第四章圖形的相似8圖形的位似第1課時(shí)位似圖形性質(zhì)及其畫法

一般地，如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點(diǎn)P，P'所

在的直線都經(jīng)過

同一點(diǎn)O

，且有

OP'＝k·OP

（k≠0）

，那么這樣的兩個(gè)多邊形叫作位似多邊形，

點(diǎn)O叫作

位似中心

，實(shí)際上，k就是這兩個(gè)相似多邊

形的相似比.同一點(diǎn)OOP'＝k·OP

（k≠0）位似中心

位似圖形的性質(zhì)【例1】我們知道：如果兩個(gè)三角形不僅是相似三角形，

而且每對對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)

三角形叫作位似三角形，它們的相似比又稱為位似比，這

個(gè)點(diǎn)叫作位似中心.利用三角形的位似可以將一個(gè)三角形

縮小或放大.（1）如圖（1），點(diǎn)O是等邊三角形PQR的中心，點(diǎn)P'，

Q'，R'分別是OP，OQ，OR的中點(diǎn)，則△P'Q'R'與△PQR

是位似三角形.此時(shí)，△P'Q'R'與△PQR的位似比

為

1∶2

，位似中心是

點(diǎn)O

.1∶2點(diǎn)O（2）如圖（2），用下面的方法可以畫△AOB的內(nèi)接等邊

三角形.閱讀后證明相應(yīng)問題.畫法：①在△AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE，使點(diǎn)C在OA

上，點(diǎn)D在OB上；②連接OE并延長，交AB于點(diǎn)E'，過點(diǎn)E'作E'C'∥EC，交OA于點(diǎn)C'，作E'D'∥ED，交OB于點(diǎn)D'；③連接C'D'，則△C'D'E'是△AOB的內(nèi)接三角形.證明：△C'D'E'是等邊三角形.

從位似圖形的定義可以總結(jié)出幾條性質(zhì)，如位似圖

形的對應(yīng)邊互相平行、位似中心到對應(yīng)點(diǎn)的連線成比

例、位似中心和兩組對應(yīng)點(diǎn)組成的圖形相似……在運(yùn)用

時(shí)可結(jié)合相似三角形的性質(zhì)來解答問題.

作位似圖形【例2】如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形

的邊長均為1，點(diǎn)O是格點(diǎn)，△ABC是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)

在網(wǎng)格線交點(diǎn)上），且點(diǎn)A1是點(diǎn)A以點(diǎn)O為位似中心的對

應(yīng)點(diǎn).（1）畫出△ABC以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形△A1B1C1；解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求.

作位似圖形時(shí)，先確定位似中心，再分別連接并延

長位似中心和多邊形的頂點(diǎn)，接著根據(jù)位似比確定對應(yīng)

點(diǎn)，順次連接各對應(yīng)點(diǎn)，所得的多邊形即為所求.

（2）△A1B1C1與△ABC的相似比為

3∶1

；3∶1

1.

下列說法錯(cuò)誤的是（A）A.

相似多邊形都是位似多邊形B.

位似三角形的對應(yīng)邊都成比例C.

位似圖形中對應(yīng)點(diǎn)與位似中心的連線之比都等于相似

比D.

位似圖形中，位似中心和兩組對應(yīng)頂點(diǎn)組成的兩個(gè)三

角形仍相似A2.

（長葛模擬）如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放

大為原圖形的2倍得到△A'B'C'，以下說法錯(cuò)誤的是

（A）A.

S△ABC∶S△A'B'C'＝1∶2B.

AB∶A'B'＝1∶2C.

點(diǎn)A，O，A'三點(diǎn)在同一條直線上D.

BC∥B'C'第2題圖A

3.12個(gè)有公共頂點(diǎn)O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，

∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°.若

S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為

（C）第3題圖C4.

如圖是△ABC位似圖形的幾種畫法，其中正確的

是

①②③④

.（填序號）第4題圖①②③④

5.

如圖，BD，AC相交于點(diǎn)P，連接AB，BC，CD，

DA，∠DAP＝∠CBP.

第5題圖（1）求證：△ADP∽△BCP.

證明：∵∠DAP＝∠CBP，∠DPA＝∠CPB，

∴△ADP∽△BCP.

（2）△ADP與△BCP是不是位似圖形？為什么？解：△ADP與△BCP不是位似圖形，理由：它們的對應(yīng)點(diǎn)

的連線不平行.（3）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的長.

（重慶中考）如圖，△ABC與△DE