分析力學考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪個是拉格朗日函數(shù)的定義（）A.T-VB.T+VC.TD.V答案：A2.虛位移是（）A.真實發(fā)生的位移B.無限小的位移C.滿足約束條件的無限小位移D.不滿足約束條件的位移答案：C3.完整約束的約束方程形式為（）A.\(f(r_i,t)=0\)B.\(f(r_i,\dot{r}_i,t)=0\)C.\(f(\dot{r}_i,t)=0\)D.以上都不對答案：A4.哈密頓正則方程是關(guān)于（）的一階微分方程組A.廣義坐標和廣義速度B.廣義坐標和廣義動量C.廣義速度和廣義動量D.位置坐標和速度答案：B5.一個質(zhì)點在平面上運動，其廣義坐標的數(shù)目是（）A.1B.2C.3D.4答案：B6.若系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)\(L\)不顯含某廣義坐標\(q_i\)，則對應(yīng)的廣義動量\(p_i\)（）A.為零B.為常量C.隨時間線性變化D.無法確定答案：B7.達朗貝爾原理的表達式為（）A.\(\sum_{i}(F_i-m_ia_i)\cdot\deltar_i=0\)B.\(\sum_{i}(F_i+m_ia_i)\cdot\deltar_i=0\)C.\(\sum_{i}F_i\cdot\deltar_i=0\)D.\(\sum_{i}m_ia_i\cdot\deltar_i=0\)答案：A8.哈密頓函數(shù)\(H\)與拉格朗日函數(shù)\(L\)的關(guān)系是（）A.\(H=\sum_{i}p_i\dot{q}_i-L\)B.\(H=L-\sum_{i}p_i\dot{q}_i\)C.\(H=\sum_{i}p_i\dot{q}_i+L\)D.\(H=\sum_{i}p_i\dot{q}_i\)答案：A9.保守力系的勢能\(V\)與廣義力\(Q_j\)的關(guān)系是（）A.\(Q_j=\frac{\partialV}{\partialq_j}\)B.\(Q_j=-\frac{\partialV}{\partialq_j}\)C.\(Q_j=\frac{\partialV}{\partial\dot{q}_j}\)D.\(Q_j=-\frac{\partialV}{\partial\dot{q}_j}\)答案：B10.對于一個具有\(zhòng)(s\)個自由度的系統(tǒng)，拉格朗日方程的數(shù)目是（）A.\(s\)B.\(2s\)C.\(3s\)D.\(s^2\)答案：A二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下屬于分析力學中常用的原理有（）A.虛功原理B.達朗貝爾原理C.最小作用量原理D.牛頓第二定律答案：ABC2.廣義坐標可以是（）A.長度B.角度C.面積D.體積答案：AB3.關(guān)于拉格朗日方程的說法正確的是（）A.適用于完整系統(tǒng)B.是二階微分方程C.由虛功原理和達朗貝爾原理推導(dǎo)而來D.與牛頓定律完全無關(guān)答案：ABC4.以下哪些量在保守系統(tǒng)中是守恒量（）A.機械能B.廣義動量C.角動量D.動能答案：ABC5.哈密頓正則方程的優(yōu)點包括（）A.方程形式對稱B.適用于非保守系統(tǒng)C.可用于量子力學D.求解更簡單答案：ABC6.虛位移具有以下性質(zhì)（）A.與時間無關(guān)B.無限小C.滿足約束條件D.方向任意答案：ABC7.分析力學相比牛頓力學的優(yōu)勢在于（）A.更適用于復(fù)雜系統(tǒng)B.不需要建立坐標系C.對約束處理更方便D.方程形式更簡潔答案：ACD8.完整約束系統(tǒng)的特點有（）A.約束方程不含廣義速度B.可以用廣義坐標完全描述系統(tǒng)位置C.約束方程是可積分的D.系統(tǒng)自由度容易確定答案：ABCD9.廣義力的計算方法有（）A.通過虛功計算B.由勢能求偏導(dǎo)C.直接用牛頓定律D.利用拉格朗日函數(shù)答案：AB10.以下哪些屬于分析力學的研究內(nèi)容（）A.系統(tǒng)的平衡問題B.系統(tǒng)的運動規(guī)律C.約束的性質(zhì)D.能量的轉(zhuǎn)換答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.虛位移一定是真實位移的一種特殊情況。（）答案：錯2.廣義坐標的選取是唯一的。（）答案：錯3.拉格朗日函數(shù)\(L\)是動能\(T\)與勢能\(V\)之和。（）答案：錯4.哈密頓函數(shù)\(H\)總是等于系統(tǒng)的機械能。（）答案：錯5.完整約束系統(tǒng)的自由度等于廣義坐標的數(shù)目。（）答案：對6.達朗貝爾原理適用于非慣性系。（）答案：對7.若廣義力為零，則對應(yīng)的廣義坐標是循環(huán)坐標。（）答案：錯8.分析力學不能處理多體系統(tǒng)問題。（）答案：錯9.虛功原理只能用于求解系統(tǒng)的平衡問題。（）答案：錯10.廣義動量是廣義坐標對時間的導(dǎo)數(shù)。（）答案：錯四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述拉格朗日方程的推導(dǎo)思路答案：從虛功原理和達朗貝爾原理出發(fā)，引入廣義坐標描述系統(tǒng)。通過對系統(tǒng)各質(zhì)點的位置、速度用廣義坐標表示，將虛功和慣性力虛功進行變換，最終得到以廣義坐標表示的拉格朗日方程\(\fraclhprhr1{dt}(\frac{\partialL}{\partial\dot{q}_j})-\frac{\partialL}{\partialq_j}=0\)。2.說明廣義坐標和廣義動量的概念答案：廣義坐標是描述系統(tǒng)位置的一組獨立變量，其選取不唯一，能有效簡化復(fù)雜系統(tǒng)描述。廣義動量是與廣義坐標共軛的物理量，定義為\(p_j=\frac{\partialL}{\partial\dot{q}_j}\)，在保守系統(tǒng)中若廣義坐標為循環(huán)坐標，對應(yīng)廣義動量守恒。3.簡述哈密頓正則方程的重要性答案：哈密頓正則方程形式對稱，將二階拉格朗日方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程組，便于分析和求解。在經(jīng)典力學中有廣泛應(yīng)用，且是通往量子力學的重要橋梁，在理論物理發(fā)展中起關(guān)鍵作用。4.解釋虛位移與實位移的區(qū)別答案：虛位移是滿足約束條件的無限小位移，與時間無關(guān)，是假想的位移。實位移是在真實時間內(nèi)發(fā)生的位移，受時間和動力學規(guī)律影響，通常是有限大小，實際發(fā)生的。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論分析力學在現(xiàn)代物理中的應(yīng)用答案：在量子力學中，哈密頓量是核心概念，源于分析力學的哈密頓函數(shù)。在統(tǒng)計物理里，用于描述系統(tǒng)微觀狀態(tài)，推導(dǎo)分布函數(shù)。在天體力學中，處理復(fù)雜天體運動，比牛頓力學更簡潔，推動了相關(guān)領(lǐng)域理論發(fā)展。2.分析拉格朗日方法和哈密頓方法的優(yōu)缺點答案：拉格朗日方法優(yōu)點是方程形式簡潔，適用于完整系統(tǒng)，推導(dǎo)相對簡單；缺點是處理非保守力較復(fù)雜。哈密頓方法優(yōu)點是方程對稱，利于理論分析和拓展到量子力學；缺點是變量增多，求解復(fù)雜系統(tǒng)時計算量可能較大。3.探討約束條件對分析力學系統(tǒng)的影響答案：約束條件確定系統(tǒng)自由度，限制質(zhì)點運動。完整約束使系統(tǒng)能用廣義坐標方便描