式的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．易錯(cuò)題型五、分式變形13．若，則下列分式化簡(jiǎn)正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查分式的基本性質(zhì)，靈活運(yùn)用分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求解；分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．【詳解】選項(xiàng)A：分子分母同時(shí)加2，除非，否則不成立．但．例如，取，，左邊為，右邊為，不等。故A錯(cuò)誤．選項(xiàng)B：分子分母同時(shí)減2，除非，否則不成立．但．例如，取，，左邊為，右邊為，不等．故B錯(cuò)誤．選項(xiàng)C：左邊為，右邊為，僅當(dāng)或時(shí)成立．但，且時(shí)雖成立，但非普遍情況．例如，取，，左邊為，右邊為，不等．故C錯(cuò)誤．選項(xiàng)D：計(jì)算左邊：，右邊為，顯然左邊=右邊．故D正確．故選：D．14．不改變分式的值，使分式的分子、分母中的首項(xiàng)的系數(shù)都不含“－”號(hào)．①；②；③；④．【答案】【分析】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，根據(jù)分式的三個(gè)符號(hào)（分子，分母，分式本身）任意改變其中兩個(gè)不改變分式的值進(jìn)行變形即可.【詳解】解：①；②；③；④．故答案為：，，，15．下列分式的變形：①；②；③；④，其中不正確的是（填序號(hào)）．【答案】①③/③①【分析】此題考查分式的性質(zhì)：分式的分子和分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為零的整式，分式的值不變，據(jù)此依次判斷即可，正確理解分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，成立，故不正確，符合題意；②，故正確，不符合題意；③，故不正確，符合題意；④，故正確，不符合題意；故答案為：①③．易錯(cuò)題型六、最簡(jiǎn)分式與最簡(jiǎn)公分母16．下列各分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查最簡(jiǎn)分式的判斷，即分子和分母沒有公因式的分式．需逐一分析各選項(xiàng)是否存在可約分的公因式．【詳解】解：選項(xiàng)A：，分子6與分母有公因數(shù)2，可約分為，故不是最簡(jiǎn)分式．選項(xiàng)B：，分子與分母有公因式，可約分為，故不是最簡(jiǎn)分式．選項(xiàng)C：，分子與分母無公因式（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不可分解），無法約分，故為最簡(jiǎn)分式．選項(xiàng)D：，分子可分解為，與分母有公因式，可約分為，故不是最簡(jiǎn)分式．故選：C．17．下列個(gè)分式中：①；②；③；④，最簡(jiǎn)分式有個(gè)．【答案】【分析】本題考查了最簡(jiǎn)分式，若一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式，那么這個(gè)分式就叫做最簡(jiǎn)分式，據(jù)此逐一判斷即可求解，掌握最簡(jiǎn)分式的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①是最簡(jiǎn)分式，符合題意；②，不是最簡(jiǎn)分式，不合題意；③，不是最簡(jiǎn)分式，不合題意；④是最簡(jiǎn)分式，符合題意；∴最簡(jiǎn)分式有個(gè)，故答案為：．18．下列三個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母是．【答案】【分析】本題考查了最簡(jiǎn)公分母．找到最簡(jiǎn)公分母的步驟是：數(shù)字因數(shù)的最小公倍數(shù)和各個(gè)字母的最高次冪的乘積，若分母為多項(xiàng)式的要先進(jìn)行因式分解，據(jù)此即可解答．【詳解】解：分式的分母分別為，，，最簡(jiǎn)公分母為．故答案為：．易錯(cuò)題型七、通分與約分19．化簡(jiǎn)分式的結(jié)果是．【答案】【分析】本題考查分式的約分，將分式分子先分解因式，再約分，即可求解．【詳解】解：，故答案為：．20．化簡(jiǎn)：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)，掌握分式的約分成為解題的關(guān)鍵．（1）先對(duì)分子、分母分別進(jìn)行因式分解，然后約分即可；（2）先對(duì)分子、分母分別進(jìn)行因式分解，然后約分即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．21．（1）不改變分式的值，將下列分式中分子與分母的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)．①

②（2）約分：①

②【答案】①；②；（2）①；

②【分析】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟知分子分母同時(shí)擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)，分式的值不變，是解本題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)分式的基本性質(zhì)將分子分母同時(shí)乘以10即可；根據(jù)分式的基本性質(zhì)將分子分母同時(shí)乘以2即可．（2）①約去分子分母的公因式即可；②約去分子分母的公因式即可.【詳解】解：（1）①；②；（2）①；②.易錯(cuò)題型八、分式的乘除法22．化簡(jiǎn)：【答案】【分析】本題主要考查了分式的乘除混合運(yùn)算，掌握分式的乘除混合運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵．先化除為乘，然后再運(yùn)用分式乘法運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】．23．計(jì)算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（）根據(jù)分式乘除混合運(yùn)算的法則按運(yùn)算順序計(jì)算即可；（）根據(jù)分式乘除混合運(yùn)算的法則按運(yùn)算順序計(jì)算即可；本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算，掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．24．計(jì)算：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了分式的乘除混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式乘除混合運(yùn)算法則，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．（1）根據(jù)分式乘法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，計(jì)算積的乘方，冪的乘方，再根據(jù)分式乘法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先將除法轉(zhuǎn)化為乘法，因式分解再根據(jù)分式乘法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．易錯(cuò)題型九、分式的乘方運(yùn)算25．計(jì)算：（1）；（2）；（3）?÷；（4）．【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）【分析】（1）先計(jì)算乘方，同時(shí)將除法化為乘法，再計(jì)算乘法；（2）先計(jì)算乘方，將除法化為乘法，再計(jì)算乘法；（3）先將除法化為乘法，將分子與分母分解因式，再計(jì)算乘法；（4）將分子與分母分解因式，除法化為乘法，計(jì)算乘法即可．【詳解】解：（1）原式=）=；（2）原式==1；（3）原式==；（4）原式==．【點(diǎn)睛】此題考查分式的計(jì)算，掌握分式的乘方計(jì)算法則，乘除法計(jì)算法則，因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．26．計(jì)算【答案】【分析】先算分式的乘方，再算乘法，約分化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：原式==【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘方與乘法，分式的乘方計(jì)算法則是：分子分母分別乘方，乘法計(jì)算法則是：分子與分子相乘，分母與分母相乘，最后約分化簡(jiǎn)，掌握運(yùn)算法則是關(guān)鍵.27．計(jì)算：（1）；（2）【答案】（1）；（2）.【分析】(1)根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則時(shí)行計(jì)算即可;(2)先計(jì)算乘方，再將除法轉(zhuǎn)換成乘法，再相乘即可.【詳解】解：（1）==;（2）==.【點(diǎn)睛】考查了積的乘方、冪的乘方和同底數(shù)冪的乘除法法則，解題關(guān)鍵是熟記其計(jì)算法則.易錯(cuò)題型十、零指數(shù)冪與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪28．如果，那么的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了乘方，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，有理數(shù)的大小比較，分別計(jì)算a、b、c的值，再比較大?。驹斀狻拷猓骸摺啵蔬xB．29．計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，先根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算，再算減法即可．【詳解】解：．故答案為：．30．計(jì)算：【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握乘方運(yùn)算法則，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)乘方運(yùn)算法則，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算法則，絕對(duì)值意義，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：原式.易錯(cuò)題型十一、分式的加減法31．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)【分析】本題主要考查了分式運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)同分母分式加法法則求解即可；（2）先通分，然后根據(jù)同分母分式加法法則求解即可．【詳解】（1）解：；（2）．32．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了分式的加減計(jì)算，熟知分式的加減計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先把第一個(gè)分式的分子利用完全平方公式展開，再根據(jù)同分母分式減法計(jì)算法則求解即可；（2）先通分，再把分子合并同類項(xiàng)后約分即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．33．計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了分式的加減運(yùn)算，平方差公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．先把分母轉(zhuǎn)化為同分母，再根據(jù)同分母分式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式．易錯(cuò)題型十二、分式的四則混合運(yùn)算34．化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】本題主要考查了分式的混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的混合計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：．35．化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】本題考查分式的混合運(yùn)算，除法變乘法，約分化簡(jiǎn)后，進(jìn)行同分母的分式的加法運(yùn)算即可．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．36．化簡(jiǎn)：【答案】【分析】此題考查了分式的混合運(yùn)算，先算括號(hào)再算除法，注意運(yùn)用完全平方公式和平方差公式分解因式．【詳解】解：．易錯(cuò)題型十三、分式的應(yīng)用37．甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別承擔(dān)一條公路的維修任務(wù)，甲隊(duì)有一半時(shí)間每天維修公路，另一半時(shí)間每天維修；乙隊(duì)維修前公路時(shí)，每天維修，維修后公路時(shí)，每天維修．(1)試用含、的式子分別表示甲、乙兩隊(duì)完成任務(wù)所用的時(shí)間和；(2)請(qǐng)問甲、乙兩隊(duì)誰先完成任務(wù)？并說明理由．【答案】(1)；(2)甲隊(duì)誰先完成任務(wù)，理由見詳解【分析】本題考查了分式加減運(yùn)算，完全平方公式．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．（1）根據(jù)題意可得出，解出即可．則（2）用比較出大小即可．【詳解】（1）解：甲共用時(shí)間為天，，解得，乙用的時(shí)間為，（2）解：甲隊(duì)先完成任務(wù)，理由如下：，∵，且，∴，，∴∴乙的時(shí)間更長(zhǎng)，即甲隊(duì)先完成任務(wù)，∴甲隊(duì)先完成任務(wù)．38．如圖，“豐收1號(hào)”小麥試驗(yàn)田是一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形上修建兩條寬為2米的甬道后剩余的部分，“豐收2號(hào)”小麥試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為a米的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為2米的正方形蓄水池后余下的部分，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了n千克．(1)“豐收1號(hào)”試驗(yàn)田的面積為______平方米；“豐收2號(hào)”試驗(yàn)田的面積為______平方米；(2)高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量多多少？【答案】(1)；(2)高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量多千克/平方米【分析】本題考查分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確分式混合運(yùn)算的計(jì)算方法．（1）根據(jù)題意可以求得兩塊試驗(yàn)田的面積；（2）根據(jù)“高的單位面積產(chǎn)量除以低的單位面積產(chǎn)量”進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】（1）由題意得，“豐收1號(hào)”試驗(yàn)田的面積為：平方米，“豐收2號(hào)”試驗(yàn)田的面積為平方米；（2）∴高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量多千克/平方米39．某海灣城市有A，B兩個(gè)港口、有兩條航線能夠連接A，B兩個(gè)港口，兩條航線的路程都是，已知貨輪在靜水中的最大航速為．(1)若該貨輪在水流速度為的航線上航行，用含v的式子表示貨輪順流航行和逆流航行的最大速度；(2)航運(yùn)公司計(jì)劃用該貨輪將一批貨物以最大航速?gòu)腁港送往B港，再?gòu)腂港返回A港．根據(jù)海流預(yù)報(bào)：航線1位于外灣，受潮汐影響，水流速度為，且從A港到B港為順流航行；航線2位于內(nèi)灣，水流速度忽略不計(jì)．為了使送貨的往返的總時(shí)間更短，請(qǐng)通過計(jì)算說明航運(yùn)公司應(yīng)當(dāng)選擇哪一條航線．【答案】(1)順流航行的最大速度為，逆流航行的最大速度為；(2)航運(yùn)公司應(yīng)當(dāng)選擇航線2．【分析】（1）根據(jù)和即可得到代數(shù)式；（2）航線1：從A港到B港為順流航行，從B港返回A港為逆流航行，得到；航線2：從A港到B港和從B港返回A港的速度相同，同為，得到，比較即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵貨輪在靜水中的最大航速為，∴水流速度為，∴順流航行的最大速度為，逆流航行的最大速度為；（2）解：航線1：從A港到B港為順流航行，從B港返回A港為逆流航行，依題意得；航線2：從A港到B港和從B港返回A港的速度相同，同為，依題意得；，∴，∴航運(yùn)公司應(yīng)當(dāng)選擇航線2．【點(diǎn)睛】本題考查了分式加減的應(yīng)用、列代數(shù)式，要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列式再求解，解題關(guān)鍵是理解順?biāo)叫兴俣群湍嫠叫兴俣龋族e(cuò)題型十四、分式的化簡(jiǎn)求值40．先化簡(jiǎn)，再求值：，并在中選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)闹荡肭笾担敬鸢浮?，【分析】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)分式的減法運(yùn)算，再計(jì)算分式的除法運(yùn)算，得到化簡(jiǎn)的結(jié)果，再結(jié)合分式有意義的條件，代入求值即可.【詳解】解：，且，，則原式．41．先化簡(jiǎn)，再求值，其中．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，平方差公式，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．括號(hào)內(nèi)先通分，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，進(jìn)行約分即可化簡(jiǎn)，再將代入進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．42．化簡(jiǎn)，并在0、1、2中選一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)帶入求值．【答案】，【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式乘除法的計(jì)算方法以及分式有意義的條件是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)分式乘除法的計(jì)算方法進(jìn)行化簡(jiǎn)后，再根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，代入計(jì)算即可．【詳解】解：由于且，所以當(dāng)時(shí)，原式．易錯(cuò)題型十五、分式方程43．解方程：【答案】【分析】本題考查了解分式方程，先化為整式方程，再解一元一次方程，然后對(duì)所求的方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可得．【詳解】解：檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原方程的根是．44．解分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)原方程無解【分析】（1）按照解分式方程的基本步驟求解即可．（2）按照解分式方程的基本步驟求解即可．本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，去分母，得，移項(xiàng)，得，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，故是原方程的解．（2）解：∵，去分母，得，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得，系數(shù)化為1，得經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，故原方程無解．45．解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．（1）方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（2）方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：，方程兩邊都乘，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以分式方程的解是；（2）解：，，方程兩邊都乘，得，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以是增根，∴原分式方程無解．易錯(cuò)題型十六、根據(jù)分式方程解的情況求值46．如果關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．且C． D．且【答案】D【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．本題主要考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，先解方程得到，再根據(jù)方程的解為非負(fù)數(shù)以及分母不為0列式求解即可．【詳解】解：原方程兩邊同乘，得，解得，分式方程的解為非負(fù)數(shù)，，，又分母不為0，，即，，綜上可知，且．故選：D．47．已知關(guān)于x的分式方程的解滿足，且k為整數(shù)，則符合條件的所有k值的和為．【答案】【分析】本題考查了解分式方程，不等式的性質(zhì)．首先解分式方程可得，再根據(jù)分式方程的解滿足，可得的取值范圍，再根據(jù)為整數(shù)，確定的值的情況，即可求解．【詳解】解：解關(guān)于的分式方程，去分母得：，移項(xiàng)、整理得：，∵，∴，∵k為整數(shù)，∴或7或8或9，∴所有k值的和為，故答案為：．48．（1）解方程：．（2）關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍【答案】（1）原方程無解（2）且【分析】本題考查的是解分式方程及分式方程的解為正數(shù)，熟記“注意分式方程要檢驗(yàn)，分母不為0”是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解分式方程的步驟計(jì)算即可；（2）先解分式方程可得，再根據(jù)解為正數(shù)可得，從而可得答案．【詳解】解：（1）方程兩邊都乘得：，，，，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的增根，所以，原方程無解；（2），，，關(guān)于的分式分程的解為正數(shù)，，解得：且．易錯(cuò)題型十七、分式方程的增根問題49．若關(guān)于的分式方程有增根，則的值是（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】本題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．由分式方程有增根，得到，代入整式方程計(jì)算即可求出m的值；【詳解】解：，去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)、合同同類型，得，將系數(shù)化為1，得，分式有增根，，．故選A．50．若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查分式方程，理解分式有意義的條件是解題關(guān)鍵．解出方程的根用含m的代數(shù)式表示，當(dāng)方程為增根時(shí)，即根使分母為0，進(jìn)行計(jì)算即可求出m．【詳解】解：化簡(jiǎn)得：解得：當(dāng)根為增根時(shí)，，將x代入得：解得：故答案為：．51．已知關(guān)于x的分式方程．(1)若分式方程有增根，求a的值；(2)若分式方程的解為非負(fù)數(shù)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)且【分析】（1）先按照解分式方程的一般步驟解分式方程，表示出x，再根據(jù)分式方程有增根時(shí)分母為0，從而求出x的值，再列出關(guān)于a的方程，解方程即可；（2）根據(jù)分式方程的解是非負(fù)數(shù)和分式的分母不能為0，列出關(guān)于a的不等式組，解不等式組，求出答案即可．本題主要考查了分式方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程和一元一次不等式組的一般步驟．【詳解】（1）解：，，，，，∵分式方程有增根，∴，解得：，∴，，，；（2）解：∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，∴，由①得：，，，由②得：，，，∴a的取值范圍是：且．易錯(cuò)題型十八、分式方程的無解問題52．若關(guān)于的分式方程無解，則的值為（

）．A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】本題主要考查了分式方程的無解問題，按照去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的步驟解方程得到，再根據(jù)原方程無解，可得是原方程的增根，據(jù)此建立關(guān)于m的方程求解即可．【詳解】解：去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，∵關(guān)于的分式方程無解，∴是原方程的增根，即，∴，∴．故選：A．53．若分式方程無解，則【答案】或/或【分析】本題主要考查了分式方程無解的條件．先按照解分式方程的一般步驟解分式方程，得到，再根據(jù)分式方程無解分兩種情況討論即可．【詳解】解：，得，即，當(dāng)，即時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，，解得：，∴若分式方程無解，則或，故答案為：或．54．若關(guān)于x的方程：(1)有增根，求a的值；(2)無解，求a的值．【答案】(1)或(2)a的值為1或或8【分析】本題主要考查了分式方程的增根和分式方程無解的情況；（1）先將分式方程化為整式方程，根據(jù)方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解；（2）根據(jù)方程無解，可分兩種情況：原分式方程有增根和整式方程無解，即可求解．理解增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：方程兩邊同乘得：，整理可得：，∵原方程有增根，∴，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴或時(shí)，方程有增根；（2）解：由（1）知：a取或8時(shí)，原方程無解，當(dāng)，方程無解，∴時(shí)，原方程無解；綜上所述，a的值為1或或8時(shí)，原方程無解．易錯(cuò)題型十九、分式方程的應(yīng)用55．某汽車網(wǎng)站對(duì)兩款價(jià)格相同，續(xù)航里程相同的汽車做了一次評(píng)測(cè)，一款為燃油車，另一款為純電新能源車．得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：燃油車純電新能源車油箱容積：48升電池容量：90千瓦時(shí)油價(jià)：8元/升電價(jià)：0.6元/千瓦時(shí)設(shè)兩輛車的續(xù)骯里程均為a千米，燃油車每千米行駛費(fèi)用比純電新能源車多0.55元．(1)請(qǐng)分別求出這兩款車的每千米行駛費(fèi)用；(2)若燃油車和純電新能源車每年的其它費(fèi)用分別為4800元和8100元．問：每年行法里程超過多少千米時(shí)，新能源車的年費(fèi)用更低？（年費(fèi)用＝年行駛費(fèi)用＋年其它費(fèi)用）【答案】(1)燃油車每千米行駛費(fèi)用為元，純電新能源車每千米行駛費(fèi)用為元(2)當(dāng)每年行駛里程大于6000千米時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及一元一次不等式的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)表中的信息，可以表示出燃油車和純電新能源車的每千米行駛費(fèi)用；根據(jù)燃油車的每千米行駛費(fèi)用比新能源車多元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解決問題；（2）設(shè)每年行駛里程為x千米時(shí)，由年費(fèi)用＝年行駛費(fèi)用+年其它費(fèi)用，列出一元一次不等式，解不等式即可．【詳解】（1）解：燃油車每千米行駛費(fèi)用為（元），純電新能源車每千米行駛費(fèi)用為（元），由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，且符合題意，∴（元），（元），答：燃油車每千米行駛費(fèi)用為元，純電新能源車每千米行駛費(fèi)用為元；（2）解：設(shè)每年行駛里程為x千米時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低，由題意得：，解得：，答：當(dāng)每年行駛里程大于6000千米時(shí)，買新能源車的年費(fèi)用更低．56．某文具商店計(jì)劃售賣哪吒卡片．調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每盒A款哪吒卡片的進(jìn)貨單價(jià)比B款哪吒卡片少5元，花500元購(gòu)進(jìn)A款哪吒卡片的數(shù)量與花750元購(gòu)進(jìn)B款哪吒卡片的數(shù)量相同．(1)A、B兩款的進(jìn)貨單價(jià)分別是每盒多少元？(2)商店準(zhǔn)備將售賣A、B兩款卡片的利潤(rùn)每盒分別定為3元和5元，計(jì)劃一共購(gòu)買100盒哪吒卡片，A款哪吒卡片的盒數(shù)不得超過B款哪吒卡片的盒數(shù)，購(gòu)買資金不超過1260元．在全部售完的情況下，請(qǐng)通過計(jì)算說明采用何種購(gòu)買方案才能使獲利最大？【答案】(1)A款的進(jìn)貨單價(jià)是10元，則B款的進(jìn)貨單價(jià)是15元(2)購(gòu)進(jìn)A款48盒、B款52盒時(shí)獲得的利潤(rùn)最大【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，理解題意是解答的關(guān)鍵．（1）設(shè)A款的進(jìn)貨單價(jià)是元，則B款的進(jìn)貨單價(jià)是元，根據(jù)題意列分式方程求解即可；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)B款盒，則購(gòu)進(jìn)A款盒，根據(jù)題意求得求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)A款的進(jìn)貨單價(jià)是x元，則B款的進(jìn)貨單價(jià)是元，根據(jù)題意，可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是該方程的解，，答：A款的進(jìn)貨單價(jià)是10元，則B款的進(jìn)貨單價(jià)是15元；（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)B款n盒，則購(gòu)進(jìn)A款盒，款哪吒卡片的盒數(shù)不得超過款哪吒卡片的盒數(shù)，，解得：，根據(jù)題意得：，解得：，，n取整數(shù)為50，51，52，當(dāng)時(shí)，，獲利為：（元）；當(dāng)時(shí)，，獲利為：（元）；當(dāng)時(shí)，，獲利為：（元）．因?yàn)椋再?gòu)進(jìn)A款48盒、B款52盒時(shí)獲得的利潤(rùn)最大．57．米脂小米歷史悠久，品質(zhì)優(yōu)良，有防止消化不良等功效．某糧油超市計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種包裝的米脂小米進(jìn)行銷售，已知每袋種包裝的米脂小米的進(jìn)價(jià)比每袋種包裝的米脂小米的進(jìn)價(jià)多10元，用150元購(gòu)進(jìn)種包裝的米脂小米袋數(shù)與用100元購(gòu)進(jìn)種包裝的米脂小米袋數(shù)相同．(1)求兩種包裝的米脂小米進(jìn)價(jià)分別是多少元/袋？(2)若該糧油超市計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種包裝的米脂小米共20袋，且總花費(fèi)不超過480元，請(qǐng)你計(jì)算該糧油超市最多能購(gòu)進(jìn)種包裝的米脂小米多少袋？【答案】(1)種包裝的米脂小米進(jìn)價(jià)是30元/袋，種包裝的米脂小米進(jìn)價(jià)是20元/袋(2)該糧油超市最多能購(gòu)進(jìn)種包裝的米脂小米8袋【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先設(shè)種包裝的米脂小米進(jìn)價(jià)是元/袋，則種包裝的米脂小米進(jìn)價(jià)是元/袋，結(jié)合題意列出分式方程，再解方程，最后驗(yàn)根，即可作答．（2）根據(jù)題意，設(shè)該糧油超市購(gòu)進(jìn)種包裝的米脂小米袋，再出不等式，進(jìn)行解不等式，即可作答．【詳解】（1）解：設(shè)種包裝的米脂小米進(jìn)價(jià)是元/袋，則種包裝的米脂小米進(jìn)價(jià)是元/袋．根據(jù)題意可得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)：，，故是原方程的解，種包裝的米脂小米進(jìn)價(jià)是30元/袋，種包裝的米脂小米進(jìn)價(jià)是20元/袋．（2）解：設(shè)該糧油超市購(gòu)進(jìn)種包裝的米脂小米袋，根據(jù)題意可得，解得，該糧油超市最多能購(gòu)進(jìn)種包裝的米脂小米8袋．壓軸題型一、分式的規(guī)律性問題58．觀察下面的等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個(gè)等式：________；(2)請(qǐng)你猜想第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】本題考查了數(shù)字規(guī)律，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）理解題意，直接作答即可；（2）認(rèn)真理解題干的式子過程，總結(jié)得第n個(gè)等式為，再把進(jìn)行通分化簡(jiǎn)，得出，即可作答．【詳解】（1）解：依題意，；（2）解：∵第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，第5個(gè)等式：……∴第n個(gè)等式為證明過程如下：故．59．觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個(gè)等式：________；(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式：________（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】對(duì)于（1），根據(jù)前四個(gè)式子的規(guī)律得出第5個(gè)等式；對(duì)于（2），根據(jù)前5個(gè)式子的規(guī)律寫出第n個(gè)式子，再證明即可．【詳解】（1）解：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；第5個(gè)等式：，即；故答案為：；（2）解：第n個(gè)等式：；．60．觀察下面一列分式：，…（其中）．(1)根據(jù)上述分式的規(guī)律寫出第6個(gè)分式；(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出第n（n為正整數(shù)）個(gè)分式，并簡(jiǎn)單說明理由．【答案】(1)(2)，理由見詳解【分析】此題主要考查了分式的規(guī)律性問題以及數(shù)字規(guī)律的探索問題，得出分子與分母的變化規(guī)律即可解題．（1）根據(jù)已知分式的分子與分母的次數(shù)與系數(shù)關(guān)系進(jìn)而得出答案；（2）利用（1）中數(shù)據(jù)變化規(guī)律，進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：觀察各分式的規(guī)律可得第5個(gè)分式為：，第6個(gè)分式為．（2）由已知可得第n(n為正整數(shù))個(gè)分式為∶．理由如下：∵分母的底數(shù)為y，次數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)，分子的底數(shù)是x，次數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，∴第n(n為正整數(shù))個(gè)分式為．壓軸題型二、分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍61．對(duì)于正整數(shù)，使分式的值是一個(gè)整數(shù)，則可能取值的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了分式的性質(zhì)，首先把分式整理可得：，因?yàn)榉质降闹凳且粋€(gè)整數(shù)，所以是整數(shù)，所以可得或或，又因?yàn)闉檎麛?shù)，可得或，所以可能取值的個(gè)數(shù)是.【詳解】解：，分式的值是一個(gè)整數(shù)，是整數(shù)，或或，、、、、、，又為正整數(shù)，或，可能取值的個(gè)數(shù)是.故選：B．62．若分式的值是大于2的整數(shù)，則整數(shù)的取值為．【答案】6或【分析】本題考查了求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值問題．將分式化為，根據(jù)分式的值是大于2的整數(shù)，且x是整數(shù)，即可求解．【詳解】解：，∵分式的值是大于2的整數(shù)，且x是整數(shù)，∴或，解得：或，故答案：6或．63．在小學(xué)時(shí)我們知道，分?jǐn)?shù)中有“真分?jǐn)?shù)”與“假分?jǐn)?shù)”．在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，我們給出定義：分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式叫做“真分式”，例如，；分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)的分式叫做“假分式”，例如，．(1)現(xiàn)有以下代數(shù)式：①，②，③，④．其中是“真分式”的為；是“假分式”的為（注：填寫序號(hào)即可）(2)若分式的值為整數(shù)，求出整數(shù)m的值；(3)我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和，例如：．類似的，“假分式”也可以化為整式與“真分式”的和．例如：；．請(qǐng)解決以下問題：若分式的值為整數(shù)，求出整數(shù)m的值．【答案】(1)①④；②(2)(3)【分析】（1）由題意①④分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)，是真分式；②分子的次數(shù)大于分母的次數(shù)，是假分式；③不是分式；（2）分式的值為整數(shù)，則的值為或，計(jì)算求解即可；（3）先將分式化為整式與“真分式”的和，則的值為或，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：由真分式和假分式的定義可得：真分式的為①④，假分式的為②；（2）解：分式的值為整數(shù)，則的值為或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；整數(shù)m的值為：；（3）解：要使的值為整數(shù)，即為整數(shù)，則是整數(shù)即可，所以的值為或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；整數(shù)m的值為：【點(diǎn)睛】本題考查分式的計(jì)算，如何理解題意進(jìn)行正確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．壓軸題型三、分式的化簡(jiǎn)求值綜合64．先化簡(jiǎn)代數(shù)式，再?gòu)?，，1，四個(gè)數(shù)中選擇一個(gè)合適的數(shù)代入求值．【答案】，當(dāng)時(shí)，原式．【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，理解分式有意義的條件，掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序和計(jì)算法則是解題關(guān)鍵．原式先將小括號(hào)內(nèi)的式子進(jìn)行通分計(jì)算，然后再算括號(hào)外面的，最后根據(jù)分式有意義的條件選取合適的值代入求值即可．【詳解】解：原式，當(dāng)或2時(shí)，原分式無意義，，當(dāng)時(shí)，原式．65．化簡(jiǎn)，再請(qǐng)從-2，0，1選取合適的代入求值．【答案】，【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式的運(yùn)算法則、因式分解以及代入求值時(shí)注意分母不為的條件是解題的關(guān)鍵．需要先對(duì)分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，包括因式分解、分式的除法運(yùn)算等，化簡(jiǎn)完成后再將合適的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行求值．在代入值時(shí)，要注意使原式分母不為．【詳解】解：原式∵要使原式分母不為，則，即；，經(jīng)檢驗(yàn)，∴從，，中只能取代入，當(dāng)時(shí)，原式．故答案為：．66．【閱讀理解】閱讀下面的解題過程：已知：，求的值；解：由知，，即①②，故的值為．（）第②步運(yùn)用了公式：________；（要求：用含的式子表示）【類比探究】（）上題的解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的問題：已知：，求的值．【拓展延伸】（）已知：，，．求的值．【答案】（）；（）；（）【分析】（）根據(jù)完全平方公式的變形進(jìn)行解答即可；（）仿照例題計(jì)算即可；（）由已知可得，，，即得，，，得到，再根據(jù)倒數(shù)法解答即可求解；本題考查了分式的求值，倒數(shù)的應(yīng)用，完全平方公式的變形計(jì)算，正確理解題意掌握解題思路及分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）第②步運(yùn)用了公式：，故答案為：；（）∵，∴，∴，∴，∴，∴；（）∵，，，∴，，，∴，，，∴，∴，∴，∴．壓軸題型四、分式最值問題67．材料1：在處理分?jǐn)?shù)和分式問題時(shí)，有時(shí)由于分子比分母大，或者分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)往往難度比較大，這時(shí)我們可以將假分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)（式）的和（差）的形式，通過對(duì)簡(jiǎn)單式的分析來解決問題，我們稱之為分離整數(shù)法．此法在處理分式或整除問題時(shí)頗為有效．例：將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式．解：設(shè)，則．∴原式＝∴∴分式就拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式的和的形式．材料2：配方法是初中數(shù)學(xué)思想方法中的一種重要的解題方法，配方法最終的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式來求解．它的應(yīng)用非常廣泛，在解方程、求最值、證明等式、化簡(jiǎn)根式、因式分解等方面都經(jīng)常用到．如：當(dāng)，時(shí)，∵∴當(dāng)，即時(shí)，有最小值2．根據(jù)以上閱讀材料回答下列問題：(1)參照以上資料，試將分式拆分成整式的真分式的和的形式；(2)已知分式的值為整數(shù)，求整數(shù)x的值；(3)當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式的最小值．【答案】(1)(2)或0(3)3【分析】（1）設(shè)，則，將它代入，再化簡(jiǎn)，然后將代入后得出結(jié)果；（2）設(shè)，則，將它代入，再化簡(jiǎn)，然后將代入后，根據(jù)分式的值為整數(shù)和x是整數(shù)，得到關(guān)于x的方程求解；（3）設(shè)，則，將它代入，再化簡(jiǎn)，然后將，代回，配方后求出最小值．【詳解】（1）解：設(shè)，則，∴原式，∴；（2）解：設(shè)，則，∴原式，∴，∵分式的值為整數(shù)，∴或或，又x是整數(shù)，∴，解得：或0；（3）解：設(shè)，則，∴原式，∴，當(dāng)時(shí)，解得，滿足，此時(shí)代數(shù)式有最小值3．【點(diǎn)睛】本題考查了分式加減乘除混合運(yùn)算，通過對(duì)完全平方公式變形求值，利用完全平方式來求解，分式最值等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是熟悉上述知識(shí)，并能熟練運(yùn)用求解．68．定義：若分式A與分式B的差等于它們的積．即，則稱分式B是分式A的“友好分式”．如與．因?yàn)椋允堑摹坝押梅质健保?1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”）(2)已知分式是分式A的“友好分式”．①求分式A的表達(dá)式；②若整數(shù)x使得分式A的值是正整數(shù)，直接寫出分式A的值；(3)若關(guān)于x的分式是關(guān)于x的分式的“友好分式”，求的最小值．【答案】(1)是(2)①；②A的值為1或3或4(3)【分析】（1）根據(jù)“友好分式”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）①根據(jù)分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合運(yùn)算法則求出A即可；②根據(jù)整除的定義進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)關(guān)于的分式的“友好分式”為M，求出，根據(jù)關(guān)于的分式是關(guān)于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴分式是分式的“友好分式”；故答案為：不是．（2）解：①∵分式是分式A的“友好分式”，∴，∴，∴，∴∴．②∵，∵整數(shù)x使得分式A的值是正整數(shù)，∴，，2，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上分析可知：A的值為1或3或4．（3）解：設(shè)M是關(guān)于的分式的“友好分式”，則：，∴，∵關(guān)于x的分式是關(guān)于x的分式的“友好分式”，∴，整理得：，解得：，∴，∵，∴，∴，∴即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式混合運(yùn)算的應(yīng)用，新定義運(yùn)算，解方程組，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．69．閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到簡(jiǎn)便解決方法，常用的途徑有：整體觀察；整體設(shè)元；整體代入；整體求和等．例如：，求證：證明：左邊波利亞在《怎樣解題》中指出：“當(dāng)你找到第一個(gè)藤菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，他們總是成群生長(zhǎng)”．很多類似問題和式子都滿足以上特征．閱讀材料二：基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，它是解決最值問題的有力工具．請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解答下列問題：(1)已知，求的值；(2)若，求的值；(3)若長(zhǎng)方形的面積為9，求此長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的最小值；(4)若正數(shù)、滿足，求的最小值．【答案】(1)1；(2)5；(3)12；(4)．【分析】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，讀懂材料，理解題意并能運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．（1）將，代入式中可求值；（2）將代入可求解；（3）設(shè)此長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為a，b，則，由解答即可．（4）由，可得當(dāng)取最小值時(shí)，M的值最?。驹斀狻浚?）解：，（2）解：，且，，（3）解：設(shè)此長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)為a，b，則，，，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立時(shí)，所以周長(zhǎng)的最小值為12，（4）解：∵正數(shù)a，b滿足當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立時(shí)，則最小值為．壓軸題型五、分式方程的含參問題70．若實(shí)數(shù)m使得關(guān)于x的一元一次不等式組有且只有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程的解為整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)m的和為（

）A．-7 B．-10 C．-12 D．-15【答案】B【分析】解不等式組求出解集，根據(jù)不等式組只有4個(gè)整數(shù)解得出m的取值范圍，解分式方程得，由方程的解為整數(shù)且分式有意義得出只可以取奇數(shù)且，綜合以上要求，找出符合條件的值相加即可．【詳解】解：解不等式，得，解不等式，得，∴不等式組的解集為：，∵不等式組有且只有4個(gè)整數(shù)解，∴，∴，將分式方程變形整理得，，∵，，，∴分式方程的解為：，∵分式方程的解為整數(shù)，∴只可以取奇數(shù)，由，可得，或，∴符合條件的所有整數(shù)m的和為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式組、分式方程的解，有一定難度，要注意分式方程的解要滿足分母不分0的情況．71．若關(guān)于的不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)的和是．【答案】11【分析】本題考查一元一次不等式組的整數(shù)解，分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程、一元一次不等式組的解法，根據(jù)不等式組的整數(shù)解的個(gè)數(shù)確定的取值范圍，再根據(jù)分式方程的解和增根進(jìn)一步確定的值后求和即可．理解一元一次不等式組的整數(shù)解以及分式方程的增根的定義是正確解答的關(guān)鍵．【詳解】解：不等式的解集為，不等式的解集為，關(guān)于的不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，，解得，將關(guān)于的分式方程的兩邊都乘以得：，解得，分式方程的解為正數(shù)，，即，由于分式方程的增根是，，即，綜上所述，且，所有滿足條件的整數(shù)的和是．故答案為：11．72．已知關(guān)于x的分式方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求k值．【答案】或或【分析】本題主要考查分式方程，將方程兩邊同時(shí)乘以，整理得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分情況討論即可．【詳解】解：將方程兩邊同時(shí)乘以．得整理得①當(dāng)時(shí)，有∴將代入①中，得∴．經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解；當(dāng)時(shí)，有∴若是方程的增根，則將代入①中得即時(shí)，①可化為∴(是增根，舍去)．故原分式方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．當(dāng)是方程的增根，則將代入①中，求得．即時(shí)，①可化為∴(是增根，舍去)故原分式方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．綜上所述，當(dāng)時(shí)，這個(gè)實(shí)數(shù)解為；當(dāng)時(shí)，這個(gè)實(shí)數(shù)解為；當(dāng)時(shí)，這個(gè)實(shí)數(shù)解為．壓軸題型六、分式方程的綜合應(yīng)用73．綜合實(shí)踐：如何設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)獎(jiǎng)品購(gòu)買方案及抵扣方式？如何設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)獎(jiǎng)品購(gòu)買方案及抵扣方式？素材1某校運(yùn)動(dòng)會(huì)準(zhǔn)備購(gòu)買排球和籃球作為獎(jiǎng)品，已知籃球的單價(jià)比排球的單價(jià)貴20元，用800元購(gòu)買排球的數(shù)量是用480元購(gòu)買籃球數(shù)量的2倍．素材2學(xué)校花費(fèi)1680元購(gòu)買籃球和排球作為獎(jiǎng)品頒發(fā)給“優(yōu)秀運(yùn)動(dòng)員”，其中購(gòu)買的排球數(shù)量比籃球數(shù)量多8個(gè)．素材3學(xué)?；ㄙM(fèi)1680元后，商家贈(zèng)送若干張抵扣券（滿100元抵扣20元，每件商品限用1張），學(xué)校準(zhǔn)備花費(fèi)1260元再次購(gòu)買這種籃球和排球，其中購(gòu)買的籃球中沒有使用抵扣券的數(shù)量是兩種球總數(shù)的．問題解決任務(wù)1探求商品單價(jià)請(qǐng)運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ蟪龌@球與排球的單價(jià)．任務(wù)2求商品的數(shù)量利用素材2，求出該校花費(fèi)1680元購(gòu)買的籃球和排球的數(shù)量，任務(wù)3確定抵扣方式基于素材3，