知識點32：宇宙速度【知識思維方法技巧】（1）運行速度是指衛(wèi)星在進入運行軌道后繞地球做勻速圓周運動的線速度，滿足v＝eq\r(\f(GM,r))，其大小隨軌道半徑的增大而減小，當r為地球半徑（近地衛(wèi)星）時，對應(yīng)的速度有最大值v＝7.9km/s。（2）發(fā)射速度是指衛(wèi)星在地面附近離開發(fā)射裝置的初速度（相對地球），第一、二、三宇宙速度都是指衛(wèi)星相對于地球的不同發(fā)射速度，衛(wèi)星在發(fā)射過程中要克服地球引力做功，發(fā)射越遠所需發(fā)射速度越大，最小發(fā)射速度為第一宇宙速度v＝7.9km/s。（3）發(fā)射速度越大，衛(wèi)星運行的圓周軌道半徑越大，衛(wèi)星的運行速度越小，當v發(fā)＝11.2km/s時，衛(wèi)星可掙脫地球引力的束縛；當v發(fā)＝16.7km/s時，衛(wèi)星可掙脫太陽引力的束縛。考點一：第一宇宙速度題型一：地球第一宇宙速度【知識思維方法技巧】地球第一宇宙速度的特點：（1）地球第一宇宙速度是物體在地球附近繞地球做勻速圓周運動時的速度，地球第一宇宙速度為7.9km/s。由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v\o\al(12),R)，得v1＝eq\r(\f(GM,R))＝eq\r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106))m/s＝7.9km/s由mg＝meq\f(v\o\al(12),R)，得v1＝eq\r(gR)＝eq\r(9.8×6.4×106)m/s＝7.9km/s。（2）地球第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是人造地球衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度?！镜淅?提高題】2020年6月30日，北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)最后一顆組網(wǎng)衛(wèi)星、第三顆地球靜止軌道衛(wèi)星有效載荷完成開通．這顆衛(wèi)星是北斗全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)提供定位導(dǎo)航授時、短報文通信、星基增強、精密單位定位等服務(wù)的關(guān)鍵衛(wèi)星．衛(wèi)星發(fā)射升空后，先后經(jīng)過5次變軌、3次定點捕獲，成功定點到東經(jīng)110.5°工作軌道．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)周期為T.下列說法正確的是()A．該衛(wèi)星質(zhì)量與第一、第二顆地球同步衛(wèi)星質(zhì)量一定相等B．該衛(wèi)星距離地面高度為eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))C．該衛(wèi)星的線速度大于第一宇宙速度D．該衛(wèi)星的線速度大于在地球赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體速度【典例1提高題】【答案】D【解析】該衛(wèi)星質(zhì)量與第一、第二顆地球同步衛(wèi)星質(zhì)量不一定相等，選項A錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)其中Geq\f(Mm′,R2)＝m′g，解得該衛(wèi)星距離地面高度為h＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－R，選項B錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知該衛(wèi)星的線速度小于第一宇宙速度，選項C錯誤；該衛(wèi)星的周期和角速度等于地球自轉(zhuǎn)的周期和角速度，根據(jù)v＝ωr可知，該衛(wèi)星的線速度大于在地球赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體速度，選項D正確．【典例1提高題對應(yīng)練習(xí)】(多選)如圖，同步衛(wèi)星與地心的距離為r，運行速率為v1，向心加速度為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2。第一宇宙速度為v2，地球半徑為R，則下列比值正確的是()A.eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R)B．eq\f(a1,a2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,r)))2C.eq\f(v1,v2)＝eq\f(r,R) D．eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))【典例1提高題對應(yīng)練習(xí)】【答案】AD【解析】本題中涉及三個物體，其已知量排列如下地球同步衛(wèi)星：軌道半徑r，運行速率v1，加速度a1；地球赤道上的物體：軌道半徑R，隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度a2；近地衛(wèi)星：軌道半徑R，運行速率v2；對于衛(wèi)星，其共同特點是萬有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，故eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(R,r))。故選項D正確；對于同步衛(wèi)星和地球赤道上的物體，其共同特點是角速度相等，有a＝ω2r，故eq\f(a1,a2)＝eq\f(r,R)。故選項A正確。題型二：某星球第一宇宙速度【知識思維方法技巧】某星球第一宇宙速度是物體在某星球附近繞某星球做勻速圓周運動時的速度。（1）由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v\o\al(12),R)，得v1＝eq\r(\f(GM,R))，R是某星球的半徑。（2）由mg＝meq\f(v\o\al(12),R)，得v1＝eq\r(gR)，g是某星球表面的重力加速度?！镜淅?提高題】宇宙飛船分別靠近星球P和星球Q的過程中，其所受星球的萬有引力F與到星球表面距離h的關(guān)系圖像如圖所示．已知星球P和星球Q的半徑都為R.下列說法正確的是()A.星球P和星球Q的質(zhì)量之比為1∶2B.星球P表面和星球Q表面的重力加速度之比為1∶2C.星球P和星球Q的第一宇宙速度之比為2∶1D.星球P和星球Q的近地衛(wèi)星周期之比為1∶【典例2提高題】【答案】D【解析】當h等于0時，即在星球表面時，根據(jù)萬有引力公式有2F0＝，F(xiàn)0＝，則MP∶MQ＝2∶1，A錯誤；當h等于0時，宇宙飛船在兩個星球的表面，根據(jù)萬有引力公式可得2F0＝mgP，F(xiàn)0＝mgQ，所以gP∶gQ＝2∶1，B錯誤；飛船在星球表面做勻速圓周運動，有mg＝m，則v＝，所以星球P與星球Q的第一宇宙速度之比為∶1，C錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力可得＝m，T＝，所以星球P和星球Q的近地衛(wèi)星周期之比為1∶，D正確．【典例2提高題對應(yīng)練習(xí)】2020年12月3日23時10分，“嫦娥五號”上升器月面點火，3000N發(fā)動機工作約6min后，順利將攜帶月壤的上升器送入到預(yù)定環(huán)月軌道，成功實現(xiàn)中國首次地外天體起飛．已知月球的質(zhì)量約為地球的，半徑約為地球的，地球上第一宇宙速度約為7.9km/s，則“嫦娥五號”最小的“起飛”速度約為()A.1.8km/s B.2.6km/s C.3.9km/s D.4.5km/s【典例2提高題對應(yīng)練習(xí)】【答案】A【解析】設(shè)地球的質(zhì)量和半徑分別為M1、R1，月球的質(zhì)量和半徑分別為M2、R2，根據(jù)題意，則有M1∶M2＝81∶1，R1∶R2＝4∶1，物體繞星體表面做勻速圓周運動的速度為第一宇宙速度，有＝，可得第一宇宙速度為v＝，故地球與月球的第一宇宙速度之比為＝＝，地球第一宇宙速度v1＝7.9km/s，故月球第一宇宙速度v2≈1.8km/s.故選A.考點二：第二宇宙速度（脫離速度）【知識思維方法技巧】第二宇宙速度（脫離速度）的特點：（1）地球第二宇宙速度(脫離速度)為第一宇宙速度的eq\r(2)倍，v2＝11.2km/s，也是使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。（2）某星球第二宇宙速度(脫離速度)是使物體掙脫某星球引力束縛的最小發(fā)射速度。（3）黑洞的逃逸速度為光速c，即黑洞的第二宇宙速度，是黑洞第一宇宙速度的eq\r(2)倍。題型一：地球第二宇宙速度【典例1提高題】2019年5月17日，我國成功發(fā)射第45顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，該衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)．該衛(wèi)星()A．入軌后可以位于北京正上方B．入軌后的速度大于第一宇宙速度C．發(fā)射速度大于第二宇宙速度D．若發(fā)射到近地圓軌道所需能量較少【典例1提高題】【答案】D【解析】同步衛(wèi)星只能位于赤道正上方，A項錯誤；由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)知，衛(wèi)星的軌道半徑越大，衛(wèi)星做勻速圓周運動的線速度越小，因此入軌后的速度小于第一宇宙速度(近地衛(wèi)星的速度)，B項錯誤；同步衛(wèi)星的發(fā)射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C項錯誤；若發(fā)射到近地圓軌道，所需發(fā)射速度較小，所需能量較少，D正確．【典例1提高題對應(yīng)練習(xí)】我國首次火星探測任務(wù)被命名為“天問一號”．已知火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的10%，半徑約為地球半徑的50%，下列說法正確的是()A．火星探測器的發(fā)射速度應(yīng)大于地球的第二宇宙速度B．火星探測器的發(fā)射速度應(yīng)介于地球的第一和第二宇宙速度之間C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度【典例1提高題對應(yīng)練習(xí)】【答案】A【解析】火星探測器需要脫離地球的束縛，故其發(fā)射速度應(yīng)大于地球的第二宇宙速度，A正確，B錯誤；由eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)得，v火＝eq\r(\f(GM火,R火))＝eq\r(\f(0.1M地G,0.5R地))＝eq\f(\r(5),5)v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，C錯誤；由eq\f(GMm,R2)＝mg得，g火＝Geq\f(M火,R\o\al(2,火))＝Geq\f(0.1M地,0.5R地2)＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，D錯誤．題型二：某星球第二宇宙速度【典例2提高題】星球上的物體脫離星球引力所需要的最小速度稱為第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關(guān)系是v2＝eq\r(2)v1.已知某星球的半徑為r，它表面的重力加速度為地球表面重力加速度g的eq\f(1,6).不計其他星球的影響．則該星球的第二宇宙速度為()A．eq\r(\f(gr,3))B．eq\r(\f(gr,6))C．eq\f(gr,3) D．eq\r(gr)【典例2提高題】【答案】A【解析】該星球的第一宇宙速度滿足：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(veq\o\al(2,1),r)，在該星球表面處萬有引力等于重力：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(g,6)，由以上兩式得v1＝eq\r(\f(gr,6))，則第二宇宙速度v2＝eq\r(2)×eq\r(\f(gr,6))＝eq\r(\f(gr,3))，故A正確．【典例2提高題對應(yīng)練習(xí)】（多選）使物體成為衛(wèi)星的最小發(fā)射速度稱為第一宇宙速度v1，而使物體脫離星球引力所需要的最小發(fā)射速度稱為第二宇宙速度v2，v2與v1的關(guān)系是v2＝eq\r(2)v1。已知某星球半徑是地球半徑R的eq\f(1,3)，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的eq\f(1,6)，地球的平均密度為ρ，不計其他星球的影響，則()該星球上的第一宇宙速度為eq\f(\r(3gR),3)B．該星球上的第二宇宙速度為eq\f(\r(gR),3)C．該星球的平均密度為eq\f(ρ,2)D．該星球的質(zhì)量為eq\f(8πR3ρ,81)【典例2提高題對應(yīng)練習(xí)】【答案】BC【解析】星球的半徑R′＝eq\f(R,3)，星球上的重力加速度g′＝eq\f(g,6)，該星球上的第一宇宙速度v1＝eq\r(g′R′)＝eq\r(\f(g,6)·\f(R,3))＝eq\f(\r(2gR),6)，選項A錯誤；該星球上的第二宇宙速度為v2＝eq\r(2)v1＝eq\r(2)eq\f(\r(2gR),6)＝eq\f(\r(gR),3)，選項B正確；由g′＝eq\f(GM′,R′2)，g＝eq\f(GM,R2)，M＝ρV，V＝eq\f(4,3)πR3，聯(lián)立解得該星球的質(zhì)量為M′＝eq\f(2πR3ρ,81)，選項D錯誤；該星球體積V′＝eq\f(4,3)πR′3，該星球的平均密度為ρ′＝eq\f(M′,V′)，R′＝eq\f(R,3)，聯(lián)立解得ρ′＝eq\f(ρ,2)，選項C正確?？键c三：宇宙速度與運動軌跡的關(guān)系【知識思維方法技巧】宇宙速度與運動軌跡的關(guān)系：（1）v發(fā)＜7.9km/s時，被發(fā)射物體最終仍將落回地面。（2）v發(fā)＝7.9km/s時，衛(wèi)星繞地球表面做勻速圓周運動。（3）7.9km/s<v發(fā)<11.2km/s（地球第二宇宙速度脫離速度)，衛(wèi)星繞地球運動的軌跡為橢圓。（4）11.2km/s≤v發(fā)＜16.7（地球第三宇宙速度逃逸速度）km/s，衛(wèi)星繞太陽運動的軌跡為橢圓。（5）v發(fā)≥16.7km/s（地球第三宇宙速度逃逸速度），衛(wèi)星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間。題型一：在地球表面發(fā)射物體類型一：物體成為地球衛(wèi)星模型【典例1a提高題】牛頓設(shè)想：把物體從高山上水平拋出，拋出速度足夠大時，物體就不會落回地面，成為人造地球衛(wèi)星．圖中Ⅰ、Ⅱ分別是兩顆衛(wèi)星繞地球運行的軌道，A、B分別是軌道上的兩個點．下列關(guān)于兩顆衛(wèi)星在軌道Ⅰ、Ⅱ上運行的描述正確的是()A．軌道Ⅰ上衛(wèi)星比軌道Ⅱ的發(fā)射速度更大B．軌道Ⅰ上衛(wèi)星比軌道Ⅱ的繞行周期更大C．衛(wèi)星在A點的加速度比B點更大D．衛(wèi)星在A點所受的萬有引力比B點更大【典例1a提高題】【答案】C【解析】衛(wèi)星發(fā)射到軌道Ⅱ上比發(fā)射到軌道Ⅰ上需要的能量大，故軌道Ⅱ上衛(wèi)星比軌道Ⅰ的發(fā)射速度更大，故A錯誤；根據(jù)開普勒第三定律可知，eq\f(r3,T2)＝k，軌道Ⅰ的半長軸(半徑)小，則繞行周期小，故B錯誤；根據(jù)牛頓第二定律可知eq\f(GMm,r2)＝ma，解得加速度a＝eq\f(GM,r2)，衛(wèi)星在A點的軌道半徑r小，則加速度大，故C正確；由于兩顆衛(wèi)星的質(zhì)量未知，則無法確定所受的萬有引力大小，故D錯誤．【典例1a提高題對應(yīng)練習(xí)】（多選）如圖所示是牛頓研究拋體運動時繪制的一幅草圖，以不同速度拋出的物體分別沿a、b、c、d軌跡運動，其中a是一段曲線，b是貼近地球表面的圓，c是橢圓，d是雙曲線的一部分．已知引力常量為G、地球質(zhì)量為M、半徑為R、地球附近的重力加速度為g.以下說法中正確的是()A．沿a運動的物體初速度一定小于eq\r(gR)B．沿b運動的物體速度等于eq\r(\f(GM,R))C．沿c運動的物體初速度一定大于第二宇宙速度D．沿d運動的物體初速度一定大于第三宇宙速度【典例1a提高題對應(yīng)練習(xí)】【答案】AB【解析】b是貼近地球表面的圓，沿此軌跡運動的物體滿足Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(\f(GM,R))，或滿足mg＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(gR)，以上得到的兩個速度均為第一宇宙速度，發(fā)射速度小于第一宇宙速度則不能成為人造衛(wèi)星，如a，故A、B正確；發(fā)射速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度，衛(wèi)星的軌道為橢圓，如c，故C錯誤；發(fā)射速度大于第二宇宙速度，軌跡將不閉合，發(fā)射速度大于第三宇宙速度，軌跡也不閉合，故d軌跡不能確定其發(fā)射速度是否大于第三宇宙速度，D錯誤．類型二：物體成為月球（火星）衛(wèi)星模型【典例1b提高題】我國首次火星探測任務(wù)被命名為“天問一號”．已知火星質(zhì)量約為地球質(zhì)量的10%，半徑約為地球半徑的50%，下列說法正確的是()A．火星探測器的發(fā)射速度應(yīng)大于地球的第二宇宙速度B．火星探測器的發(fā)射速度應(yīng)介于地球的第一和第二宇宙速度之間C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度【典例1b提高題】【答案】A【解析】火星探測器需要脫離地球的束縛，故其發(fā)射速度應(yīng)大于地球的第二宇宙速度，A正確，B錯誤；由eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)得，v火＝eq\r(\f(GM火,R火))＝eq\r(\f(0.1M地G,0.5R地))＝eq\f(\r(5),5)v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，C錯誤；由eq\f(GMm,R2)＝mg得，g火＝Geq\f(M火,R\o\al(2,火))＝Geq\f(0.1M地,0.5R地2)＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，D錯誤．【典例1b提高題對應(yīng)練習(xí)】（多選）中俄聯(lián)合實施探測火星計劃，由中國負責(zé)研制的“螢火一號”火星探測器與俄羅斯研制的“福布斯—土壤”火星探測器一起由俄羅斯“天頂”運載火箭發(fā)射前往火星．已知火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的eq\f(1,9)，火星的半徑約為地球半徑的eq\f(1,2).下列關(guān)于火星探測器的說法中正確的是()發(fā)射速度只要大于第一宇宙速度即可B．發(fā)射速度只有達到第三宇宙速度才可以