知識點(diǎn)29：萬有引力定律及其應(yīng)用（不考慮星球自轉(zhuǎn)）考點(diǎn)一：應(yīng)用萬有引力定律計(jì)算萬有引力題型一：均勻球體與均勻球體之間萬有引力的計(jì)算【知識思維方法技巧】（1）均勻球體與均勻球體之間萬有引力計(jì)算的方法：萬有引力定律法利用萬有引力定律計(jì)算均勻介質(zhì)球體之間的萬有引力時，可以認(rèn)為勻質(zhì)球體質(zhì)量集中于球心，r為兩球心的距離，萬有引力大小為F＝Geq\f(m1m2,r2)，引力的方向沿兩球心的連線。（2）計(jì)算特殊均勻球體與質(zhì)點(diǎn)之間萬有引力的方法：填補(bǔ)法在質(zhì)量分布均勻的實(shí)心球中挖去小球后其質(zhì)量分布不再均勻，不可再隨意視為質(zhì)點(diǎn)處理.運(yùn)用“填補(bǔ)法”解題的關(guān)鍵是緊扣萬有引力定律的適用條件，先填補(bǔ)后運(yùn)算，運(yùn)用“填補(bǔ)法”解題主要體現(xiàn)了等效思想。【典例1提高題】(多選)如圖所示，兩星球相距為L，質(zhì)量比為mA∶mB＝1∶9，兩星球半徑遠(yuǎn)小于L.從星球A沿A、B連線向B以某一初速度發(fā)射一探測器．只考慮星球A、B對探測器的作用，下列說法正確的是()A．探測器的速度一直減小B．探測器在距星球A為eq\f(L,4)處加速度為零C．若探測器能到達(dá)星球B，其速度可能恰好為零D．若探測器能到達(dá)星球B，其速度一定大于發(fā)射時的初速度題型二：均勻球體與球體外質(zhì)點(diǎn)之間萬有引力的計(jì)算【知識思維方法技巧】均勻球體與球體外質(zhì)點(diǎn)之間萬有引力計(jì)算的方法：萬有引力定律法用萬有引力定律計(jì)算均勻介質(zhì)球體與球體外質(zhì)點(diǎn)之間的萬有引力時，可認(rèn)為勻質(zhì)球體的質(zhì)量集中于球心，r為兩球心的距離，萬有引力大小為F＝Geq\f(m1m2,r2)，引力的方向沿兩球心的連線?！镜淅?提高題】2019年1月，我國嫦娥四號探測器成功在月球背面軟著陸。在探測器“奔向”月球的過程中，用h表示探測器與地球表面的距離，F(xiàn)表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖象是()題型三：均勻球體與球體表面質(zhì)點(diǎn)之間萬有引力的計(jì)算【知識思維方法技巧】均勻球體與球體表面質(zhì)點(diǎn)之間萬有引力計(jì)算的方法：萬有引力定律法利用萬有引力定律計(jì)算均勻介質(zhì)球體與球體表面質(zhì)點(diǎn)之間的萬有引力時，可以認(rèn)為勻質(zhì)球體的質(zhì)量集中于球心，r為兩球心的距離，萬有引力大小為F＝Geq\f(m1m2,r2)，引力的方向沿兩球心的連線。【典例3提高題】火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,10)，半徑約為地球半徑的eq\f(1,2)，則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為()A．0.2B．0.4C．2.0 D．2.5【典例3提高題對應(yīng)練習(xí)】從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國星際探測事業(yè)實(shí)現(xiàn)了由地月系到行星際的跨越．已知火星質(zhì)量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質(zhì)量約為“玉兔”月球車的2倍．在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會經(jīng)歷一個由著陸平臺支撐的懸停過程．懸停時，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺的作用力大小之比為()A．9∶1B．9∶2C．36∶1 D．72∶1題型四：均勻球體與球體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)之間萬有引力的計(jì)算【知識思維方法技巧】計(jì)算均勻球體與球體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)之間的方法：推論法（1）推論Ⅰ：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0。（2）推論Ⅱ：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對其的萬有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2)。（2）計(jì)算特殊均勻球體與質(zhì)點(diǎn)之間萬有引力的方法：填補(bǔ)法在質(zhì)量分布均勻的實(shí)心球中挖去小球后其質(zhì)量分布不再均勻，不可再隨意視為質(zhì)點(diǎn)處理.運(yùn)用“填補(bǔ)法”解題的關(guān)鍵是緊扣萬有引力定律的適用條件，先填補(bǔ)后運(yùn)算，運(yùn)用“填補(bǔ)法”解題主要體現(xiàn)了等效思想?！镜淅?提高題】如圖所示，O1是一個半徑為2R，質(zhì)量為M的密度均勻球體的球心，現(xiàn)在其內(nèi)以O(shè)2為球心挖去一個半徑為R的球，并在O2處放置一個質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。若已知質(zhì)量分布均勻的薄球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，則O1球剩余部分對O2處質(zhì)點(diǎn)的萬有引力為()A．eq\f(GMm,8R2)B．eq\f(GMm,4R2)C．eq\f(7GMm,8R2) D．eq\f(GMm,R2)【典例4提高題對應(yīng)練習(xí)】如圖所示，有一個質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的大球體．從中挖去一個半徑為的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，則大球體的剩余部分對該質(zhì)點(diǎn)的萬有引力大小為(已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，引力常量為G)()A.G B.0 C.4G D.G考點(diǎn)二：應(yīng)用萬有引力定律分析計(jì)算天體運(yùn)動【知識思維方法技巧】解決天體圓周運(yùn)動問題的兩條思路：（1）天體運(yùn)動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝meq\f(4π2r,T2)＝man.（2）在中心天體表面或附近而又不涉及中心天體自轉(zhuǎn)運(yùn)動時，萬有引力等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，整理得GM＝gR2，稱為黃金代換．(g表示天體表面的重力加速度)題型一：環(huán)繞中心天體運(yùn)動各物理參量的比較及計(jì)算【知識思維方法技巧】解決天體環(huán)繞運(yùn)動各物理量的比較解題思路：（1）列出四個連等式：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma。（2）導(dǎo)出四個表達(dá)式：a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))。結(jié)合r大小關(guān)系，比較得出a、v、ω、T的大小關(guān)系?？捎洃洖椤叭划?，越高越慢”，只有T與r變化一致。【典例1提高題】如圖，甲、乙兩顆衛(wèi)星以相同的軌道半徑分別繞質(zhì)量為M1和2M1的行星做勻速圓周運(yùn)動．下列說法正確的是()A.甲的向心加速度比乙的小 B.甲的運(yùn)行周期比乙的小C.甲的角速度比乙的大 D.甲的線速度比乙的大【典例1提高題對應(yīng)練習(xí)】“祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季．假設(shè)火星和地球的冬季是各自公轉(zhuǎn)周期的四分之一，且火星的冬季時長約為地球的1.88倍．火星和地球繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動．下列關(guān)于火星、地球公轉(zhuǎn)的說法正確的是()A．火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大B．火星公轉(zhuǎn)的角速度比地球的大C．火星公轉(zhuǎn)的半徑比地球的小D．火星公轉(zhuǎn)的加速度比地球的小題型二：中心天體質(zhì)量和密度的計(jì)算【知識思維方法技巧】計(jì)算中心天體質(zhì)量和密度的兩個方法:（1）衛(wèi)星環(huán)繞法（“T、r”法）：測出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動的半徑r和周期T。①由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得中心天體M＝eq\f(4π2r3,GT2)。②若已知天體的半徑R，則就能得到中心天體的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。特別是當(dāng)衛(wèi)星繞中心天體表面運(yùn)行時，則中心天體的平均密度ρ＝eq\f(3π,GT2)。（2）重力加速度法（“g、R”法）：已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R。由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)。天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)?！镜淅?提高題】假設(shè)某探測器在著陸火星前貼近火星表面運(yùn)行一周用時為T，已知火星的半徑為R1，地球的半徑為R2，地球的質(zhì)量為M，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，則火星的質(zhì)量為()A. B. C. D.【典例2提高題對應(yīng)練習(xí)】2020年11月24日，我國成功發(fā)射“嫦娥五號”探測器，開啟我國首次月面取樣返回之旅，已知月球半徑為R0，月球表面處重力加速度為g0。地球和月球的半徑之比為eq\f(R,R0)＝4，表面重力加速度之比為eq\f(g,g0)＝6，則地球和月球的密度之比eq\f(ρ,ρ0)為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(3,2)C．4D．6題型三：中心天體表面重力加速度的計(jì)算【知識思維方法技巧】計(jì)算天體表面重力加速度的方法：不考慮地球自轉(zhuǎn)時，地球表面處：由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得g＝Geq\f(M,R2)，也適用于其他星體表面?！镜淅?提高題】科幻大片《星際穿越》是基于知名理論物理學(xué)家基普·索恩的黑洞理論，加入人物和相關(guān)情節(jié)改編而成的．電影中的黑洞花費(fèi)三十名研究人員將近一年的時間，用數(shù)千臺計(jì)算機(jī)精確模擬才得以實(shí)現(xiàn)，讓我們看到了迄今最真實(shí)的黑洞模樣．若某黑洞的半徑R約為45km，質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系滿足eq\f(M,R)＝eq\f(c2,2G)(其中c＝3×108m/s，G為引力常量)，則該黑洞表面的重力加速度大約為()A．108m/s2 B．1010m/s2C．1012m/s2 D．1014m/s2【典例3提高題對應(yīng)練習(xí)】(多選)宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處．若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處．已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度為g，設(shè)該星球表面附近的重力加速度為g′，空氣阻力不計(jì)．則()A．g′∶g＝1∶5B．g′∶g＝5∶2C．M星∶M地＝1∶20D．M星∶M地＝1∶80考點(diǎn)三：應(yīng)用萬有引力定律分析計(jì)算地球衛(wèi)星運(yùn)動題型一：地球衛(wèi)星運(yùn)動各物理參量的比較及計(jì)算【知識思維方法技巧】解決人造衛(wèi)星圓周運(yùn)動的兩條思路：（1）人造衛(wèi)星的運(yùn)動可簡化為質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動模型。人造衛(wèi)星運(yùn)動的向心力來源于地球與人造衛(wèi)星之間的萬有引力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2＝meq\f(4π2r,T2)＝man.（2）在地球表面或附近運(yùn)動而又不涉及地球自轉(zhuǎn)運(yùn)動時，萬有引力等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，整理得GM＝gR2，稱為黃金代換．（g表示地球表面的重力加速度）類型一：地球一般衛(wèi)星運(yùn)行參量的計(jì)算【典例1a提高題】嫦娥四號中繼星位于地月拉格朗日點(diǎn)，距地球約46萬公里．中繼星繞地球轉(zhuǎn)動的周期與月球繞地球轉(zhuǎn)動的周期相等．已知地月距離為38萬公里，則中繼星繞地運(yùn)行時()A．角速度小于月球繞地運(yùn)行的角速度B．線速度小于月球繞地運(yùn)行的線速度C．所受地球的引力大于月球所受地球的引力D．向心加速度大于月球繞地運(yùn)行的向心加速度類型二：地球近地衛(wèi)星運(yùn)行參量的計(jì)算【知識思維方法技巧】近地衛(wèi)星運(yùn)行參量計(jì)算的技巧：（1）近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑r＝R（地球半徑），運(yùn)行速度等于第一宇宙速度v＝7.9km/s(人造地球衛(wèi)星的最大運(yùn)行速度)，T＝85min（人造地球衛(wèi)星的最小周期）．（2）在地球表面附近運(yùn)動時，萬有引力等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，整理得GM＝gR2，稱為黃金代換．（g表示地球表面的重力加速度）【典例1b提高題】近地衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動可視為勻速圓周運(yùn)動，若其軌道半徑近似等于地球半徑R，運(yùn)行周期為T，地球質(zhì)量為M，引力常量為G，則()A．近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的向心加速度大小近似為eq\f(2π2R,T2)B．近地衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的線速度大小近似為eq\r(\f(R,GM))C．地球表面的重力加速度大小近似為eq\f(M,GR2)D．地球的平均密度近似為eq\f(3π,GT2)【典例1b提高題對應(yīng)練習(xí)】2022年3月，中國航天員翟志剛、王亞平、葉光富在離地球表面約400km的“天宮二號”空間站上通過天地連線，為同學(xué)們上了一堂精彩的科學(xué)課．通過直播畫面可以看到，在近地圓軌道上飛行的“天宮二號”中，航天員可以自由地漂浮，這表明他們()A．所受地球引力的大小近似為零B．所受地球引力與飛船對其作用力兩者的合力近似為零C．所受地球引力的大小與其隨飛船運(yùn)動所需向心力的大小近似相等D．在地球表面上所受引力的大小小于其隨飛船運(yùn)動所需向心力的大小類型三：地球極地衛(wèi)星運(yùn)行參量的計(jì)算【知識思維方法技巧】極地衛(wèi)星運(yùn)行參量計(jì)算的技巧：極地衛(wèi)星運(yùn)行時每圈都經(jīng)過南北兩極，即在垂直于赤道的平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋。如極地氣象衛(wèi)星?！镜淅?c提高題】（多選）軌道平面與赤道平面夾角為90°的人造地球衛(wèi)星被稱為極地軌道衛(wèi)星，它運(yùn)行時能到達(dá)南北極的上空，需要在全球范圍內(nèi)進(jìn)行觀測和應(yīng)用的氣象衛(wèi)星、導(dǎo)航衛(wèi)星等都采用這種軌道．如圖所示，若某顆極地軌道衛(wèi)星從北緯45°的正上方按圖示方向首次運(yùn)行到南緯45°的正上方用時45分鐘，則()A．該衛(wèi)星的運(yùn)行速度一定小于7.9km/sB．該衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的周期與地球同步衛(wèi)星的周期之比為1∶4C．該衛(wèi)星的軌道半徑與地球同步衛(wèi)星的軌道半徑之比為1∶4D．該衛(wèi)星的加速度與地球同步衛(wèi)星的加速度之比為2∶1類型四：地球同步衛(wèi)星運(yùn)行參量的計(jì)算【知識思維方法技巧】同步衛(wèi)星的物理規(guī)律有“七個一定”的特點(diǎn)：①不快不慢：具有特定的運(yùn)行線速度v＝eq\r(\f(GM,R＋h))≈3.1×103m/s、角速度和周期T＝24h。②不高不低：具有特定的位置高度h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))－R≈3.6×107m和軌道半徑。③不偏不倚：同步衛(wèi)星的運(yùn)行軌道平面必須處于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的點(diǎn)運(yùn)行，運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向一致。覆蓋全球信號只需三顆衛(wèi)星：由數(shù)學(xué)知識及上面的數(shù)據(jù)可算出一顆同步衛(wèi)星可覆蓋大于三分之一的地球面積，所以，均勻分布的三顆同步衛(wèi)星就可覆蓋全球?！镜淅?d提高題】2024年我國或?qū)⒊蔀槿蛭ㄒ粨碛锌臻g站的國家．若我國空間站離地面的高度是同步衛(wèi)星離地面高度的eq\f(1,n)，同步衛(wèi)星離地面的高度為地球半徑的6倍．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，則空間站繞地球做圓周運(yùn)動的周期的表達(dá)式為()A．2πeq\r(\f(n＋63R,n3g))B．2πeq\r(\f(n＋6R,ng))C．2πeq\r(\f(n＋63R,ng)) D．2πeq\r(\f(ngR,n＋6))類型五：地球人造衛(wèi)星運(yùn)行參量的比較及計(jì)算【知識思維方法技巧】解決人造衛(wèi)星繞地球運(yùn)行參量的比較解題思路：（1）列出四個連等式：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝ma。（2）導(dǎo)出四個表達(dá)式：a＝eq\f(GM,r2)，v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))。結(jié)合r大小關(guān)系，比較得出a、v、ω、T的大小關(guān)系?？捎洃洖椤叭划?，越高越慢”，只有T與r變化一致。【典例1e提高題】如圖所示，衛(wèi)星a、b、c沿圓形軌道繞地球運(yùn)行．a(chǎn)是極地軌道衛(wèi)星，在地球兩極上空約1000km處運(yùn)行；b是低軌道衛(wèi)星，距地球表面高度與a相等；c是地球同步衛(wèi)星，則()A．a(chǎn)、b的周期比c大B．a(chǎn)、b的向心力一定相等C．a(chǎn)、b的速度大小相等D．a(chǎn)、b的向心加速度比c小【典例1e提高題對應(yīng)練習(xí)】2018年12月8日，肩負(fù)著億萬中華兒女探月飛天夢想的嫦娥四號探測器成功發(fā)射，“實(shí)現(xiàn)人類航天器首次在月球背面巡視探測，率先在月背刻上了中國足跡”。已知月球的質(zhì)量為M、半徑為R，探測器的質(zhì)量為m，引力常量為G，嫦娥四號探測器圍繞月球做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動時，探測器的()A．周期為eq\r(\f(4π2r3,GM)) B．動能為eq\f(GMm,2R)C．角速度為eq\r(\f(Gm,r3)) D．向心加速度為eq\f(GM,R2)題型二：地球質(zhì)量和密度的計(jì)算【典例2提高題】2021年4月，我國自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運(yùn)行，若核心艙繞地球的運(yùn)行可視為勻速圓周運(yùn)動，已知引力常量，由下列物理量能計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A．核心艙的質(zhì)量和繞地半徑B．核心艙的質(zhì)量和繞地周期C．核心艙的繞地角速度和繞地周期D．核心艙的繞地線速度和繞地半徑【典例2提高題對應(yīng)練習(xí)】利用引力常量G和下列某一組數(shù)據(jù)，能計(jì)算出地球質(zhì)量的是()A．地球的半徑及重力加速度(不考慮地球自轉(zhuǎn))B．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做圓周運(yùn)動的