祁陽一中2025年下學(xué)期高二十月月考數(shù)學(xué)試題

（時量120分鐘滿分150分）

第I卷

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

uuur

A2,1,3B1,2,3

1.已知點、，則AB（）．

A.2,1,3B.1,2,3C.1,3,0D.1,3,0

【答案】C

【解析】

【分析】利用空間向量坐標(biāo)運算法則直接求解．

【詳解】解：∵點A2,1,3、B1,2,3，∴AB1,3,0．

故選：C．

2.若圓x2y24x8y2m0的半徑為2，則實數(shù)m的值為（）

A.-9B.-8C.9D.8

【答案】D

【解析】

【分析】由圓的一般方程配方得出其標(biāo)準(zhǔn)方程，由半徑為2得出答案.

【詳解】由x2y24x8y2m0，得(x2)2(y4)2202m，

所以r202m2，解得m8.

故選：D.

3.已知直線l的方向向量是a2,2,2，平面的一個法向量是n1,1,1，則l與的位置關(guān)系是

（）

A.lB.l//

C.l與α相交但不垂直D.l//或l

【答案】A

【解析】

【分析】由a2,2,2和n1,1,1的位置關(guān)系即可判斷.

【詳解】a2,2,2，n1,1,1，

所以a2n，

所以l，

故選：A

4.橢圓的兩個焦點是4,0和4,0，橢圓上的點M到兩個焦點的距離之和等于10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

是（）

x2y2x2y2

A.1B.1

5453

x2y2x2y2

C.1D.1

259169

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓定義可得a，根據(jù)焦點坐標(biāo)可得c，然后由b2a2c2求出b2即可得方程.

【詳解】由橢圓定義可知，2a10，得a5，

又橢圓的兩個焦點是4,0和4,0，

所以橢圓焦點在x軸上，且c4，所以b2a2c225169，

x2y2

所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.

259

故選：C

如圖，在平行六面體中，為與BD的交點．若，，

5.ABCDA1B1C1D1MA1C111ABaADbAA1c

則下列向量中與BM相等的向量是（）

1111

A.abcB.abc

2222

1111

C.abcD.abc

2222

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合圖形，利用空間向量的加減數(shù)乘運算即得.

111

【詳解】由圖知，BMBBBMBBBDBBBABC

1112111211211

1111

AAABADabc.

12222

故選：A

6.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直

線被稱為“歐拉線”.已知VABC的頂點A3,0，B3,0，C3,3，則VABC的歐拉線方程為（）

3

A.2xy10B.2xy0

2

C.x2y30D.x2y10

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意求VABC的重心和外心，結(jié)合直線的兩點式方程可得歐拉線方程.

【詳解】因為VABC的頂點A3,0，B3,0，C3,3，

333003

可知VABC的重心為點,，即點1,1，

33

由題意，可知BCAB，

33033

所以VABC的外心為斜邊的中點,，即點0,，

222

3

1

所以V的歐拉線方程為y1，即x2y30

ABC2.

x110

故選：C.

7.已知A3,0,B0,3，從點P0,2射出的光線經(jīng)x軸反射到直線AB上，又經(jīng)過直線AB反射到P點，

則光線所經(jīng)過的路程為（）

A.210B.6C.26D.26

【答案】C

【解析】

【分析】利用點關(guān)于直線的對稱點的求法，以及數(shù)形結(jié)合，即可求解.

=+=+

【詳解】直線AB的方程為yx3，設(shè)點P0,2關(guān)于yx3的對稱點為P1a,b，

b2

1

a

則，得a1,b3，即P1,3

b2a1

3

22

點P0,2關(guān)于x軸的對稱點為P20,2，

由題意可知，如圖，點P1,P2都在光線CD上，并且利用對稱性可知，DPDP1，CPCP2，

所以光線經(jīng)過的路程

PCCDDPP2CCDDP1P1P226.

故選：C

已知圓22與圓22，過動點分別作圓、圓

8.C1:x1y11C2:x3y21Mm,nC1C2

的切線MA，MB（A，B分別為切點），若MAMB，則m2n2的最小值是（）

8112116949

A.B.C.D.

68686868

【答案】B

【解析】

【分析】求出M點的軌跡為直線8x2y110，再根據(jù)點到直線的距離公式即可得到最值.

【詳解】由題意得C11,1，C23,2，

因為22，

MAMC11,MBMC21

又，即22，

|MA||MB|MC11MC21

2222

即m1n11m3n21，

化簡得M點的軌跡為8m2n110，即在直線8x2y110上，

m2n2表示的幾何意義為M點到原點距離的平方，

故只需計算原點到直線8m2n110的距離再平方就可得最小值，

2

11121

即最小值為.

822268

故選：B.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.已知直線l的傾斜角等于120，且l經(jīng)過點(3,1)，則下列結(jié)論中正確的有（）

31

A.直線l在y軸上的截距為2B.l的一個方向向量為u,

62

C.l與直線3x3y20垂直D.l與直線3xy20平行

【答案】ABC

【解析】

【分析】先求出直線l的方程，然后逐項判斷計算即可.

【詳解】因為直線l的傾斜角為120，所以斜率為k3.

因為直線l經(jīng)過點3,1，所以該直線方程為y13x3，

即y3x2.

對于A：

令x0，則y2，所以該直線與y軸上的截距為2，所以A正確；

對于B：

1316

因為3，與斜率k相等，所以B正確；

2623

對于C：

3

因為直線3x3y20的斜率為k，

3

3

而kk31，所以l與該直線垂直，所以C正確；

3

對于D：

因為直線的斜率為，所以兩直線不平行，所以錯誤

3xy20k13kD.

故選：ABC.

已知圓22與圓22有四條公切線，則實數(shù)的取值可能是（）

10.C1:xya9C2:xay1a

A.－4B.－2C.22D.3

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)題意可知，兩圓外離，即圓心距大于兩圓半徑之和，解不等式即可得解．

【詳解】圓心C10,a，半徑r13，圓心C2a,0，半徑r21．因為兩圓有四條公切線，所以兩圓外離．又

兩圓圓心距d2a，所以2a31，解得a22或a22．

故選：AD．

在棱長為的正方體中，點滿足，、，則（）

11.2ABCDA1B1C1D1PAPACAD10,1

當(dāng)時，點到平面的距離為

A.0PA1BC12

23

B.當(dāng)0時，點P到平面A1BC1的距離為

3

3

C.當(dāng)時，存在點P，使得BPPC

41

3

D.當(dāng)時，存在點P，使得BC平面PCD

41

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點平面距離向量求法求解判斷AB；利用空間位置關(guān)系

的向量證明判斷CD.

【詳解】在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),C1(2,2,2),D1(0,2,2)，

，設(shè)平面的法向量為，

BA1(2,0,2),BC1(0,2,2)A1BC1n(x,y,z)

nBA12x2z0

則，令z1，得n(1,1,1)，

nBC12y2z0

對于，當(dāng)時，，，，

A0APAD1(0,2,2)P(0,2,2)A1P(0,2,22)

|nAP|223

點到平面的距離1，錯誤；

PA1BC1d1A

|n|33

對于B，當(dāng)0時，APAC(2,2,0)，P(2,2,0)，BP(22,2,0)，

nBP223

點P到平面ABC的距離，B正確；

11d2

n33

333333

對于C，當(dāng)時，APACAD(2,2,0)(0,,)(2,2,)，

4412222

333311

則P(2,2,)，BP(22,2,),CP(22,2,)，

2222122

23132

當(dāng)BPC1P22228640時，

224

2

顯然Δ64840，方程無實根，即BP與PC1不垂直，C錯誤；

333333

對于D，當(dāng)時，APACAD(,,0)(0,2,2)(,2,2)，

4412222

3331

則P(,2,2)，DP(,2,2),DC(2,0,0),BC(0,2,2)，

22221

11

顯然DCBC0，即BC1DC，由DPBC2(2)40，得，

1128

1

即當(dāng)時，BC1DP，而DCDPD,DC,DP平面PCD，因此BC1平面PCD，D正確.

8

故選：BD

第Ⅱ卷

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.點P(1,2)到直線l：2xy50的距離為_________.

【答案】5

【解析】

【分析】直接利用點到直線的距離公式計算即可.

2125

【詳解】點P(1,2)到直線l：2xy50的距離為5，

2212

故答案為：5.

x2y2

13.已知經(jīng)過橢圓1的右焦點F2作垂直于x軸的直線AB，交橢圓于A，B兩點，F(xiàn)1是橢圓的左

3616

△

焦點，則AF1B的周長_______．

【答案】24

【解析】

【分析】由橢圓定義計算即可得.

x2y2

【詳解】由橢圓1可得AF1AF2BF1BF22612，

3616

△

則AF1B的周長lAF1ABBF1AF1AF2BF1BF224.

故答案為：24.

14.曲線y11x2與直線y2kx1有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍為___________.

1

【答案】0,

2

【解析】

【分析】明確曲線y11x2的幾何意義，作出其表示的圖象，結(jié)合直線曲線y11x2與直線

y2kx1有兩個交點，數(shù)形結(jié)合，即可求得答案.

2

【詳解】方程y11x2可化為x2y11且y1，

所以曲線y11x2的軌跡為以(0,1)為圓心，1為半徑的圓上縱坐標(biāo)大于等于1的點的集合，

直線y2kx1表示過點P(1,2)且斜率存在的直線，作圖可得:

因為曲線y11x2與直線y2kx1有兩個交點,

觀察圖象可得0kkPA，

211

又A(1,1)，P(1,2)，所以k=，

PA1(1)2

1

所以實數(shù)k的取值范圍為0,，

2

1

故答案為：0,.

2

四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.已知VABC的三個頂點分別為A(2,1),B(3,2),C(1,4)，求：

（1）BC邊所在直線的方程；

（2）AC邊的垂直平分線DE的方程．

【答案】（1）x2y70

（2）x3y60

【解析】

【分析】（1）利用兩點求斜率，由點斜式方程即可求解；

（2）根據(jù)中垂線的性質(zhì)，利用垂直直線的斜率關(guān)系，結(jié)合點斜式方程，可得答案.

【小問1詳解】

421

k，

BC132

1

BC邊所在直線的方程y2x3，

2

即x2y70；

【小問2詳解】

41

k3，

AC12

1

所以k

DE3

35

又AC中點坐標(biāo),，

22

513

所以AC邊的垂直平分線DE的方程yx，

232

即x3y60.

16.如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB4,AD3,AA15，E，F(xiàn)分別在BB1,DD1上，且

916

DF,BE，

55

（1）求證：A1C平面AEF；

（2）求異面直線AE與D1B1所成角的余弦值．

【答案】（1）證明見解析

441

（2）

41

【解析】

【分析】（）建立空間直角坐標(biāo)系，求得與平面的法向量為，易得，從而得到

1A1CAEFnA1C//nA1C

平面AEF；

16

（2）由（1）的條件，得到AE0,4,，DB3,4,0，再根據(jù)向量夾角余弦公式求解即可.

511

【小問1詳解】

依題意，建立以D為原點，以DA，DC，DD1分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，

916

則A3,0,0,C0,4,0,A13,0,5,B13,4,5,D10,0,5,F0,0,,E3,4,，

55

169

則A1C3,4,5,AE0,4,,AF3,0,，

55

設(shè)平面AEF的一個法向量為nx,y,z，

16

4yz0

nAE05

則，即，令z5，得n3,4,5，

nAF09

3xz0

5

所以，故，所以面

A1CnA1C//nA1CAEF.

【小問2詳解】

16

由（1）知AE0,4,，DB3,4,0，

511

AED1B116441

則cosAE,D1B1，

AEDB25641

1116916

25

441

即異面直線AE與D1B1所成角的余弦值為．

41

17.已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(1,1)和B(4,2)，且圓心C在直線xy10上．

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線3xya30與圓C相交于M，N兩點，且MCN120，求實數(shù)a的值．

【答案】（1）(x1)2(y2)29

（2）a1或a5

【解析】

【分析】（1）由圓心所在的直線設(shè)出圓心坐標(biāo)，再利用兩點間距離公式求解；

（2）由（1）的結(jié)論及已知求出圓心到直線MN的距離，再利用點到直線距離公式求出參數(shù)值.

【小問1詳解】

由圓心C在直線xy10上，設(shè)圓心C(m,m1)，

由ACBC，得(m1)2(m2)2(m4)2(m1)2，解得m1，

因此圓心C(1,2)，半徑r(14)2(22)23，

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y2)29.

【小問2詳解】

由（1）知，圓C的圓心C(1,2)，半徑r3，

3

由MCN120，得圓心C到直線3xya30的距離為drcos60，

2

|312a3|3|a2|3

則d，即，解得a1或a5，

(3)212222

18.已知圓C:(x1)2(y3)29，線段RQ的端點Q的坐標(biāo)是(4,3)，端點R在圓C上運動，且點T滿足

線段RT2TQ，記T點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點A(0,3)斜率為k的直線l與曲線交于M，N兩點，試探究：

①設(shè)O為坐標(biāo)原點，若OMON26，這樣的直線l是否存在，若存在求出|MN|；若不存在說明理由；

②求線段MN的中點D的軌跡方程.

【答案】（1）(x3)2(y3)21

2

3298

（2）①直線不存在，理由見解析；②xy3,x,3

243

【解析】

【分析】（1）運用相關(guān)點代入法求解軌跡方程即可；

（2）①根據(jù)向量等式，求解直線的斜率k,結(jié)合聯(lián)立方程組法確定k的取值范圍，進(jìn)而確定直線是否存在；

②根據(jù)中點坐標(biāo)公式，再運用參數(shù)法求解點D的軌跡方程.

【小問1詳解】

22

設(shè)Rx0,y0，則(x01)(y03)9，

x03x8

設(shè)T:(x,y)，RT2TQ，，(3x81)2(3y63)29

y03y6

即:(x3)2(y3)21.

【小問2詳解】

①設(shè)存在滿足條件的直線l，設(shè)直線l方程為ykx3，

ykx3

則22

221kx6x80

(x3)(y3)1

221

設(shè)Mx1,y1,Nx2,y2，直線與圓交于兩點，則36481k0，k

8

68

由韋達(dá)定理得：xx，xx

121k2121k2

，則2

OMON26x1x2y1y226k1x1x23kx1x2926

1

即k22k10,k1，與k2不符，所以滿足條件的直線不存在；

8

xxyy21

②MN中點坐標(biāo)為：12,120k

228

xx3yy3k

12,123，設(shè)MN中點D為x,y

21k221k2DD

33ky32

則x,y3Dk，即329

D2D2xDyD3

1k1kxD24

2

3298

所以中點D的軌跡方程為：xy3,x,3.

243

19.如圖，在三棱錐PABC中，平面PAC平面ABC，ABBC，且ABBCPB22，以

AB,PB為鄰邊作平行四邊形ABPQ，D為AB的中點，E為CQ