易錯(cuò)12統(tǒng)計(jì)與概率易錯(cuò)陷阱一、求中位數(shù)和眾數(shù)時(shí)不排序出錯(cuò)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí))或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí))易錯(cuò)總結(jié)：要觀察數(shù)據(jù)有沒有按照順序排列，沒有的要先排列順序再找，避免出錯(cuò)．【例1】某城市月份某星期天的最低氣溫如下（單位）：，，，，，，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（）A．， B．， C．， D．，【答案】D【詳解】解：把這些數(shù)從小到大排列為：，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，出現(xiàn)了次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是故選：D．【例2】陽光體育運(yùn)動(dòng)要求學(xué)生每天鍛煉一小時(shí)，如圖是依據(jù)某班50名學(xué)生一周體育鍛煉的時(shí)間繪制的條形統(tǒng)計(jì)圖，那么該班50名學(xué)生一周參加體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)為h．【答案】9【詳解】解：由圖可知，第25和第26個(gè)數(shù)據(jù)均為，∴中位數(shù)為：；故答案為：9．【變式1-1】在一次定點(diǎn)投籃比賽（每人投10次）中，甲組6位同學(xué)投中的次數(shù)分別為4，5，6，6，7，8，記錄員在謄抄時(shí)，誤把其中的4抄成了9，那么該同學(xué)所謄抄的數(shù)據(jù)和原數(shù)據(jù)相比，不變的統(tǒng)計(jì)量是（

）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．眾數(shù)【答案】D【詳解】解：∵誤把其中的4抄成了9，6的個(gè)數(shù)不變，∴不變的統(tǒng)計(jì)量是眾數(shù)．故選D．【變式1-2】某校航模興趣小組共有40位同學(xué)，他們的年齡分布如表：年齡（歲）12131415人數(shù)（人）518143則這40名同學(xué)年齡的中位數(shù)是（

）A．12歲 B．13歲 C．14歲 D．15歲【答案】B【詳解】解：這40名同學(xué)年齡的最中間的數(shù)是第20和21個(gè)數(shù)，分別是13，13，故這40名同學(xué)年齡的中位數(shù)是，故選：B．【變式1-3】某育苗基地，在溫室內(nèi)，經(jīng)過一段時(shí)間育苗，隨機(jī)抽取一些種苗并對它們的株高進(jìn)行測量，把測量結(jié)果制成尚不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示．若種苗株高的平均數(shù)或中位數(shù)低于，則需要對育苗辦法適當(dāng)調(diào)整．(1)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，________．(2)求抽取的種苗株高的平均數(shù)、中位數(shù)，并判斷是否需要對育苗方法進(jìn)行調(diào)整．【答案】(1)20(2)平均數(shù)是，中位數(shù)是，需要對育苗辦法適當(dāng)調(diào)整【詳解】（1）解：，；故答案為：20；（2）解：抽取種苗的總株數(shù)為；株高為的種苗株數(shù)為；株高為的種苗株數(shù)為；所以抽取的種苗株高的，從小到大排列抽取的40個(gè)數(shù)據(jù)中，處于第20、21個(gè)株高均為，，中位數(shù)為，種苗株高的平均數(shù)或中位數(shù)均低于，需要對育苗辦法適當(dāng)調(diào)整．易錯(cuò)陷阱二、混淆平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)平均數(shù)：一般地，個(gè)數(shù)，我們把叫做這個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，記做個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)：如果在個(gè)數(shù)中，出現(xiàn)了次，出現(xiàn)了次，……出現(xiàn)了次，那么加權(quán)平均數(shù)為易錯(cuò)總結(jié)：加權(quán)平均數(shù)即將各數(shù)值乘以相應(yīng)的權(quán)數(shù)，然后加總求和得到總體值，再除以總的單位數(shù)．在做題的時(shí)候，要注意題設(shè)中有沒有出現(xiàn)“權(quán)”，不能將加權(quán)平均數(shù)和平均數(shù)混淆．【例3】射擊比賽中，某選手的次射擊成績?nèi)绫硭荆撼煽?環(huán)次數(shù)則該選手的平均成績是環(huán)．【答案】【詳解】解：該選手的平均成績是（環(huán)），故答案為：【例4】某校學(xué)期綜合評價(jià)成績是由平時(shí)作業(yè)、期中檢測、期末考試三項(xiàng)成績構(gòu)成的，如果學(xué)期綜合評價(jià)成績在90分以上則評為“優(yōu)秀”．如表是小明和小亮兩位同學(xué)某學(xué)科的成績．學(xué)生平時(shí)作業(yè)/分期中檢測/分期末考試/分小明907689小亮926595(1)若將三項(xiàng)成績的平均分記為學(xué)期綜合評價(jià)成績，請計(jì)算比較兩人的學(xué)期綜合成績；(2)若將平時(shí)作業(yè)、期中檢測、期末考試三項(xiàng)成績按的比例來確定學(xué)期綜合評價(jià)成績，請你通過計(jì)算判斷小明、小亮該學(xué)科能否被評為“優(yōu)秀”．【答案】(1)小明的學(xué)期綜合評價(jià)成績?yōu)楸刃×恋膶W(xué)期綜合評價(jià)成績好(2)小明和小亮該學(xué)科不能被評為“優(yōu)秀”【詳解】（1）解：（分），∴小明的學(xué)期綜合評價(jià)成績?yōu)?5分；（分），∴小亮的學(xué)期綜合評價(jià)成績?yōu)?4分；∴小明的學(xué)期綜合評價(jià)成績?yōu)楸刃×恋膶W(xué)期綜合評價(jià)成績好；（2）解：由題意，∴小明在期末考試中的成績是85.3分，，∴小亮在期末考試中的成績是85.4分，∵學(xué)期綜合評價(jià)成績在90分以上則評為“優(yōu)秀”，∴小明和小亮該學(xué)科不能被評為“優(yōu)秀”．【變式2-1】如果一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2023，那么的平均數(shù)是．【答案】2020【詳解】解：∵數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2023，∴，∴的平均數(shù)為：，故答案為：2020．【變式2-2】某校學(xué)生期末評優(yōu)奉行五育并舉，德智體美勞全面發(fā)展的原則，按從德、智、體、美、勞五方面評分，確定最終成績．小明本學(xué)期這五方面的得分情況如圖所示，則小明期末評優(yōu)最終得分為（

）A．9.1 B．9.2 C．9.3 D．9.4【答案】C【詳解】解：（分），∴小明期末最終得分為分．故選：C．【變式2-3】學(xué)校廣播站要新招1名廣播員，甲、乙兩名同學(xué)經(jīng)過選拔進(jìn)入到復(fù)試環(huán)節(jié)，參加了口語表達(dá)、寫作能力兩項(xiàng)測試，成績?nèi)绫恚簩W(xué)校規(guī)定口語表達(dá)按，寫作能力按計(jì)入總成績，根據(jù)總成績擇優(yōu)錄?。ㄟ^計(jì)算，你認(rèn)為同學(xué)將被錄取．口語表達(dá)寫作能力甲8090乙9080【答案】乙【詳解】根據(jù)題意可知，甲同學(xué)的成績?yōu)椋海ǚ郑灰彝瑢W(xué)的成績?yōu)椋海ǚ郑?；，∴乙同學(xué)將被錄取，故答案為：乙．易錯(cuò)陷阱三、對方差公式記憶出錯(cuò)方差：一般地，各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方的平均數(shù).方差的算術(shù)平方根就是標(biāo)準(zhǔn)差．方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定．易錯(cuò)總結(jié)：方差公式其實(shí)為各數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差平方的平均【例5】計(jì)算數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的方差為，則．【答案】2【詳解】解：平均數(shù)為：，∴方差為：；故答案為：2【例6】若一組數(shù)據(jù)1，3，5，7，9的方差是，另一組數(shù)據(jù)11，12，13，14，15的方差是，則（填“>”“<”或“=”）．【答案】>【詳解】解：，，，，∴，故答案為：．易錯(cuò)警示：易錯(cuò)警示：負(fù)數(shù)比較的時(shí)候要小心，畫出數(shù)軸進(jìn)行比較會(huì)更準(zhǔn)確【變式3-1】現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)：5，6，6，7，9，9，方差為；去掉數(shù)字7得到一組新的數(shù)據(jù)，方差為；則（填“”，“”或“”）．【答案】【詳解】解：第1組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則其方差；去掉數(shù)字7得到的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則其方差；∵，∴，故答案為：．【變式3-2】一組數(shù)據(jù)的方差計(jì)算為：，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為．【答案】【詳解】解：∵一組數(shù)據(jù)的方差計(jì)算為：，∴這組數(shù)據(jù)為5，3，6，4，∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：．故答案為：．【變式3-3】數(shù)學(xué)課上張老師給出了如下算式，計(jì)算某數(shù)據(jù)的方差，據(jù)此判斷下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．樣本眾數(shù)是3 B．樣本中位數(shù)是3 C．n的值是4 D．樣本平均數(shù)是4【答案】D【詳解】解：根據(jù)方差算式可得，樣本數(shù)據(jù)為，因此，樣本眾數(shù)為，中位數(shù)是，平均數(shù)為，故選：D．易錯(cuò)陷阱四、含參求數(shù)據(jù)特征時(shí)考慮不全面易錯(cuò)總結(jié)：在求眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)時(shí)，如果是一組含有未知數(shù)的數(shù)據(jù)就要分類討論。其實(shí)對于此類題目的解題本質(zhì)還是掌握好眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的概念以及聯(lián)系、區(qū)別，再對未知數(shù)可能取值的范圍進(jìn)行分類討論就可順利解決。【例7】已知一組數(shù)據(jù)：，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)相等，則．【答案】或或【詳解】解：數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，若中位數(shù)為，則，解得；若中位數(shù)為，則，解得；若中位數(shù)為，則，解得；綜上，或或，故答案為：或或．【例8】如果數(shù)據(jù)，，，的中位數(shù)與平均數(shù)相同，那么的值為．【答案】或【詳解】解：這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，（）當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)從小到大順序排列為：、、、，這時(shí)中位數(shù)為，則，解得；（）當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)從小到大順序排列為：、、、，這時(shí)中位數(shù)為，則，解得，不在內(nèi)，此時(shí)不存在；（）當(dāng)時(shí)，該組數(shù)據(jù)從小到大順序排列為：、、、，這時(shí)中位數(shù)為，則，解得；故答案為：或【變式4-1】一組數(shù)據(jù)2，3，5，6，a的眾數(shù)與中位數(shù)相等，則．【答案】3或5【詳解】解：中位數(shù)可能是或5，由于眾數(shù)與中位數(shù)相等，故或5，故答案為：3或5．【變式4-2】一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：，，，，（為正整數(shù)），唯一的眾數(shù)是，則數(shù)據(jù)是．【答案】或【詳解】解：一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：，3，4，4，為正整數(shù)），唯一的眾數(shù)是4，數(shù)據(jù)是1或2．故答案為：1或2．【變式4-3】一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為.【答案】3和6【詳解】解：∵按從小到大的順序排列為3，3，4，a，6，8這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，，解得：，這組數(shù)據(jù)為：3，3，4，6，6，8，3和6出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為3和6．故答案為：3和6．易錯(cuò)陷阱五、沒看清放回還是沒放回易錯(cuò)總結(jié)：放回與不放回常因混淆導(dǎo)致錯(cuò)誤。放回時(shí)樣本總量不變（如摸球后放回），每次抽取獨(dú)立，概率計(jì)算直接相乘；不放回時(shí)樣本減少（如一次性抽取多個(gè)），后續(xù)概率需調(diào)整分母，且需用樹狀圖（不含重復(fù)分支）計(jì)算【例9】在一個(gè)不透明的袋子里，裝有6個(gè)白球和若干個(gè)黑球，這些球除顏色外其他都相同．將袋子里的球搖勻，隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后再放回袋中．不斷重復(fù)這一過程，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，摸到白球的概率為0.2，由此估計(jì)袋子里黑球的個(gè)數(shù)是（

）A．24個(gè) B．30個(gè) C．20個(gè) D．14個(gè)【答案】A【詳解】解：設(shè)袋子里黑球的個(gè)數(shù)為個(gè)，由題意可得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意，∴袋子里黑球的個(gè)數(shù)是24個(gè)，故選：A．【例10】中華文化之瑰寶??“四大名著”，即《水滸傳》、《三國演義》、《西游記》和《紅樓夢》，在中國文學(xué)史上有著極其重要的地位．(1)若從這四大名著中隨機(jī)抽取一套，恰好抽到《西游記》的概率是_____．(2)若從這四大名著中隨機(jī)抽取兩套（先隨機(jī)抽取一套，不放回，再隨機(jī)抽取另一套），請用畫樹狀圖或列表的方法，求抽到的兩套恰好是《水滸傳》和《三國演義》的概率．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：從這四大名著中隨機(jī)抽取一套，恰好抽到《西游記》的概率是．故答案為：．（2）解：從這四本書籍中隨機(jī)抽取兩本的情況列表如下（記四本書籍依次為A，B，C，D）：ABCDA?B?C?D?共有12種等可能結(jié)果，其中《水滸傳》和《三國演義》被選中的結(jié)果有2種，抽到的兩本恰好是《水滸傳》和《三國演義》的概率為．【變式5-1】一個(gè)不透明的口袋里裝有分別標(biāo)有漢字“泉”、“城”、“濟(jì)”、“南”的四個(gè)小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區(qū)別，每次摸球前先攪拌均勻．從中任取一球，不放回，再從中任取一球，取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“泉城”的概率（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“泉城”的結(jié)果數(shù)為2，所以取出的兩個(gè)球上的漢字能組成“泉城”的概率為，故選：C．【變式5-2】1個(gè)袋子中裝有1個(gè)白球和1個(gè)黑球，它們除顏色外其他完全相同．甲、乙兩人去摸球，每人摸1次，1次摸出1個(gè)球．(1)如果摸出球后放回?fù)u勻，并規(guī)定摸出黑球的人獲勝，那么這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？(2)若摸出球后不放回，同樣規(guī)定摸出黑球的人獲勝，則這個(gè)游戲的公平性是否和摸出球后放回?fù)u勻時(shí)的一樣？(3)若袋子中裝有除顏色外其他完全相同的5個(gè)白球和5個(gè)黑球，甲、乙兩人先后去摸球，一人摸1次，1次摸出1個(gè)球，摸出后放回?fù)u勻，并規(guī)定摸出黑球的人獲勝．這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？為什么？【答案】(1)這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平(2)這個(gè)游戲的公平性和摸出球后放回時(shí)的一樣(3)這個(gè)游戲?qū)﹄p方是公平的，理由見解析【詳解】（1）解：由于是摸出后放回，每個(gè)人摸出黑球的概率都是，所以對雙方公平；（2）解：由于是摸出后不放回，則總的結(jié)果為甲黑乙白，或甲白乙黑，則他們獲勝的概率和放回時(shí)一樣都是，對雙方公平；（3）解：游戲?qū)﹄p方公平，因?yàn)榇又邪浊蚝秃谇蚋饔?個(gè)，每人摸出黑球的可能性都是，所以這個(gè)游戲?qū)﹄p方是公平的．【變式5-3】一個(gè)不透明的盒子里裝有2個(gè)黑球，5個(gè)白球和1個(gè)紅球．它們除顏色不同外其余都相同．(1)若從中任意摸出1個(gè)球，摸出黑球的概率是___________；(2)將盒子中的白球取出4個(gè)后，利用剩下的球小張和小王進(jìn)行摸球游戲，他們約定：先摸出1個(gè)球后放回，再摸出1個(gè)球，若這兩個(gè)球中有紅球，則小張勝，否則小王勝，問該游戲是否公平？請用列表或畫樹狀圖說明理由．【答案】(1)(2)不公平，理由見解析【詳解】（1）解：從中任意摸出1個(gè)球，摸出黑球的概率為故答案為：．（2）該游戲不公平．理由如下：畫樹狀圖為：共有16種等可能的結(jié)果，其中兩個(gè)球中有紅球的結(jié)果數(shù)為7，所以小張勝的概率；，小王勝的概率為∵所以該游戲不公平．1．某校體育測試，女生考核“立定跳遠(yuǎn)”、“800米”、“仰臥起坐”三項(xiàng)，并按的權(quán)重計(jì)算體育成績．已知小穎這三項(xiàng)的測試成績分別為80分、90分、100分，則小穎的體育成績?yōu)榉郑敬鸢浮?1【詳解】解：根據(jù)題意得：（分）；故答案為：91．2．如圖描述了某班10名學(xué)生對課后延時(shí)服務(wù)的打分情況，下列判斷不正確的是（

）A．打分的眾數(shù)為4分B．打分的平均數(shù)為3.2分C．去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，中位數(shù)和眾數(shù)都不會(huì)發(fā)生改變D．若該班有50名學(xué)生，估計(jì)打分為4分的有25人【答案】D【詳解】解：由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，打分為5分的百分比為，從圖中可知打4分的學(xué)生占比為，即打4分的人數(shù)最多，所以打分的眾數(shù)為4分，故A選項(xiàng)正確；打分的平均數(shù)為分，故B選項(xiàng)正確；這組數(shù)據(jù)有10個(gè)（偶數(shù)個(gè)），所以中位數(shù)是第5、6個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即分，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，中位數(shù)不會(huì)發(fā)生改變，故C選項(xiàng)正確；若該班有50名學(xué)生，估計(jì)打分為4分的有人，故D選項(xiàng)不正確；故選：D．3．某次射擊訓(xùn)練中，一小組的成績?nèi)绫硭荆涵h(huán)數(shù)人數(shù)若該小組的平均成績?yōu)榄h(huán)，則成績?yōu)榄h(huán)的人數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：設(shè)成績?yōu)榄h(huán)的人數(shù)是x，根據(jù)題意得：，解得：，則成績?yōu)榄h(huán)的人數(shù)是，故選：．4．有兩組數(shù)據(jù)，甲組：2，4，6，8，10；乙組：12，14，16，18，20．則甲組數(shù)據(jù)的方差乙組數(shù)據(jù)的方差（填“”“”或“”）．【答案】【詳解】解：甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；∴．故答案為：5．某班期末英語的平均成績?yōu)?5分，方差為225，如果每名學(xué)生都多考5分，下列說法正確的是（

）A．平均分不變，方差不變 B．平均分變大，方差不變C．平均分不變，方差變大 D．平均分變大，方差變大【答案】B【詳解】解：由題意知，每名學(xué)生都多考5分，則平均分比原來大5，平均分變大，∵數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況不變，∴方差不變，故選：B．6．某籃球隊(duì)5名場上隊(duì)員的身高（單位：cm）分別是：190，194，198，200，202，現(xiàn)用一名身高為的隊(duì)員換下場上身高為的隊(duì)員．與換人前相比，下列對5名場上隊(duì)員身高的平均數(shù)和方差描述正確的是（

）A．平均數(shù)變小，方差變小 B．平均數(shù)變小，方差變大C．平均數(shù)變大，方差變小 D．平均數(shù)變大，方差變大【答案】C【詳解】解：原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，原數(shù)據(jù)的方差為，新數(shù)據(jù)的方差為，所以平均數(shù)變大，方差變?。蔬x：C．7．某人在統(tǒng)計(jì)15個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，算出中位數(shù)和平均數(shù)都是85，但后來發(fā)現(xiàn)，錯(cuò)將其中的一個(gè)數(shù)據(jù)78輸入為87，由此求出的中位數(shù)（

）A．等于85 B．小于85 C．小于等于85 D．大于等于85【答案】C【詳解】解：∵原來的中位數(shù)85，將78輸入為87，∴最中間的數(shù)是85的前一位數(shù)，應(yīng)該小于等于85，即中位數(shù)小于等于85，故選：C．8．有一組數(shù)據(jù)有唯一眾數(shù)，且眾數(shù)與中位數(shù)相等，則a的值為（

）A．3 B．5 C．3或5 D．3或4【答案】C【詳解】解：∵一組數(shù)據(jù)有唯一眾數(shù)，∴a一定是2，3，5，6中的某一個(gè)數(shù)，∴當(dāng)a的值為2或3時(shí)，這種數(shù)據(jù)的中位數(shù)3；當(dāng)a的值為5或6時(shí)，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5，∵眾數(shù)與中位數(shù)相等，∴a的值