專題04全等三角形的動點問題目錄A題型建模?專項突破題型一、動點全等問題 1題型二、多動點全等問題 2題型三、三角形中的動點全等問題 3題型四、四邊形中的動點全等問題 5題型五、存在“拐點”的動點全等問題 6題型六、動點全等中的面積問題 8題型七、動點全等中的最值問題 8題型八、全等三角形動點問題綜合 8B綜合攻堅?能力躍升題型一、動點全等問題1．如圖，在長方形中，，，延長到點，使，連接，動點從點B出發(fā)，以每秒個單位的速度沿向終點運動，設點的運動時間為秒，當t的值為秒時，和全等．【答案】或【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是正確理解題意，進行分類討論．由矩形的性質(zhì)可得角度和線段長度，由三角形全等可得對應邊相等，結合運動過程進行分類討論，分別計算不同情形對應的運動時間即可．【詳解】解：∵在長方形中，，，∴，，，∵點在延長線上，∴，若，則，∴運動時間，若，則，∴運動時間，故答案為：或．2．如圖，，動點P從點A出發(fā)（不含點A），以2個單位長度/秒的速度沿射線運動，Q為射線上一動點，點P的運動時間為t秒，若以點P，Q，C為頂點的三角形與全等，則t的值為．【答案】或或【分析】本題考查直角三角形全等的判定，關鍵是找到所有符合題意的情況．根據(jù)已知條件分，，兩種情況，根據(jù)和列方程求出t值即可．【詳解】解：∵，∵，∴當時，，，∴點重合，點在點右側(cè)，此時，，∴，解得：；當時，，當點在點左側(cè)時，此時，，∴，解得：；當點在點右側(cè)時，此時，，∴，解得：；綜上：則t的值為或或時，與以點，，為頂點的三角形全等，故答案為：或或．3．如圖，，，動點從點（不含點），以個單位長度秒的速度沿射線運動，點為射線上一動點，且始終保持，當點運動秒時，與以點，，為頂點的三角形全等．【答案】或或【分析】本題考查直角三角形全等的判定，關鍵是找到所有符合題意的情況．設點運動時間為秒，根據(jù)已知條件分，，兩種情況，根據(jù)和列方程求出值即可．【詳解】解：，，設點運動時間為秒，，，當時，，，解得：（舍）或；當時，，，解得：或；綜上：秒或秒或秒時，與以點，，為頂點的三角形全等，故答案為：或或．4．如圖所示，在中，，，點D為射線上的動點，，且，與所在的直線交于點P，若，則．【答案】3或【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，分情況根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：①點B在上時，作，交的延長線于，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵∴，∴，根據(jù)題意知，，設，則，∴，∴，∴；②如圖，點B在的延長線上，作于M，用①中同樣的解法可以得到，設，∴，∴．故答案為：3或．題型二、多動點全等問題5．如圖，在四邊形中，．動點P以的速度從點A出發(fā)沿邊向點D勻速移動，動點Q以的速度從點B出發(fā)沿邊向點C勻速移動，動點M從點B出發(fā)沿對角線向點D勻速移動，三點同時出發(fā)．連接，當動點M的速度為時，存在某個時刻，使得以P、D、M為頂點的三角形與全等．【答案】5或【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和二元一次方程組的求解，正確理解題意、分情況討論是解題的關鍵；設運動的時間為ts，動點M的速度為vcm/s，則，，，表示出，，再分與兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)構建方程組求解即可．【詳解】解：設運動的時間為ts，動點M的速度為vcm/s，由題意得，，，，所以，，∵，∴，當時，則，∴，解得：，∴，解得：；當時，則，∴，解得：，∴，解得：；綜上，動點M的運動速度是2或；故答案為：5或．6．通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：【模型呈現(xiàn)】某興趣小組在從漢代數(shù)學家趙爽的弦圖（如圖1，由外到內(nèi)含三個正方形）中提煉出兩個三角形全等模型圖（如圖2、圖3），即“一線三等角”模型．【探究問題】（1）如圖2，在直角中，，，點正好落在直線上，分別作于點，于點，則線段、、之間的數(shù)量關系為________．（2）如圖3，將（1）中的直線繞點轉(zhuǎn)動到與相交，其余條件不變．請問（1）中結論是否成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由．【解決問題】（3）如圖4，直線經(jīng)過的直角頂點，的邊上有兩個動點、，點以的速度從點出發(fā)，沿移動到點，點以的速度從點出發(fā)，沿移動到點，兩動點中有一個點到達終點后另一個點繼續(xù)移動到終點．過點、分別作，，垂足分別為點、，若，，設運動時間為，當以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等時，求此時的值．【答案】（1）；（2）成立，證明見解析；（3）或或【分析】本題圍繞“一線三等角”模型，考查全等三角形的判定與性質(zhì)．（1）先根據(jù)等角的余角相等推出，再由證明，得，，進而可得結論；（2）由證明，得，，進而可得結論；（3）由以點、、為頂點的三角形與以點、、為頂點的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置決定，故需要對E，D的位置分：①當E在上，D在上時；②當E在上，D在上時；③當E在上，D在上時；④當E到達A，D在上時，分別討論．【詳解】解：（1）∵，，，∴，，，∴，又∵，∴，∴，，∴，即，故答案為：；（2）結論仍然成立，證明如下：∵，，，∴，，，∴，又∵，∴，∴，，∴；（3）∵以點D、M、C為頂點的三角形與以點E、N、C為頂點的三角形全等，∴，分情況討論：①當E在上，D在上時，即，，，∵，∴，∴；②當E在上，D在上時，即，，，∵，∴，∴；③當E在上，D在上時，即，，，∵，∴，∴（不符合，舍去）；④當E到達A，D在上時，即，，，∵，∴，∴．綜上所述，當或或時，以點D、M、C為頂點的三角形與以點E、N、C為頂點的三角形全等．7．如圖，中，，，，，，，動點以的速度從點出發(fā)沿路徑向終點運動；動點以的速度從點沿向終點點運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設運動時間為，則當秒時，與全等．【答案】6或或【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，可證明得到，，則可推出只存在這種情況，則由，再分，和，三種情況分別用含t的式子表示出的長，然后建立方程求解即可．【詳解】解：∵，，∴，又∵，∴∴，，∵，∴；∵與全等，∴只存在這種情況，∴，當時，點在線段上，點在線段上，∴∴，∴（不合題意，舍去）；②當時，點在線段上，點在線段上，∴∴，∴；當時，點在線段上，點在線段上，∴∴，∴；當時，點在線段上，點在線段上，∴∴，∴；綜上所述，t的值為6或或，故答案為：6或或．8．如圖，在中，，，，P、Q是兩個動點，點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線A－C－B的路線向終點B運動，同時點Q從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿折線B－C－A的路線向終點A運動，點P和點Q都運動到各自的終點時停止，設運動時間為t（秒），直線經(jīng)過點C，且l，過點P，Q分別作直線的垂線，垂足為E，F(xiàn)，當與全等時，t的值不可能是（

）A．2 B．2.8 C．3 D．6【答案】C【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、作圖-基本作圖、平行線之間的距離、勾股定理，根據(jù)題意得出關于t的方程是解題的關鍵．分三種情況討論得出關于t的方程，解方程求得t的值．【詳解】解：當P在上，Q在上時，如圖，過點P，Q，C分別作直線l于點E，直線l于點F，于點D，∵，∴，∵于E，于F．∴，，∴，∵，∴，∴，解得；當P在上，Q在上時，即P、Q重合時，則，由題意得，，解得；當P在上，Q在上時，即A、Q重合時，則，由題意得，，解得．綜上，當與全等時，t的值為2或2.8或6．∴t的值不可能是3．故選：C．題型三、三角形中的動點全等問題9．如圖，在中，于點分別是線段，射線上的動點，點P從點A出發(fā)，以的速度向點C勻速運動，點Q在射線上隨之運動，且．設點P的運動時間為，則當時，以點為頂點的三角形和全等．【答案】2或4【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是分情況討論，根據(jù)全等三角形對應邊相等求出的長度，進而得出的值．因為，所以分兩種情況討論：和，根據(jù)全等三角形對應邊相等求出的長，再結合點的運動速度求出．【詳解】解：情況一：，此時，已知，點的速度是，的長度就是點運動的路程，則，把代入，可得（秒）；情況二：此時．已知，，把代入，可得（秒）．綜上，當或4時，以點為頂點的三角形和全等．故答案為：2或4．10．在中，，，是直線上的一個動點，連接，過點作的垂線，垂足為點，過點作的平行線交直線于點．(1)基礎探究：如圖1，當點為的中點時，請直接寫出線段與的數(shù)量關系．(2)能力提升：如圖2，當點在線段上（不與重合）時，探究線段，，之間的數(shù)量關系（要求：寫出發(fā)現(xiàn)的結論，并說明理由）．(3)拓展探究：如圖3，當點在線段或者的延長線上運動時，分別畫出圖形并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關系．【答案】(1)(2)，理由見詳解(3)圖見詳解，當點在線段的延長線上運動時：，當點在線段的延長線上運動時：【分析】（1）根據(jù)證明，則可得，由點為的中點，可得，則可得，由可得；（2）同（1）證法相同，先證，則可得，由，，可得；（3）①當點在線段的延長線上運動時，同（1）得，由，可得；②當點在線段的延長線上運動時，同（1）得，由，可得．【詳解】（1）解：，理由如下：∵中，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，∵點為的中點，∴，∴，∴．（2）解：當點在線段上（不與重合）時，線段，，之間的數(shù)量關系為，理由如下：∵中，，，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴．（3）解：①如圖，當點在線段的延長線上運動時，同（1）得，∴∵，，∴；②如圖，當點在線段的延長線上運動時，同（1）得，∴，∵，，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、余角性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．11．（1）如圖1，和都是直角三角形，直角頂點都在直線l上，，其中，則有：．閱讀下面的解答過程并將①，②處補充完整．理由：因為所以，所以（①______）又因為所以（②______）（2）在中，．點D是直線上一動點，分別過點A，B作直線的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)．①如圖2，點D在線段上，試說明：；②如圖3，點D在線段延長線上，若，則______；③連接，若，的面積為4，直接寫出的面積．【答案】（1）同角的余角相等；；（2）①見解析；②8；③8或16【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，分類討論和設參數(shù)求解是解答的關鍵．（1）根據(jù)等角的余角性質(zhì)和“”求解即可；（2）①先根據(jù)余角性質(zhì)證明，進而利用“”證明結論即可；②證明得到，，進而求解即可；③分當點D在線段上時，當點D在線段的延長線上時，當點D中線段的延長線上時，三種情況，分別利用全等三角形的性質(zhì)和等高的三角形面積之間的關系求解即可．【詳解】解：（1）因為所以，所以（同角的余角相等）又因為所以；（2）①∵，，∴∴∴又∵∴；②∵，，∴∴∴又∵∴，∴，，∴；③當點D在線段上時，如圖2，連接，∵，的面積為4，∴，設，，∵，∴，，，∴，則，∴；當點D在線段的延長線上時，如圖3，∵，∴不滿足，故不符合題意，舍去；當點D中線段的延長線上時，如圖4，連接，同理可證，∴，設，，∵，∴，，，∴，則，∴，綜上，的面積為8或16．12．如圖，在中，，在中．現(xiàn)有一動點P，從點C出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點C停止，速度為．若另外有一個動點Q，與點P同時出發(fā)，從點A開始沿著邊運動，回到點A停止．若在兩點運動過程中的某一時刻，恰好和全等，設點Q的運動速度為，則的值為．【答案】或或【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，能根據(jù)點和點的位置進行正確的分類討論是解題的關鍵．根據(jù)題意畫出示意圖，對點和點的位置進行分類討論即可解決問題．【詳解】解：假設運動的時間為，當時，即點在上，如圖，若，則，，；若，則，，；當時，即點在上，若，則，，；若，則，，所以，當時，即點在上，此時，∴所以不存在和全等，綜上所述，點的運動速度為：或或，故答案為：或或．題型四、四邊形中的動點全等問題13．如圖，在長方形中，，，延長邊到點E，使，連接．動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿向終點A運動，當和全等時，會閃爍一下（閃爍時間極短，忽略不計），則首次閃爍與第二次閃爍的時間間隔為秒．【答案】5【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)．和全等，分兩種情況，①當時，，則，②當時，，則，即可解答．【詳解】解：和全等，分兩種情況，①當時，即當點P在上運動時，此時，則，∴；②當時，即當點P在上運動時，此時，則，∴，∴，即首次閃爍與第二次閃爍的時間間隔為5秒；故答案為：5．14．如圖，在長方形中，，延長到點E，使，連接，動點從點出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿向終點運動，設點的運動時間為t秒，當t的值為秒時，和全等．【答案】1或【分析】本題主要考查了全等三角形的判定．分兩種情況：當點P在上時，若；當點P在上時，若，結合全等三角形的判定解答即可．【詳解】解：在長方形中，，，∴，當點P在上時，若，∵，，，∴，滿足條件，此時；當點P在上時，若，∵，，，∴，滿足條件，此時；綜上所述，當t的值為1或秒時，和全等．故答案為：1或．15．如圖，在長方形中，，點是邊的中點，點是邊上的動點（點不與點重合），將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)當時，求證：；(2)求的面積：(3)當?shù)拿娣e是的面積的倍時，直接寫出線段的長．【答案】(1)見解析(2)(3)或【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．（1）過點Q作于H，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，可證明，得到，再由線段中點的定義得到，則，再證明，即可證明；（2）延長交于G，先證明，，由全等三角形的性質(zhì)得到，則，；（3）分點Q在點C右側(cè)和點Q在點C左側(cè)兩種情況，畫出對應的示意圖，討論求解即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，過點Q作于H，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∴，∵點是邊的中點，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：如圖所示，延長交于G，∵，∴，，∵點是邊的中點，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖所示，當點Q在點C右側(cè)時，過點Q作交延長線于H，由（2）可得，∵的面積是的面積的倍，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，同理可證明，∴；如圖所示，當點Q在點C左側(cè)時，過點Q作于H，同理可得，∴，同理可證明，∴；綜上所述，的長為或．16．如圖，直線，平分，過點作交于點．動點，同時從點出發(fā)，其中動點以的速度沿射線運動，動點以的速度在直線上運動．已知，設動點，的運動時間為．當動點在直線上運動時，若與全等，則的值為．【答案】或【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．分當在線段上時，，當在線段上時，，當在線段延長線上時，，當在線段延長線上時，四種情況，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，平分，∴，∴當在線段上時，，∴，∵，，∴，解得：，當在線段上時，，∴，∵，，∴，解得：，當在線段延長線上時，，∴，∵，，∴，解得：，當在線段延長線上時，，∴，∵，，∴，解得：，∴若與全等，則的值為或，故答案為：或．題型五、存在“拐點”的動點全等問題17．如圖，在長方形中，，，延長到點，使，連接，動點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿向終點運動，設點的運動時間為秒，當?shù)闹禐槊霑r，與全等．【答案】或【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，運用分類討論思想是解題關鍵．分兩種情況進行討論，①，②，根據(jù)題意得出和即可求解．【詳解】解：四邊形是長方形，，，，或，或．①如圖，當時，根據(jù)題意，得：，，，解得：；②如圖，當時，根據(jù)題意，得：，，，解得：；當或時，與全等．故答案為：或．18．【問題背景】如圖1，在中，已知，，是的高，，，過點的直線，動點從點開始沿射線方向以的速度運動，動點也同時從點開始在直線上以的速度向遠離點的方向運動，連接、，設運動時間為秒．【思考嘗試】（Ⅰ）請直接寫出、的長度（用含有t的代數(shù)式表示）：________，________．（Ⅱ）當為多少時，的面積為？【深入探究】（Ⅲ）如圖2，當點D在線段上，且時，是否與全等？說明理由：此時的值為多少？（Ⅳ）請利用備用圖探究，當點在線段的延長線上，且時，與有什么數(shù)量關系？請說明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ），（Ⅳ）【分析】本題考查了列代數(shù)式，解一元一次方程，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．（Ⅰ）根據(jù)題意列代數(shù)式即可；（Ⅱ）分點在線段上，點在延長線上兩種情況計算即可；（Ⅲ）由得到，根據(jù)得到，再根據(jù)得到，得出，即可得到；（Ⅳ）證明，即可得到．【詳解】解：（Ⅰ）由題意得，，，故答案為：；（Ⅱ）由題意得，當點在線段上時，，，，，；當點在延長線上時，，，；當為或時，的面積為；（Ⅲ），，理由如下：，，，，，，，，，，，，；（Ⅳ），理由如下，如圖，，，，，，，，，，，．19．如圖，在中，，高相交于點，且．(1)求線段的長；(2)設動點P從點O出發(fā)，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，同時動點Q從點B出發(fā)，沿線段以每秒4個單位長度的速度向終點C運動，當點Q到達C點時，P、Q兩點同時停止運動，連接．求當時，點P的運動時間是多少秒?(3)點F是直線上的一點且，動點P從點O出發(fā)，沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，動點Q從點B出發(fā)沿射線以每秒4個單位長度的速度運動，P、Q兩點同時出發(fā)，當點P到達A點時，P、Q兩點同時停止運動．設點P的運動時間為t秒，是否存在t值，使以點B、O、P為頂點的三角形與以點F、C、Q為頂點的三角形全等?若存在，請直接寫出符合條件的t值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)點的運動時間是1秒；(3)符合條件的t值為1s或s．【分析】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練運用分類討論的思想解決問題．（1）只要證明即可解決問題；（2）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計算即可得結論；（3）分為點F在的延長線時，當時，，可求得結果；當點F在上，點Q在的延長線上時，當時，，即可求得另一個值．【詳解】（1）解：∵是高，∴，∵是高，∴，∴，，∴，在和中，∴，∴；（2）解：設點的運動時間為秒，由已知得，，，，由（1）得，，，又，在和中，，，，，解得，點的運動時間是1秒；（3）解：存在t值，使以點B、O、P為頂點的三角形與以點F、C、Q為頂點的三角形全等；理由如下：①如圖中，當時，，∵，，∴．∴，∴，解得；②如圖中，當時，，∵，，∴，∴，∴，解得：，綜上所述，存在t值，使以點B、O、P為頂點的三角形與以點F、C、Q為頂點的三角形全等；符合條件的t值為1s或s．20．如圖，在中，，，，，現(xiàn)有一動點從點出發(fā)，沿著三角形的邊運動，回到點停止，速度為，設運動時間為．(1)如圖，當時，_____．(2)如圖，當______時，的面積等于面積的一半；(3)如圖，在中，，，，，在的邊上，若另外有一個動點，與點同時從點出發(fā)，沿著邊運動，回到點停止在兩點運動過程中的某一時刻，恰好≌，求點中的運動速度．【答案】(1)(2)或(3)運動的速度為或或或【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)及三角形面積、一元一次方程的幾何應用，分類討論思想，掌握全等三角形的性質(zhì)及分情況討論是解題的關鍵．（1）當時，點P在線段上，根據(jù)點P速度表示的長即可；（2）分兩種情況討論：①點P在上；②點P在上，利用三角形面積分別求解即可；（3）根據(jù)題意分四種情況進行分析，利用全等三角形的性質(zhì)得出點所走的路程，進而可求出的運動時間，即的運動時間，再利用速度路程時間求解即可．【詳解】（1）解：當時，點P在線段上，∵點P速度為，∴．故答案為：；（2）∵，，∴，∵的面積等于面積的一半，∴．①當點P在上時，，∴，．②當點P在上時，過點C作于點D，∵，，∴，∴，∵，∴，．故答案為：或（3）設點的運動速度為，①當點在上，點在上，時，，∴；②當點在上，點在上，時，，∴；③當點P在上，點在上，時，，∴點P的路程為，點Q的路程為，∴；④當點P在上，點Q在上，時，∴點P的路程為，點Q的路程為，∴．∴運動的速度為或或或題型六、動點全等中的面積問題21．如圖，在長方形中，厘米，厘米．動點P從點A出發(fā)，以2厘米/秒的速度沿運動；同時點Q從點C出發(fā)，以4厘米/秒的速度沿運動，當一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設點P運動的時間為秒．(1)用含t的代數(shù)式表示線段的長；(2)求t為何值時，與的面積相等；(3)求t為何值時，與全等；(4)是否存在t值，使，且？若存在，直接寫出t的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)當時，；當時，(2)或(3)(4)【分析】本題考查了動點問題，涉及了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握分類討論的數(shù)學思想是解題關鍵．（1）分類討論當和兩種情況即可；（2）由題意得，可得，類討論當和兩種情況即可；（3）由題意得是直角三角形，故點在上運動時，有，由此得，即可求解；（4）分析可知：當點在上運動時，存在，且的情況，可推出得，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：厘米，當時，；當時，；（2）解：由題意得：，∴，當時，，此時，解得：；當時，，此時，解得：；綜上所述：當或時，與的面積相等；（3）解：由題意得：是直角三角形，∴當，即點在上運動時，有與全等此時，∴∵，；∴，解得：；（4）解：分析可知：當點在上運動時，存在，且的情況，∵，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴∴，解得：．22．如圖，在中，，，為直線上一動點，連接．在直線的右側(cè)作，且，過點作直線于點．觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖①，當點在線段上時，判斷線段與之間的關系，并說明理由．探究遷移：（2）如圖②，當點在線段的延長線上時，連接交直線于點，試判斷（1）中的結論是否還成立？此時嗎？請說明理由．拓展應用：（3）如圖③，當點在線段的延長線上時，當，時，直接寫出和的面積．【答案】（1），，理由見解析；（2）線段與之間的關系不變，，理由見解析；（3）和的面積分別為20和120【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)．通過“同角的余角相等”證明兩角相等和靈活運用“割補法”求三角形面積是解答本題的關鍵．（1）通過證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再結合兩條線段的位置關系進而得出結論；（2）先證明可得線段和的關系不變，再證明，同樣可得出；（3）由（2）可知，和，可得，，，易得線段和的長度，進而求出；對于的面積，根據(jù)，可由“割補法”得到，即可求出答案．【詳解】（1）結論：，，理由如下，根據(jù)題意可知，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．∵在和中，，∴，∴，∵，∴，故線段與之間的關系為：且；（2）結論：線段與之間的關系不變，，理由如下：從圖②可知，，，∴，同理可得，，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（3）如圖③，當點在線段的延長線上時，同理可得，，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，則根據(jù)圖形面積割補法可得：，∴，∴和的面積分別為20和120．23．如圖，在中，，，為直線上一動點，連接．在直線的右側(cè)作，且．觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖①，當點在線段上時，過點作的垂線，垂足為，判斷線段與之間的關系，并說明理由；探究遷移：（2）將如圖①中的，連接，交直線于點，我們很容易發(fā)現(xiàn)．如圖②，當點在線段的延長線上時，連接交直線于點，線段和線段之間的關系有沒有變化？此時嗎？說說理由．拓展應用：（3）如圖③，當點在線段的延長線上時，當，時，求和的面積．【答案】（1）且，理由見解析；（2）線段與之間的關系不變，，理由見解析；（3）和的面積分別為24和88【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)．通過“同角的余角相等”證明兩角相等和靈活運用“割補法”求三角形面積是解答本題的關鍵．（1）通過證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再結合兩條線段的位置關系進而得出結論；（2）先證明可得線段和的關系不變，再證明，同樣可得出；（3）由（2）可知，和，可得，，，易得線段和的長度，進而求出；對于的面積，根據(jù)，可由“割補法”得到，即可求出答案．【詳解】（1）結論：，，理由如下，根據(jù)題意可知，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．∵和，，∴，∴，∵，∴，故線段與之間的關系為：且；（2）結論：線段與之間的關系不變，，理由如下：從圖②可知，，，∴，同理可得，，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，故本題結論為：與之間的關系不變，；（3）如圖③，當點在線段的延長線上時，同理可得，，，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，則根據(jù)圖形面積割補法可得：，∴，∴和的面積分別為24和88．24．如圖①，在中，．動點從點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿邊運動，返回到點停止．同時，點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿邊運動，回到點停止．設點的運動時間為秒．(1)當點到邊的中點時，若點到邊中點，則的值為______．(2)當?shù)拿娣e等于面積的一半時，求的值．(3)如圖②，在中，．在兩點運動過程中的某一時刻，以為頂點的三角形與全等，直接寫出的值．【答案】(1)(2)5或(3)或或或【分析】（1）先根據(jù)題意求得到，求出，由點運動到邊中點，得到點Q運動的路程為，由此列出方程求解即可．（2）分點P在上和點P在上兩種情況討論，根據(jù)三角形面積公式即可解答；（3）取中點，過點H作交于點，連接，證明，得到，由可得以為頂點的三角形與全等時，或，兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，，解得：，點運動到邊中點，點Q運動的路程為，，，；（2）解：當點P在上時，，，，；當點P在上時，設中邊上的高為h，，，，，，；綜上，當?shù)拿娣e等于面積的一半時，的值為5或；（3）解：如圖，取中點，過點H作交于點，連接，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴以為頂點的三角形與全等時，或，當，時，①點P在上且點Q在上，此時，∴，∴，即；②點P在上且點Q在上，此時，∴，∴，即；當，時，③點P在上且點Q在上，此時，∴，∴，即④點P在上且點Q在上，此時，∴，∴，即；綜上，以為頂點的三角形與全等時，的值為或或或．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，三角形的面積，三角形全等的判定和性質(zhì)，分類思想，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題的關鍵．題型七、動點全等中的最值問題25．如圖，在中，平分交于點，點，分別是和上的動點，當，時，的最小值等于．

【答案】3【分析】本題考查了垂線段最短的性質(zhì)，角平分線全等模型，熟練掌握各性質(zhì)并準確確定是解題的關鍵．在上取一點，使，連接，過點作于，易得，根據(jù)垂線段最短可知，利用三角形的面積求出，從而得解．【詳解】解：如圖，在上取一點，使，連接，過點作于，

是的平分線，，，，，∴，，，，解得，∴的最小值是3．故答案為：3．26．如圖，在中，，是的平分線．若P，Q分別是和上的動點，則的最小值是．【答案】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點之間，線段最短，垂線段最短：在邊上截取，連接，，過點作交于點，證得，于是有，因而，再根據(jù)垂線段最短，得到當點與點重合時，最小，等積法求出的長即可．【詳解】解：如圖，在邊上截取，連接，，過點作交于點，是的平分線，，在和中，，，，，∴當三點共線時，，最小，∵垂線段最短，∴當點與點重合時，最小，∵，，∴，即：，∴，的最小值為；故答案為：．27．如圖，在中，，平分，點P為線段上一動點，點Q為邊上一動點，當?shù)闹底钚r，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在上截取，連接，證明，得出，說明，找出當A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，根據(jù)三角形內(nèi)角和，求出結果即可．【詳解】解：在上截取，連接，如圖所示：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴當A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，如圖所示：∵，∴，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，找出使最小時點P的位置是解題的關鍵．28．如下圖所示，在中，，平分，為線段上一動點，為邊上一動點，當?shù)闹底钚r，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是找出使最小時點P的位置．在上截取，連接，證明，得出，說明，找出當A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，根據(jù)三角形內(nèi)角和，求出結果即可．【詳解】解：在上截取，連接，如圖所示：∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴當A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，如圖所示：∵，，∴，∴，故A正確．故選：A．題型八、全等三角形動點問題綜合29．在中，，點D是射線上一動點（不與點B、C重合），以為邊在其右側(cè)作，使得、，連接．(1)如圖①，點D在線段上，求證：．(2)設．當點D在射線上移動時，探究α與β之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)當點D在線段上移動時，，當點D在的延長線上時，；理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關鍵．（1）由，可證；（2）①當點D在線段上移動時，由（1）可知：，則，由，，可得，進而可得；②當點D在的延長線上時，同理求解作答即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：當點D在射線上移動時，或，理由如下：①當點D在線段上移動時，由（1）可知：，∴，∴，∵，∴，即；②當點D在的延長線上時，同理，，∴，∵，∴，∴，即．30．如圖，在中，，，點為射線上一動點，連接，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，E點旋轉(zhuǎn)至點F．(1)如圖1，過F點作交于點，求證：；(2)如圖2，連接交于D點，若，求證：是的2倍；(3)E是射線上一點，直線交直線于D點，若，則．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)或【分析】（1）由，可得，再結合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過即可證明全等；（2）過F點作交AC于H點，根據(jù)（1）中結論可得，即可證明，可得，設，，則，分別用含a的式子表示和，即可解題；（3）當點E在線段上時，過點F作于G點，設，，則，由（1）知，求得，，，由（2）知，求得，；當點E在線段的延長線上時，過點F作于G點，設，，則，由（1）知，，，，由（2）知，，即可．【詳解】（1）證明：證明：如圖1，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，；（2）證明：過F點作交于H點，如圖，

則，由（1）知，∵，，在和中，，，，，設，，則，，，即是的2倍；（3）證明：當點E在線段上時，過點F作于G點，如圖，∵，∴設，，∴，由（1）知，∴，，∴，由（2）知，∴，∴，∴；當點E在線段的延長線上