2026屆湖南省汨羅第二中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓的焦點坐標(biāo)為（）A.和 B.和C.和 D.和2．?dāng)?shù)列，，，，…，是其第（）項A.17 B.18C.19 D.203．已知集合A=（）A. B.C.或 D.4．在四面體中，空間的一點滿足，若共面，則（）A. B.C. D.5．已知直線與圓交于兩點，過分別作的垂線與軸交于兩點，則A.2 B.3C. D.46．2021年6月17日9時22分，搭載神舟十二號載人飛船的長征二號F遙十二運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射．此后，神舟十二號載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，并快速完成與“天和”核心艙的對接，聶海勝、劉伯明、湯洪波3名宇航員成為核心艙首批“入住人員”，并在軌駐留3個月，開展艙外維修維護(hù)，設(shè)備更換，科學(xué)應(yīng)用載荷等一系列操作．已知神舟十二號飛船的運行軌道是以地心為焦點的橢圓，設(shè)地球半徑為R，其近地點與地面的距離大約是，遠(yuǎn)地點與地面的距離大約是，則該運行軌道（橢圓）的離心率大約是（）A. B.C. D.7．設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在平面內(nèi)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．已知，設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B.C. D.9．等差數(shù)列前項和，已知，，則的值是（）.A. B.C. D.10．若關(guān)于一元二次不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.11．若，則=（）A.244 B.1C. D.12．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比，且滿足，則（）A.8 B.4C.2 D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點為雙曲線的左焦點，過原點的直線l與雙曲線C相交于P，Q兩點．若，則______14．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，G為棱A1B1上的一點，且A1G=(0<<2)，則點G到平面D1EF的距離為____.15．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則在軸上的投影向量為________.16．已知函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點，點B為直線上的動點，過B作直線的垂線，線段AB的中垂線與交于點P（1）求點P的軌跡C的方程；（2）若過點的直線l與曲線C交于M，N兩點，求面積的最小值．（O為坐標(biāo)原點）18．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為直角梯形，，，，O為BD的中點，，（1）證明：平面ABCD；（2）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值19．（12分）已知橢圓C：的長軸長為，P是橢圓上異于頂點的一個動點，O為坐標(biāo)原點，A為橢圓C的上頂點，Q為PA的中點，且直線PA與直線OQ的斜率之積恒為-2.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為k且過上焦點F的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，當(dāng)點M，N到y(tǒng)軸距離之和最大時，求直線l的方程.20．（12分）為了解某校今年高一年級女生的身體素質(zhì)狀況，從該校高一年級女生中抽取了一部分學(xué)生進(jìn)行“擲鉛球”的項目測試，成績低于5米為不合格，成績在5至7米（含5米不含7米）的為及格，成績在7米至11米（含7米和11米，假定該校高一女生擲鉛球均不超過11米）為優(yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)，分成五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學(xué)生的成績在9米到11米之間(1)求實數(shù)的值及參加“擲鉛球”項目測試的人數(shù)；(2)若從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機抽取2名學(xué)生再進(jìn)行其它項目的測試，求所抽取的2名學(xué)生自不同組的概率21．（12分）已知數(shù)列的前n項和為滿足（1）求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和為．求證：22．（10分）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對，不等式在上恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】本題是焦點在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點坐標(biāo).【詳解】，可得焦點坐標(biāo)為和.故選：D2、D【解析】根據(jù)題意，分析歸納可得該數(shù)列可以寫成，，，……，，可得該數(shù)列的通項公式，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)列，，，，…，，可寫成，，，……，，對于，即，為該數(shù)列的第20項；故選：D.【點睛】此題考查了由數(shù)列的項歸納出數(shù)列的通項公式，考查歸納能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運算，即可求出結(jié)果.【詳解】因為集合，所以.故選：A.4、D【解析】根據(jù)四點共面的向量表示，可得結(jié)果.【詳解】由共面知，故選：【點睛】本題主要考查空間中四點共面的向量表示，屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】由題意，圓心到直線的距離，∴，∵直線∴直線的傾斜角為，∵過分別作的垂線與軸交于兩點，∴，故選D.6、A【解析】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可.【詳解】以運行軌道長軸所在直線為x軸，地心F為右焦點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，其中，根據(jù)題意有，，所以，，所以橢圓的離心率故選：A7、A【解析】計算出復(fù)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由于，對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，在第一象限，故選：A.8、D【解析】由題設(shè)易知上恒成立，而在上，討論、，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的最值，由不等式恒成立求的取值范圍.【詳解】由時，在上；由時，在上遞減，值域為；令且，則，當(dāng)時，，即遞增，值域為，滿足題設(shè)；當(dāng)時，在上，即遞減，在上，即遞增，此時值域為；當(dāng)，即時存在，而在中，此時，不合題設(shè)；所以，此時要使的不等式恒成立，只需，即，可得；綜上，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：由題設(shè)易知上，只需在上恒有即可.9、C【解析】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故，故，故選10、B【解析】結(jié)合判別式求得的取值范圍.【詳解】由于關(guān)于的一元二次不等式的解集為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B11、D【解析】分別令代入已知關(guān)系式，再兩式求和即可求解.【詳解】根據(jù)，令時，整理得：令x=2時，整理得:由①+②得，，所以.故選：D.12、A【解析】根據(jù)是等比數(shù)列，則通項為，然后根據(jù)條件可解出，進(jìn)而求得【詳解】由為等比數(shù)列，不妨設(shè)首項為由，可得：又，則有：則故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【解析】先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)雙曲線的定義可求解.【詳解】由雙曲線的對稱性，可知，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，由，可知點在雙曲線的左支，如下圖所示：由雙曲線定義有，又，所以.故答案為：14、【解析】先證明A1B1∥平面D1EF，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求點A1到平面D1EF的距離，然后建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量的運算求得答案.【詳解】由題意得A1B1∥EF，A1B1?平面D1EF，EF?平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，則點G到平面D1EF的距離等于點A1到平面D1EF的距離.以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(xiàn)(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以，，.設(shè)平面D1EF的法向量為，則，令x=1，則y=0，z=2，所以平面D1EF的一個法向量.點A1到平面D1EF的距離==，即點G到平面D1EF的距離為.故答案為：.15、【解析】根據(jù)向量坐標(biāo)意義及投影的定義得解.【詳解】因為向量，所以在軸上的投影向量為.故答案為:16、3【解析】根據(jù)平均變化率的定義即可計算.【詳解】設(shè)，因，，所以.故答案為：3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由已知可得，根據(jù)拋物線的定義可知點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，即可得到軌跡方程；（2）設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，則，代入韋達(dá)定理，即可求出面積最小值；【小問1詳解】解：由已知可得，，即點到定點的距離等于到直線的距離，故點的軌跡是以為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，所以點的軌跡方程為【小問2詳解】解：當(dāng)直線的傾斜角為時，與曲線只有一個交點，不符合題意；當(dāng)直線的傾斜角不為時，設(shè)直線方程為，，，，，由，可得，，所以，，，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即面積的最小值為；18、（1）見解析（2）【解析】（1）連接，利用勾股定理證明，又可證明，根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面和平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可小問1詳解】證明：如圖，連接，在中，由，可得，因為，，所以，，因為，，，則，故，因為，，，平面，則平面；【小問2詳解】解：由（1）可知，，，兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，所以，則，，，又，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，設(shè)平面的法向量為，因為，所以，令，則，，故，所以，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)點，求出直線、直線的斜率相乘可得，結(jié)合可得答案；（2）設(shè)直線l的方程為與橢圓方程聯(lián)立，代入得，設(shè)，再利用基本不等式可得答案.【小問1詳解】由題意可得，，即，則，設(shè)點，∵Q為的中點，∴，∴直線斜率，直線的斜率，∴，又∵，∴，則，解得，∴橢圓C的方程為.【小問2詳解】由（1）知，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立化簡得，，設(shè)，則，易知M，N到y(tǒng)軸的距離之和為，，設(shè)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以當(dāng)時取得最大值，此時直線l的方程為.20、（1）0.05，40；（2）【解析】（1）因為由頻率分布直方圖可得共五組的頻率和為1所以可得一個關(guān)于的等式，即可求出的值.再根據(jù)已知有4名學(xué)生的成績在9米到11米之間，可以求出本次參加“擲鉛球”項目測試的人數(shù).本小題要根據(jù)所給的圖表及直方圖作答，頻率的計算易漏乘以組距.（2）因為若此次測試成績最好的共有4名同學(xué).成績最差的共有2名同學(xué).所以從6名同學(xué)中抽取2名同學(xué)共有15中情況，其中兩人在同組情況由8中.所以可以計算出所求的概率.試題解析：（Ⅰ）由題意可知解得所以此次測試總?cè)藬?shù)為答：此次參加“擲鉛球”的項目測試的人數(shù)為40人(Ⅱ)設(shè)從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機抽取2名學(xué)生自不同組的事件為A：由已知，測試成績在有2人，記為；在有4人，記為.從這6人中隨機抽取2人有，共15種情況事件A包括共8種情況.所以答：隨機抽取的2名學(xué)生自不同組的概率為考點：1.頻率分布直方圖.2.概率問題.3.列舉分類的思想.21、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定該數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用錯位相減法可求得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】證明：當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，由可得，上述兩個等式作差得，所以，，則，因為，則，可得，，，以此類推，可知對任意的，，所以，，因此，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為，所以，，解得.【小問2詳解】證明：，則，其中，所以，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，，，上式下式，得，所