2025?2026學(xué)年山西大學(xué)附中高二(上)開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知全集U=R,A={x\x<0},B={x\x>1},則集合QG4U8)=()

A.{x\x>0}B.{x\x<1}C.{x|0<x<1}D.{x|0<x<1}

2.已知復(fù)數(shù)—為虛數(shù)單位)，5是z的共規(guī)復(fù)數(shù)，則的值為()

A.1B.苧C.1D.72

3.函數(shù)f(x)=口一?尸的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.?；)B.(焉)C.(|,1)D.(1,2)

4.在△/1BC中，其內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,/?,c,已知c=C,4=30。，8=15。，則邊長Q=()

A.B.73C.竿D.<6

5.己知/?(%)=￡：：二?匕3。，”:1是定義在R上的減函數(shù)，則0的取值范圍是()

A.(0,1)B.(0,1]C.(|,1)D,[1.1)

6.在三楂錐P中，點(diǎn)力在平面P8C中的投影是△PBC的垂心，若△ABC是等腰直角三角形且718=

AC=1,PC=g則三棱錐P-48C的外接球表面積為()

A.7B.?C.47rD.67r

7.已知函數(shù)/?(%)=3sE3>在區(qū)間[一果勺上的最小值為一3,則3的取值范圍是()

993

A.(-co,-]U[6,4-co)B.(-8,/U弓,+00)

3

C.(-8,-2]U[6,+oo)D.(-CO,-2]U[-,4-co)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

8.已知向量d=(2,1),3=+1),則下列結(jié)論正確的是()

A.若d1反則％=-《B.若五〃B,則％=±2

C.若工=1,則M—山=2D.若x=l,則G與族的夾角為銳角

9.在一次奧運(yùn)會男子羽毛球單打匕賽中，運(yùn)動員甲和乙進(jìn)入決賽(比賽采用三局兩勝制，即率先獲得兩局

勝利者嬴得比賽，隨即比賽結(jié)束),假設(shè)每局比賽中獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4.某同學(xué)利用計(jì)算

機(jī)產(chǎn)生1?5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)1,2或3時(shí)，表示甲獲勝，當(dāng)出現(xiàn)4或5時(shí)，表示乙獲勝，以每3個(gè)隨機(jī)

數(shù)為一組進(jìn)行冠軍模擬預(yù)測，如果產(chǎn)生如下20組隨機(jī)數(shù)：

423123423344114453525332152342534443512541125432334151314354,根據(jù)頻率估計(jì)概

率的思想，下列說法正確的有（）

A.甲獲得冠軍的概率近似值為0.65

B.甲以2：。的比分獲得冠軍的概率近似值為0.5

C.比賽總共打滿三局的概率近似值為0.55

D.乙以2：0的比分獲得冠軍的概率近似值為0.15

10.如圖，在正四棱柱ABCD-AiBiQDi中,底面正方形ABCD邊長為1,

/L4i=C，M為線段當(dāng)。上的一個(gè)動點(diǎn)，則下列說法中正確的有（）

A.己知直線1為平面力1G。和平面ABC。的交線，則平面力內(nèi)存在直線與

I平行

B.三棱錐M-的體積為定值

C.直線MG與平面&G。所成角最大時(shí)，麗=?函

的最小值為

D.ArM+4-73

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

11.拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，則“拋擲的兩個(gè)段子的點(diǎn)數(shù)之和是7"的概率為.

12.奇函數(shù)/'（'）是定義在［-2,2］的減函數(shù)，若/?（2。+1）+/（4。-3）＞0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

.正方體。的棱長為廣是棱，上的中點(diǎn)，平面截正方體所得截面的周

13BCD-4tBic153,E,81GG5AEF

長為______.

四、解答題：本題共5小題，共82分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

14.（本小題14分）

在五一假期中，某校組織全校學(xué)生開展了社會實(shí)踐活動，抽樣調(diào)查了其中的100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們參加社

會實(shí)踐活動的時(shí)間（單位：小時(shí)），并將統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制成如圖的撅率分布直方圖.另外，根據(jù)參加社會實(shí)踐活

動的時(shí)間從長到短按4：4：2的比例分別被評為優(yōu)秀、良好、合格.

（1）求a的值并估計(jì)該學(xué)校學(xué)生在這個(gè)五一假期中參加社會實(shí)踐活動的時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組

區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）：

（2）試估計(jì)至少參加多少小時(shí)的社會實(shí)踐活動，方可被評為優(yōu)秀.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）.

(3)根據(jù)社會實(shí)踐活動的成績，按分層抽樣的方式抽取5名學(xué)生.從這5名學(xué)生中，任選3人，求這3名學(xué)生成

績各不相同的概率.

15.(本小題16分)

如圖，在四棱錐P-zlBCO中，P71_L平面48C0,PA=AD=6,AB=2CD=6,AB//CD,AB1/10,F

為P0的中點(diǎn)，E為48的中點(diǎn).

(1)證明：PE//平面AC凡

(2)證明：4F1平面PCD.

(3)求直線與平面PCD所成角的正弦值.

16.(本小題16分)

已知函數(shù)f(%)=2sin2a)x+2\T3sina)xcos(jox-l(o>>0),且函數(shù)/(%)的最小正周期為TT.

(1)求/(%)的解析式，并求出f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)〃%)的圖象向左平移於單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及g(x)取得最大值

時(shí)x的取值集合.

17.(本小題18分)

△08C中，角力，B,C的對邊分別為a,b,c,已知c=2,(b+c)(sMC-sinB)=a(si?h4-sinB).

(1)求角C'的值；

答案解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算，利用數(shù)軸進(jìn)行數(shù)集的交、并、補(bǔ)運(yùn)算是常用方法，屬于基礎(chǔ)題.

先求AU氏再根據(jù)補(bǔ)集的定義求Q(AU8).

【解答】解：4U8={x\x>1或％<0},

:.Q(4U8)={x[0<x<1},

故選D.

2.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z=l—i,

所以]=l+i,中=喘|=向=*.

故選:B.

根據(jù)共規(guī)復(fù)數(shù)的定義和模長公式計(jì)算可得答案.

本題主要考查共規(guī)復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可計(jì)算得/X0)=-1V0,/(1)=1-(1)4<0,/(1)

所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(,1),

故選:故

函數(shù)零點(diǎn)附近函數(shù)值的符號相反，這類選擇題通可采用代入排除的方法求解.

本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念與零點(diǎn)定理的應(yīng)用，屬于容易題.

4.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閏=C，A=30°,B=15°,

所以C=180°-力-8=135°,

所以由正弦定理急=嬴'可得。=需=等=苧.

2

故選：C.

由已知利用三角形的內(nèi)角和定理可求C的值，進(jìn)而利用正弦定理可得a的值.

本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)

題.

5.【答案】0

【解析】解：要使函數(shù)/⑴=得二?;；3。，“<1在R上為減函數(shù)，

2a-1<0

需滿足2a—1+3a>^oga1?

0<a<1

故選：D.

由已知結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)及一次函數(shù)，對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可求.

本題主要考查了分段函數(shù)的性質(zhì)及一次函數(shù)，對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查垂心的性質(zhì)及應(yīng)用，空間中垂直關(guān)系的判定，三棱錐的外接球，屬十中檔題.

設(shè)AP8C的垂心為H,由力H1平面PC8可證明PCAC1BP,AP1BC,結(jié)合力B1AC推導(dǎo)出48,

AP,AC兩兩互相垂直，則外接球半徑R滿足(2R)2=4p2+4B2+"2,求出力p代入求解.

【解答】

解：設(shè)aPBC的垂心為H,則平面PCB,所以

又BH1PC,所以PC1平面ABH,所以PC1A8,

同理ACIBP,AP1BC.

因?yàn)榱l",AB1PC,AC,PCu平面APC,ACdPC=C,

所以481平面力PC,所以481AP,

又因?yàn)?P_L8C,AB,BCu平面ABC,ABdBC=B,

所以力P1平面ABC,所以力P1AC,則4P=PC2-AC2=/2,

因?yàn)?B,AP,AC兩兩互相垂直，設(shè)三棱錐P—4BC的外接球半徑為R,

則(2R)2=AP2+AB2+AC2,

所以4R2=4,球的表面積為4TTR2=47T.

故選：C.

7.【答案】D

【解析】解：當(dāng)3>0時(shí)，函數(shù)/(%)=3s)3%在區(qū)間［一號,勺上的最小值為一3,

JT,

(3N'-6k-

則—geo工一1+2k兀W*3(k€Z),即J3>8k—2，解得32宗

LGZ

(3W,-6k

當(dāng)3V0,同理可得.3W2k7r-gw-g3(kWZ),BP|a)<g/<_2,解得3工一2,

LeZ

綜上得，3<—2或3>方；

故選：D.

對3分3>。與3<0兩類討論，函數(shù)/⑴=3s比3%在區(qū)間［冶幣上的最小值為-3,利用正弦函數(shù)的最值

分別列式求解即可.

本題考查正弦函數(shù)的最值性質(zhì)，考杳分類討論思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

今【答案】AD

【解析】【分析】

本題考查平面向量坐標(biāo)表示，平面向量的垂直，平行，模長與夾角.屬于基礎(chǔ)題.

利用平行向量坐標(biāo)，逐個(gè)對照選項(xiàng)作出判斷即可.

【解答】

解：對于選項(xiàng)A,若G1則G?B=0=2%+x+1=0=x=-《，故A正確：

對干選項(xiàng)B,若G〃B,則2(%+1)=%="=-2,故4錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)C，若匯=1,則值一方二(1,一1),從而|G-E|二，L故C錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)。，若x=l,則6,3=2+2=4>0,且G與石不平行，故日與族的夾角為銳角，故。正確.

9.【答案】ACD

【解析】解：對于4表示甲獲得冠軍的數(shù)有423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,

334,151,314共13組數(shù)，

故估計(jì)該場比賽甲獲勝的概率為非=0.65,故A正確；

對于B,表示甲以2：0的比分獲得冠軍的數(shù)有：123,114,332,125,334,314,共6組數(shù)，

故估計(jì)甲以2：0的比分獲得冠軍概率為4=0.3,故8錯(cuò)誤；

對于C,表示比賽總共打滿三局的數(shù)有：423,423,344,525,152,342,534,512,432,151,354

共11組數(shù)，

故估計(jì)比賽總共打滿三局的概率為非=0.55,故。正確；

對于0,表示乙以2：0的比分獲得冠軍的數(shù)有：453,443,541共3組數(shù)，

故估計(jì)乙以2：0的比分獲得冠軍的概率為4=0.15,故。正確.

4U

故選:ACD.

由20組隨機(jī)數(shù)中分別先求出甲獲得冠軍的數(shù)，甲以2：0的比分獲得冠軍的數(shù)，比賽總共打滿三局的數(shù)和乙

以2：0的比分獲得冠軍的數(shù)，從而可求出各選項(xiàng)頻率，進(jìn)而可得答案.

本題主要考查了簡單隨機(jī)抽樣的應(yīng)用，考查了利用頻率估算概率，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【蟀析】解：4項(xiàng)，因?yàn)?G〃平面且4G。平面41G。，

所以平面4Go和平面的交線〃4G，

而4G與平面488遇1相交，則平面488遇1內(nèi)不存在直線與&G平行，

即不存在直線與直線!平行，故A錯(cuò)誤；

B項(xiàng)，&C〃平面4G。，所以點(diǎn)M到平面4G。的距離為定值，

而三角形4G。的面積為定值，故三棱錐M-4G。的體積為定值，故8正確；

項(xiàng)C,記M到平面4到距離為d,由選項(xiàng)8可知，d為定值，

記直線MG與平面4C】D所成角為。E[0,芻，

貝何九夕二島，又正弦國數(shù)在[0,月上單調(diào)遞增，

則e最大時(shí)，s加。最大，從而即為|MC]|最小時(shí)，

此時(shí)MG1C8],由相似可得而,西，故C正確；

選項(xiàng)。，作平面8也傳。與平面8&C的展開圖如圖所示，

則41M+MB的最小值即為展開圖中線段的長，

RtAR&C中,BC=1.BR、=G所以〃兄8屋，

從而，中，

2

由余弦定理可知，AAB=l+3-2xlx/3x(-i)=4+/3,

從而+MB的最小值為J4+故。錯(cuò)誤.

a

故選BC.

選項(xiàng)A,涉及到線面平行的判定定理，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線平行于另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，那么

這兩個(gè)平面平行.

選項(xiàng)8,三棱錐體枳公式為V=：S/i(S為底面積，h為高)，需要確定三棱錐的底面積和高來計(jì)算體積.

選項(xiàng)C涉及線面角的知識，線面角的正弦值等于線與面的法向量夾角的余弦值的絕對值.

選項(xiàng)。，利用空間幾何中的最值問題求解.

本題考查了空間向量法求解直線與平面所成的角，屬于中檔題.

11.【答案】I

【解析】解：拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，總的基本事件有6x6=36件，

其中點(diǎn)數(shù)之和是7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6件，

則“拋擲的兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是7"的概率為2=：.

3bo

故答案為:2.

先求出總的基本事件，再列舉出點(diǎn)數(shù)之和是7的基本事件，從而利用古典概型求解即可.

本題考查古典概型相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)遂行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，屜于中檔題.

根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】

解：由f(2a+1)4-/(4a-3)>0得f(4a-3)>一/(2a+1),

???f(x)是奇函數(shù)，???f(4a-3)>-f(2a+1)=/(-2a-1),

???f(x)是定義在［-2,2］的減函數(shù)，

-2<2a+1<2

-2<4a-3<2,解得,<a<1,

4—2<—2a—1

即實(shí)數(shù)Q的取值范圍是右片），

故答案為

13.【答案】3/13+1^

【蟀析】解：根據(jù)題意，如圖所示：正方體48。。一4當(dāng)6。1的校長為3,

E,尸是棱BiQ,G5上的中點(diǎn)，

連接E、F,并延長與力iBi.&Di分別交于G,",連接4G,4”分別交

BBi，于點(diǎn)M,N,

則五邊形/NFEM為平面;4EF截正方體所得的截面,

因?yàn)镋,F分別是8]C[,G。]的中點(diǎn)，

所以易得NGEF=N，F(xiàn)Di=：,

所以B]G=B.E=C.F=D】F=豺B=p

因?yàn)椤?]MG~△8M4,所以當(dāng)「=等5=，

xBMBA2

可得=同理可得D1N=：N0=1,

所以五邊形ANFEM的周長為2（回7+J77i）+/1刁=36+苧.

故答案為：3/13+f/2.

由直線EF與力1B1.45分別交于G,",連接4G,71〃分別交3當(dāng)，。5于點(diǎn)M,N,得到五邊形4NFEM為

平面4EF截止方體所得的截面，然后根據(jù)E,尸為中點(diǎn)，利用三角形相似，確定點(diǎn)M,N的位置求解.

本題考查平面的基本性質(zhì)，涉及截面的判斷，屬于中檔題.

14.【答案】解：(1)由(0.02+0.06+0.075+Q+0.025)x4=1,解得a=0.07,

(0.02x12+0.06x16+0.075x204-0.07x24+0.025x28)x4=20.32,

???該學(xué)校學(xué)生假期中參加社會實(shí)踐活動的時(shí)間的平均數(shù)約為20.32小時(shí).

(2)由題意可■知，即求60百分位數(shù)，

Xv(0.02+0.06)X4=0.32,(0.02+0.06+0.075)x4=0.62,

???60百分位數(shù)位于18?22之間，設(shè)60百分位數(shù)為y,

則務(wù)必=”薩，解得y=18+*21.73

loU.S1□

故至少參加21.73小時(shí)的社會實(shí)踐活動，方可被評為優(yōu)秀.

(3)易知，5名學(xué)生中,

優(yōu)秀有5、儡=2人,設(shè)為4B,

良好有5、儡=2,人，設(shè)為CD,

合格有5X1；%=1人，設(shè)為E.

任選3人，總共有(4,8,C),(A,B,D),(4,8,E),(4。,。)，(4&E),(4,D,E)(B,C,D),任,C,E),

(B,D,E),(C,D,E),10種情況,

其中符合的有(4C,E),(4D,E),(B,C,E),(8,D,E),共4種,

故概率為p=4=|.

【解析】(1)利用頻率之和為1得到方程，求出Q,利用平均數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算；

(2)即求60百分位數(shù)，先得到60百分位數(shù)位于18?22之間，設(shè)出60百分位數(shù)為y,從而得到方程，求出答

案：

(3)按照分層抽樣的概念得到優(yōu)秀，良好，及格的人數(shù)，并列舉出求解相應(yīng)的概率.

本題主要考查頻率分布直方圖的反用，概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

15.【答案】(1)證明：因?yàn)?8=2CZ)=6,AB//CD,ABLAD,F為PD的中

點(diǎn)，E為48的中點(diǎn)，

連接EC,ED,設(shè)EDnAC=O,連接。兒

可得四邊形力DCE為矩形，

可得0為OE的中點(diǎn)，所以。F〃P￡,

又因?yàn)镻EU平面力CE,OFu平面ACE,

所以PE〃平面ACE；

(2)證明：因?yàn)镻4_L平面/8C0,COu平面48CD,

所以1CD,

易證得。，

CD1AADnPA=Af

所以CD_L平面PAD,

因?yàn)锳Fu平面P40,

所以4F1CD,

又因?yàn)镻/1=AO,F為P。的中點(diǎn)，

所以4F1PD,

乂因?yàn)镻DnCD=D,

所以4F1平面PCD；

(3)解：PA=力。=6,AB=2CD=6,

可得力C=y/AD2+CD2=V36+9=3/5，AF=^PD=PA2-VAD2=卜36+36=372,

由(2)可得?IF1平面PCD,

所以乙AC尸為直線月C與平面PC。所成的角，

所以3山"=喘=禁=粵

AC3V55

所以直線力。與平面PCD所成角的正弦值為

【解析】(1)連接EC,ED,設(shè)EDnAC=。，連接OF,由題意易證得O/7/PE,進(jìn)而可證得結(jié)論：

(2)易證得AF1C。，AF1PD,進(jìn)而可證得結(jié)論；

⑶由⑵可得41CF為直線4C與平面PCD所成的角，由題意求出”，AC的值，進(jìn)而可訐得直線"與平而

PCD所成角的正弦值.

本題考查線面平行的證法及線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，線面所成角的正弦值的求法，屬于中檔題.

16.【答案】/(x)=2s出(2%—,遞增區(qū)間為[一名+時(shí)吟+時(shí)，kEZ；

dWmax=2，相應(yīng)％的取值集合為｛x[x=^+kn,kEZ]

【蟀析】(1)由題意得f(x)=2x1-笠23"+>J~3sin2a)x—1=V_3sin2a)x—cos2a)x=2sin(2cux—

根據(jù)/'(%)的最小正周期T=工=兀，解得3=1,所以/■(%)=2sE(2x-愛,

令—]+2kn<2%—^<^+2kli@EZ),解得一+ZCTT<x<^+k?i(kEZ),

所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為[一*+kzrA+攵捫，k￡Z；

oo

(2)將/(無)的圖象向左平移煮個(gè)單位長度，

可得y=f(x+弓)=2sin[2(x+|)-^]=2sin(2x+看)的圖象,

所以g(x)=2sM(2%+1),

令2x+7=?+2kn(kEZ),解得％=[+kn(k€Z),

6Lb

所以當(dāng)x=*+k7r,k￡Z時(shí)，g(x)取得最大值2,

o

綜上所述，g(x)的最大值為2,當(dāng)g(x)取得最大值時(shí)，”的取值集合為fx|%=5+0r,/c￡Z].

(1)根據(jù)三角恒等變換公式化簡得f(x)=2sin(2x-I),然后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得/?(%)的單調(diào)遞增區(qū)

間；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換，求得g(x)=2sin(2x+l),進(jìn)而杈據(jù)正弦函數(shù)的最大值及相應(yīng)的”的取值集

合，列式求出本題答案.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，考查了計(jì)算能力、邏輯推理能

力，屬于中檔題.

17.【答案】全

4厲

3/3

【解析】(1)因?yàn)?b+c)(sinC-sinB)=a(sinA-sinB),

正弦定理可得S+c)(c-b)=a(a-b),

整理可得出+b2-c2=ab,

由余弦定理可得彥+b2—c2=2abcosC,

可得cosC=I，

在AABG44,Ce(O,TT),

可得

(2)因?yàn)閏=2,由正弦定理可得急=焉=就=￡=為

2

可得Q=,siTL4,b=4=sinB,

可得a+2b=(sinA+2sinB)=-X[sin(j+8)+2sinB]

4

mV231

6cosB+-^sinB+2sinB)

4

25

mcosB+5sEB)

乙

4V21.s?，\I3

=~^—s\n(B+(p),tancp=

所以Q+2b的最大值為警；

(3)因?yàn)?8邊的中線CD長為2,c=2,

由余弦定理可得c?=a2+b2—2abcosB=a2+b2—ab,

即4=a2+b2—ab,①

_2_22

K2CD=+兩邊平方可得4而=CB+CA+2CB-CA=a2+b2+2abcosB=a2^-b2+ab,

即16=a?+標(biāo)+ab,②

②—①可得2ab=12*川得ab=6,

所以△ABC的面積S=^absinC=1x6x=考5.

(1)由正弦定理，余弦定理可得cosC的值，再由角C的范圍，可得角C的大??；

(2)由正弦定理可得a,b的表達(dá)式，