平面向量的數(shù)量積

（6類核心考點精講精練）

Ia.考情探究

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運算

2024年天津卷,第14題,5分

律數(shù)量積的坐標(biāo)表示

余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式

2023年天津卷，第14題,5分

求積的最大值

2022年天津卷，第14題,5分用基底表示向量向量夾角的計算

2021年天津卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運算律

2020年天津卷，第15題,5分已知向量共線（平行）求參數(shù)用定義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標(biāo)表示

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較高，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握向量的數(shù)量積公式

2.能掌握向量的模長，垂直于投影公式

3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助直角坐標(biāo)系：求解向量的數(shù)量積與夾角模長等問題

4.會解借助點坐標(biāo)解決最值與取值范圍問題

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出圖形，要求線性表示與數(shù)量積，模長與角度問

題。

考點梳理?

L知識點一.向量的夾角{考點三、角度間愿

知識點二.平面向量的數(shù)量積考點一、平面向量數(shù)量積的計算

知識點三.平面向量數(shù)量積的幾何意義考點二、模長問題

平面向量的數(shù)量積

知識點四.向量數(shù)量積的運算律

考點四、向量垂直的應(yīng)用

知識點五.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論I考點五、投影問題

考點六、數(shù)量積求最值取值范圍問題

知識點六.常用結(jié)論

知識講解

知識點一.向量的夾角

已知兩個非零向量/b,。是平面上的任意--點，作次=moh=h,則4^=優(yōu)00上兀)叫做向量。與6

的夾角.

知識點二.平面向量的數(shù)量積

已知兩個非零向量〃與力，它們佗夾角為"我們把數(shù)量回囪咯2叫做向量。與力的數(shù)量積，記作包

知識點三.平面向量數(shù)量枳的幾何意義

B、D

設(shè)“，力是兩個非零向量，它們的夾角是0,e是與6方向相同的單位向量，油=a,cb=b,過靜的起點力

和終點8,分別作劭所在直線的垂線，垂足分別為4,B1,得到抽，我們稱上述變換為向量。向向量力

投影,A\d\叫做向量“在向量6上的投影向量.記為0cos()e.

知識點四.向量數(shù)量積的運算律

{\}ab=ha.

(2)(/.a)b=i.(ab)=a(〃>).

(3)(4+6)?c=ac+bc.

知識點五.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量〃=(M，")，力=(刈，丁2)，〃與力的夾角為。

幾何表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積“?b=|a||b|cos0a-b=X}X2±XiXi

模\a\=aa\a\=行+爐

0xixz+yi/

夾角cos0=bcos0=

同網(wǎng)xi-iyl

aLb的充要條件ab=0xiX2+yiV2=0

|。到與與步|的關(guān)系\a-b\<\a\\b\\x\X2+y\yi\<(x?+y?)(/+同)

知識點六.常用結(jié)論

1.平面向量數(shù)量積運算的常用公式

⑴([+'),(〃-5)="2—力2；

(2)(〃±/＞)2=“2±2〃力+出

2.有關(guān)向量夾角的兩個結(jié)論

(I)若4與方的夾角為銳角，則4坊＞0：若〃?比＞0,則〃與6的夾角為銳角或0.

(2)若。與b的夾角為鈍角,則姑加0；若a?b〈0,則0與b的夾角為鈍角或兀

考點一、平面向量數(shù)量積的計算

典例引領(lǐng)

1.(2024?河南濮陽?模擬預(yù)測)已知向量同=2,了在方方向上的投影向量為-3區(qū)則方小=()

A.12B.-12C.6D.-6

【答案】B

【分析】由題意得向cos值，司=-6,結(jié)合數(shù)量積的公式即可求繹

【詳解】因為方在五方向上的投影向量為-3五，

所以(同cos(五㈤埔=-3五，

而同=2,所以問cos值司=-6,

所以益?b=|a||b|cos(a,b)=—12.

故選：B.

2222

2.(2024?海南?模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓。*+與=1(。＞8＞0),點N(：n),

若以MN為直徑的圓過橢圓C的右焦點"(c,0),M(OA?-V2OF)?(OM+V2OF)=0MNM,則橢圓C的離心

率為()

0N=()

A.義B?昌C.1D.2

1+k21+如

【答案】c

【分析】先聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理可求出％62，%力，根據(jù)向量數(shù)量枳可求答案.

【詳解】聯(lián)立｛（%_］）2；］）2=］，得（1+好）%2-2（/c+l）x+1=0,

則A>0,即4（k+l）2-4（k2+i）>0,所以k>0,

設(shè)時01，力）,可（外,丫2），貝|J：x^x2=—2^丫1力=k=7；衣，

OMON=XiX2+y/2=（1+/）./；］=1.

故選：C

3.12024?河南周口?模擬預(yù)測）已知△4BC中，AC=204c=%AD為BC上的高，垂足為D,點E為

4

AB上一點，且<E=2EB,則而?而=（）

A.--B.-C.--D.-

3333

【答案】A

［分析】利用向量的線性關(guān)系及數(shù)顯積的運算律得CE?40=；C4?40+￡C8?力?？傻么鸢?

【詳解】如圖所示，

由題意可知，AC=2\/2,^ADC=AACD=故40=2,

24

因為/1E=2E8,

所以方=/+荏=/+：而=襦+：（而一不）=g不+|而，

則荏?而=QcX+河）?麗=-~AD+|CF?AD

=如川.|砌cos年二-*

故選：A.

4.12024?四川涼山?三模）在△4BC中，已知48=1,4C=3,點G為△48C的外心，點0為△力BC重心,

則就.BC=.

【答案W

【分析】設(shè)8C的中點為0,根據(jù)三角形外心性質(zhì)，得G0_L8C,由重心性質(zhì)得面=X而+冗)，再根據(jù)數(shù)

量積運算即可求解.

【詳解】設(shè)BC的中點為D,連接4),GD,

由點G為△48C的外心,可得GD18C,

由點0為△48。重心，可得而=!同=；(南+尼)，

36

故而-BC=(dD+DGyBC

=OD~BC+0

]I?.…

=：Q4B+4C)?(4C-4B)

6

=i(4C2-^2)=ix(9-l)=j

故答案為：j.

5.(2024?天津河西?二模)在四邊形48co中，AB1AD,CB1CD,乙ABC=60。,AB=2,AD=x/3,E、F

分別為線段的中點，若設(shè)而=五，近=直則方可用五，石表示為；EFCD=.

【答案】)

【分析】利用向量的加法可以求出第一個空：通過轉(zhuǎn)化確定I而I及而與而，灰的夾角，代入數(shù)量積的計算

公式即可求出第二個空.

【詳解】

由題意得，EF=EA+AD+DFjF=EB+BC+CF,

由E、尸分別為線段AB、CD的中點，知瓦？+麗=6,DF+CF=0,

因此，2EF=EA+AD+DF+EB+BC+CF=AD+BC

...'EP=3五+gb：

延長力。、8C交一點G,由48J./O//18C=60°,AB=2,AG=2V3,lLzDGC=30°.

AD=V3,.*.DG=6

又???CB1CD,???Z-GCD=90°,???CD=當(dāng)/GDC=60°,則=120°

EF-CD=-(AD+硝?而=rAD?CD+-~BC?CD=-AD?CD=-|ZS|?|CD|cosl200=1xV3X—X

2222222

d

故答案為：J五+；b；—

LZo

考點二、模長問題

典例引領(lǐng)

1.(2020?全國?高考真題)設(shè)瓦石為單位向量，且|五+了|=1,則|五-臼=.

【答案】V3

【分析】整理已知可得：\a+b\=JCa+b)2,再利用乙萬為單位向量即可求得2五不=-1,對|五-同變形

可得：忸一用=小司2一2萬.方+|訐，問題得解.

【詳解】因為乙方為單位向量,所以同=\b\=1

所以|互+用=J(L+.)2=J|司2+2互?萬+，2+2d?石=1

解得：2五?萬=一1

所以忸一用=J(a-b)2=Jlaf2-Za-'b+|b|2=V3

故答案為：V3

【點睛】本題主要考查了向最模的計算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

2.(2024?河南?二模)若向量五萬滿足同=1,但+石)15(五+2司_1鬲則同=()

A.V2B.V3C.2D.3

【答案】A

【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因為向量五，1滿足區(qū)|=1，@十方)①十2&J.五，

所以0+b)?b="b+|b|2=『b+i=o,即五,b=—1,

所以0+21)?N=|司2+2無方=。則同=企.

故選：A.

電即時檢測

].(2024?河南濮陽?模擬預(yù)測)已知4(1,0),8(0,1),C(cosa,sina),?！?0,九)，若|元|=|近貝胴的值為

()

【答案】C

【分析】根據(jù)向量模長公式結(jié)合同角三角關(guān)系可得tana=1,即可得結(jié)果.

【詳解】由題意可得：ilC=(cosa—1,sina),FC=(cosa,sina-1),

若|叼=\BC\^則J(cosa-I)2+sin2a=Jcos2a+(sina-1)2,

可得2-2cosa=2-2sina,則tana=1,

且?！?0,兀)，所以a=；

故選：C.

2.(2024?河北?三模)已知非零向量有，石的夾角為泉a=(-y,1),\a-b\=1,則|五+同=()

A.1B.yC.V2D.y/3

【答案】D

【分析】分析可知|d|=1,向量優(yōu)d-方的夾角為會根據(jù)d+方=21-6-萬)結(jié)合數(shù)量積的運算求解.

【詳解】因為五二(一?彳)，則同=1,

且非零向量心加的夾角為京忖一川=1,可知向量五，石的夾角為泉

則工?(a—b)=1x1x

所以|五+同=12a—(a—b)|=J4a2—4a-(a—/?)+(a-=V3.

故選：D.

3.(2024?陜西西安?二模)已知向量7i=石=忖+同=同,則m=()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【分析】結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算，即可求解.

【詳解】因為向量W=(2,m),1=(l,l),由|方+司=|a|,可得五2+2五4+京=五2,所以2(2+m)+2=0,

解得m=-3.

故選：A

4.(2018?遼寧朝陽?三模)已知向量五與了的夾角為60°,同=2,揚|=3,則|3五一2同=.

【答案】6

【分析】根據(jù)模長公式結(jié)合數(shù)量積的定義和運算律即可求解.

【詳解】由題意，向量W與石的夾角為60。，同=2,同=3,

2

所以(3W-2b)=9a2-12a-b+4b2=9x22-12x2x3cos60°+4x32=36,

所以因一2同=6,

故答案為：6

5.(2024?四川資陽二模)已知向量五，石的夾角為15()。，且同=2,同=2,則怔-6同=()

A.1B.2-V3C.2+V3D.2夕

【答案】D

【分析】借助向量模長與數(shù)量積的關(guān)系與數(shù)量積的計算公式計算即可得.

【詳解】因為("6。=卜|-2V3a-b+3b=4-2次x2x2x(-+3x4=28,

所以怔一演|=26.

故選：D

6.(24-25高三上?廣東?開學(xué)考試)已知萬二(sinx,-l),q=(cosx,1),若力則歷一切=.

【答案】5

【分析】借助向量垂直可得其數(shù)量積為0,利用向量數(shù)量積公式F模長公式計算后結(jié)合三角函數(shù)基本關(guān)系即

可得解.

【詳解】由乃_L耳，則有了可=sinxcosx—；=0,即sinxcos%=；,

Xp-q=(sinx-cosx,—g),

貝1J歷一712=(sinx-cosx)2+-=sin2x+cos2x-2sinxcosx+-=1-1+-=-,

4444

故

故答案為：I

7.(24?25高三上?湖北?階段練習(xí))若平面內(nèi)不共線的向量五石1兩兩夾角相等,且同=1,同=2,|7|=3.

貝(JR+刃+=_________二

【答案】V3

【分析】把向量的模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，再應(yīng)用數(shù)量積運算律計算求解?.

【詳解】因為平面內(nèi)不共線平面向量乙石工兩兩的夾角相等，

即工花片兩兩的夾角為120。，

a+b+c=J(Q+b+c)2=yja2+b2+c2+2a-b+2a-c+2b-c

=J掰+歷/+p|2+2a-b+2a-c+2b-c

l2+22+32+2xlx2x+2x1x3x+2x2x3x

故答案為：V3.

考點三、角度問題

典例引領(lǐng)

1.（202（）?浙江?高考真題）設(shè)萬，五為單位向量，滿足|2萬一司工企，a=ej+ej,石=3/+皎，的，b

的夾角為仇貝kos2。的最小值為

【答案】H

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化簡條件得久?五N：，再根據(jù)向量夾角公式求cos20函數(shù)關(guān)系式，

4

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值.

【詳解】???|2齊一可<V2,

.%4-45j-eJ+1<2,

k一、3

???e}-e2>丁

2c（互?萬￥（4+4百五）24（1+百?⑸

a2?京（2+2百?豆）（10+6百?無）5+3荷?無

24

一式4門1一直醞W>）>毛/（11一三2斑、）一2女8

4

故答案為：

【點睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調(diào)性求最值，考杳綜合

分析求解能力，屬中檔題.

2.（24-25高三上?貴州?開學(xué)考試）若向量刁=（-2,2）.石=（-1,3）的夾角為6.則cos。=（）

A.*B.漁C.竺D.-更

5555

【答案】C

【分析】由向量夾角公式，數(shù)量積及模的坐標(biāo)計算公式求解即可.

【詳解】由題可知，cos”矗二屏二季

故選：C.

?即時檢測

1.（2024?山西太原?二模）已知同=|同=1,|c|=V3,a+b+c=0,則與書的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】C

【分析】依題意可得下=-但+司，將兩邊平方，由數(shù)量積的運算求出Z?瓦再由夾角公式計算可得.

【詳解】因為同=同=1,|c|=V3,a+b+c=0,

所以Z=-（方+石），則Z2=/+2日?石+京，g|J（V3）2=I2+2a-b4-I2,

解得2不二5

設(shè)匕與石的夾角為仇則又0。工6工180。，

所以。=60。，即五與了的夾角為60。.

故選：C

2.（2024?甘肅蘭州?三模）已知向量方=（1,-2）,石=（一1,-2）,設(shè)方與石的夾角為州則sin”（）

A--B-C--D-

50'5J555

【答案】D

【分析】用夾角公式計算出余弦值后，再根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系即可算出正弦值.

【詳解】因為五=（1,一2）花=（一1,一2）,

?*-4

所以a"=3,|a|=V5,\b\—V5.

所以cos3=；

HH

因為。為五與了的夾角，所以sinb=Vl-cos20=1.

故選：D

3.123-24高三上?湖北十堰?開學(xué)考試）已知平面向量之上滿足小值+司=3,且而=2,忖=1,則向量；

與Z夾角的正弦值為（）

A.B.-vC.；D.今

2222

【答案】D

【分析】運用數(shù)量積性質(zhì)和定義計算夾角，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系可解.

【詳解】a-（a+b）=3=>a24-ab=3=>a-b=-1=|a||Z?|cos（a,b）=cos（五力）=—1.

因為但E）e[0,n],sin（a,b）=Jl-cos2（a,h）=Jl-0=y.

故選：D.

4.(24-25高三上,貴州貴陽?開學(xué)考試)已知向量瓦贏足同=4,|司=10,且N在E上的投影向量為-鈍，則

向量工與向量石的夾角為()

A，-6°B，-3JC—35D—6

【答案】C

【分析】先利用投影向量求出數(shù)量積，利用夾角公式可得答案.

【詳解】依題意，五在刃上的投影向量為需方二一/，則五?石二一白面2=一20,

|匕|5D

于是cos位㈤=品=瞪=-3而［0加，則值，質(zhì)=手

所以向量元與向戟的夾角為

J

故選：c

5.(24?25高三上?浙江?開學(xué)考試)已知向量五=(1,2),石=(2-44),若五與石的夾角為銳角，則A的取值范圍

是.

【答案】(-2彳)嗚+8)

【分析】根據(jù)題意列出不等式即可.

【詳解】因為的夾角為銳角，

所以3b>0且Z,b不能同向共線，

所知=2x(2—江

解得入>—2且4牛g

故答案為：(一2彳)1；6，+8).

考點四、向量垂直的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.(2021?全國?高考真題)已知向量互=(1,3),石二(3,4),若(萬一疝)_L氏則4=.

【答案】I

【分析】根據(jù)平面向曷數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出.

【詳解】因癡-腐=(1,3)-乂3,4)=(1-3尢3-4#,所以由值一延)1萬可得,

3(1-3/1)+4(3-4A)=0,解得A=

故答案為：

【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)互=(右,力)方=(次，力)，

道15=互?方=0=+y02=0，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分.

2.(23-24高三下?山東青島?開學(xué)考試)已知向量W=(log43,si吟)，h=(log38,m),若五_L反則/n=()

A.-2V3B.一百C.V3D.2V3

【答案】C

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合對數(shù)的運算即可求解.

【詳解】由互_L反可知log43?1。a8+77ism,=0,

即log48—當(dāng)瓶==0,解得m=V5.

故選：C

即時檢測

1.(22-23高三下?安徽池州?階段練習(xí))已知點M(l,—1)和拋物線C:y=*工2,過。的焦點且斜率為4的直線與

C交于4B兩點.若力MIBM,則k=()

A.竺B.-竺C.1D.—工

171722

【答案】C

【分析】設(shè)力(勺,力)，8(%2,%)，直線A8方程y=kx+l,然后由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y,利

用根與系數(shù)關(guān)系，表示出0+%2，丫/2，從而可表示出力+、2，丫少2，進(jìn)而由祠,兩=0求出上的值.

【詳解】拋物線標(biāo)準(zhǔn)形式d=4y,焦點坐標(biāo)(0,1),設(shè)4(與,月)，8(0,乃)，

直線方程y=kx+l,代入拋物線方程得/-仇X-4=0,

12

所以A=16k4-16>0,%i+x2=4k,x1x2=-4,

x

+y2=k(%i+2)+2=4k2+2,yAy2=3%澧=1,

所以AM,BM=(1-—1—Vj)1(1—X2,-1—y2)=(1一打)(1—%2)+(-1-yi)(-1—%)=2+

x1x2+yxy2-Qi+x2)+(%+為)=0，

得4k*-4/c+l=0=>/c=1.

故選:C.

2.(2023?河南?模擬預(yù)測)已知向量五=(2cos75°,2sin75°),b=(cos15°,-sin15°),且(2五+石)1①-4石)，

則實數(shù)2的值為()

A.8B.-8C.4D.-4

【答案】A

【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示，結(jié)合數(shù)量積公式，即可求解.

【詳解】因為五不二2cos75°cosl5°-2sin75°sinl5°=2cos(15°+75°)=0,

|a|=2,\b\=1.

所以(2N+石)?(五一aS)二2不一7京=8—a=o.

所以入=8.

故選:A

3.12024?西藏?模擬預(yù)測)已知向量方=(cos(a+：),sin(a+；)),石=(cos(a+及,sin(a+￡)).若(2元+

石)1.0+乩)，則實數(shù)%的值是()

A.-2B.-iC.1D.2

【答案】A

【分析】利用三角函數(shù)的和差公式和同角三角函數(shù)的平方公式得到|五|=/|=1,五7=0,

再依據(jù)向量垂直的條件建立方程求解即可.

【詳解】由題意得回=|同=1,五了=cos(a+Jxcos(a+§+sin(a+xsin(a+

=cos(a+g—a—?=cos(一號=。，因為(2五+b)1(a+xb),

所以(2N+b)?@+xb)=0,所以2|五/+=0,所以2+x=0,解得x=-2.

故選：A.

4.(2024,山東莉澤?模擬預(yù)測)已知向量訪=(sin(a+9,1),五=(COS(TT+a),,其中ae(0,0,若沅1n,

則cosa的值為()

A遺B-C—D-

*2,2,4,4

【答案】B

【分析】由沅_L五，所以沅?五=0,代入條件化簡得cos2a=%結(jié)合已知aw(0,3得解.

【詳解】由聲1元，所以沅?五=0,即sin(a+§COS(TT+a)+：=0,

化簡得cos2a=%由aw(0弓)得cosa=g.

故選：B.

5.(2024?江西新余?模擬預(yù)測)已如焦點在工軸上的橢圓C的左右焦點分別為％、4，經(jīng)過七的直線，與。交于

力、B兩點,若瓦？?用=16,麗?麗=9,宿?瓦？=0,貝!C的方程為：().

A.5+9=1B-5+9=ic.9+學(xué)=1D.5+y2=i

【答案】A

【分析】由題意可知：BA1BF1,根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得|率|=4,|而|=3,進(jìn)而結(jié)合橢圓的定義

求a,b,c,即可得方程.

【詳解】因為耐?瓦？=0,可知B/llBFi，

則帝?F\B=用2=16,而?而=得=①

可得|瓦石|=4,|而|=3,即尸i8|=4,\AB\=3,則lAFil=JFIB|2+|A8|2二5,

由橢圓定義可得4a=Mil+|F網(wǎng)+\AB\=12,即a=3,

且IF28I=2a-\FxB\=2,則|尸101=炳而，向坪=2遙，

即2c=2遍，可得c=V5,b=Va*2—c2—2,

所以橢圓C的方程為［+。=1.

94

故選：A.

考點五、投影問題

典例引領(lǐng)

1.(24-25高三上?湖北武漢?開學(xué)考試)己知同=1,同=2,忖-同=百，則五在了上的投影向量為()

A.9B.jaC.笆D.軟

【答案】C

【分析】先根據(jù)數(shù)量積的運算律求出五?瓦再根據(jù)投影向量的定義即可得解.

2

【詳解】由忖一可二6，得(五一?=a24-b2—2a-6=5—2a-b=3,

所以無E=1,

所以正在了上的投影向量為磬=阻

p|悶4

故選:C.

2.(2023?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)己知向最正了滿足國=2,b=(3,0),|u-b|=V10,則向展不在向顯了方向

上的投影向量為()

A.&0)B.Q,0)C.Q,0)D.(1,0)

【答案】C

【分析】將|益-同=715兩邊平方求出E?瓦然后由投影向量公式可得.

【詳解】因為悶=2,同=3,同=國,

222

所以忖一司2=a2_2ab+b=2-2ab+3=10,得五石=去

所以向量W在向量石方向上的投影向量為需7=《石=*3,°)=(1,0).

故選：C

?即時檢測

1.(2024?浙江紹興?三模)若非零句量益，了滿足同=\b\=怔+同，則蒼+2石在石方向上的投影向量為()

—*彳——?1—?

A.2bB./C.bD.臚

【答案】B

【分析】利用向量的模長關(guān)系可得，7=-：歷/，再由投影向量的定義即可求出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意同=|?|=怔+同可得同2=|5|=\a+'b\,

所以,則

所以五.石=_駟|2—部「，

則工+21在E方向上的投影向量為空密石=嗎瓦石=仁李L石=

區(qū)1問也|2

故選：B

2.(2024?湖北?模擬預(yù)測)已知向量五=(1,0)5=(0,1),a-c=b-c=1,則向量方在向如上的投影向量為()

A(U)B.俘為C.?(一整)

【答案】A

【分析】設(shè)出2的坐標(biāo)，利用給定條件得到再利用投影向量公式求解即可.

【詳解】設(shè)Z=(%y)，因為蒼=(1,0),b=(0,1),方々=匕?"？=1,

所以|oxx+lxy=1'解3y=「二。=(1，1)，

即阿期在向量Z上的投影向量為萼?等=(；,；).

KI\c\vZv222

故選:A.

3.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知平面向量N=(2,m),b=(n,1),c=(ni+1,-1),若NJLE,石/〃，則

方在H+Z方向上的投影數(shù)量為()

A.-2\[2B.-罟C.rD.2V2

【答案】B

【分析】根據(jù)垂直和平行向量的義標(biāo)表示求出m,n,得到訴UW+Z的坐標(biāo)，即可利用向量投影的公式進(jìn)行

求解.

(詳解]由W1石得m+2n=0.

由￡/G得m+?i+1=0,所以m=—2,n=1.

所以b=(1,1)，a=(2,—2),c=(—1,—1)>a4-c=(1,—3),

所以石在五+Z方向上的投影數(shù)量為轡=-r===-乎.

|a+c|八2+(_3)25

故選:B.

4.(23-24高三下?湖南婁底?階段練習(xí))在三角形力BC中，若福,前=0,瓦=2前,則向量而在向量而上

的投影向量為.

【答案】建

【分析】由題意可得。為線段BC的中點，/847=90。，則△408為等腰三角形，然后根據(jù)投影向量的定義

求解即可.

【詳解】因為近=2而，所以。為線段BC的中點，

因為而=0,所以同J.正，所以484。=90。，

所以。4=OB=OC,

所以A/lOB為等腰三角形，

所以向量彳3在向量同上的投影向量為

AO-AB麗_|珂.\AB\cosZ-BAOAB

西祠二隔

I畫網(wǎng)鐲而I—

=--.雨

1

-而

故答案為:2

A

5.(2023?天津和平?三模)已知△48C中，點。是AC中點，點M滿足前=2砒，記瓦5=五，BD=~b,請用五,

E表示前=；若瓦？?麗=-5,向量宿在向量而上的投影向量的模的最小值為.

【答案】軟-軟y

【分析】由題意可得病=：麗-瓦5,BC=2'BD-BA,可求得前=花一|五；向量而在向量而上的投

影向量的模為需叫計算可求得最小值.

【詳解】根據(jù)題意，可得前二的一瓦5=：就一瓦?，

A

由點D是AC中點，可得配=2而一瓦5,

所以府=BM-BA=|FC-BA=h2BD-BA)-BA=-BD-^BA=-'b-1a,

向量祠在向量加上的投影向量而由BD

網(wǎng)iW

因為瓦5?麗二一5,所以五?至二一5,

所以向量祠在向量前上的投影向量的模為：

~畫+乏22由小馬=巴,

\BD\|/）|3123131bly]31131bl3

當(dāng)且僅當(dāng)：曲=焉，即說=:時取等號，

53|D|N

所以向量前在向量前上的投影向量的模的最小值為弓.

故答案為：—|a：②號.

考點六、數(shù)量積求最值取值范圍問題

典例引領(lǐng)

1.（2023?天津?高考真題）在△力BC中，BC=1,乙1=60。，AD=\AB,CE=\CD,記而=瓦而=了，用

表示AE=:若而=；就，則荏?赤的最大值為

?5

【答案】

4zN4

【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合￡為。。的中點進(jìn)行求解；空2：用五是表示出萬，結(jié)合上一空答

案，于是族?而可由瓦石表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算和基本不等式求解.

【詳解】空1：因為E為。。的中點，則加+瓦:=萬，可得7E+FD=AD

AE-￥EC=AC

兩式相加，可得到2方=而+元,

即2荏=；有+石，則荏=工五十；認(rèn)

242

空2：因為麻=1就，則2而+元=6,可得[竺+竺=竺

3MF+FB=AB

得到通+正+2（AF+FB）=AC+2AB,

即3而=2五+及即標(biāo)二2五+工匠

?5?3

于是荏.而=隔+割.（1a+扣）=.（2五2+5萬不+2b2）.

記WB=x,AC=y,

則荏?AF=（2a2+5五?b+2護(hù)）=*（2x2+5xycos60<>+2y2）=2（2x2+等+2y2）,

在△48C中，根據(jù)余弦定理：BC2=x2+y2-2xycos60°=x24-y2—xy=1,

于是血.萬=、（20+等+2）=*（嬰+2）

由K+y2—xy=1和基本不等式，x2+y2—xy=1>2xy—xy=xy,

故xyWL當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l取得等號，

則x=y=1時，AE.布有最大值畀

故答案為：：蒼+；b：掾.

4224

2.(2022?天津?高考真題)在△48C中，點D為AC的中點，點E滿足方=2詬.記石？=瓦而=石，用。石

表示反=,若AB1OE,則44cB的最大值為

【答案】7

LL6

【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出譙，以但同為基底，表示出而,雇，由

可得3萬2+五2=45再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以點E為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0,0),8(1,0),。(3,0),4?y),由AB_LOE可得點A的軌跡為以

M(—1,0)為圓心，以r=2為半徑的圓，方程為Q+l)2+y2=4,即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)04

與OM相切時，4C最大，即求出.

【詳解】方法一：

AB=CB-CA=b-a,AB1DE=>

（3b-a）（b-a）=0f

=M不=8$〃8=端=端之黑耨=亨，當(dāng)且僅當(dāng)問=坪|時取等號，而0V

Z.ACB<it,所以乙4CBW(0，m.

6

故答案為:—1a；a

方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系:

E(O,O),F(1,O),C(3t0)tA(X,y),DE=(--^)tAB=

(1-x,-y),

DELAB^(^)(x-1)+^=0=?>(x+l)2+y2=4,所以點4的軌跡是以M(-1,0)為圓心，以r=2為

半徑的圓，當(dāng)且僅當(dāng)C4與OM相切時，乙C最大，此時sinC=￡=彳=；,"=￡.

CM426

故答案為：:方—；五：y.

226

即時檢測

1.(2024?天津?高考真題)在邊長為I的正方形48。。中，點E為線段C。的三等分點，CE=^DE,BE=ABA+

甌則4+〃=；/為線段BE上的動點，G為AF中點,則赤?麗的最小值為

【分析】解法：以｛瓦?，網(wǎng)為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求而，即可得4+〃，設(shè)市-k版，求而,說,

結(jié)合數(shù)量積的運算律求而?瓦的最小值；解法二：建系標(biāo)點，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求而，即可得4+〃，設(shè)

Ffe-3a),ae[-1,0],求而，而，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運算求而?麗的最小值.

【詳解】解法一：因為CE=gDE,即=則而=近+而=g瓦？+近,

可得入所以入+〃=:；

由題意可知：|而|二|瓦5|=1,瓦3.坑^o,

因為F為線段BE上的動點，設(shè)而=痂='函+k前,kW[0,1],

則赤=AB+BF=AB+kBE=Q/c-1）^4+kBC,

乂因為G為4尸中點，則萬5=萬？+南=一瓦:+（存二:6上-1）瓦—1）BC,

可得而.玩=[0-1）而+kBC]?[1Q/c-1）而+6k?1）B?]

=Klfc-1）2+/￡Gk-1）=Kk-j）2-^

又因為k￡[U,l],可知：當(dāng)k=l時，喬?麗取到最小值一言

lo

解法二：以B為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則力(-1,0),8(0,0),C(0,l),D(-lXj,E(-川,

可得瓦5=(-1,0),5C=(0,1),而=(-1,1),

因為而=4而+〃近=（-尢〃），則卜”=一5,所以入+〃=*

因為點尸在線段BE:y=-3%,“6卜g,o]上，設(shè)F（a,-3a）,a6[-§,0卜

且G為”中點，則G(芋?，-|a),

可得標(biāo)=(a+1,-3a),DG=(等,-1),

則萬?DG=怨^+(-3a)(-1a-l)=5(a+/_±,

且a￡go],所以當(dāng)Q=-凱寸，而?而取到最小值為-備

故答案為：p一v.

2.（2024?浙江?二模）已知向量Zb均為單位向量,

A.1B.V2C.

【答案】C

【分析】設(shè)向量瓦石的夾角為仇化簡咨省==后解，令/。）=譯，通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/（%）的單調(diào)性,

小-（3萬）2Ycos

即可求最小值.

【詳解】由向量瓦石均為單位向量，

設(shè)向量瓦另的夾角為仇

由1-0?萬)2工0,則。6(0,兀)，

L'J斤2M_I|a_2b|2_I5-4ab_15-4cos0

ll-(ab)2~41一位石尸-Nl~(ab)2~Jl-cos20

設(shè)X=COS0,X6(—1,1),

5-4x

令f(X)

-4一+10工-4_-2(x-2)(2x-l)

則f(x)=

(1-x2)2

令/'(%)>0,則女工<1,所以/(%)在(；,1)單調(diào)遞增,

令f(x)<0,則一l<x<g,所以/(x)在(一1弓)單調(diào)遞減,

所以/"(%)的最小值為/'6)=土苧=母=4,

I一彳4

所以廣2?的最小值為2.

故選：c.

3.12024?天津和平?二模)平面四邊形ABCD中，AB=2,力。=2百，ACLAB,Z.ADC=則而?荏

的最小值為()

A.-V3B.一28C.-1D.-2

【答案】D

【分析】由已知，得力，B,C,。四點共圓，從而判斷點。的軌跡是以為弦，圓周角為g的劣弧(不含4

。兩點),根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，得出結(jié)論.

【詳解】由48=2,AC=2y/3,AC1AB,

可得tan乙4BC=勺=A/5,故乙4BC=[,

AB3

Xz/lDC=y,所以N40C+4/lBC=7t,

以BC為直徑作圓，則4,B,C,。四點共圓，

如圖所示，故點。的軌跡是以71C為弦，圓周角為T的劣弧(不含A,。兩點),

則而?AB=\AD\■\AB\-cos乙BAD=2\AD\.coszJMD,

又|而|?cos/8力。表示而在南上的投影，

由圖可知，|而|YOS/B/I。E[—1,0),

故而?松之-2(此時點。在劣弧AC的中點位置)，

即而?布的最小值為-2.

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：①由/力?！?/4?！?冗，得到4R,C,。四點在以RC為直徑的圓上，

②|瓦|?C0S4B4D看作是而在而上的投影，結(jié)合圖形特征可得投影的取值范圍.

4.（24-25高三上?廣東?開學(xué)考試）已知單位向量再方的夾角為導(dǎo)則同-￡（無-與）|（"R）的最小值為（）

1s/33

A.1B.y