第二章二次函數(shù)1二次函數(shù)

1.

一般地，若兩個(gè)變量x，y之間的對應(yīng)關(guān)系可以表示

成

y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)，且a≠0）

的

形式，則稱y是x的二次函數(shù).2.

常見的二次函數(shù)關(guān)系：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常數(shù)，且a≠0）（1）若正方形的邊長為a，面積為y，則y＝

a2

；a2

πr2

列二次函數(shù)表達(dá)式【例1】如圖，正方形EFGH的頂點(diǎn)在邊長為2的正方形

ABCD的邊上.若設(shè)AE＝x，正方形EFGH的面積為y，則

y與x的函數(shù)表達(dá)式為

y＝2x2－4x＋4

.y＝2x2－4x＋4

從一元二次方程應(yīng)用的學(xué)習(xí)中，我們可以總結(jié)出以

下幾種二次函數(shù)的模型：①連續(xù)兩次增長（或減少）問

題；②銷售利潤問題；③長方形面積變化問題，等等.本

例屬于第三種，涉及證明全等三角形，最后用勾股定理

表示出正方形的面積，求出二次函數(shù)表達(dá)式.

二次函數(shù)的概念

解：m2＋1＝2，解得m＝1或－1.又∵1－m≠0，即m≠1，∴m＝－1，即m的值為－1.

要判斷一個(gè)函數(shù)表達(dá)式是不是二次函數(shù)，首先需將

函數(shù)表達(dá)式化為一般形式，再注意兩個(gè)條件：一是最高

次項(xiàng)的指數(shù)為2；二是二次項(xiàng)系數(shù)不為0.

根據(jù)表達(dá)式求值

BA.8

mB.10

mC.12

mD.10

m或12

m

當(dāng)擲出的實(shí)心球落地時(shí)，飛行高度為0

m，此時(shí)的水

平距離即為小強(qiáng)的成績，所以，此題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題

后，是求當(dāng)y＝0時(shí)的x的值，并取符合題意的正值即可.

1.

下列函數(shù)表達(dá)式中，一定為二次函數(shù)的是（C）A.

y＝3x－1B.

y＝ax2＋bx＋cC.

s＝2t2－2t＋1C2.

若y＝（a－2）x2－3x＋4是二次函數(shù)，則a的取值范

圍是（C）A.

a≠0B.

a＞0C.

a≠2D.

a＞2C3.

若y關(guān)于x的函數(shù)y＝（m－1）x｜m＋1｜－4是二次函

數(shù)，則m的值是

－3

.－3

180m5.

某廠七月份的產(chǎn)值是10萬元，設(shè)第三季度每個(gè)月產(chǎn)值

的增長率相同，都為x（x＞0），九月份的產(chǎn)值為y萬

元，那么y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為

y＝10（1＋x）2（或

y＝10x2＋20x＋10）

.y＝10（1＋x）2（或

y＝10x2＋20x＋10）

6.

下列函數(shù)關(guān)系中，是二次函數(shù)的是（D）A.

在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度y與所掛物體質(zhì)量x之間的

關(guān)系B.

當(dāng)距離一定時(shí)，火車行駛的時(shí)間t與速度v之間的關(guān)系C.

等邊三角形的周長C與邊長a之間的關(guān)系D.

半圓面積S與半徑R之間的關(guān)系D

08.

若函數(shù)y＝（a－1）xb＋1＋x2＋1（x≠0）是二次函

數(shù)，試討論a，b的取值范圍.解：①由a－1≠－1且b＋1＝2，解得a≠0，b＝1；②由

a－1＝0且b為任意實(shí)數(shù)，解得a＝1，b為任意實(shí)數(shù)；③

由a為任意實(shí)數(shù)且b＋1＝1或0，解得a為任意實(shí)數(shù)，b＝0

或－1.綜上所述，當(dāng)a≠0，b＝1或a＝1，b為任意實(shí)數(shù)或a為任

意實(shí)數(shù)，b＝0或－1時(shí)，y＝（a－1）xb＋1＋x2＋1是二次

函數(shù).

9.

在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝

c，若a＋b＝5，則Rt△ABC的面積S關(guān)于邊長c的函數(shù)表

達(dá)式為（A）A10.

從高216

m的大樓上掉下一個(gè)蘋果，蘋果離地面的高

度h（m）與時(shí)間t（s）大致有如下關(guān)系：h＝216－6t2，

則

6

s后蘋果落到地面.611.

如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊與正方形MNPQ

的邊長均為10

cm，邊CA與邊MN在同一直線上，點(diǎn)A與

點(diǎn)M重合，讓△ABC沿MN方向以1

cm/s的速度勻速運(yùn)

動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A與點(diǎn)N重合時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t

s，運(yùn)動(dòng)過程中△ABC與正方形MNPQ的重疊部分面積為S

cm2.第11題圖（1）試寫出S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并指出自變量t的取

值范圍；解：（1）如圖，設(shè)AB與QM交于點(diǎn)R.

∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形MNPQ是正方形，∴△AMR是等腰直角三角形.由題意知AM＝MR＝tcm，

（2）當(dāng)