中考數(shù)學真題2025分類精編精練19銳角三角函數(shù)

姓名：班級：考號：總分

一、選擇題（本大題共6小題）

1.（2025?云南）如圖，在Rtz\ABC中，ZC=90°.若AB=13,BC=5,則sinA=（）

512

2.（2025?深圳）如圖為人行天橋的示意圖,若高BC長為10米.斜道AC長為30米,則sinA的值為

()

A.B.3C.運-D.X

343

3.（2025?長春）如圖，已知某山峰的海拔高度為m米，一位登山者到達海拔高度為n米的點A處,

測得山峰頂端B的仰角為a,則A.B兩點之間的距離為（）

海平面

A.(m-n)sina米IUF米

sin。

C.(m-n)cosa米nrn米

cosCL

4.(2025?常州)如圖,在Rt/XABC中，NA=90°,AB=3,AC=4,則sinB的值是()

B

A-fc-fD-f

5.（2025?南通）在AABC中，ZC=90°,tanA=-l,AC=2后，則BC的長為（）

2

A.1B.2C.V5D.5

6.（2025?寧夏）老師帶領數(shù)學小組僅用測角儀和皮尺測量某橋外側拱頂離水面的高度.圻圖，拱頂

離水面的高度為EF,點A,B是水平地面上兩點，且與點E,F均在同一豎直平面內(nèi).已知水平

地面離水面的高度為2米，測角儀支架高度為1.5米，為達成H的，還需測量的數(shù)據(jù)是（）

-------------------

1—水平地而

AB

F

B.AB的長，NECH的度數(shù)

C.CH的長，ZECH,NEDH的度數(shù)

D.AB的長，ZECH,NEDH的度數(shù)

二、填空題（本大題共11小題）

7.（2025?遼寧）如圖，為了測量樹AB的高度，在水平地面上取一點C,在C處測得NACB=51°,

BC=6m,則樹AB的高約為m（結果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin51°^0.78,cos51°

^0.63,tan510弋1.23）.

8.（2025?綏化）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的斜面技度i=l：V2（斜面坡度是指坡面的鉛

直高度BC與水平寬度AC的比），堤壩高BC=15m,則迎水坡面AB的長度

是

9.（2025?浙江）無人機警戒在高速公路場景中的應用，是我國低空經(jīng)濟島.質(zhì)量發(fā)展的重要實踐方向.如

圖，在高速公路上，交警在A處操控無人機巡查，無人機從點A處飛行到點P處懸停，探測到它

的正下方公路.卜.點B處有汽車發(fā)生故障.測得A處到P處的距離為500m,從點A觀測點P的仰

角為a,cosa=0.98,貝JA處到B處的距離為m.

10.（2025?上海）如圖，某公司安裝了一個人臉打卡器，AB是高2.7m的門框，某人CD高1.8m,只

有當NCAB=53°時，他才能開門，那么BD長為.（參考數(shù)據(jù)：sin53°^0.8,cos53°

^0.6,tan53°-1.33,保留1位小數(shù)）

11.（2025?武漢）某科技小組用無人機測量一池塘水面兩端A,B的距離，具體過程如下：如圖，將

無人機垂直上升至距水面1201n的P處，測得A處的俯角為45°,B處的俯角為22°,則A,B

之間的距離是m.（tan22°取0.4）

12.（2025?廣州）如圖，在RtZ\ABC中，NACB=90°,AD平分NCAB,已知cosNCAD=12AB=26,

13,

則點B到AD的距離為

13.湖泊兩端A,B的距離不易測量，某科技小組需要用無人機

進行測量，他們將無人機上升并飛行至距湖面90m的點C處，從C點測得A點的俯角為60°,

測得B點的俯角為30°（A,B,C三點在同一豎直平面內(nèi)），則湖泊兩端A,B的距離為

14.（2025?河北）2025年3月是第10個全國近視防控宣傳教育月，活動主題為“抓早抓小抓關鍵,

更快降低近視率”.如圖是一幅眼肌運動訓練圖，其中數(shù)字1-12對?應的點均勻分布在一個圓上,

數(shù)字。對應圓心.圖中以數(shù)字0?12對應的點為端點的所有線段中，有一條線段的長與其他的都

不相等.若該圓的半徑為1,則這條線段的長為

（參考數(shù)據(jù)：sinl50=逅二返1,Sin75°=逅!亞）

4

15.（2025?揚州）如圖1,棱長為9cm的密封透明正方體容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM

=7cm.將此正方體放在坡角為a的斜坡上，此時水面MN恰好與點A齊平，其土視圖如圖2所示,

16.（2025?南通）如圖，網(wǎng)格圖中每個小正方形的面積都為1.經(jīng)過網(wǎng)格點A的一條直線，把網(wǎng)格圖

則sinZMNB的值為

17.（2025?廣元）四邊形ABCD中,AC與BD交于點0,0是AC的中點,130=21）0,已知AB=4,AD=2,

tan/ACD=?,則AC的長為.

、解答題（本大題共12小題）

18.（2025?成都）（1）計算：（工）7■向+2cos45°

4

,5xT>3（x+l）①

（2）解不等式組:

?吟41②

19.（2025?蘭州）天文學家運用三角函數(shù)解決了曾困擾古人數(shù)百年的難題.某天文研究小組探允用三

角函數(shù)知識計算月球與地球之間距離的方法，通過查閱資料、實際觀測、獲得數(shù)據(jù)和計算數(shù)據(jù),

得出月球與地球之間的近似距高.具體研究方法與過程如表:

問題月球與地球之間佗距離約為多少？

工具天文望遠鏡、天文經(jīng)緯儀等

月球、地球的實物圖與立面示意圖

說明為了便于觀測月球，在地球上先確定兩個觀測點A,B,以線段AB作為基準線，

再借助天文經(jīng)緯儀從A,B兩點同時觀測月球P（將月球抽象為一個點），并測

得NABP和NBAP的度數(shù)，根據(jù)實際問題畫出平面示意圖（如圖），過點P作PH

_LAB于點H,連接AP,BP.

數(shù)據(jù)AB%0.8萬千米，ZABP=89025'37.43'',ZBAP=89°22'38.09''.

根據(jù)以上信息，求月球與地球之間的近似距離PH.（結果精確到1萬千米）

（參考數(shù)據(jù)：tan89°25'37.43,,^100.00,tan89°22'38.09''*92.00,sin89°25'37.43''

-0.99995,sin89°22'38.09''-0.99994,cos89°25'37.43''M）.00999,cos89°22'

38.09''^0.01087）

20.（2025?青海）數(shù)學實踐

【問題背景】

中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)智慧遇上現(xiàn)代數(shù)學模型.“西豆不上架，產(chǎn)量少一半”的農(nóng)諺流傳至今，現(xiàn)代科學

揭示了其秘密：當支架與地面形成65°夾角時，既能在早春聚熱防凍害，又能在盛夏分散強光,

就像給就豆裝了智能遮陽篷.

【問題呈現(xiàn)】

用兩根竹竿交又，斜插入地面，交叉點在何處會使支架與地面形成65°夾角？

【模型建立】

環(huán)節(jié)一：數(shù)據(jù)收集

兩根竹竿長度均為1.8米，插入地下的部分為0.3米，竹竿與地面接觸點間距為0.6米且與地面

所形成的夾角均為65°.

環(huán)節(jié)二：數(shù)學抽象

如圖：已知線段AB與CD交于點0,AB,C1）與直線1分別交于點E,F,AB=CD=1.8n,BE=DF

=0.3m,ZAEF=ZCFE=65°,EF=0.6m,求0E的長度.（結果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：sin65°

^0.91,cos65°^0.42,tan65°g2.14)

【模型求解】

【問題總結】

交叉點0距頂端A的長度即0A為m時，支架與地面形成65°夾角，這樣更貼合作

物的生長規(guī)律.

21.（2025?樂山）如圖，在△ABC中，ZABC=45°,ZACB=60°,AC=2.

（1）求AB的長，

（2）求點C到線段AB的距離.

22.（2025?宜賓）如圖，扇形0PN為某運動場內(nèi)的投擲區(qū)，由所在圓的圓心為0,A.B、N、。在同

一直線上.直線AP與百5所在相切十點P,此時測得NPA0=45",從點A處沿AO方向前進

8.0米到達B處.直線BQ與mJ所在。。相切于點Q,此時測得NQB0=60°.（參考數(shù)據(jù)：近y

1.41,73^1.73,n^3.14）.

（1）求圓心角NP0N的度數(shù)，

（2）求廝的弧長（結果精確到0.1米）.

23.（2025?廣東）綜合與實踐

【閱讀材料】

如圖1,在銳角AABC中，NA,ZB,NC的對邊長分別為a,b,c,貝ij有［^―二］匚=1J.這

sinAsinBsinC

是解三角形的重要結論，可用于解決實際問題.

【問題提出】

萬綠湖是廣東省重要的生態(tài)屏障和飲用水水源地.某綜合與實踐小組要繪制一幅萬綠湖局部平面

示意圖，現(xiàn)需要知道湖中A,B兩島間的實際距離.由于地形原因，無法利用洲距儀直接測量，

該小組對這一問題進行了探究.

【方案設計】

工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）.

測角儀測距儀無人機

測量過程：

步驟1：如圖2,在空曠地找一點C,

步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得NA七43°,ZB^51°,

步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得BC%341m,AC%388.5m.

【問題解決】

（1）請你利用【閱讀材料】中的結論計算A,B兩島間的距離.

（參考數(shù)據(jù)：sin43°20.682,sin510*0.777,sin86°^0.998）

【評價反思】

（2）設計其他方案計算A,B兩島間的距離.要求：選用【方案設計】中的工具，寫出你的方案

和所用的數(shù)學知識.

A

A

B

z\

BaCC

圖1圖2

24.（2025?湖南）如圖，某處有一個晾衣裝置，固定立柱AB和CD分別垂直地面水平線1于點B,D,

AB=19分米，CD>AB.在點A,C之間的晾衣繩上有固定掛鉤E,AE=13分米，一件連衣裙MN

掛在點E處（點M與點E重合），且直線MN_L1.

（1）如圖1,當該連衣裙下端點N剛好接觸到地面水平線1時，點E到直線AB的距離EG等于

12分米，求該連衣裙UN的長度，

（2）如圖2,為避免該連衣裙接觸到地面，在另?端固定掛鉤F處再掛?條長褲（點F在點E

的右側），若NBAE=76.1°,求此時該連衣裙卜端N點到地面水平線1的距離約為多少分米？

（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin76.1°-0.97,cos76.1°^0.24,tan76.1°-4.04）

2025年5月29日“天問二號”成功發(fā)射，開啟了小行星伴飛取樣探測的新篇章.某校航天興趣

小組受到鼓舞，制作了?個航天器模型，其中某個部件使用3D打印完成，如圖1.

【問題提出】

部件主視圖如圖2所示，由于1的尺寸不易直接測量，需要設計一個可以得到1的長度的方案，

以檢測該部件中1的長度是否符合要求.

,正面

圖1圖2

【方案設計】

興趣小組通過查閱文獻，提出了鋼柱測量法.

測量工具；游標卡尺、若干個底面圓半徑相同的綱杜（圓柱）.

操作步驟：如圖3,將兩個鋼柱平行放在部件合適位置，使得鋼柱與部件緊密貼合.示意圖如圖

4,。。分別與AC,AD相切于點B,D.用游標卡尺測量出CC'的長度y.

【問題解決】

已知NCAD=NC'A'D'=60°,1的長度要求是L9cli?2.1cm.

（1）求NBAO的度數(shù)，

（2）已知鋼柱的底面圓半徑為1cm,現(xiàn)測得y=7.52cm.根據(jù)以上信息，通過計算說明該部件1

的長度是否符合要求.（參考數(shù)據(jù)：

【結果反思】

（3）本次實踐過程借助圓柱將不可測量的長度轉化為可測量的長度，能將圓柱換成其他幾何體

嗎？如果能，寫出一個，如果不能，說明理由.

26.（2025?山西）項目學習

項目背景：“源池泉涌”為我省某景區(qū)的一個景點，主體設計包括外欄墻與內(nèi)欄墻，外欄墻高于

內(nèi)欄墻，兩欄中間為步道，內(nèi)欄墻內(nèi)為泉池，池內(nèi)泉水清澈見底.從正上方看，外欄墻呈正八邊

形，內(nèi)欄墻呈圓形.綜合實踐小組的同學圍繞“景物的測量與計算”開展項目學習活動，形成了

如下活動報告.

景物的測量與計算

更

如何測量內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑

是

罪利用視圖、三角函數(shù)等有關知識進行測量與計算

兄2圖1為該景點俯視圖的示意圖，點A,D是正八邊形中一組平行邊的中點，BC為

到藻圓的直徑，圖中點A,B,C,D在同一條直線上.

亢V圖2為測量方案示意圖，直徑BC所在水平直線與外欄增分別交于點E,3外欄

9墻AE與DF均與水平地面垂直，且AE=DF.BE,CF均表示步道的寬,BE=CF.圖

中各點都在同一豎直平面內(nèi).

地面

測噴方案示意圖

圖2

在點A處測得點B和點C的俯角分別為NDAB=37°,NDAC=8.5°,AD=26米.圖

中墻的厚度均忽略不計.

牙

請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計算內(nèi)欄墻圍成泉池的直徑BC的長（結果精確到1米.參考數(shù)據(jù)：（sin8.5°

.99,tan8.5°^0.15,sin370^0.60,cos37°^0.80,tan37°、0.75).

27.（2025?長沙）如圖，某景區(qū)內(nèi)兩條互相垂直的道路a,b交于點M,景點A,B在道路a上，景點

C在道路b上.為了進一步提升景區(qū)品質(zhì)，景區(qū)管委會在道路b上又開發(fā)了風景優(yōu)美的景點D.經(jīng)

測得景點C位于景點B的北偏東60°方向上，位于景點A的北偏東30。方向上，景點B位于景

點D的南偏西45°方向上.已知AB=800m.

（1）求NACB的度數(shù)，

（2）求景點C與景點D之間的距離.（結果保留根號）

28.（2025?濰坊）圖1是某摩天輪的實景圖.摩天輪可視作半徑為50米的。（），其上的某個座艙可視

作。0上的點A,座艙距離地血的最低高度BC為10米，地向1上的觀察點I）到點C的距離DC為

80米，平面示意圖如圖2所示.

（1）當視線DA與。。相切時，求點A處的座艙到地面的距離.

（2）已知摩天輪勻速轉動一周需要30分鐘，當座艙距離地面不低于85米時，在座艙中觀賞風

景的體驗最佳.點A處的座艙隨摩天輪勻速轉動一周的過程中，求該座艙中乘客最佳觀賞風景的

時長，并求這段時間內(nèi)該座艙經(jīng)過的圓弧的長.

（以上結果均保留小數(shù)點后一位數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：tan36.87°弋遷，sin66.87°^0.92,

4

cos66.87°%0.39.V3^1.73,n^3.14）

A,B,C,D在同一平面內(nèi).A是瞭望臺，某一時刻，觀測到甲無人機位于A的正東方向10千米

的B處，乙無人機位于A的南偏西30°方向20千米的I）處.兩無人機同時飛往C處巡視，I）位

于C的正西方向上，B位于C的北偏西30°方向上.

（參考數(shù)據(jù)：V2^1.41,V3^1.73,75^2.24,4*2.65）

（1）求BD的長度（結果保留小數(shù)點后一位），

（2）甲、乙兩無人機同時分別從B,D出發(fā)沿BC,DC往C處進行巡視，乙無人機速度為甲無人

機速度的2倍.當兩無人機相距20千米時，它們可以開始相互接收到信號.請問甲無人機飛離

B處多少千米時，兩無人機可以開始相互接收到信號（結果保留小數(shù)點后一位）？

【備考2026］中考數(shù)學真題2025分類精編精練19銳角三角函數(shù)

答案解析

一、選擇題

L【考點】銳角三角函數(shù)的定義

【分析】根據(jù)正弦的定義即可求得答案.

解：???在RtZ^ABC中,ZC=90°.若AB=13,BC=5,

.\sinA=^￡-=-^-,

AB13

故選：D.

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握其定義足解題的關鍵.

2.【考點】解直角三角形的應田

【分析】根據(jù)正弦三角函數(shù)的概念，結合圖形，可得到結果.

解：在RtZ\ABC中，ZCBA=90°,BC=10米，AC=30米，

故選:D.

【點評】本題考查了正弦三角函數(shù)的應用，熟練掌握正弦一:角函數(shù)的概念是解題的關鍵.

3.【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題

【分析】根據(jù)題意，結合圖形，RtZSABC中，AB=—耳—,得到結果.

sinZBAC

解：???依題意，在RtAAHC中，BC=（m-n）米，ZACB=90°,ZBAC=a,

.?.AB=——絲---=m-n,

sin/BACsina

故選：B.

【點評】本題考查了解宜用三角形的應用，熟練掌提解直角三角形是解題的關鍵.

4.【考點】銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理

【分析】利用勾股定理求得BC的長度，再根據(jù)正弦的定義即可求得答案.

解：:在RtZXABC中，ZA=90°,AB=3,AC=4,

?**BC=7AB2+AC2=7S2+42=5，

.*.sinB=AC=4

BC5

故選：C.

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

5.【考點】解直角三角形，勾股定理

【分析】依題意畫出示意圖，根據(jù)正切函數(shù)的定義得UnA=^.=l,再根據(jù)AC=2而即可得

AC2

出BC的長.

解：如圖所示：

在aABC中，ZC=90°，tanA=工，

2

.*.tcinA=—=—,

AC2

VAC=2V5?

ABC=X^C=V5.

2

故選：c.

【點評】此題主要考查了解直角三角形，熟練掌握正切函數(shù)的定義是解決問題的關鍵.

6.【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題，垂徑定理的應用

【分析】延長DC交EE于點H,根據(jù)二角函數(shù)的定義得到CH=—粵一，DH=—粵一，由

tanZECHtanZEDH

CD=DH-CH,求出EH,即可求出EF,即可得到答案.

解:如圖,延長DC交EF于點H.

由題意知CD=AB,FH=1.5+2=3.5(米)，

在RtZXECH中，ZAHC=90°,tanNECH=里,

CH

：.C\\=————,

tan/ECH

在RtZkAEH中，ZAHE=90°,tan/EDH=里,

DH

,.俐=高輸

VCD=DH-CH,

EH-EH=AB

tan/EDHtan/ECH

.EH=AB?tan/ECH?tanNEDH

tanZECH-tanZEDH

??.EF=EH+FH=(蛆?tan/ECH?tan/ED為5)(米)

tan/ECH-tan/EDH

故選：D.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用■俯角仰角問題，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關

鍵.

二、填空題

7.【考點】解直角三角形的應用

【分析】在RtZXABC中，力AB=BCXtan/CAB即可求解.

解：由題意得AB_LBC,ZACB=51°,BC=6m,

在RtZXABC中，tan/ACB=膽，即tan51°=膽,

BC6

AB^6X1.23=7.4(m),

故答案為：7.4.

【點評】本題考查了解直角三角形的實際應用，正確使用三角函數(shù)是解題的關鍵.

8.【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題

【分析】根據(jù)坡度的概念求出AC,再根據(jù)勾股定理求出AB.

解：???斜坡AB的斜面坡度i=l：近,

ABC；AC=1；M，

VBC=15m,

/.?\C=15V2ni?

由勾股定理得：AB=VBC2+AC2=V152+(15^2)2=1(田)，

故答案為：15?m.

【點評】本題考查的是解直角三角形的應用-坡度坡角問題，熟記坡度是坡面的鉛直高度h和水

平寬度1的比是解題的關雉.

9.【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論.

解：在RtZXABP中，VZB=90°,AP=500m,ZA=a,

AAB=AP*cosa=500X0.98=490(m),

答:A處到B處的距離為490m.

故答案為:490.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角偏角問題，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關

鍵.

1().【考點】解直角三角形的應用

【分析】過點C作CE_LAB,利用矩形的性質(zhì)和判定先得到BD與CE、CD與EB間關系，再利用線

段的和差關系求出AE的長，最后利用直角三角形的邊角間關系得結論.

解?：過點C作CE_LAB,垂足為E.

由題意易知四邊形CDBE是矩形，

.*.CD=BE=1.8m,BD=CE.

/.AE=AB-BE=2.7-1.8=0.9m.

在RlZ\ACE中，

VtanA=^-,

AE

ACE=tanA?AE=^1.33X0.9=1.197^1.2(m).

/.BD=1.2in.

故答案為：L2m.

A

【點評】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系、矩形的性質(zhì)和判定是解

決本題的關鍵.

11.【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題

【分析】根據(jù)題意可得：PD〃CB,從而可得NPAC=NDPA=45°,ZDPB=ZPBC=22°,然后分

別在RtAPAC和RtZ\PBC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC和BC的長，從而進行計算即可解

答.

解：如圖：

/.ZPAC=ZDPA=45°,ZDPB=ZPBC=22°,

在RtZkPAC中,PC=120m.

AAC=—￡—=120(n)),

tan45

在Rt^PBC中，NPBC=22°,

.??BC=—^li^=300(m),

tan220.4

AAB=BC-AC=300-120=180(m),

AA,B之間的距離約是180m,

故答案為：為0.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形進行

分析添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵.

12.【考點】解直角三角形，角平分線的性質(zhì)

【分析】過點D作DH_LAB于點H.可以假設AC=12k,AD=13k,則CD=5k,證明DH=CD=5k,

利用面積法求解.

解；過點D作DH_LAB于點H.

???可以假設AC=12k,AD=13k,則CD=5k,

?.?AD平分/CAB,DC±AC,DHXAB,

，DH=DC=5k,

設點B到AD的距離為h,則有工X13kXh=i-X26X5k；

22

解得h=10.

故答案為：10.

【點評】本題考查解直角三角形，角平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問

題.

13.【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題

【分析】過點C作CD_LAB,垂足為D,根據(jù)題意可得：EF〃AB,從而可得NFCA=NCAB=60°,

ZECB=ZCBA=30°,然后分別在RtAACD和RtABCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AI）和

BI）的長，最后進行計算即可解答.

AZFCA=ZCAB=60°,ZECB=ZCBA=30°,

在RtAACD中,CD=90m,

r.AD=―嗎_=平=30/§(m),

tan60V3

在RtZXBCD中，BD=—兔一=-T2-=90V3(田)，

tan30<3

3

.*.AB=AD+BD=120V3(m).

,湖泊兩端A,B的距離為120yln,

故答案為；120，§.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加

適當?shù)妮o助線是解題的關犍.

14.【考點】解直角三角形的應用，規(guī)律型：圖形的變化類

【分析】如圖所示，設數(shù)字。記為圓心0,數(shù)字6記為A,數(shù)字7記為B,過點0作0DLAB于點

I)，首先得到線段AB的長與其他的都不相等，然后求出NB()D=75°,解直角三角形求出

BD巫士叵，然后利用三線合一求解即可.

4

解:如圖所示,設數(shù)字0記為圓心0,數(shù)字6記為A,數(shù)字7記為B,過點。作0D_LAB于點D,

眼肌運動訓練圖

10o8

使用方法：以0,1,2,3,…

的順序沿著箭頭方向移動

眼球.移動一圈后再回到原

點，反復進行.

由圖可得，線段AB的長與其他的都不相等，

???其中數(shù)字1?12對應的點均勻分布在一個圓上,

A36004-12=30°,

???相鄰兩個數(shù)字與圓心0組成的圓心角為30°,

ZA0B=30°X5=150°,

**-ZOAB=ZOBA^-(180°-ZA0B)=15°，

V0D1AB,

AZBOD=75°,

sinZ^B0D=sin750

即逅返二世,

41

啦

,.?D2D=a----，

4

VOA=OB,01)1AB,

?ACcnnV6W2

??AB=2BD=-------，

乙

工這條線段的長為處返，

2

故答案為：逅返.

2

【點評】此題考查了圓心憊，解直角三角形，等邊對等角，三線合一性質(zhì)等知識，解題的關鍵是

掌握以上知識點.

15.【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題

【分析】延長AN,交直線BC于點E,設DN=xcm,則CN=CD-DN=(9-x)cm,先根據(jù)水的

體積不變建立方程，解方程可得x的值，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NDAN=NAEF=a,然后根據(jù)

正切的定義計算即可得.

解：如圖，延長AN,交直線BC于點E,

由題意得:AD=BC=CD=9cm,Z1)=90°,AD〃BC,AN〃FG,

設DN=xcm,則CN=CD?DN=(9-x)cm,

???密封透明正方體容器水平放置在桌面上與放在坡角為口的斜坡上，容器里水的體積不變，且放

在坡角為a的斜坡上時，水的體積等于長為9cm、寬為3cm、高為(9-x)cm的長方體的體積

與長為9cm、寬為9cm、高為xcm的長方體的體積的一半之和，

???9X9(9-x)號X9X9X=9X9X7，

解得x=4,

即DN=4cm,

VAN#FG,

AZAEF=ZF=a,

VAD/7BC,

/.ZDAN=ZAEF=a,

?'?tana=tanZ^DAN=7^-

AD9

故答案為：A.

9

【點評】本題考查了求角的正切值、一元一次方程的幾何應用、主視圖、平行線的性質(zhì)等知識，

熟練掌握正切的定義是解題關鍵.

16.【考點】解直角三角形，三角形的面積，相似三角形的判定與性質(zhì)

【分析】設NC=x,證明八AN（：s/\MAD,可求得MD.，根據(jù)ABMN的面積為3.得到S△麗+$△2

X

=2,求得X+JL=4,解方程得到X=2+?,根據(jù)勾股定理求得AN=&W^，最后得到sinN

x

MNB的值.

VAD/7NB,

AZMAD=ZANC,

???ZMDA=ZACN,

AAANC^AMAD,

*.*AC=AD=1,

???MD」，

x

VABMN的面積為3,網(wǎng)格圖中每個小正方形的面積都為1,

:.SA,WD+SAANC=3-1=2,

/.XxMDXAD+-ixNCXAC=2,

22

即工X^X1JxX1=2,

2x2

.*.x+—=4,

X

解得X1=2+E，X2=2■，回（舍去），

VAN^AC^NC2

=1+4+473+3

=8+4?,

AN=V2+V6?

1_V6-V2

Z.sinZMNB=sinZANC=

4

【點評】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等，掌握以上

性質(zhì)是解題的關鍵.

17.【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形

【分析】過點B,D分別作AC的垂線段，利用aODE-ZSOBF得至U0F=20E,BF=2DE,再利用AB

=2AD,推出RtAAED-R:AAFB,進而得到AF=2AE,設OE=x,結合0是AC的中點則可推出

AE=3x,CE=5x,由tan/ACD;近可表示DE=V§X，在RlAADE勾股定理建立方程即可求解

5

x,則AC=8x可求.

解：如圖，過D作DE_LAC于E,過B作BF_LAC于F,

VZ0ED=Z0FB=90°,ZDOE=ZBOC,

AAODE^AOBF,貝ij盟理=2，

DOOEDE

設OE=x,則OF=2x,EF=3x,

VAB=4,AD=2,

AB2

一?

AD

ABDF

.-D-

-ADDE=2

??/AED=NAFB=90°,

?.RtAAED^RtAAFB,

AEAD

\AF=2AE,即AE=EF=3x,

\A0=AE+0E=4x,

；0是AC的中點，

\C0=A0=4x,

??CE=C0+0E=5x,

??l&n/ACD=率，

D

?.?1DE1二V3,

CE5

:.DE=V3x>

2ERtAADE中，AD=2,由勾股定理:AE2+DE2=AD2,

BP（3X）2+（V3X）2=22>

解得：x=近，

3

???AC=2A0=8x=^"，

故答案為：回叵.

3

【點評】本題考查了勾股定理、三角函數(shù)的定義及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是通過

作垂線構造直角三角形，利用三角形相似和三角函數(shù)推導線段長度關系.

三、解答題

18.【考點】解一元一次不等式組，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的運算，負整數(shù)指數(shù)基

【分析】（1）利用負整數(shù)指數(shù)累，算術平方根的定義，特殊銳角三角函數(shù)值，絕對值的性質(zhì)計

算后再算加減即可，

（2）解各不等式得到對應的解集后再求得它們的公共部分即可.

解：（1）原式=4-3+2X」Z+2-V2

2

=4-3+V2+2-V2

=3,

（2）解不等式①得：x>2,

解不等式②得：x<8,

故原不等式組的解集為2Vx<8.

【點評】本題考查解一元一次不等式組，實數(shù)的運算，負整數(shù)指數(shù)幕，特殊銳角三角函數(shù)值，熟

練掌握解不等式組的方法及相關運算法則是解題的關鍵.

19.【考點】解直角三角形的應用

【分析】根據(jù)題意，設PH=x萬千米，在Rl^PHB中表示出BH,在RlZXPHA中表示出AH,利用

AH+BH=AB,得到方程，解方程得到結果.

解：設「14=*萬千米，

???在Rt^PHB中，ZPHB=90°,ZABP=89025'37.43'',

:.BH=--------=---------------------?,

tanZABPtan89°25，37.43"100

???在RtZ\PHA中，ZPHA=90°，ZBAP=89022'38.09'',

.*.AH=-------=----------=---------

tanZBAPtanE922，38.09”92

VAH+BH=AB^0.8（萬千米），

4-^-=0.8，

10092

解得x038,

即PH七38（萬千米），

答：月球與地球之間的近似距禽PH約為38萬千米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握解直角三角形是解題的關鍵.

20.【考點】解直角三角形的應用

【分析】根據(jù)題意，結合資形，在RtaOEH中利用三角函數(shù)，求出0E長，結合已知條件，求出

0A即可.

解：如圖，過。點作OHJLEF,垂足為H,

VZAEF=ZCFE=65°,

???OE=OF,

VEF=0.6m,

.??EH=LEF=0.3(m),

2

???在RtZXOEH中，N0HE=9(T,Z0EF=65°,

??.0E=————=―0?3。-AJ--0.7(m),

cosZOEFcos650.42

VAB=1.8m,BE=O.3m,

A0A=AB-OE-BE=1.8-0.7-0.3=0.8（m）,

問題總結：OA=0.8m.

故答案為：0.8.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，熟練解直角三角形是解題的關犍.

21.【考點】解直角三角形，點到直線的距離

【分析】（1）如圖，過點A作AJ_LBC于點J.解直角三角形求出AJ可得結論,

（2）求出BC,再利用面積法求解.

解；（1）如圖，過點A作AJ_LBC于點J.

AJ=AC*sin600=V§，CJ=AC*cos600=1,

在RtZ\ABJ中,NB=45°,

AAJ=BJ=V3，

/..4B=V2AJ=V6，

（2）過點C作CK_LAB于點K.

由（1）可知BC=BJ+CJ=1+V§,

???工?AB?CK=L?BC?AJ,

22

=叵通

.CK=V3（1W3）

一~飛2~，

???點C到線段AB的距離為返H國.

2

【點評】本題考查解直角三角形，點到直線的距離，解題的關鍵是理解題意，學會利用面積法求

解.

22.【考點】解直角三角形的應用，圓周角定理，切線的性質(zhì)，弧長的計算

【分析】（1）由圓的切線的性質(zhì)得到NAP0=90°,再由直角三角形銳角互余即可求解，

（2）先解Rl/MWO,設BQ=x,BO=2x,0Q=0P=V3X，再解Rl^APO,得至lj返工二世，求出

8+2x2

x,求出半徑，再由弧長公式即可求解.

解：（1）???直線AP與官所在。。相切于點P,

/.ZAP0-900,

VZPAO=45°,

AZP0N=900-ZPAO=45°,

（2）???直線BQ與前所在。。相切于點Q,

AZBQ0=90°,

VZQB0=60°,

***cosZQB0=cos600■二占

設BQ=x,B0=2x,

AOQ=OP=VBO2-BQ2=V§X，

VAB=8.Om,

/.AO=AB+BO=(8.0+2x)m,

???在RtZkAPO中,ZA=45°,

??%.在。POV2

??sinA=sin45?

AU/

.V3x_V2

*8.0+2x-2'

解得：X=(4^6+8)ID，

A0P=V3X(476+8)=(1272+8百)m，

???詢的弧長為：45兀X(12V^+8?)+245,

180

答：由的弧長為24.Im.

【點評】本題考查了解直用三角形的應用，圓的切線的性質(zhì)，弧長公式，熱練掌握各知識點并靈

活運用是解題的關鍵.

23.【考點】解直角三角形的應用

【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出NC=180。-ZA-ZB=86°,根據(jù)即意可得

?一二一整一，代入數(shù)據(jù)求出AB的長，即可解答，

sinAsinC

（2）運用解直角三角形、勾股定理等數(shù)學知識設計方案即可.

解：（1）VZA^43°,ZB^51°,

.\ZC=180°-ZA-ZB^180°-43°-51°=86°,

由題意得，_邑=

sinAsinC

又???BCQ341m,

?AB二BCsinC_BCsin86=341X0.998

二499nv

sinAsin4390.682

答：A,B兩島間的距圖為499nb

（2）工具：測角儀、測距儀、無人機（只能測角度、水平面高度）.

測量過程：步驟1：如圖，在空曠地找一點C,使得△ABC是銳角三角形,

步驟2：利用無人機多次測量并取平均值測得NC的度數(shù)，

步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得BC=am,AC=bm.

A

B

\.在RtaACD中，sinC;整，cosC二祟，

ACAC

/.AD=bsinC(m),CD=bcosC(m),

ABD=BC-CD=(a-bcosC)(m),

V?RtAABD中，AD2+BD:=AB2,

?*AB^v(bsinC)2+(a-bcosC)2(m)>

答：A,B兩島間的距離為J(bsinC)2+(a-bcosC)'

【點評】本題考杳了解直角三角形的應用，理解題意是解題的關鍵.

24.【考點】解直角三角形的應用

【分析】(1)根據(jù)題意，結合圖形，在Rt^AGM中利用勾股定理求出AG的長，得到AB長，即

可得到結果，

(2)結合圖形，在RtZXAGM中利用三角函數(shù)求出AK,可求出BK,即可得到結果.

解：(1)???由題可知：在Rt^AGM中，AM=13分米，MG=12