專題4.3角

考點(diǎn)1：鐘面上的角度計(jì)弓

考點(diǎn)2:方位角及垂耳

考點(diǎn)3：角的運(yùn)

考點(diǎn)4:與三角板最懦蠡若

考點(diǎn)5:與角平分線有關(guān)的證明與惠\

考點(diǎn)6:與余角（補(bǔ)角）有關(guān)的證明與計(jì)算

?目標(biāo)導(dǎo)航

1.角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點(diǎn)叫做這個(gè)角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫

做這個(gè)角的邊?；颍航且部梢钥闯墒且粭l射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。

平角和周角：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角。終邊繼續(xù)

旋轉(zhuǎn)，當(dāng)它又和始邊重合時(shí)，所形成的角叫做周角。

2.角的表示：

①用數(shù)字表示單獨(dú)的角，如Nl，Z2,N3等。

②用小寫的希臘字母表示單獨(dú)的一個(gè)角，如Na,Zp,Z7,NO等。

③用一個(gè)大寫英文字母表示一個(gè)獨(dú)立（在一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角）的角，如/B,NC等。

④用三個(gè)大寫英文字母表示任一個(gè)角，如/BAD,ZBAE,NCAE等。

注意：用三個(gè)大寫英文字母表示角時(shí)，一定要把頂點(diǎn)字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)。

3.用一副三角板,可以畫出15°,30。，45。，60°,75°,90。，105。，120。，135°,150°,165°

4.角的度量

角的度量有如卜規(guī)定：把一個(gè)平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“。”表不，1度記作“嚴(yán)，,

n度記作“n。”。

把I。的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作力小。

把I'的角60等分,每一份叫做1秒的角，1秒記作力

10=60',1'=60”

5.角的性質(zhì)

（1）角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。

（2）角的大小可以度量，可以比較

（3）角可以參與運(yùn)算。

6.角的平分線

從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。

7.余角和補(bǔ)角

①如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，這兩個(gè)角叫做互為余角，簡(jiǎn)稱互余，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角。用數(shù)

學(xué)語(yǔ)言表示為如果Na+Np=90。，那么Na與互余；反過來，如果Na與Np互余，那么Na+N0=9O。

②如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，這兩個(gè)角叫做互為補(bǔ)角，簡(jiǎn)稱互補(bǔ)，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角。用數(shù)

學(xué)語(yǔ)言表示為如果Na+Np=180。，那么Na與/p互補(bǔ)；反過來如果/a與Np互補(bǔ)，那么Na+Np=180。

③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等。

做考點(diǎn)精講

考點(diǎn)1:鐘面上的角度計(jì)算

典例：16.（2022?全國(guó)?七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）鐘表上的時(shí)針、分針和秒針都在繞鐘表中心做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).

⑴鐘表從2點(diǎn)現(xiàn)在，經(jīng)過20分鐘后,分針和時(shí)針分別旋轉(zhuǎn)了多少度?

⑵當(dāng)時(shí)間到3：20時(shí)，鐘表上時(shí)針和分針的夾角是多少度？

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考杳了鐘面角，熟練掌握分針與時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是解題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2021?河南開封?七年級(jí)期中）己知在某個(gè)時(shí)刻，時(shí)鐘的時(shí)針與分針成一直角，則這時(shí)可能是（）

A.3：30B.6：15C.9：00D.12：45

【點(diǎn)睛】此題主要考杳了鐘面角，解題關(guān)鍵是找出時(shí)鐘的時(shí)針與分針相差的大格數(shù).

2.（2022.黑龍江?大慶市慶新中學(xué)期末）時(shí)鐘7：30的分針與時(shí)針夾角度數(shù)是（）

A.55度B.45度C.35度D.60度

3.（2022?浙江麗水?七年級(jí)期末）如圖2是從圖1的時(shí)鐘抽象出來的圖形，己知三角形A8C是等邊三角形，

4=60。，當(dāng)時(shí)針OP正對(duì)點(diǎn)A時(shí)恰好是12：00,若時(shí)針OP與三角形A8C一邊平行時(shí)，時(shí)針?biāo)傅臅r(shí)間

不可能是（）

A

4.（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）小明晚上放學(xué)到家時(shí)，鐘表的時(shí)間顯示為6點(diǎn)15分（如圖），此時(shí)時(shí)鐘的

分針與時(shí)針?biāo)山堑亩葦?shù)是（）

B.92.5°C.97.5°D.102.5°

5.（2022?江蘇無(wú)錫?七年級(jí)期末）鐘面上的時(shí)間為8點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為（）

A.90°B,45°C.50°D.75°

6.（2021?黑龍江?哈爾濱市蕭紅中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）時(shí)間為？點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針和分針形成的小于180。的

角為°

7.（2021.貴州畢節(jié)?七年級(jí)階段練習(xí)）（12小時(shí)的時(shí)鐘）時(shí)鐘是7點(diǎn)20分，這一時(shí)刻鐘面上時(shí)針與分針的夾

角（小于平角）是°.

8.（2022?山東?萬(wàn)杰朝陽(yáng)學(xué)校期中）萬(wàn)杰朝陽(yáng)學(xué)校上午笫二節(jié)課的下課時(shí)間是9：40,此時(shí)時(shí)針與分針的夾

角是_________

9.（2022?全國(guó)?七年級(jí)單元測(cè)試）鐘表上的時(shí)針和分針都繞其軸心旋轉(zhuǎn)，從8點(diǎn)到8點(diǎn)40分，時(shí)針轉(zhuǎn)了

度，分針轉(zhuǎn)了度，8點(diǎn)40分時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘嵌?

1（）.（2022.河南.鄭州二七優(yōu)智實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期末）央視“新聞聯(lián)播”節(jié)目的結(jié)束時(shí)間一般是19：30,這一

時(shí)刻鐘面上時(shí)針與分針的夾角是__________度.

11.（2022?山東荷澤?七年級(jí)期中）北京時(shí)間2021年12月9日15點(diǎn)40分，“天宮課堂”第一課正式開講.在

時(shí)刻為15：40時(shí)，時(shí)鐘上的時(shí)針與分針夾角的度數(shù)為.

12.（2022?山東臨沂七年級(jí)期末）某同學(xué)走進(jìn)教室發(fā)現(xiàn)黑板前的鐘表為8：30,他想知道再過多長(zhǎng)時(shí)間分針

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

此題考查了方位角的表示方法，以正南（或正北）為基準(zhǔn)線,其夾角的度數(shù)即為某條射線的方位角.

鞏固練習(xí)

1.（2022?山東煙臺(tái)?期末）如圖，某海域中有A,3兩個(gè)小島,其中B在A的北偏東40。方向，那么小島A

相對(duì)于小島6的方向是（）

北偏東S0。U南偏西40。D.北偏西S0。

2.（2022?河北衡水?七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，貨船A與港口3相距35海里，我們用有序數(shù)而（南偏西40。，35

海里）來描述貨船8相對(duì)港口A的位置，那么港口A相對(duì)貨船8的位置可描述為（)

A.（南偏西50。，35海里）B.（北偏西40。,35海里）

C（北偏東50。,35海里）D.（北偏東40。，35海里）

3.（2022?全國(guó)?七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，是表示北偏東X。的一條射線，。8是表示北偏西（90-?。?。的一

條射線，若=則OC表示的方向是（)

A.北偏東（90-3燈。B.北偏東（90+x-），）。

C.北偏東（90+2x-y）。D.北偏東（90-x-y）°

4.（2022?陜西?西安高新一中實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，08是北偏西50。方向的一條射線，若財(cái)08=90。,

則射線OA的方向是（）

A.西偏北50。B.東偏北40。C.北偏東40。D.北偏西40。

5.（2022?黑龍江綏化?期末）小麗家在小華家的南偏西30。的方向上，那么小華家在小麗家的什么方向上？

（）

A.南偏西60。B.北偏東60。C.北偏東30。D.南偏西30。

6.（2022?黑龍江?哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校階段練習(xí)）如圖所示，下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.射線。4的方向是北偏東40。B.射線08的方向是北偏西15。

C.射線OC的方向是南偏西30。D.射線。。的方向是東南方向

7.（2022?浙江麗水?七年級(jí)期末）如圖，射線OA表示北偏東30。方向，射線08表示北偏西50。方向，則助08的

度數(shù)是（）

C.90°D.100°

8.（2022?安徽?定遠(yuǎn)縣第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖射線04的方向是北偏東30。,在同一平面內(nèi)ZAO8=70。,

則射線08的方向是（）

B.北偏西40?；驏|偏南80°

C.南偏東80。D.北偏西40?；蚰掀珫|80。

9.（2022?吉林?大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，貨輪O在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60。

的方向上；同時(shí)，它又發(fā)現(xiàn)了客輪8；仿照表示燈塔方位的方法，客輪B在貨輪的方向.

北

10.（2022?黑龍江省新華農(nóng)場(chǎng)中學(xué)期末）下面是學(xué)校到少年宮的行走路線圖

北

⑴如果小明從公園到學(xué)校，請(qǐng)敘述一下他的行走路線.

（2）如果他每分鐘走60米，那么他從公園走到學(xué)校要走幾分鐘？

考點(diǎn)3：角的運(yùn)算

典例：（2022?江蘇?江陰市敵山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：

（1）45°10,-21°35'20〃；

（2）48°39'+67°31'-21°”'：

（3）42°16,+18°23,x2.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查度分秒的計(jì)算，1。=60',1'=60",掌握度分秒之間的進(jìn)率是解答本題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）把40°12’36"化為用度表示，下列正確的是（）

A.40.11°B.40.21°C.40.16°D.40.26°

2.（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）下列換算中，正確的是（）

A.23。1236"=23.48。B.22.25。=22。15'

C.1801830*=18.183°D.47.11。=47。7'36"

3.（2022?黑龍江?蘭西縣崇文實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）用度表示49。31'21"=.

4.（2022?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：108。4236”=。.

5.（2022?山東荷澤?七年級(jí)期末）角度換算：26。48'=—。.

6.（2022?山東?萬(wàn)杰朝陽(yáng)學(xué)校期中）55.66”=度分秒；43。32'24"=度.

7.（2022?山東?泰山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校階段練習(xí)）30.12°=。'〃；100。12'36〃=

8.（2022?黑龍江?哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校階段練習(xí)）把30.6?；啥确譃?

【答案】30。36'##30度36分

9.（2022?山東?高唐縣第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算13。53&3-32。5'31〃=

10.（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）27"14/24=°.

11.（2022?河北滄州?七年級(jí)期末）如圖，在燈塔。處觀測(cè)到輪船M位于北偏西54。12’36〃的方向，同時(shí)輪船

N在北偏東16.12。的方向，那么團(tuán)"ON的大小為.

12.（2022?河南平頂山?七年級(jí)期末）計(jì)算：89。45'+2（）。45'=.（結(jié)果用度表示）

13.（2022?河南省直轄縣級(jí)單位?七年級(jí)期末）若Nl=30.45',N2=30‘28',則N1Z2（用

填空）.

14.（2022?黑龍江?大慶市慶新中學(xué)期末）計(jì)算題.

⑴34°27'36"+2

⑵58。32'21”-20°42'44"

考點(diǎn)4：與三角板有關(guān)的角度計(jì)算

典例：（2022?河南南陽(yáng)?七年級(jí)期末）將一副三角板放在一起.

⑴如圖1,已知4=13。,求N2的度數(shù);

⑵如圖2,已知N1=2N2,求N2的度數(shù)；

⑶如圖3,已知4=2/2,求N2的度數(shù).

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題主要考查了角的計(jì)算，利用角的和差列出算式是解題的關(guān)鏈.

鞏固練習(xí)

1.（2021?湖北?公安縣教學(xué)研究中心七年級(jí)期末）用一副三角板不能拼畫出的角度是（）

A.15°B.125°C.150°D.75°

2.（2022?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）將一副三角板按如圖所示的方式放置，則MCD的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.75°D.80°

3.（2022?山東煙臺(tái)?期中）如圖，將一副三角板408與的直角頂點(diǎn)。重合在一起，若乙4。。=4/40。,

OE為N3OC的平分線，則NDOE的度數(shù)為（）

C.75°D.76°

4.（2022?河北邢臺(tái)?七年級(jí)期末）如圖所示是我們常用的一副直角三角板.用一副三角板不能拼出的角度是

D.105°

5.12022?山東日照?七年級(jí)期末）用一副三角板拼成如圖所示的圖形，其中4、8、C三點(diǎn)在同一條直線上.則

圖中團(tuán)D8E的大小為（）

C.105°D.135°

6.（2022山東青島?期中）如圖,將兩個(gè)三角尺的直角4478與43＞頂點(diǎn)。重合在一起,若乙4。。=4/80。,

OE為N8OC的平分線，則/ZX比的度數(shù)為（）

E

D.72°

7.（2022?廣西河池?七年級(jí)期末）一副三角板擺放在一起的示意圖如下，若Nl=55。，則團(tuán)2的度數(shù)是

8.（2022?福建泉州.七年級(jí)期末）如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合放置于八處（兩塊三角板可以在同一

平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)），給出以下結(jié)論：

（2）/BAE+NDAC=180°：

（3）NBAE-NDAC=45°；

④NHADwNEAC.

其中不正確的是.（寫出序號(hào)）

c

9.（2021?全國(guó)?七年級(jí)單元測(cè)試）兩塊三角板按如圖所示方式放置，則財(cái)CD=，團(tuán)。8A=

10.（2022?山東煙臺(tái)?期末）如圖，將直角三角板。MN的直角頂點(diǎn)。放在直線八8上，射線OC平分44ON.

⑴當(dāng)—8OV=60。時(shí)，求NCOM的度數(shù)；

（2）若NAQM=2NC0W,求NAON的度數(shù).

11.（2022.山東棗莊?七年級(jí)期中）如圖，將兩個(gè)直角三角板的頂點(diǎn)會(huì)放在一起進(jìn)行探究.

⑴如圖①，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，若CE恰好是MCB的平分線，請(qǐng)你猜想此時(shí)CB

是不是國(guó)￡8的平分線，并簡(jiǎn)述理由；

⑵如圖②，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)C置放在一起，若CB始終在MCE的內(nèi)部，請(qǐng)猜想MCEH團(tuán)DCB

是否相等，并簡(jiǎn)述理由.

12.（2022?河北保定?七年級(jí)期末）如圖，以直線八8上一點(diǎn)。為端點(diǎn)作射線OC,使團(tuán)8OC=70。，將一塊直角

三角板OOE直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處.

E

EE

AODB0DBA0DB

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若直角三角板DOE的一邊OD放在射線。8上，貝的COE=

(2)如圖2,將直角三角板。0￡繞點(diǎn)。逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，若0C恰好平分團(tuán)8。￡,求（380。、0COF

的度數(shù);

⑶如圖3,將宜角三角板。?！昀@點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)，如果0。始終在（38OC的內(nèi)部，試猜想團(tuán)8。。和（3C0E有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？并說明理由.

13.（2022?安徽?宿城第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）以直線相上一點(diǎn)。為端點(diǎn)作射線OC,使4OC=30°,將

一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)放在。處，即/次把=90。.

圖1圖2

⑴如圖1,若直角三角板OOE的一邊OE放在射線。4上，則NCOD=；

（2）如圖2,將直角三角板石繞點(diǎn)。順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，

①若。E恰好平分NAOC,則NCO/）=；

②若。。在/BOC內(nèi)部，請(qǐng)直接寫出NBOD與NCOE的數(shù)量關(guān)系為；

⑶將直角三角板OOE繞點(diǎn)。順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（0。與08重合時(shí)為停止）的過程中，恰好有NCOD=1/AOE,

求此時(shí)280力的度數(shù).

14.（2022?福建福州?七年級(jí)期末）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李磊同學(xué)將一副宜角三角板ABC、4OE按如圖1

放置，點(diǎn)A、C、D在同一直線上，（N￡4O=30。、ZBAC=45°）,并將三角板ABC繞點(diǎn)八順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定

角度，且始終保持0。＜/6。＜30°.

BB

圖1圖2圖3

⑴在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2,當(dāng)點(diǎn)4C、E在同一直線上時(shí)，則2840=；

⑵在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖3,當(dāng)〃4石=30"時(shí).請(qǐng)說明AC平分/D4E；

⑶在旋轉(zhuǎn)過程中，加圖4.當(dāng)NBAE=4NC4Q時(shí)，求此時(shí)/C4E的度數(shù).

15.（2022?江蘇鹽城?七年級(jí)期末）【閱讀理解】

如圖1,?套三角板如圖拼在?起，我們將三角板C0D繞點(diǎn)0以每秒15。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。.

DOBOB

圖1圖2

【解決問題】

（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，射。8、M0C、回80c之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為9秒時(shí)，圖中有角平分線嗎？找出并說明理力.

（3）運(yùn)動(dòng)過程中，如圖2,形成的三個(gè)角：加。8、MOC、團(tuán)BOC,當(dāng)其中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的兩倍

時(shí)，則稱射線0C是朋08的"優(yōu)線

①第（2）問中旋轉(zhuǎn)后的射線0C是“優(yōu)線”嗎？為什么？

②在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，若旋轉(zhuǎn)時(shí)間記為t秒，當(dāng)射線0C是"優(yōu)線〃時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t值.

考點(diǎn)5：與角平分線有關(guān)的證明與計(jì)算

典例：（2022?四川省九龍縣中學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，OE為的平分線，0CO/）--0EOC,肥。。一15。，

4

求：

⑴（3EOC的大??；

（2）MOC的大小.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合正確計(jì)算是本題的解題關(guān)鋌.

鞏固練習(xí)

1.如圖，已知NCO8=2NAOC,。。平分ZAQA,且NCOD=18。，則4。8的度數(shù)為（）

A.126°B.108°C.112°D.106°

2.（2021?云南?文山市薄竹鎮(zhèn)樂詩(shī)沖中心學(xué)校七年級(jí)期末）已知GL4OB=70。，魴OC=30。，OM平分M08,ON

平分回BOC,則I3MOV=（）

A.50°B.20°C.20?；?0。D.不能確定

3.（2022?安徽哈肥市第六十八中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，若財(cái)O8=x。，OC是財(cái)08的平分線，。弓是她OC

的平分線，OCz是/4OG的平分線，0cl是/AOCj的平分線，則202"AOC?如與2022/4。。?儂大小關(guān)

系是（）

B.<C.>D.無(wú)法確定

4.（2。22?新疆?烏巾八中七年級(jí)期中）如圖，已知乙4OC:N40c=1:5,OO平分/AO4,且NCOD=360,

求的度數(shù).

5.（2021?山東?濟(jì)南市萊蕪區(qū)方下魯西學(xué)校期中）如圖，是/AOC的平分線，0。是NCOE的平分線,

求乙4QQ的度數(shù).

6.（2022?新疆?庫(kù)車市第七中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，己知財(cái)。8=90。，附"=60。，OE平分（MOA,Or平分

財(cái)。C,求財(cái)OC和13CO8的度數(shù).

7.（2021?重慶?巴川初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期末）如圖所示，OB是0AOC的平分線，。。是13COE的平分線.

⑴如果財(cái)08=50。，團(tuán)。?！?gt;35。，那么團(tuán)是多少度？

⑵如果財(cái)0￡=160。，團(tuán)COA25。，那么財(cái)08是多少度？

8.（2021遼寧朝陽(yáng)市第一中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，已知NAOB=90。，OE平分13Ao8,NEOF=60°,OF

平分（38OC.求魴0C和IMOC的度數(shù).

9.[2022?山東?龍口市培基學(xué)校期中）如圖，已知OC是朋OB內(nèi)部任意的一條射線，OM、ON分別是（MOC、

團(tuán)BOC的平分線.

（1）若SAOM=20。，I38ON=30。，求團(tuán)MON的度數(shù)；

（2）若團(tuán)4OB=a,求（3MON的度數(shù).

10.（2022?寧夏?景博中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，OC是財(cái)0。的平分線，OE是團(tuán)。。8的平分線.

（1）如果NAOB=130。，那么回COE是多少度？

⑵在（1）的條件下，如果NCOZ）=20。，那么138OE是多少度？

11.（2022?河北?泊頭市教師發(fā)展中心七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)。是直線人8上的一點(diǎn)，NCOQ是直角，OE平

分/BOC.

圖1圖2

⑴如圖1,若NAOC=40。，求/DQE?的度數(shù);

⑵如圖2,若NCOE=.DOB,求/AOC的度數(shù).

12.（2022?福建泉州?七年級(jí)期末）如圖，ZAOB=100°,射線OC以2。冷的速度從QT位置出發(fā)，射線0。以

10。人的速度從。8位置出發(fā)，設(shè)兩條射線同時(shí)繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)號(hào).

備用圖

⑴當(dāng)f=10時(shí)，求NCOD的度數(shù)：

（2）若0W5.

①當(dāng)三條射線Q4、OC、。。構(gòu)成的三個(gè)度數(shù)大于0。的角中，有兩個(gè)角相等，求此時(shí)，的值：

②在射線OO,OC轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，射線。石始終在內(nèi)部，且OF平分NA0C,當(dāng)NEO尸=110。，求

13.（2021江西省遂川縣教育局教學(xué)研究室七年級(jí)期末汝|圖，403=90。，/80。=。（0。＜。＜180。），0。,

OE分別是ZAOB,N8O。的平分線.

圖1備用圖

（1）如圖1,當(dāng)OC在左側(cè)，且a=80-時(shí)，N。。石的度數(shù)是：

⑵當(dāng)OC的位置不確定時(shí)，請(qǐng)利用備用圖，畫出相關(guān)圖形，探究/DOE的大小與。的數(shù)量關(guān)系；

⑶當(dāng)NDOE的度數(shù)為36。時(shí)，請(qǐng)直接寫出。的度數(shù).

14.（2022?廣東?正德中學(xué)七年級(jí)期末）多多對(duì)幾何中角平分線等興趣濃厚，請(qǐng)你和多多一起探究下面問題

吧.已知財(cái)08=100。，射線OE,。尸分別是勖OC和田。03的角平分線.

EA

⑴如圖1,若射線OC在財(cái)08的內(nèi)部，目JM0030。，求（3E0尸的度數(shù)；

⑵如圖2,若射線0C在財(cái)08的內(nèi)部繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，貝附E0尸的度數(shù)；

⑶若射線0C在0AOB的外部繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中EAOC,m80c均指小于180。的角），其余條件不變，請(qǐng)借

助圖3探窕團(tuán)E0尸的大小，請(qǐng)直接寫出mE0尸的度數(shù)（不寫探究過程）.

15.（2022?河南?鄭州市第四初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）【閱讀理解】

如圖①，射線OC在財(cái)04內(nèi)部，圖中共有三個(gè)角M0C、豳0從勖OC,若其中有兩個(gè)角的度數(shù)之比為1：

2,則稱射線OC為的“幸運(yùn)線".

⑴MO8的角平分線這個(gè)角的"幸運(yùn)線〃；（填“是"或"不是"）

⑵若0403=120。，射線。。為財(cái)。4的“幸運(yùn)線”，則斯。C=.

【問題解決】

（3）如圖②，己知財(cái)。8=150。，射線。。從04出發(fā)，以20。6的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，射線。。從04出發(fā)，

以10°/s的速度逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)其中一條射線旋轉(zhuǎn)到與財(cái)08的邊重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停

止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為/（s）,當(dāng)，為何值時(shí)，射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的幸運(yùn)線？試說明理由.

16.（2022?陜西?西安高新一中實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期末）如圖所示，04,OB,OC是以直線EF上一點(diǎn)。為端

點(diǎn)的三條射線，且團(tuán)尸。4=20。，MOB=60。，^BOC=10°,射線OP從OF處開始出發(fā)，繞點(diǎn)。逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，

旋轉(zhuǎn)速度為每秒5度：射線0。從。。處開始出發(fā)，繞點(diǎn)0順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)（當(dāng)射

線。Q旋轉(zhuǎn)至與射線。尸重合時(shí)，OP.0Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)），旋轉(zhuǎn)時(shí)間為/秒.（旋轉(zhuǎn)速度+旋轉(zhuǎn)角度：旋轉(zhuǎn)時(shí)

間）

cB

⑴當(dāng)t=秒，射線OP平分財(cái)時(shí)；

⑵若射線0Q的旋轉(zhuǎn)速度為每秒4度時(shí)，請(qǐng)求出當(dāng)回尸。。=60。時(shí)，射線。尸旋轉(zhuǎn)的時(shí)間；

⑶若射線0Q的旋轉(zhuǎn)速度為每秒3度時(shí)，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OQ,OP，中的某一條射線是另

兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足題意的的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

17.（2022?福建?福州時(shí)代中學(xué)七年級(jí)期末）己知=OC、0。是過點(diǎn)。的射線，射線OM、ON分

別平分0Aoe和回。OB.

圖①圖②

（1）如圖①，若。。、。。是財(cái)05的三等分線，貝°

（2）如圖②，若NCOO=40。，ZAOCrNDOB,則NM0N='

（3）如圖③，在EA08內(nèi)，若NCOD=a（0°<a<60。），則'

⑷將（3）中的回COD繞著點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到朋0B的外部（0<NAOC<18（）。，（）<ZBOD<180°）,求此時(shí)

（3M0N的度數(shù).

考點(diǎn)6：與余角（補(bǔ)角）有關(guān)的證明與計(jì)算

典例：（2022?山西運(yùn)城七年級(jí)期中）如圖（甲），*AOC和N6OQ都是直角.

D

C

（1）如果NOOC=32。，那么NA08的度數(shù)為度.若/DOC越來越小，則/AOB如何變化？

（2）我出圖（甲）中相等的角.如果NDOCW32。，他們還會(huì)相等嗎？

（3）在圖（乙）中利用能夠畫直角的工具再畫一個(gè)與NAOE相等的角.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查余角與補(bǔ)角，正確觀察并分析圖形，熟練掌握余角和補(bǔ)角的意義是解答本題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2020?安徽安慶?八年級(jí)期中）如果一個(gè)角的度數(shù)比它補(bǔ)角的2倍多30。，那么這個(gè)角的度數(shù)是（）

A.50B.70C.130D.150

2.（2022?全國(guó)?七年級(jí)專題練習(xí)）下列說法正確的是（）

A.NA是余角B.N4和是補(bǔ)角

C.NA的余角是N8D.如果/A和互補(bǔ)，則NA和能拼成直角

3.（2022?甘肅?臨澤縣第三中學(xué)七年級(jí)期中）已知N4與N8互余，與NC互補(bǔ)，若NA=50。，則NC

的度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.60°D.140°

4.：2022?遼寧?丹東市第十七中學(xué)七年級(jí)期末）在同一平面內(nèi)，若-A與24的兩邊分別垂直，且2A比24

的3倍少20。，則/A的度數(shù)為（）

A.10°B.50°C.10?；?30。D.10?；?0。

5.（2021.貴州畢節(jié).七年級(jí)期末）若Na的補(bǔ)角與“的余角相等，則Na-N/等于（）

A.90°B.60°C.180°D.270°

6.（2022?四川?大竹縣文星中學(xué)七年級(jí)期中）6A的補(bǔ)角是125。,則它的余角是（）

A.54°B.35°C.25°D.以上均不對(duì)

7.（2022.浙江?永嘉縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）將一個(gè)含有.45。角的直角三角板如圖所示放置，其中一個(gè)

45。角的頂點(diǎn)落在直線a上，含90。角的頂點(diǎn)落在直線〃上.若Z2=Z15°,則N3的度數(shù)為°

o

b

8.（2021?山東?濟(jì)南市鋼城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）若一個(gè)角的余角為65。.則這個(gè)角的補(bǔ)角為.

9.（2022?廣東?普寧市普師高級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）已知Na與夕互補(bǔ)，Za=l50°,則/夕的余角的度數(shù)是

【答案】60°##60度

10.（2022?安徽?宿城第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）如果一個(gè)角的補(bǔ)角是136。，那么這個(gè)角的余角是.

11.（2022.廣東?佛山市順德區(qū)勒流育賢實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）已知Na是鈍角，Na與互補(bǔ)，N尸與Ny

互余，則Na與Ny的關(guān)系式為

12.（2021?黑龍江?肇源縣第五中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，直線A8,CQ相交于點(diǎn)0,且/D0E=3NC0E,/

EOB=90°,則/4。。=.

13.（2022?全國(guó)?七年級(jí)開學(xué)考試）如圖，已知點(diǎn)4、。、4在一條直線上，NCOQ=90。，?！昶椒諲A0C,

0尸平分N/30。，求NE。尸的度數(shù).

14.（2022?湖南懷化?七年級(jí)期末）如圖，直線48、8相交于點(diǎn)0,OM1AB.

M

AWo

ND

（1）若N1=N2,則ON,CQ是什么位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

（2）若Nl=；N80C,求N8O。的度數(shù).

15.（2021?浙江工業(yè)大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，8。是NA8C的平分線，ZABE+ZBCF=\S0°

（I）若N/WC=80。，求NBC/的度數(shù)：

（2）若CB是NAC尸的平分線，NADB=kNABD,求A的值.

16.（2022?陜西?西安輔輪中學(xué)七年級(jí)期末）已知：O是直線A/T上的一點(diǎn)，NCO。是直角，OE平分NBOC.

（1）如圖1,當(dāng)NAOC=40。時(shí),求/DOE的度數(shù);

（2）如圖2,OF平分NBOD,求/EOF的度數(shù)；

（3）如圖3,NA0O36。，此時(shí)NC。。繞點(diǎn)O以每秒6。沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)/秒（0&<60）,請(qǐng)直接寫出NAOC

和/。?！曛g的數(shù)量關(guān)系

旗能力提升

一、單選題（每題3分）

1.（2022?陜西渭南?七年級(jí)期末）用度、分、秒表示31.21。為（）

A.31。12'36"B.31°2KC.31。12'23〃D.3H20T'

2.（2022?新疆?烏市八中七年級(jí)期中）如圖，下列說法中不正確的是（）

A.N1與NA08是同一個(gè)角B.Na與NCOA是同一個(gè)角

C./AOC可以用NO來表示D.圖中共有三個(gè)角：ZAOB,NBOC,ZAOC

3.（2021?河北?石家莊市長(zhǎng)安區(qū)陽(yáng)光未來實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）下列各度數(shù)的角，能借助?副三角尺畫出的

是（）

A.55°B.65°C.75°D.85°

4.（202