函數(shù)的最值及其應(yīng)用第三章：微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用講解：大學(xué)數(shù)學(xué)教研室單位：公共課部1函數(shù)的最值與求解1.函數(shù)的最值2.實際應(yīng)用最值的定義

最值最值點結(jié)論2：不用判斷極大和極小，只需比較所有嫌疑點函數(shù)值大小。1、極值不一定是最值；2（a）最值不一定是極值（當(dāng)最值在端點取得時）；2（b）最值在區(qū)間內(nèi)部

取得時是極值；1.函數(shù)的最值2.實際應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值與極值的關(guān)系結(jié)論1：最值嫌疑點（端點、駐點、不可導(dǎo)點）1.函數(shù)的最值2.實際應(yīng)用函數(shù)最值求法

1.函數(shù)的最值2.實際應(yīng)用

(2)上述點加上端點一起，比函數(shù)值大小，得最小值與最大值

1.函數(shù)的最值2.實際應(yīng)用為導(dǎo)數(shù)為0的點，為導(dǎo)數(shù)不存在的點

（1）解：（2）

例題1練習(xí)解:計算故在[-1,4]上，解方程

f′(x)=0，得x1=0,x2=1fmax=f(4)=80fmin=f(-1)=-5,∵f′(x)=6x(x-1)

練習(xí)解：在(－2,7)上得唯一駐點令y′=0，故函數(shù)f(x)在[－2，7]上的最小值為最大值為還有不可導(dǎo)點1.函數(shù)的最值2.實際應(yīng)用特殊情況一：（沒有極值和不可導(dǎo)點）

1.函數(shù)的最值2.實際應(yīng)用特殊情況二：（唯一極值點情形）此時對極值嫌疑點

(1)需要判斷極大和極小，(2)當(dāng)極值點唯一時，就是相應(yīng)最值。否則無法判斷最值。

練習(xí)

問函數(shù)

(x

0)在何處取得最大值？

解:

函數(shù)在(0

)內(nèi)的駐點為x

1

因為，當(dāng)0<x<1時

y

>0

所以，函數(shù)在x

1處取得極大值。

又因為函數(shù)在(0

)內(nèi)只有一個駐點，即唯一極值點

所以此極大值也是函數(shù)的最大值

即函數(shù)在x

1處取得最大值

當(dāng)x>1時y

<0

3函數(shù)最值的應(yīng)用1.函數(shù)的最值2.實際應(yīng)用

經(jīng)濟(jì)問題中，經(jīng)常有這樣的問題，怎樣才能使“產(chǎn)品最多”、“用料最少”、“成本最低”、“效益最高”等等．這樣的問題在數(shù)學(xué)中有時可歸結(jié)為求某一函數(shù)（稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問題．實際應(yīng)用1.函數(shù)的最值2.實際應(yīng)用最值問題的實際應(yīng)用根據(jù)問題的實際意義，建立目標(biāo)函數(shù)根據(jù)實際意義，確定函數(shù)的定義區(qū)間求目標(biāo)函數(shù)在定義區(qū)間上的最大值或最小值1.函數(shù)的最值2.實際應(yīng)用鐵路線上AB段的距離為100km.工廠C距A處為20km,AC垂直于AB.(見下圖)為了運輸需要，要在AB上選定一點D向工廠修筑一條公路.已知鐵路上每千米貨運的運費與公路上每千米貨運的運費之比為3：5，為使貨物從供應(yīng)站B運到工廠C的運費最省，問D點應(yīng)選在何處？例題2

解：設(shè)鐵路運費為3t/km，公路運費5t/km，其中t為任意常數(shù)即求最小值.則D點應(yīng)選在距離A點15km處的地方.

要制造一個容積為

的帶蓋圓柱形桶，問桶的半徑

和桶高

應(yīng)如何確定，才能使所用材料最??？例題3解:要使得材料最省，就是要使圓桶表面積

最小.由

得

，故建立目標(biāo)函數(shù)：，令

，得唯一駐點.根據(jù)問題的實際意義，該唯一駐點也就是所求的最小值點.從而當(dāng)

，

時，圓桶表面積最小，則用料最省.1.函數(shù)的最值2.實際應(yīng)用解：

某廠每批生產(chǎn)A商品x臺的費用為C(x)=5x+200(萬元)，得到的收入為R(x)=10x-0.01x2(萬元)，問每批生產(chǎn)多少臺，才能使利潤最大？駐點只有一個，為極大值，則最值一定存在，故生產(chǎn)250臺時，利潤最大.練習(xí)練習(xí)某車間靠墻壁要蓋一間面積為64m2長方形小屋

現(xiàn)有存磚只夠砌24m長的墻壁

問這些存磚是否足夠圍成小屋？

解:設(shè)寬為x長為y

則2x

y

24

y

24

2x

于是面積為S

xy

x(24

2x)24x

2x2

S

24

4x

4(6

x)

S

4

令S

0

得唯一駐點x

6

因為S

(6)=

4

0

所以x

6為極大值點

從而也是最大值點

當(dāng)寬為6米

長為12米時這間小屋面積最大

足夠圍成64m2的小屋.yx1.函數(shù)的最值2.實際應(yīng)用

某房產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月1800元時，公寓可全部租出去.當(dāng)租金每月增加100元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費200元的維護(hù)費.試問房租定為多少可以獲得最大收入？練習(xí)

設(shè)房租定為x元，則解：

則是求最大值則房租定為3500元時，可以獲得最大收入.

03小結(jié)小結(jié)函數(shù)的最值

作

業(yè)

習(xí)題3-41(2)(3)、3、5

感謝

傾聽

函數(shù)的最值及其應(yīng)用拓展練習(xí)某鐵路的隧道的截面擬建成矩形加半圓(如圖)截面的面積為5m2

問底寬