2.5.2圓與圓的位置關(guān)系課程：高中數(shù)學(xué)教材：高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊章節(jié)：2.5.2圓與圓的位置關(guān)系教材分析本節(jié)課通過圓的方程，利用距離公式定量分析兩圓之間的位置關(guān)系，結(jié)合幾何直觀與代數(shù)運算，判斷兩圓相交、相切或相離的情況。教學(xué)過程引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，經(jīng)歷觀察、計算、歸納的思維過程。本節(jié)內(nèi)容承接直線與圓的位置關(guān)系，延續(xù)“用代數(shù)方法研究幾何問題”的基本思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓錐曲線間的位置關(guān)系奠定基礎(chǔ)。通過對兩圓位置關(guān)系的討論，提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，強(qiáng)化方程思想與分類討論意識，有助于學(xué)生形成系統(tǒng)的解析幾何認(rèn)知結(jié)構(gòu)，增強(qiáng)綜合分析能力。在具體判斷中，設(shè)兩圓圓心距為d，半徑分別為r1、r2，則當(dāng)∣r1?r2∣<學(xué)情分析針對本節(jié)知識內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知水平而言，學(xué)生已掌握直線與圓的方程及其位置關(guān)系的代數(shù)判定方法，理解幾何元素間的位置關(guān)系可通過方程聯(lián)立后解的個數(shù)進(jìn)行定量分析，具備平面解析幾何的基本思維基礎(chǔ)，同時在初中已了解圓的五種位置關(guān)系的幾何特征，現(xiàn)階段學(xué)生具備一定的邏輯推理能力和代數(shù)運算能力，能夠進(jìn)行兩個圓方程聯(lián)立后對方程組解的情況進(jìn)行討論，但對分類標(biāo)準(zhǔn)的把握和數(shù)形結(jié)合的靈活運用仍需加強(qiáng)，本節(jié)課要求學(xué)生類比直線與圓的位置關(guān)系研究方法，通過比較兩圓圓心距d與半徑和∣r1+教學(xué)目標(biāo)理解圓與圓的位置關(guān)系的三種基本類型（相交、相切、相離），能夠準(zhǔn)確描述每種位置關(guān)系的特征，達(dá)到直觀想象核心素養(yǎng)水平一的要求。掌握通過兩圓方程判斷其位置關(guān)系的方法，能夠運用代數(shù)運算計算兩圓圓心距與半徑的關(guān)系，達(dá)到數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)水平二的要求。能夠類比直線與圓的位置關(guān)系的研究方法，建立圓與圓位置關(guān)系的分析框架，達(dá)到邏輯推理核心素養(yǎng)水平二的要求。能夠綜合運用幾何直觀和代數(shù)方法解決圓與圓位置關(guān)系的實際問題，達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平一的要求。重點難點教學(xué)重點：圓與圓位置關(guān)系的判定，利用圓心距與半徑和差的關(guān)系判斷相交、相切、相離。

教學(xué)難點：通過方程聯(lián)立求解公共點，區(qū)分內(nèi)含與外離、內(nèi)切與外切的代數(shù)特征。d與r1、r課堂導(dǎo)入同學(xué)們，在生活中我們常常能看到圓的身影，比如自行車的兩個車輪。那大家有沒有想過，這兩個車輪的位置關(guān)系，其實就代表了圓與圓的位置關(guān)系。之前我們已經(jīng)學(xué)會通過直線方程和圓的方程研究直線與圓的位置關(guān)系，今天我們換個角度，類比這種方法，借助圓的方程，用定量計算的方式來探索圓與圓的位置關(guān)系。大家先思考一下，當(dāng)我們在紙上隨意畫兩個圓，它們可能會出現(xiàn)怎樣不同的位置呢？不妨動手畫一畫，看看能否發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，接下來我們就一起深入探討圓與圓的位置關(guān)系。圓與圓的位置關(guān)系探究新知（一）知識精講

我們知道，兩個圓之間的位置關(guān)系可以分為三類：相交、相切和相離。其中，相切包括外切和內(nèi)切，相離包括外離和內(nèi)含。為了通過代數(shù)方法定量研究兩個圓的位置關(guān)系，我們可借助兩圓的方程，結(jié)合幾何特征進(jìn)行分析。設(shè)兩個圓的方程分別為：

C1:(x?a1)2+(y?b1)2=r12

C2根據(jù)d與r1、r2當(dāng)d>r當(dāng)d=r當(dāng)∣r1當(dāng)d=∣當(dāng)d<∣上述結(jié)論可以通過幾何直觀理解：當(dāng)兩個圓心距離逐漸減小時，兩圓從外離開始，依次經(jīng)歷外切、相交、內(nèi)切，最終變?yōu)閮?nèi)含。反之亦然。此外，也可以通過聯(lián)立兩個圓的方程，消元后得到一個二次方程，利用判別式判斷公共解的個數(shù)，從而確定位置關(guān)系。例如，將兩個圓的一般式方程相減，可得一條直線方程（稱為兩圓的公共弦所在直線，若相交），但該方法主要用于相交情形下的進(jìn)一步分析。在不相交或相切的情況下，聯(lián)立方程組的解的個數(shù)分別為0和1。如圖所示，展示了兩圓的五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含。通過觀察圓心距與半徑和、半徑差的關(guān)系，能夠清晰地區(qū)分各種情況。（二）師生互動

教師提問：如果已知兩個圓的方程分別為(x?1)2+(y?2)2=4和(x?4)2+(y?2)2=9，你能判斷它們的位置關(guān)系嗎？

學(xué)生思考并回答：第一個圓的圓心是(1,2)，半徑為2；第二個圓的圓心是(4,2)，半徑為（三）設(shè)計意圖

通過引導(dǎo)學(xué)生回顧直線與圓的位置關(guān)系的研究方法，類比提出用代數(shù)手段研究圓與圓的位置關(guān)系，旨在實現(xiàn)知識遷移，強(qiáng)化“幾何問題代數(shù)化”的數(shù)學(xué)思想。在講解中突出圓心距與半徑和、差的比較這一核心判據(jù)，幫助學(xué)生建立清晰的數(shù)量關(guān)系模型，達(dá)成對位置關(guān)系分類的理解目標(biāo)。通過具體例子的演算與提問延伸，培養(yǎng)學(xué)生運算求解能力和邏輯推理能力，促進(jìn)其從圖形直觀到定量分析的思維躍遷。采用師生對話形式展開探究，鼓勵學(xué)生主動參與、動手計算、表達(dá)觀點，體現(xiàn)以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)方式。整個過程強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯一致性與方法的普適性，潛移默化地傳遞嚴(yán)謹(jǐn)、理性的科學(xué)態(tài)度和數(shù)學(xué)應(yīng)用的價值導(dǎo)向。新知應(yīng)用例5題目：已知圓C1：x2+y2+2x+解答：我們有兩種方法來判斷兩個圓的位置關(guān)系。解法1：聯(lián)立方程組，通過公共點個數(shù)判斷將兩圓的方程聯(lián)立：

{用①減去②，消去二次項：

(x2+y2+這是兩個圓的公共弦所在直線的方程（如果相交）。接下來，我們將這條直線代入其中一個圓的方程求解交點個數(shù)。由③得：

y代入①式：

x先展開并整理：

x2+(1通分合并：

4計算判別式：

Δ說明方程④有兩個不相等的實根，對應(yīng)兩個不同的x值。再代回直線方程可得對應(yīng)的y值，因此有兩個公共點。結(jié)論：兩圓相交。解法2：利用幾何法——比較圓心距與半徑和、差的關(guān)系先把兩個圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式。對C配方：

x所以圓心O1=(對C配方：

x所以圓心O2=(計算圓心距d=∣O估算數(shù)值便于比較：rrr∣d顯然：

∣根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判定法則，當(dāng)圓心距介于兩半徑之差與和之間時，兩圓相交?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容①圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法；

②聯(lián)立方程組求解公共點個數(shù)；

③將一般式圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式；

④利用圓心距與半徑關(guān)系進(jìn)行幾何判斷。2.題目求解要點①方法一（代數(shù)法）：聯(lián)立兩個圓的方程，消元后得到一個二次方程，通過判別式Δ判斷解的個數(shù)，從而確定位置關(guān)系（Δ>0:相交；Δ=0:相切；Δ<0:相離）。

②方法二（幾何法）：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式(x?a)2+(若d>r若d=r若∣r1若d=∣若d<∣r1?例6題目：已知圓O的直徑AB=4，動點M與點A的距離是它與點B的距離的2倍。試探究點M解答：建立平面直角坐標(biāo)系：以線段AB的中點O為原點，AB所在直線為x軸，垂直平分線為y因為AB=4，所以A(?2,0)，B(2設(shè)動點M(x,即：

(兩邊平方：

(展開：

x移項整理：

x配方：

x所以點M的軌跡是以P(6,0)現(xiàn)在判斷這個軌跡圓與原圓O（圓心O(0,0計算圓心距：

∣比較：rrrr而圓心距d=6，滿足：因此，兩圓相交?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容①動點軌跡的求法（利用距離關(guān)系建系列式）；

②軌跡方程的化簡與識別（軌跡為圓）；

③兩圓位置關(guān)系的判斷（結(jié)合圓心距與半徑關(guān)系）；

④數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。2.題目求解要點①建立合適的坐標(biāo)系是關(guān)鍵，通常取對稱點為原點，使計算簡化；

②根據(jù)題設(shè)中的幾何條件（如距離比例），列出等量關(guān)系，通過平方消根號，化簡得軌跡方程；

③化簡后的方程需配方成標(biāo)準(zhǔn)圓的形式，明確圓心與半徑；

④判斷軌跡圓與已知圓的位置關(guān)系時，仍采用“圓心距vs半徑和差”的方法；

⑤注意軌跡本身也是一個圓，因此問題轉(zhuǎn)化為兩個圓之間的位置關(guān)系判斷。新知鞏固題目：已知圓x2+y2=4與圓x2?10x+y2解答：我們先將兩個圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，以便分析它們的圓心和半徑。第一個圓：

已知方程為：

x2+y2=4

這是以原點(第二個圓：

方程為：

x2?10x+y2+16=0

接下來計算兩圓的圓心距d：

d現(xiàn)在我們分析兩圓的位置關(guān)系：r1=2，r2=圓心距d因為d=r1根據(jù)兩圓外切的性質(zhì)，它們有3條公切線：兩條外公切線（在兩側(cè)）一條內(nèi)公切線（在切點處共用）因此，公切線條數(shù)為3。答案選C．3總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查圓與圓的位置關(guān)系判斷，以及不同位置關(guān)系下公切線條數(shù)的結(jié)論，重點在于通過圓的方程確定圓心與半徑，進(jìn)而計算圓心距并判斷位置關(guān)系。2.題目求解要點將一般式圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，找出圓心和半徑；計算兩圓圓心之間的距離d；比較d與兩圓半徑之和r1+r2、半徑之差若d>r1若d=r1若∣r1?若d=∣r若d<∣r根據(jù)位置關(guān)系確定公切線的條數(shù)。3.同類型題目解題步驟將兩個圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：(x?計算兩圓圓心之間的距離d=(計算r1+r2和比較d與r1+r2、根據(jù)位置關(guān)系查表確定公切線的條數(shù)。板書設(shè)計圓與圓的位置關(guān)系

├─位置關(guān)系分類

│├─相交：有2個公共點

│├─相切：有1個公共點

││├─外切

││└─內(nèi)切

│└─相離：無公共點

│├─外離

│└─內(nèi)含

├─判定方法（設(shè)兩圓半徑為r1,r2，圓心距為d）

│├─外離：d>r1+r2

│├─外切：d=r1+r2

│├─相交：∣r1?r2∣<d<r1+r2

│├─內(nèi)切：d=教學(xué)反思本教學(xué)設(shè)計以類比直線與圓位置關(guān)系的研究方法，引入圓與圓位置關(guān)系的探究。通過介紹兩圓相交、相切（外切與內(nèi)切）、相離（外離與內(nèi)含）這三種位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生運用圓的方程定量計算。課程完成度較高，學(xué)生能初步理解圓與圓位置關(guān)系。成功之處在于借助類比，降低學(xué)生理解難度，激發(fā)學(xué)生探究興趣；不足之處在于定量計算部分，對部分學(xué)生而言較難理解，講解過程應(yīng)更細(xì)致，且學(xué)生實際動手計算環(huán)節(jié)可適當(dāng)增加，以加強(qiáng)對知識的掌握。課堂練習(xí)第1題【題文】過點P(3,2)作圓C??:(xA．2B．xC．xD．3【答案】A第2題【題文】若圓C??:x2+y2+2A．(B．(C．(D．(【答案】C第3題【題文】若圓C1??:x2A．3B．4C．?D．?【答案】A課前任務(wù)1.知識回顧

上節(jié)課我們利用直線方程與圓的方程，通過聯(lián)立方程組并分析判別式，判斷直線與圓的位置關(guān)系（相交、相切、相離）。請回憶：當(dāng)d為圓心到直線的距離，r為半徑時，d<r對應(yīng)相交，d=2.預(yù)習(xí)教材

閱讀教材“圓與圓的位置關(guān)系”內(nèi)容，了解兩圓位置關(guān)系的三種類型：相交（兩個公共點）、相切（外切與內(nèi)切，一個公共點）、相離（外離與內(nèi)含，無公共點）