易錯09勾股定理及銳角三角函數(shù)易錯陷阱一、沒有明確斜邊或直角邊時，考慮不全面勾股定理概念：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么變式：①②易錯總結(jié)：勾股定理只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形。在用勾股定理時，需找準(zhǔn)直角邊和斜邊【例1】是直角三角形，，，則的長為．【例2】已知在中，，，邊上的高線，則邊的長為．【變式1-1】的三邊長為3，4，，若是直角三角形，則的值可以是（

）A．2 B． C． D．6【變式1-2】在中，，，直角邊的中點(diǎn)為，點(diǎn)在斜邊上且，若為直角三角形，則的值為

．【變式1-3】中，，，點(diǎn)在線段上，若為直角三角形時，的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或易錯陷阱二、求最短路徑時，無法找到正確的展開方式解決立體圖形最短路徑問題的核心是將三維展開為二維平面處理。例如將長方體、圓柱體表面展開后，轉(zhuǎn)化為平面兩點(diǎn)間線段最短問題，用勾股定理計算對角線長度。圓錐體需展開側(cè)面為扇形，尋找起點(diǎn)與終點(diǎn)間的最短弧長易錯總結(jié)：解題關(guān)鍵是識別展開方式，注意不同展開圖可能對應(yīng)不同路徑，最終取最小值【例3】如圖，一個圓桶，底面周長為，高為，有一只小蟲從底部點(diǎn)A處爬到上底B處的最短路徑長為．【例4】如圖，長方體的底面邊長分別為和，高為，點(diǎn)P在棱上，，若一只螞蟻從A點(diǎn)開始沿圖中3個側(cè)面（即沿）爬行到達(dá)P點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長為．【變式2-1】長方體的長、寬、高分別是3、4、1，一只螞蟻沿著長方體的外表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，最短路徑長為．【變式2-2】如圖，正方體的棱長為是正方體的一個頂點(diǎn)，是側(cè)面正方形對角線的交點(diǎn)．一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短路徑長是（

）A． B． C． D．【變式2-3】如圖，一只螞蟻從一個正方體紙盒的點(diǎn)沿紙盒表面爬到點(diǎn)，它所爬過的最短路徑（虛線）在側(cè)面展開圖中的位置是圖中的（

）A． B． C． D．易錯陷阱三、求解折疊問題時考慮不全面在勾股定理解決折疊問題時，需先明確折疊前后的對應(yīng)邊角關(guān)系，找到隱藏的直角三角形，標(biāo)清已知量與未知量，設(shè)未知數(shù)后結(jié)合勾股定理列方程【例5】如圖，直線分別與、軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)的直線交軸正半軸于點(diǎn)，且．點(diǎn)是軸上的一點(diǎn)，連接，將沿直線翻折，當(dāng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在軸上時，此時點(diǎn)的坐標(biāo)為．【例6】如圖，在中，，，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，當(dāng)與的直角邊垂直時，的長為．【變式3-1】如圖，菱形中，，點(diǎn)M為上一點(diǎn)，且，點(diǎn)P為上一個動點(diǎn)，將沿折疊得到，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接，當(dāng)點(diǎn)Q落在菱形的對角線上時，的長為．

【變式3-2】如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，是軸上一動點(diǎn)，連接，將沿所在的直線折疊，當(dāng)點(diǎn)落在軸上時，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【變式3-3】如圖，在中，，，，點(diǎn)D是邊上的一個動點(diǎn)，連接，將沿折疊，得到，當(dāng)與的直角邊垂直時，的長是．易錯陷阱四、特殊角三角函數(shù)值記憶錯誤特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°1易錯總結(jié)：可以利用三角板推導(dǎo)30°、45°、60°的正弦、余弦、正切值，強(qiáng)化圖形關(guān)系理解，最后多練習(xí)推導(dǎo)應(yīng)用避免死記硬背【例7】計算：．【例8】如圖，點(diǎn)、、是正方形網(wǎng)格上的三個格點(diǎn)，以為圓心，為半徑作，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，且是銳角，則的值為．【變式4-1】在中，滿足：，則的形狀為．【變式4-2】在中，，那么是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【變式4-3】如果中，，則下列結(jié)論正確的是（）A．是等邊三角形 B．是鈍角三角形C．是等腰直角三角形 D．是銳角三角形易錯陷阱五、記錯三角函數(shù)對應(yīng)邊的比例關(guān)系如圖所示，在中，所對的邊記為，叫做的對邊，也叫做的鄰邊，所對的邊記為，叫做的對邊，也是的鄰邊，直角所對的邊記為，叫做斜邊．銳角的對邊與斜邊的比叫做的正弦，記作，即；銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作，即；銳角的對邊與鄰邊的比叫做的正切，記作，即.易錯總結(jié)：在三角函數(shù)邊比關(guān)系中，需明確各函數(shù)定義（如sin=），避免混淆對應(yīng)邊【例9】如圖是由6個形狀、大小完全相同的菱形組成的網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知菱形的一個角，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則的值是．【例10】數(shù)學(xué)試卷）如圖，在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，連結(jié)，E、F分別為中點(diǎn)，連結(jié)，若，．(1)求四邊形的面積；(2)求的值．【變式5-1】如圖，某中學(xué)九（9）班數(shù)學(xué)課外活動小組在河邊測量河寬（這段河流的兩岸平行），他們在點(diǎn)測得，點(diǎn)測得，則河寬為．【變式5-2】如圖，在中，，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，作直線，直線與相交于點(diǎn)D，連接，若，則的值為（

）A．0.5 B．0.6 C．0.625 D．0.8【變式5-3】如圖，，，點(diǎn)在邊上，，，分別交于點(diǎn)，．若，則（用含的式子表示）．易錯陷阱六、沒理解好坡角等實際問題中的概念1.坡度坡角在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的鉛直高度和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成的形式.2.仰角俯角問題仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.3.方位角問題方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，的方位角分別為是.（2）方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線的方向角分別表示北偏東，南偏東，南偏西，北偏西.特別如：東南方向指的是南偏東，東北方向指的是北偏東，西南方向指的是南偏西，西北方向指的是北偏西易錯總結(jié)：解直角三角形的應(yīng)用題時，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.【例11】如圖，小明想測量塔的高度，他在A處仰望塔頂，測得仰角為，再往塔的方向前進(jìn)至塔的另一側(cè)B處，測得仰角為，那么該塔的高度有多高？(小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：)【例12】隨著時代的發(fā)展和人們生活水平的提高，私家車越來越多，停車越來越難，停車場的建造就成為解決問題的途徑之一．如圖是一個新建的地下停車場的設(shè)計示意圖，已知坡道的坡比，的長為8.4米，的長為0.9米．按規(guī)定，停車場坡道口上方需張貼限高標(biāo)志，以便告知停車人其車輛能否安全駛?cè)耄埜鶕?jù)所給數(shù)據(jù)，確定該停車場入口的限高，即的長為多少？【變式6-1】寒假期間，小明和小亮相約在公園進(jìn)行跑步練習(xí)，兩人從公園大門出發(fā)，準(zhǔn)備沿路線跑到終點(diǎn)，一起跑到點(diǎn)后，小明體力不支，準(zhǔn)備走近路，小亮則繼續(xù)按原計劃路線行進(jìn)，已知點(diǎn)在點(diǎn)的東北方向米處，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，米，點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，點(diǎn)在點(diǎn)的北偏東方向上．（參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求的長度；（結(jié)果保留根號）(2)同時離開點(diǎn)后，小明的速度是每分鐘米，小亮的速度是每分鐘米，請通過計算說明，離開點(diǎn)多少分鐘后，小亮已跑過點(diǎn)且在小明的南偏東方向上？（結(jié)果精確到）【變式6-2】如圖，大樓上懸掛一條幅，小穎在坡面D處測得條幅頂部A的仰角為，沿坡面向下走到坡腳E處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來到C處，測得條幅的底部B的仰角為，此時小穎距大樓底端N處20米．已知坡面米，山坡的坡度（即），且D，M，E，C，N，B，A在同一平面內(nèi)，E，C，N在同一條直線上．（參考數(shù)據(jù)：）(1)填空：________，________；(2)求條幅的長度．（結(jié)果精確到1米）【變式6-3】如圖，在一次數(shù)學(xué)實踐活動中，張老師帶領(lǐng)學(xué)生去測量學(xué)校附近一座垂直于地面的古塔的高度，小凡同學(xué)從古塔底部的點(diǎn)B處前行到達(dá)斜坡的底部點(diǎn)D處，然后沿著斜坡前行到達(dá)最佳測量點(diǎn)E處，在點(diǎn)E處測得塔頂A的仰角為，已知斜坡與水平地面的夾角為，且點(diǎn)A，B，C，D，E在同一個平面內(nèi)，求該古塔的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，）1．如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1，點(diǎn)、、都在格點(diǎn)上，則（

）A． B． C． D．2．在中，若，，都是銳角，則是三角形．3．如圖，在中，，，，點(diǎn)，分別是，邊上的動點(diǎn)，沿所在直線折疊，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)始終落在邊上，若是直角三角形時，則的長為．4．如圖，在銳角中，，點(diǎn)O為上一動點(diǎn)（點(diǎn)O與點(diǎn)B，C不重合），點(diǎn)P是射線上的一個動點(diǎn)，連接，，若，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，且為直角三角形時，則．5．如圖，一圓柱高，底面半徑是，一只螞蟻繞著圓柱向上螺旋式爬行，假設(shè)螞蟻繞圓柱外壁從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，圓周率π取近似值3，則螞蟻爬行路線的最短路徑長為．6．計算：．7．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在直線上，若為直角三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

8．如圖，在中，，，，以邊上一點(diǎn)為圓心，為半徑的經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)．(1)求的半徑；(2)連接，求的值．9．如圖，建筑物垂直于地面，測角機(jī)