第四章級數(shù)§4.1復(fù)級數(shù)的基本概念§4.2泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)主要內(nèi)容

本章介紹復(fù)變函數(shù)級數(shù)的概念,重點是Taylor級數(shù)、Laurent級數(shù)及其展開.§4.1復(fù)級數(shù)的基本概念4.1.1復(fù)數(shù)項級數(shù)4.1.2復(fù)變函數(shù)項級數(shù)4.1.3冪級數(shù)及其收斂域為復(fù)數(shù)項級數(shù).稱為該級數(shù)的前n

項部分和.設(shè)是復(fù)數(shù)列,則稱4.1.1復(fù)數(shù)項級數(shù)定義4.1

級數(shù)收斂與發(fā)散的概念定義4.2如果級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于復(fù)數(shù)S,則稱級數(shù)收斂,這時稱S為級數(shù)的和,并記做如果不收斂，則稱級數(shù)發(fā)散.復(fù)數(shù)項級數(shù)與實數(shù)項級數(shù)收斂的關(guān)系定理4.1

級數(shù)收斂的充要條件是都收斂,并且說明復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題解因為級數(shù)所以原復(fù)數(shù)項級數(shù)發(fā)散.例4.1

考察級數(shù)的斂散性發(fā)散,而級數(shù)收斂,級數(shù)收斂的必要條件定理4.2如果級數(shù)收斂,則重要結(jié)論:

發(fā)散.于是在判別級數(shù)的斂散性時,可先考察?非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù).定義4.3設(shè)是復(fù)數(shù)項級數(shù),如果正項級數(shù)收斂,則稱級數(shù)絕對收斂.

絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)定理4.3若級數(shù)收斂,則收斂,并且由正項級數(shù)的比值判別法知

收斂，解（1）因為注絕對收斂和都絕對收斂.例4.2判定下列級數(shù)的斂散性.若收斂，是條件收斂還是絕對收斂?故原級數(shù)絕對收斂.但

條件

收斂，解（2）因為例4.2判定下列級數(shù)的斂散性.若收斂，是條件收斂還是絕對收斂?故原級數(shù)收斂，都收斂，從而原級數(shù)為條件收斂. (2)稱為區(qū)域

D(1)稱為區(qū)域

D

內(nèi)的復(fù)變函數(shù)序列。定義4.4設(shè)復(fù)變函數(shù)在區(qū)域

D

內(nèi)有定義，內(nèi)的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)，簡記為4.1.2復(fù)變函數(shù)項級數(shù)(1)稱為級數(shù)的部分和。定義4.5設(shè)為區(qū)域D

內(nèi)的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)，稱級數(shù)在點收斂。z0則稱級數(shù)在區(qū)域

G

內(nèi)收斂。(3)如果存在區(qū)域G

D

，有此時，稱(2)如果對

D

內(nèi)的某一點，有z0則為和函數(shù)，G

為收斂域。(1)下面主要是對

型冪級數(shù)進行討論，所得到的結(jié)論(Ⅱ)注1.冪級數(shù)的概念其中，

為復(fù)常數(shù)。定義4.5稱由下式給出的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)為冪級數(shù)：(

I

)特別地，當(dāng)

時有(Ⅱ)只需將換成

即可應(yīng)用到型冪級數(shù)。(

I

)z(2)對于型冪級數(shù)，在

點肯定收斂。(Ⅱ)4.1.3冪級數(shù)及其收斂域定理4.4(Abel定理)若級數(shù)在處收斂，則當(dāng)時,級數(shù)絕對收斂;若級數(shù)在處發(fā)散，則當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.2.冪級數(shù)的斂散性(1)

對所有的復(fù)數(shù)z都收斂.由阿貝爾定理知:級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對收斂.由,冪級數(shù)收斂情況有三種:(2)

除z=0外都發(fā)散.此時,級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除z=0外處處發(fā)散.

(3)存在一點z1≠0,使級數(shù)收斂(此時,根據(jù)阿貝爾定理知,它必在圓周|z|=|z1|內(nèi)部絕對收斂),

另外又存在一點z2,使級數(shù)發(fā)散.((肯定|z2|≥|z1|);根據(jù)阿貝爾定理的推論知,它必在圓周|z|=|z2|外部發(fā)散.)如下圖..收斂圓盤收斂半徑收斂圓周

在這種情況下,可以證明,存在一個有限正數(shù)R,使得級數(shù)在圓周|z|=R內(nèi)部絕對收斂,在圓周|z|=R外部發(fā)散.冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域動畫演示

冪級數(shù)的收斂范圍是因此，事實上,冪級數(shù)在收斂圓周上斂散性的討問題：冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?以為中心的圓域.收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形,分別規(guī)定為論比較復(fù)雜,沒有一般的結(jié)論,要對具體級數(shù)進行具體分析.例如,級數(shù):收斂圓周上無收斂點;在收斂圓周上處處收斂.收斂半徑的計算方法(一)(3)當(dāng)時,收斂半徑(1)當(dāng)時,收斂半徑(2)當(dāng)時,收斂半徑定理4.5

(比值法)設(shè)級數(shù)如果則收斂半徑的計算方法(二)(3)當(dāng)時,收斂半徑(1)當(dāng)時,收斂半徑(2)當(dāng)時,收斂半徑定理4.5

(根值法)設(shè)級數(shù)如果則例4.3

求下列冪級的收斂半徑。解(1)上，在收斂圓收斂，所以原級數(shù)在收斂圓上處處收斂例4.3求下列冪級的收斂半徑。解(2)時，當(dāng)收斂，時，當(dāng)發(fā)散.例4.4求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)。解冪級數(shù)的收斂圓為且在收斂圓上發(fā)散，故冪級數(shù)的收斂域為和函數(shù)為令則在內(nèi)有定理4.63.冪級數(shù)的性質(zhì)(2)分析性質(zhì)即3)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分，即1)函數(shù)在收斂圓內(nèi)解析。設(shè)則2)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可由其冪函數(shù)逐項求導(dǎo)得到，解令和函數(shù)

例4.5求冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的和函數(shù).此級數(shù)的收斂圓為兩邊積分得利用逐項求導(dǎo)§4.2泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)4.2.1泰勒級數(shù)及其展開方法4.2.2洛朗級數(shù)及其展開方法實函數(shù)在一點的鄰域內(nèi)展開成Taylor級數(shù)是非常重要的問題，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進行數(shù)值計算的一種工具.對于復(fù)變函數(shù),我們已經(jīng)知道冪級數(shù)在收斂圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù).在本節(jié)我們將證明解析函數(shù)在解析點的某鄰域內(nèi)一定能夠展開成冪級數(shù)—Taylor級數(shù).這是解析函數(shù)的重要特征.4.2.1泰勒級數(shù)及其展開方法一、泰勒(Taylor)定理含于G，則在K內(nèi)展開成唯一的定理4.7設(shè)函數(shù)在區(qū)域

G

內(nèi)解析，任取其中，證明(略)

圓冪級數(shù)將函數(shù)展開為Taylor級數(shù)的方法:1.直接方法;2.間接方法.1.直接方法由Taylor定理計算級數(shù)的系數(shù)然后將函數(shù)f(z)在a

展開成冪級數(shù).二、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)常見函數(shù)的Taylor展開式2.間接方法

借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運算性質(zhì)(逐項求導(dǎo),逐項積分等)和其它的數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的Taylor展開式.間接法的優(yōu)點:

不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛.例4.6

求在點的Taylor級數(shù).解

例4.7

求在點的Taylor級數(shù).解

例4.8

將函數(shù)在處展開成Taylor級數(shù)，并指出該級數(shù)的收斂范圍.收斂范圍為解

一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”1.問題分析引例根據(jù)前面的討論已知，函數(shù)

在

點的冪級數(shù)展開式為

事實上，該函數(shù)在整個復(fù)平面上僅有一個奇點，但正是這樣一個奇點，使得函數(shù)只能在內(nèi)展開為

z

的冪級數(shù)，而在如此廣大的解析區(qū)域內(nèi)不能展開為

z

的冪級數(shù)。

有沒有其它辦法呢？一粒老鼠屎，壞了一鍋湯！4.2.2洛朗級數(shù)及其展開方法一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”1.問題分析設(shè)想

這樣一來，在整個復(fù)平面上就有由，有從而可得一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”1.問題分析啟示如果不限制一定要展開為只含正冪次項的冪級數(shù)的話，即如果引入負冪次項，那么就有可能將一個函數(shù)在整個復(fù)平面上展開(除了奇點所在的圓周上)。

在引入了負冪次項以后，“冪級數(shù)”的收斂特性如何呢？

下面將討論下列形式的級數(shù):雙邊冪級數(shù)一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”分析2.級數(shù)的收斂特性將其分為兩部分：正冪次項部分與負冪次項部分。(A)(B)(1)對于

(A)

式，其收斂域的形式為(2)對于

(B)

式，其收斂域的形式為根據(jù)上一節(jié)的討論可知：收斂半徑R收斂域收斂半徑R2收斂域兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分z0R1R2z0R2R1兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分HH一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”結(jié)論2.級數(shù)的收斂特性(1)如果級數(shù)收斂，則其收斂域“一定”為環(huán)域：①

如果只含正冪次項(或者加上有限個負冪次項)，特別地則其收斂域為：或②

如果只含負冪次項(或者加上有限個正冪次項)，則其收斂域為：

上述兩類收斂域被看作是一種特殊的環(huán)域。一、含有負冪次項的“冪級數(shù)”結(jié)論2.級數(shù)的收斂特性(1)如果級數(shù)收斂，則其收斂域“一定”為環(huán)域：而且具有與冪級數(shù)同樣的運算性質(zhì)和分析性質(zhì)。(2)級數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,

因此，下面將討論如何將一個函數(shù)在其解析環(huán)域內(nèi)展開為上述形式的級數(shù)。R2z0R1D二、羅（洛）朗(Laurent)定理設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域定理4.8C

為在圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條簡單閉曲線。解析,內(nèi)在此圓環(huán)域中展開為則

一定能其中，證明(略)zC說明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式在圓環(huán)域內(nèi)的羅朗(Laurent)級數(shù).注(1)展開式中的系數(shù)可以用下面得方法直接給出。二、羅朗(Laurent)定理R2zz0R1CD注(2)羅朗級數(shù)中的正冪次項和負冪次項分別稱為羅朗級數(shù)二、羅朗(Laurent)定理的解析部分和主要部分。(3)一個在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正負冪次項的級數(shù)是唯一的。(4)系數(shù)?(5)若函數(shù)在圓環(huán)內(nèi)解析，則在在此圓環(huán)內(nèi)的羅朗展開式就是泰勒展開式。三、將函數(shù)展開為羅朗級數(shù)的方法1.直接展開法

根據(jù)羅朗定理，在指定的解析環(huán)上R2zz0R1CD直接計算展開系數(shù)：

有點繁！有點煩！三、將函數(shù)展開為羅朗級數(shù)的方法

根據(jù)唯一性，利用一些已知的展開式，通過有理運算、代換運算、逐項求導(dǎo)、逐項求積等方法展開。

兩個重要的已知展開式2.間接展開法三、將函數(shù)展開為羅朗級數(shù)的方法都需要根據(jù)函數(shù)的奇點位置，將復(fù)平面(或者題目指定無論是直接展開法還是間接展開法，在求展開式之前，注意的展開區(qū)域

)分為若干個解析環(huán)。比如設(shè)函數(shù)的奇點為展開點為則復(fù)平面被分為四個解析環(huán)：r1r2r312將復(fù)平面分為三個解析環(huán)：解

將函數(shù)進行部分分式分解例4.9試將函數(shù)在下列圓環(huán)內(nèi)展開成羅朗級數(shù)．解121212(4)當(dāng)時，例4.10將函數(shù)內(nèi)展開成羅朗級數(shù)．在解(2)對于有理函數(shù)的洛朗展開式，首先把有理函數(shù)分解成多項式與若干個最簡分式之和，然后利用已知的幾何級數(shù)，經(jīng)計算展成需要的形式。小結(jié)：把f(z)展成洛朗(Laurent)級數(shù)的方法：

根據(jù)區(qū)域判別級數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把f(z)展成泰勒(Taylor)級數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f(z)展成洛朗(Laurent)級數(shù)。復(fù)數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)充要條件必要條件冪級數(shù)收斂半徑R復(fù)變函數(shù)絕對收斂運算與性質(zhì)收斂條件條件收斂復(fù)數(shù)列收斂半徑的計算Taylor級數(shù)Laurent級數(shù)本章內(nèi)容總結(jié)NielsHenrikAbel

(1802.8.5-1829.4.6)挪威數(shù)學(xué)家.牧師的兒子,家境貧困.Abel15歲讀中學(xué)時,優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師B.Holmboe(1795-1850)發(fā)現(xiàn)了Abel的數(shù)學(xué)天才,對他給予指導(dǎo).1821年進入克利斯安那大學(xué).1824年,他解決了用根式求解五次方程的不可能性問題.Abel短暫的一生中在分析和代數(shù)領(lǐng)域作出了極其出色的貢獻,然而他的數(shù)學(xué)成就在當(dāng)時沒有得到應(yīng)有的注意,生活悲慘,在貧病交迫中早逝.BrookTaylor

(1685.8.18-1731.12.29)英國數(shù)學(xué)家.曾任英國皇家學(xué)會秘書.1715年在《增量方法及其逆》中給出Taylor級數(shù)的展開定理.Pierre-AlphonseLaurent(1813-1854)法國數(shù)學(xué)家.1843年證明了Laurent級數(shù)展開定理.第五章留數(shù)及其應(yīng)用§5.1解析函數(shù)在孤立奇點的性質(zhì)§5.2留數(shù)§5.3留數(shù)在實變量積分計算中的應(yīng)用主要內(nèi)容

在本章中，首先以洛朗級數(shù)為工具對解析函數(shù)的孤立奇點進行分類，然后在此基礎(chǔ)上引入留數(shù)的概念，建立留數(shù)的計算方法及留數(shù)定理，最后介紹留數(shù)定理的一些應(yīng)用.§5.1解析函數(shù)在孤立奇點處的性質(zhì)5.1.1孤立奇點的定義5.1.2孤立奇點的分類5.1.3孤立奇點類型的極限判別法

5.1.1孤立奇點的定義

可以看出，孤立奇點是奇點中一種最簡單的情形，但卻是重要的.根據(jù)上一章介紹的洛朗展開式，我們就會發(fā)現(xiàn)將函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)，實際上都是在孤立奇點處展開的，而且有些展開式中不含有負冪項，有些僅含有限個負冪項，有些含有無窮多個負冪項.因此，我們就可以利用洛朗展開式的含有負冪項個數(shù)不同情況對孤立奇點作如下分類.

5.1.2孤立奇點的分類當(dāng)洛朗展開式(5.1)中

不含

的負冪項,即