知識點41：輕彈簧連接體模型的力與能量問題【知識思維方法技巧】應(yīng)用動力學和能量觀點解決連接體問題的技巧：（1）做好四個分析：受力分析、運動分析、做功分析和能量的轉(zhuǎn)化分析．（2）規(guī)律的選擇：①物體受到恒力作用發(fā)生運動狀態(tài)的改變求某一時刻的力、加速度或求時間時，一般選擇動力學方法（牛頓運動定律）解題；②當涉及功、能和位移時，若研究某一個物體時，一般用動能定理去解決問題。若研究的對象為連接體時，一般選用功能關(guān)系或能量守恒定律解題，題目中出現(xiàn)相對位移時，應(yīng)優(yōu)先選擇能量守恒定律；（3）使用能量守恒定律解題選用表達式的技巧：①解題時，首先確定初、末狀態(tài)，然后分清有多少種形式的能在轉(zhuǎn)化，再分析狀態(tài)變化過程中哪種形式的能量減少，哪種形式的能量增加。②無外力做功的表達式：ΔE減＝ΔE增，減少的那些能量的減少量等于增加的那些能量的增加量。E初＝E末，初狀態(tài)各種能量的總和等于末狀態(tài)各種能量的總和。③有外力做功的表達式：WF＝ΔE，ΔE為能量的增加量?？键c一：輕彈簧釋放物體模型的力與能量問題【知識思維方法技巧】（1）從動力學角度分析：用胡克定律F＝kx結(jié)合牛頓第二定律F合＝ma分析加速度和運動過程，注意彈力是變力，且注意三個位置：自然長度位置、平衡位置（a＝0，v最大）、形變量最大（伸長最長或壓縮最短）的位置。（2）從功能關(guān)系的角度分析：輕彈簧問題一般根據(jù)能量守恒定律或動能定理列方程分析，彈力做功與彈性勢能的關(guān)系：W彈＝－ΔEp，輕彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長（或壓縮至最短）時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大。對同一根輕彈簧而言，無論是處于伸長狀態(tài)還是壓縮狀態(tài)，只要在彈性限度內(nèi)形變量相輕同。題型一：輕彈簧釋放物體+直線運動模型【典例1提高題】如圖所示，固定斜面傾角為θ.一輕彈簧的自然長度與斜面長度相同，都為L，彈簧一端固定在斜面的底端，將一個質(zhì)量為m的小球放在斜面頂端與彈簧另一端接觸但不相連，用力推小球使其擠壓彈簧并緩慢移到斜面的中點，松手后，小球最后落地的速度大小為v，不計空氣阻力和一切摩擦，重力加速度為g，則該過程中，人對小球做的功W及小球被拋出后離地面的最大高度H分別為()A.eq\f(1,2)mv2－mgLsinθ；eq\f(v2sin2θ＋2gLsinθcos2θ,2g)B.eq\f(1,2)mv2；eq\f(v2sin2θ－2gLsinθcos2θ,2g)C.eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mgLsinθ；eq\f(v2sin2θ＋2gLsinθcos2θ,2g)D.eq\f(1,2)mv2－mgLsinθ；eq\f(v2,2g)【典例1提高題】【答案】A【解析】對人從開始擠壓彈簧到小球落地的整個過程，由動能定理得W＋mgLsinθ＝eq\f(1,2)mv2－0，則W＝eq\f(1,2)mv2－mgLsinθ；設(shè)小球離開斜面時的速度為v0.對小球做斜拋運動的過程，由動能定理得mgLsinθ＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02；從最高點到落地點的過程，由動能定理得mgH＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)m(v0cosθ)2，聯(lián)立解得：H＝eq\f(v2sin2θ＋2gLsinθcos2θ,2g).【典例1提高題對應(yīng)練習】(多選)如圖所示，光滑水平面OB與足夠長粗糙斜面BC交于B點．輕彈簧左端固定于豎直墻面，現(xiàn)將質(zhì)量為m1的滑塊壓縮彈簧至D點，然后由靜止釋放，滑塊脫離彈簧后經(jīng)B點滑上斜面，上升到最大高度，并靜止在斜面上．不計滑塊在B點的機械能損失．換用相同材料質(zhì)量為m2的滑塊(m2＞m1)壓縮彈簧至同一點D后，重復(fù)上述過程，下列說法正確的是()A．兩滑塊到達B點的速度相同B．兩滑塊沿斜面上升的最大高度相同C．兩滑塊上升到最高點過程克服重力做的功相同D．兩滑塊上升到最高點過程機械能損失相同【典例1提高題對應(yīng)練習】【答案】CD【解析】兩滑塊到B點的動能相同，但速度不同，故A錯誤；兩滑塊在斜面上運動時加速度相同，由于質(zhì)量不同，則在B點時的速度不同，故上升的最大高度不同，故B錯誤；滑塊上升到斜面最高點過程克服重力做的功為mgh，由能量守恒定律得Ep＝mgh＋μmgcosθ·eq\f(h,sinθ)，則mgh＝eq\f(Ep,1＋\f(μ,tanθ))，故兩滑塊上升到斜面最高點過程克服重力做的功相同，故C正確；由能量守恒定律得E損＝μmgcosθ·eq\f(h,sinθ)＝eq\f(μmgh,tanθ)，結(jié)合C可知D正確．題型二：輕彈簧釋放物體+直線運動+曲線模型【典例2提高題】如圖所示，在距水平地面高h1＝1.2m的光滑水平臺面上，一個質(zhì)量m＝1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖定．現(xiàn)解除鎖定，小物塊與彈簧分離后以一定的水平速度v1向右從A點滑離平臺，并恰好從B點沿切線方向進入豎直面內(nèi)的光滑圓弧軌道BC.已知B點距水平地面的高度h2＝0.6m，圓弧軌道BC的圓心O與水平臺面等高，C點的切線水平，并與長L＝2.8m的水平粗糙直軌道CD平滑連接，小物塊恰能到達D處．重力加速度g＝10m/s2，空氣阻力不計．求：(1)小物塊由A到B的運動時間t；(2)解除鎖定前彈簧所儲存的彈性勢能Ep；【典例2提高題】【答案】(1)s(2)2J(3)0.5【解析】(1)小物塊由A到B的過程中做平拋運動，豎直方向上有h1－h(huán)2＝gt2，代入數(shù)據(jù)可得t＝s.(2)由幾何關(guān)系可知cos∠BOC＝，解得∠BOC＝60°，則有tan60°＝，解得v1＝2m/s，由能量守恒定律可知，Ep＝mv12，解得Ep＝2J.(3)對整個運動過程，由功能關(guān)系可知：Ep＋mgh1＝μmgL，代入數(shù)據(jù)可得μ＝0.5.【典例2提高題對應(yīng)練習】如圖所示，一彈射游戲裝置由安裝在水平臺面上的固定彈射器、豎直圓軌道(在最低點E分別與水平軌道EO和EA相連)、高度h可調(diào)的斜軌道AB組成．游戲時滑塊從O點彈出，經(jīng)過圓軌道并滑上斜軌道．全程不脫離軌道且恰好停在B端則視為游戲成功．已知圓軌道半徑r＝0.1m，OE長L1＝0.2m，AC長L2＝0.4m，圓軌道和AE光滑，滑塊與AB、OE之間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5.滑塊質(zhì)量m＝2g且可視為質(zhì)點，彈射時從靜止釋放且彈簧的彈性勢能完全轉(zhuǎn)化為滑塊動能．忽略空氣阻力，各部分平滑連接．求：（1）滑塊恰好能過圓軌道最高點F時的速度vF大小；（2）當h＝0.1m且游戲成功時，滑塊經(jīng)過E點對圓軌道的壓力FN大小及彈簧的彈性勢能Ep0；（3）要使游戲成功，彈簧的彈性勢能Ep與高度h之間滿足的關(guān)系．【典例2提高題對應(yīng)練習】【答案】（1）1m/s（2）0.14N，8.0×10－3J（3）Ep＝2×10－3(10h＋3)J其中0.05m≤h≤0.2m.【解析】(1)滑塊恰過F點的條件為mg＝meq\f(vF2,r)解得vF＝1m/s(2)滑塊從E點到B點，由動能定理得－mgh－μmgL2＝0－eq\f(1,2)mvE2，在E點由牛頓第二定律得FN－mg＝meq\f(vE2,r)解得FN＝0.14N，從O點到B點Ep0－mgh－μmg(L1＋L2)＝0解得Ep0＝8.0×10－3J(3)滑塊恰能過F點的彈性勢能Ep1＝2mgr＋μmgL1＋eq\f(1,2)mvF2＝7.0×10－3J，到B點減速到0，Ep1－mgh1－μmg(L1＋L2)＝0解得h1＝0.05m，設(shè)斜軌道的傾角為θ，若滑塊能停在B點，則μmgcosθ＝mgsinθ，解得tanθ＝0.5，此時h2＝0.2m，從O點到B點Ep＝mgh＋μmg(L1＋L2)＝2×10－3(10h＋3)J其中0.05m≤h≤0.2m.考點二：物體壓縮輕彈簧模型的力與能量問題題型一：物體壓輕彈簧+直線運動模型【典例1提高題】如圖所示，在地面上豎直固定了刻度尺和輕質(zhì)彈簧，彈簧原長時上端與刻度尺上的A點等高．質(zhì)量m＝0.5kg的籃球靜止在彈簧正上方，其底端距A點的高度h1＝1.10m，籃球靜止釋放，測得第一次撞擊彈簧時，彈簧的最大形變量x1＝0.15m，第一次反彈至最高點，籃球底端距A點的高度h2＝0.873m，籃球多次反彈后靜止在彈簧的上端，此時彈簧的形變量x2＝0.01m，彈性勢能為Ep＝0.025J．若籃球運動時受到的空氣阻力大小恒定，忽略籃球與彈簧碰撞時的能量損失和籃球形變，彈簧形變在彈性限度范圍內(nèi)，g取10m/s2.求：(1)彈簧的勁度系數(shù)；(2)籃球在運動過程中受到的空氣阻力大?。?3)籃球在整個運動過程中通過的路程；(4)籃球在整個運動過程中速度最大的位置．【典例1提高題】【答案】(1)500N/m(2)0.5N(3)11.05m(4)第一次下落至A點下方0.009m處速度最大【解析】(1)由最后靜止的位置可知kx2＝mg，所以k＝500N/m(2)由動能定理可知，在籃球由靜止下落到第一次返彈至最高點的過程中mgΔh－Ff·L＝eq\f(1,2)mv22－eq\f(1,2)mv12整個過程動能變化為0，重力做功mgΔh＝mg(h1－h(huán)2)＝1.135J空氣阻力恒定，作用距離為L＝h1＋h2＋2x1＝2.273m，解得Ff≈0.5N(3)整個運動過程中，空氣阻力一直與運動方向相反，根據(jù)動能定理有mgΔh′＋Wf＋W彈＝eq\f(1,2)mv2′2－eq\f(1,2)mv12，整個過程動能變化為0，重力做功W＝mgΔh′＝mg(h1＋x2)＝5.55J，彈力做功W彈＝－Ep＝－0.025J，解得s＝11.05m.(4)速度最大的位置是第一次下落到合力為零的位置，此時mg＝Ff＋kx3，得x3＝0.009m，即球第一次下落至A點下方0.009m處速度最大．【典例1提高題對應(yīng)練習】如圖所示，一物體質(zhì)量m＝2kg，在傾角θ＝37°的斜面上的A點以初速度v0＝3m/s下滑，A點距彈簧上端擋板位置B點的距離AB＝4m．當物體到達B點后將彈簧壓縮到C點，最大壓縮量BC＝0.2m，然后物體又被彈簧彈上去，彈到的最高位置為D點，D點距A點的距離AD＝3m．擋板及彈簧質(zhì)量不計，g取10m/s2，sin37°＝0.6，求：(結(jié)果均保留三位有效數(shù)字)(1)物體與斜面間的動摩擦因數(shù)μ；(2)彈簧的最大彈性勢能Epm.【典例1提高題對應(yīng)練習】【答案】(1)0.521(2)24.4J【解析】(1)物體從A點到被彈簧彈到D點的過程中，彈簧彈性勢能沒有發(fā)生變化，機械能的減少量全部用來克服摩擦力做功，即：eq\f(1,2)mv02＋mgAD·sinθ＝μmgcosθ·(AB＋2BC＋BD)，代入數(shù)據(jù)解得：μ≈0.521.(2)物體由A到C的過程中，動能減少量ΔEk＝eq\f(1,2)mv02，重力勢能減少量ΔEp＝mgsinθ·AC，摩擦產(chǎn)生的熱量Q＝μmgcosθ·AC，由能量守恒定律可得彈簧的最大彈性勢能為：Epm＝ΔEk＋ΔEp－Q≈24.4J.題型二：物體壓輕彈簧+直線運動+曲線運動模型【典例2提高題】某游樂場的游樂裝置可簡化為如圖所示的豎直面內(nèi)軌道BCDE，左側(cè)為半徑R＝0.8m的光滑圓弧軌道BC，軌道的上端點B和圓心O的連線與水平方向的夾角α＝30°，下端點C與粗糙水平軌道CD相切，DE為傾角θ＝30°的光滑傾斜軌道，一輕質(zhì)彈簧上端固定在E點處的擋板上．現(xiàn)有質(zhì)量為m＝1kg的小滑塊P(可視為質(zhì)點)從空中的A點以v0＝eq\r(2)m/s的初速度水平向左拋出，恰好從B點沿軌道切線方向進入軌道，沿著圓弧軌道運動到C點之后繼續(xù)沿水平軌道CD滑動，經(jīng)過D點(不計經(jīng)過D點時的能量損失)后沿傾斜軌道向上運動至F點(圖中未標出)，彈簧恰好壓縮至最短．已知C、D之間和D、F之間距離都為1m，滑塊與軌道CD間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.5，重力加速度g＝10m/s2，不計空氣阻力．求：(1)小滑塊P經(jīng)過圓弧軌道上B點的速度大?。?2)小滑塊P到達圓弧軌道上的C點時對軌道壓力的大?。?3)彈簧的彈性勢能的最大值；(4)試判斷滑塊返回時能否從B點離開，若能，求出飛出B點的速度大??；若不能，判斷滑塊最后位于何處．【典例2提高題】【答案】(1)2eq\r(2)m/s(2)50N(3)6J(4)不能離D點0.2m(或離C點0.8m)【解析】(1)設(shè)滑塊P經(jīng)過B點的速度大小為vB，由平拋運動知識v0＝vBsin30°，得vB＝2eq\r(2)m/s(2)滑塊P從B點到達最低點C點的過程中，由機械能守恒定律mg(R＋Rsin30°)＋eq\f(1,2)mvB2＝eq\f(1,2)mvC2，解得vC＝4eq\r(2)m/s，經(jīng)過C點時受軌道的支持力大小FN，有FN－mg＝meq\f(vC2,R)，解得FN＝50N，由牛頓第三定律可得滑塊在C點時對軌道的壓力大小F壓＝50N(3)設(shè)彈簧的彈性勢能最大值為Ep，滑塊從C到F點過程中，根據(jù)動能定理有－μmgL－mgLsin30°－Ep＝0－eq\f(1,2)mvC2，代入數(shù)據(jù)可解得Ep＝6J(4)設(shè)滑塊返回時能上升的高度為h，根據(jù)動能定理有mgLsin30°＋Ep－μmgL＝mgh代入數(shù)據(jù)可解得h＝0.6m，因為h<R，故無法從B點離開，又eq\f(1,2)mvC2＝μmgx，代入數(shù)據(jù)可解得x＝3.2m，滑塊最后靜止時離D點0.2m(或離C點0.8m)．【典例2提高題對應(yīng)練習】如圖所示，在某豎直平面內(nèi)，光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點，BC右端連接內(nèi)、外壁光滑、半徑r＝0.2m的四分之一細圓管CD，管口D端正下方直立一根勁度系數(shù)為k＝100N/m的輕彈簧，彈簧一端固定，另一端恰好與管口D端平齊．一個質(zhì)量為1.0kg的小滑塊(可視為質(zhì)點)放在曲面AB上，現(xiàn)從距BC的高度為h＝0.6m處由靜止釋放小滑塊，它與BC間的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，小滑塊進入管口C端時，它對上管壁有FN＝2.5mg的相互作用力，通過CD后，在壓縮彈簧過程中小滑塊速度最大時彈簧的彈性勢能為Ep＝0.5J．取重力加速度g＝10m/s2.求：（1）小滑塊在C處受到的向心力大??；（2）在壓縮彈簧過程中小滑塊的最大動能Ekm；（3）小滑塊最終停止的位置．【典例2提高題對應(yīng)練習】【答案】(1)35N(2)6J(3)距B點0.2m【解析】(1)小滑塊進入管口C端時它與圓管外管壁有大小為FN＝2.5mg的相互作用力，故小滑塊在C點受到的向心力大小為F向＝2.5mg＋mg＝35N.(2)在壓縮彈簧過程中小滑塊速度最大時，所受合力為零．設(shè)此時小滑塊離D端的距離為x0，則有kx0＝mg解得x0＝eq\f(mg,k)＝0.1m，在C點合外力提供向心力，有F向＝meq\f(v\o\al(2,C),r)得veq\o\al(2,C)＝7m2/s2，小滑塊從C點運動到速度最大位置的過程中，由機械能守恒定律得mg(r＋x0)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＝Ekm＋Ep聯(lián)立解得Ekm＝mg(r＋x0)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－Ep＝6J.(3)小滑塊從A點運動到C點過程，由動能定理得mgh－μmgs＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)解得B、C間的距離s＝0.5m，小滑塊與彈簧作用后返回C處動能不變，小滑塊的動能最終消耗在與BC水平面相互作用的過程中，設(shè)之后小滑塊在BC上的運動路程為s′，由動能定理有：－μmgs′＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)，解得s′＝0.7m，故最終小滑塊在距離B點為(0.7－0.5)m＝0.2m處停下．考點三：輕彈簧連接體模型的力與能量問題題型一：輕彈簧連接體在水平面運動模型【典例1提高題】（多選）如圖所示，輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端連接一小物塊，O點為彈簧在原長時物塊的位置。物塊由A點靜止釋放，沿粗糙程度相同的水平面向右運動，最遠到達B點。在從A到B的過程中，物塊()A．加速度先減小后增大B．經(jīng)過O點時的速度最大C．所受彈簧彈力始終做正功D．所受彈簧彈力做的功等于克服摩擦力做的功【典例1提高題】【答案】AD【解析】對物塊受力分析，當彈簧處于壓縮狀態(tài)時，由牛頓第二定律可得kx－f＝ma，x減小，a減小，當a＝0時，物塊速度最大，此時，物塊在O點左側(cè)，選項B錯誤；從加速度a＝0處到O點過程，由牛頓第二定律得f－kx＝ma，x減小，a增大，當彈簧處于伸長狀態(tài)時，由牛頓第二定律可得kx＋f＝ma，x增大，a繼續(xù)增大，可知物塊的加速度先減小后增大，選項A正確；物塊所受彈簧的彈力對物塊先做正功，后做負功，選項C錯誤；從A到B的過程，由動能定理可得W彈－Wf＝0，選項D正確。題型二：輕彈簧連接體在桿上運動模型【典例2提高題】(多選)如圖所示，一根輕彈簧一端固定在O點，另一端固定一個帶有孔的小球，小球套在固定的豎直光滑桿上，小球位于圖中的A點時，彈簧處于原長，現(xiàn)將小球從A點由靜止釋放，小球向下運動，經(jīng)過與A點關(guān)于B點對稱的C點后，小球能運動到最低點D點，OB垂直于桿，則下列結(jié)論正確的是()A．小球從A點運動到D點的過程中，其最大加速度一定大于重力加速度gB．小球從B點運動到C點的過程，小球的重力勢能和彈簧的彈性勢能之和可能增大C．小球運動到C點時，重力對其做功的功率最大D．小球在D點時彈簧的彈性勢能一定最大【典例2提高題】【答案】AD【解析】小球從B點運動到C點的過程中，彈簧處于壓縮狀態(tài)，小球豎直方向受到重力和彈簧壓力的豎直分力，所以合力大于重力，加速度大于重力加速度g，因此，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正確；小球位于圖中的C點時，彈簧處于原長，則小球從B點運動到C點的過程，彈簧的彈性勢能減小，小球的重力勢能也減小，則小球的重力勢能和彈簧的彈性勢能之和一定減小，故B錯誤；在C點小球的合力等于重力，小球要繼續(xù)向下加速，小球從C點運動到D點的過程中，彈簧的拉力沿桿向上的分力先小于重力，后大于重力，合力先向下后向上，小球先加速后減速，所以在CD間的某點速度最大，重力對其做功的功率最大，故C錯誤；小球從A點運動到D點的過程中，只有重力和彈簧的彈力做功，系統(tǒng)的機械能守恒，即小球的重力勢能、動能和彈簧的彈性勢能之和保持不變，在D點，小球的重力勢能和動能都最小，則彈簧的彈性勢能最大，故D正確?！镜淅?提高題對應(yīng)練習】（多選）如圖所示，小球套在光滑的豎直桿上，輕彈簧一端固定于O點，另一端與小球相連．現(xiàn)將小球從M點由靜止釋放，它在下降的過程中經(jīng)過了N點．已知在M、N兩點處，彈簧對小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<eq\f(π,2).在小球從M點運動到N點的過程中()A．彈力對小球先做正功后做負功B．有兩個時刻小球的加速度等于重力加速度C．彈簧長度最短時，彈力對小球做功的功率為零D．小球到達N點時的動能等于其在M、N兩點的重力勢能差【典例2提高題對應(yīng)練習】【答案】BCD【解析】因M和N兩點處彈簧對小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<eq\f(π,2)，知小球在M處時彈簧處于壓縮狀態(tài)，在N處時彈簧處于伸長狀態(tài)，則彈簧的彈力對小球先做負功后做正功再做負功，選項A錯誤；當彈簧水平時，小球在豎直方向受到的力只有重力，加速度為g；當彈簧處于原長位置時，小球只受重力，加速度為g，則有兩個時刻小球的加速度大小等于g，選項B正確；彈簧長度最短時，即彈簧水平，彈力方向與速度方向垂直，彈力對小球做功的功率為零，選項C正確；由動能定理得，WF＋WG＝ΔEk，因小球在M和N兩點處彈簧對小球的彈力大小相等，彈性勢能相等，則由彈力做功特點知WF＝0，即WG＝ΔEk，選項D正確．考點四：輕彈簧連接體+組合模型的力與能量問題題型一：輕彈簧連接體+直接接觸體組合模型【典例1提高題】如圖所示，傾角37°的斜面上，輕彈簧一端固定在A點，自然狀態(tài)時另一端位于B點．斜面上方有一半徑R＝1m、圓心角等于143°的豎直圓弧形光滑軌道與斜面相切于D處，圓弧軌道的最高點為M且切線水平．用質(zhì)量為m1＝6.3kg的物塊將彈簧緩慢壓縮至C點，靜止釋放后物塊到B點速度恰好減小為0.用同種材料、質(zhì)量為m2＝0.3kg的另一小物塊將彈簧緩慢壓縮到C點后由靜止釋放，物塊經(jīng)過B點后的位移與時間的關(guān)系為x＝8t－4t2(x單位：m；t單位：s)，若物塊經(jīng)過D點后恰能到達M點，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：(1)物塊與斜面間的動摩擦因數(shù)；(2)BD間的距離；(3)彈簧被壓縮至C點的彈性勢能．【典例1提高題】【答案】(1)0.25(2)eq\f(9,8)m(3)10.08J【解析】(1)由物塊m2經(jīng)過B點后的位移與時間的關(guān)系為x＝8t－4t2，可知，物塊m2經(jīng)過B點時的速度為vB＝8m/s，從B到D的過程中加速度大小為a＝8m/s2，根據(jù)牛頓第二定律，有m2gsin37°＋μm2gcos37°＝m2a，解得μ＝0.25(2)設(shè)物塊m2經(jīng)過M點時的速度大小為vM，由牛頓第二定律得m2g＝eq\f(m2vM2,R)，物塊m2從D到M的過程中，根據(jù)機械能守恒定律得eq\f(1,2)m2vD2＝m2gR(1＋cos37°)＋eq\f(1,2)m2vM2，物塊從B到D的過程中，有vD2－vB2＝－2alBD，解得lBD＝eq\f(9,8)m(3)物塊m1從C點到B點，由功能關(guān)系得Ep＝(m1gsinθ＋μm1gcosθ)lBC，物塊m2從C點到B點，由功能關(guān)系得Ep＝(m2gsinθ＋μm2gcosθ)lBC＋eq\f(1,2)m2vB2，解得Ep＝10.08J.【典例1提高題對應(yīng)練習】如下圖所示，一豎直輕彈簧上有兩個物體A和，質(zhì)量均為，其中與彈簧上端固定連接，彈簧下端固定在水平地面上，疊放在A上面，輕彈簧的勁度系數(shù)為，系統(tǒng)開始處于靜止狀態(tài)，點為彈簧的原長位置．現(xiàn)對施加一個豎直向上的力使其向上做加速度為的勻加速直線運動，兩個物體可視為質(zhì)點，重力加速度為，求：（1）在脫離A之前拉力與位移關(guān)系式；（2）從開始運動到分開的時間；（3）若做勻加速直線運動的加速度大小可以變化，則當加速度為多少時，從開始運動到分開的過程中拉力對做功有最大值，并計算這個功（用，，表示）。【典例1提高題對應(yīng)練習】【答案】（1）；（2）；（3），【解析】（1）由于兩個物塊開始處于靜止狀態(tài)，設(shè)彈簧的壓縮量為，則由胡克定律得，設(shè)某一時間內(nèi)A的位移為，豎直拉力為，把A和作為一個整體，由牛頓第二定律得，聯(lián)立可得（2）設(shè)兩個物體恰好分開時，A的位移為，則有A與之間的相互作用力為零，對于A物體，由牛頓第二定律得，，聯(lián)立得，設(shè)運動時間為，則有，聯(lián)立得（3）由于拉力與A的位移呈線性變化，拉力的最大值和最小值分別為，，則拉力做功為，聯(lián)立得，由數(shù)學知識可知，則有，當時，拉力的功有最大值，則有，拉力的功有最大值為題型二：輕彈簧連接體+輕繩連接體組合模型【典例2提高題】(多選)如圖所示，A、B兩小球由繞過輕質(zhì)定滑輪的細線相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C球放在水平地面上，現(xiàn)用手控制住A，使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側(cè)細線豎直、右側(cè)細線與斜面平行，已知A的質(zhì)量為4m，B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，細線與滑輪之間的摩擦不計，開始時整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)。釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時C恰好離開地面。下列說法正確的是()A.斜面傾角α＝30°B．A獲得的最大速度為2geq\r(\f(m,5k))C．C剛離開地面時，B的加速度最大D．從釋放A到C剛離開地面的過程中，A、B兩小球組成的系統(tǒng)機械能守恒【典例2提高題】【答案】AB【解析】C球剛離開地面時，彈簧被拉長，對C有kxC＝mg，此時A獲得最大速度，而A、B的速度大小始終相等，故此時A、B加速度均為零(最小值)，對B有T－mg－kxC＝0，對A有4mgsinα－T＝0，聯(lián)立解得sinα＝0.5，則α＝30°，選項A正確，C錯誤；開始時彈簧被壓縮，對B有kxB＝mg，又kxC＝mg，故當C剛離開地面時，B上升的距離以及A沿斜面下滑的距離均為h＝xC＋xB，由于開始時和C剛離開地面時彈簧的彈性勢能相等，故以A、B及彈簧組成的系統(tǒng)為研究對象，由機械能守恒定律得4mg·hsinα－mgh＝eq\f(1,2)(4m＋m)vm2，聯(lián)立解得vm＝2geq\r(\f(m,5k))，選項B正確；從釋放A到C剛離開地面的過程中，A、B兩小球以及彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)機械能守恒，但A、B兩小球組成的系統(tǒng)機械能不守恒，選項D錯誤?！镜淅?提高題對應(yīng)練習】如圖所示，固定斜面的傾角θ＝30°，物體A與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ＝eq\f(\r(3),4)，輕彈簧下端固定在斜面底端，彈簧處于原長時上端位于C點，用一根不可伸長的輕繩通過輕質(zhì)光滑的定滑輪連接物體A和B，滑輪右側(cè)繩子與斜面平行，A的質(zhì)量為2m＝4kg，B的質(zhì)量為m＝2kg，初始時物體A到C點的距離為L＝1m，現(xiàn)給A、B一初速度v0＝3m/s，使A開始沿斜面向下運動，B向上運動，物體A將彈簧壓縮到最短后又恰好能彈到C點．已知重力加速度取g＝10m/s2，不計空氣阻力，整個過程中輕繩始終處于伸直狀態(tài)，求此過程中：(1)物體A向下運動剛到達C點時的速度大?。?2)彈簧的最大壓縮量；(3)彈簧中的最大彈性勢能．【典例2提高題對應(yīng)練習】【答案】(1)2m/s(2)0.4m(3)6J【解析】(1)物體A沿斜面向下運動剛到C點的過程中，對A、B組成的系統(tǒng)應(yīng)用能量守恒定律可得2mgLsinθ＋eq\f(1,2)·3mveq\o\al(2,0)＝mgL＋μ·2mgcosθ·L＋eq\f(1,2)·3mv2，解得v＝2m/s.(2)在物體A由C點將彈簧壓縮到最大壓縮量，又返回到C點的過程中，A、B組成的系統(tǒng)動能的減少量等于因摩擦產(chǎn)生的熱量，即eq\f(1,2)·3mv2－0＝μ·2mgcosθ·2x，其中x為彈簧的最大壓縮量，解得x＝0.4m.(3)設(shè)彈簧的最大彈性勢能為Epm，物體A由C點沿斜面向下運動到最低點的過程中，對A、B組成的系統(tǒng)，由能量守