2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——量子力學(xué)中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（請將正確選項的代表字母填在題后的括號內(nèi)。每小題3分，共30分）1.在量子力學(xué)中，描寫物理系統(tǒng)狀態(tài)的態(tài)向量屬于（）。A.歐幾里得空間中的向量B.厄米矩陣C.希爾伯特空間中的向量D.復(fù)數(shù)域上的多項式2.如果一個物理可觀測量由厄米算符A表示，則其本征值必定是（）。A.實數(shù)B.虛數(shù)C.純虛數(shù)D.復(fù)數(shù)，實部為零3.設(shè)|φ?和|ψ?是希爾伯特空間中的兩個正交歸一態(tài)向量，即?φ|ψ?=0，?φ|φ?=1，?ψ|ψ?=1，則態(tài)向量α|φ?+β|ψ?（α,β為復(fù)數(shù)）是正交歸一態(tài)向量的充分必要條件是（）。A.α+β=1B.αβ=1C.α*α+β*β=1D.α*β=0且α*α+β*β=14.算符X和算符Y對易，記作[X,Y]=XY-YX=0，則下列說法正確的是（）。A.X和Y的本征態(tài)必相互正交B.X和Y不能有共同的本征態(tài)C.對任意態(tài)向量|ψ?，有?ψ|X|ψ?=?ψ|Y|ψ?D.X和Y必定是厄米算符5.算符A在某個基底下表示為對角矩陣A=diag(a?,a?,...,a?)，其中a?是實數(shù)，則算符A是厄米算符的充分必要條件是（）。A.a?是正數(shù)，i=1,2,...,nB.a?是可數(shù)的，i=1,2,...,nC.a?是實數(shù)，i=1,2,...,nD.A是對角化算符6.一個n×n矩陣是厄米矩陣的充分必要條件是（）。A.矩陣是對角矩陣B.矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣的共軛相等，即A=A?C.矩陣的特征值都是實數(shù)D.矩陣的行列式為非零實數(shù)7.在量子力學(xué)中，算符?通常表示哈密頓算符，它描寫系統(tǒng)的能量。如果?的本征值為E，相應(yīng)的本征態(tài)為|E?，則?|E?=（）。A.|E?B.E|E?C.0D.?2|E?8.設(shè)算符A和算符B不能對易，即[A,B]≠0，則下列說法可能正確的是（）。A.A和B有共同完備的本征基B.對任意態(tài)向量|ψ?，有?ψ|A|ψ?=?ψ|B|ψ?C.存在一個態(tài)向量|φ?，使得|[A,B]|φ?≠0D.A和B中至少有一個是非厄米算符9.波函數(shù)ψ(x)的模平方|ψ(x)|2的物理意義是（）。A.粒子在x處出現(xiàn)的概率密度B.粒子在x處出現(xiàn)的概率C.粒子在x處出現(xiàn)的概率隨時間的演化率D.粒子在x附近單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率10.如果一個算符O滿足O?1=O*（其中*表示厄米共軛），則稱O為（）。A.厄米算符B.正交算符C.躍遷算符D.對易算符二、填空題（請將答案填在題后的橫線上。每小題4分，共20分）1.設(shè)向量|u?和|v?在希爾伯特空間中正交，即?u|v?=0。則對于任意復(fù)數(shù)α和β，向量α|u?+β|v?與|u?正交的條件是________。2.算符X和算符Y的對易子[X,Y]=XY-YX定義為________。3.哈密頓算符?的本征值代表系統(tǒng)的________。4.如果一個態(tài)向量|ψ?可以表示為兩個正交歸一態(tài)向量|φ??和|φ??的線性組合：|ψ?=c?|φ??+c?|φ??，則復(fù)數(shù)c?和c?滿足________。5.在位置表象中，描寫粒子位置分布的態(tài)函數(shù)Ψ(x)的模平方|Ψ(x)|2dx的物理意義是________。三、計算題（請寫出詳細(xì)的計算過程。每小題10分，共40分）1.在二維希爾伯特空間中，考慮如下兩個態(tài)向量：|φ?=(1/√2)|e?+(i/√2)|f?和|χ?=(i/√2)|e?+(1/√2)|f?，其中|e?和|f?是正交歸一基向量。計算態(tài)向量|ψ?=|φ?+|χ?的模長|ψ|以及與基向量|e?的內(nèi)積?ψ|e?。2.已知二維希爾伯特空間中的一個算符A在基|e?和|f?下的矩陣表示為A=[[1,2],[3,4]]。計算該算符的本征值和相應(yīng)的本征向量（要求基向量|e?對應(yīng)的本征向量形式為a|e?+b|f?，其中a,b為實數(shù)，且a,b不同時為零）。3.證明厄米算符的本征值是實數(shù)。提示：設(shè)A是厄米算符，|φ?是A的本征值為實數(shù)λ的本征態(tài)，即A|φ?=λ|φ?，利用厄米算符的性質(zhì)?Aφ|φ?=?φ|Aφ?和內(nèi)積的性質(zhì)。4.在位置表象中，粒子狀態(tài)由波函數(shù)Ψ(x)=Aexp(-αx2)描寫，其中A和α是實數(shù)常數(shù)，且Ψ(x)已歸一化。計算粒子位置的平均值?x?。四、證明題（請給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明。每小題15分，共30分）1.證明：兩個厄米算符A和B的和A+B仍然是厄米算符。2.證明：任何有限維厄米算符必然可以對角化，即存在一個正交基，在該基下厄米算符表示為對角矩陣。---試卷答案一、選擇題1.C2.A3.D4.C5.C6.B7.B8.C9.A10.A二、填空題1.β*?u|v?=02.算符X和算符Y的換位子3.能量4.|c?|2+|c?|2=15.粒子在x處附近體積元dx內(nèi)出現(xiàn)的概率三、計算題1.解：|ψ|=||φ?+|χ?|=√?ψ|ψ??ψ|ψ?=?φ+χ|φ+χ?=?φ|φ?+?φ|χ?+?χ|φ?+?χ|χ?=?φ|φ?+?χ|χ?+?φ|χ?+?χ|φ?（利用內(nèi)積性質(zhì)?u|v?=?v|u?*）=1+1+(i/√2)(1/√2)+(1/√2)(i/√2)（代入|φ?,|χ?表達(dá)式）=2+i/2+i/2=2+i|ψ|=√(2+i)?ψ|e?=?φ+χ|e?=?φ|e?+?χ|e?=(1/√2)+(i/√2)(i/√2)（代入|φ?,|χ?表達(dá)式）=1/√2-1/√2=02.解：det(A-λI)=det([[1-λ,2],[3,4-λ]])=(1-λ)(4-λ)-6=λ2-5λ-2解特征方程λ2-5λ-2=0，得λ?=(5+√33)/2,λ?=(5-√33)/2對于λ?=(5+√33)/2，設(shè)本征向量為|v?=a|e?+b|f?[[1-λ?,2],[3,4-λ?]][[a],[b]]=[[0],[0]][[(-√33-1)/2,2],[3,(√33-1)/2]][[a],[b]]=[[0],[0]]解得a=2,b=-√33-1，單位化得|v??=(2/√(4+(√33+1)2))|e?+((-√33-1)/√(4+(√33+1)2))|f?對于λ?=(5-√33)/2，設(shè)本征向量為|v?=c|e?+d|f?[[1-λ?,2],[3,4-λ?]][[c],[d]]=[[0],[0]][[(√33-1)/2,2],[3,(-√33-1)/2]][[c],[d]]=[[0],[0]]解得c=2,d=√33-1，單位化得|v??=(2/√(4+(√33-1)2))|e?+((√33-1)/√(4+(√33-1)2))|f?3.證：設(shè)A是厄米算符，|φ?是A的本征值為實數(shù)λ的本征態(tài)，即A|φ?=λ|φ?。對等式兩邊取厄米共軛，得(A|φ?)*=λ*|φ?*。利用厄米算符的性質(zhì)?Aφ|=?φ|A*?和(AB)*=B*A*，以及內(nèi)積的性質(zhì)?u|v?*=?v|u?，有?φ|A*|φ?=λ*?φ|φ?。由于A是厄米算符，A*=A，所以上式變?yōu)?φ|A|φ?=λ*?φ|φ?。由原假設(shè)A|φ?=λ|φ?，得?φ|A|φ?=λ?φ|φ?。結(jié)合兩個等式，得λ?φ|φ?=λ*?φ|φ?。由于|φ?是狀態(tài)向量，?φ|φ?≠0，故可以消去?φ|φ?，得到λ=λ*。λ是實數(shù)，得證。4.解：粒子位置的平均值?x?=∫x|Ψ(x)|2dx=∫x|A|exp(-αx2)|2dx=|A|2∫xexp(-2αx2)dx用分部積分法，令u=x,dv=exp(-2αx2)dx，則du=dx,v=-exp(-2αx2)/(2α)。?x?=|A|2[-xexp(-2αx2)/(2α)]|?^∞+∫?^∞(1/x)exp(-2αx2)/(2α)dx第一項邊界值為0（因為exp(-2αx2)比x增長快得多，故xexp(-2αx2)→0asx→±∞）。第二項積分需要換元，令t=√(2α)x,dt=√(2α)dx,x=t/√(2α)。?x?=|A|2/(2α√(2α))∫?^∞texp(-t2)dt=|A|2/(2α√(2α))*(-1/2)exp(-t2)|?^∞第二項積分同樣為0。所以?x?=0。四、證明題1.證：設(shè)A和B是厄米算符，即A*=A,B*=B。(A+B)*=A*+B*（復(fù)數(shù)共軛的線性性質(zhì)）=A+B（代入A*,B*）所以A+B是厄米算符。2.證：設(shè)A是有限維厄米算符，維度為n。對A，存在一組本征值λ?,λ?,...,λ?和相應(yīng)的正交歸一的本征態(tài)|v??,|v??,...,|v??，使得A|v??=λ?|v??,?v?|v??=δ??(Kroneckerdelta)。構(gòu)造算符U=|v???v?|+|v???v?|+...+|v???v??。U是正交算符，因為?Uu|Uv?=?u|v?對所有向量u,v成立。U是厄米算符，因為U*=(|v???v?|+...+|v???v??)*=|v???v?|+...+|v???v??=U。U是單位算符，因為對任意向量|ψ?，有|ψ?=|ψ?-?v?|ψ?|v??-...-?v?|ψ?|v??+?v?|ψ?|v??+...+?v?|ψ?|v??=(I-U)|ψ?+U|ψ?=U|ψ?。所以U2=U?？紤]算符A'=UAU*。對任意本征態(tài)|v??，有A'|v??=UAU*|v??=UA|v???v?|=Uλ?|v???v?|=λ?U|v??=λ?|v??。所以A'的本征值與A相同