2025年理學(xué)物理學(xué)理論力學(xué)試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、試用牛頓定律推導(dǎo)質(zhì)點做勻速率圓周運(yùn)動時所需的向心力公式F=mω2r，其中m為質(zhì)點質(zhì)量，ω為角速度，r為圓周半徑。二、一質(zhì)量為m的小球自高度h處自由下落到地面，與地面碰撞后彈起的高度為h/2。假設(shè)碰撞是彈性的，求小球與地面碰撞過程中地面對小球的沖量大小。三、一質(zhì)量為M、長為L的均勻細(xì)桿可繞其一端的水平軸O自由轉(zhuǎn)動，桿對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為ML2/3。初始時桿靜止于水平位置，然后因重力作用開始繞O軸轉(zhuǎn)動。求桿轉(zhuǎn)動到與水平方向成θ角時的角速度。四、質(zhì)量為m的小球系于長為l的不可伸長繩子上，繩子另一端固定于O點。小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，已知某時刻小球通過最低點時的速率為v?。求此時繩子所受的張力。五、質(zhì)量為M、半徑為R的均質(zhì)圓盤，可繞通過其中心O并垂直于盤面的水平軸自由轉(zhuǎn)動，圓盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量為MR2/2。一質(zhì)量為m的質(zhì)點以恒定速率v沿圓盤邊緣某一直徑方向相對于圓盤運(yùn)動。初始時質(zhì)點在圓盤中心，求質(zhì)點運(yùn)動到圓盤邊緣時，圓盤的角速度。六、質(zhì)量為m的小塊物體系于長為l的無質(zhì)量繩子上，繩子另一端固定于O點。最初，將小球拉至與O點同一水平面且繩子處于伸直狀態(tài)，然后由靜止釋放。忽略空氣阻力，求小球運(yùn)動到繩子與水平方向成α角時的速率。七、質(zhì)量為M、半徑為R的均質(zhì)圓柱體，放在粗糙的水平面上，圓柱體與水平面之間的動摩擦因數(shù)為μ?，F(xiàn)給圓柱體施加一個水平恒力F，使其沿水平面純滾動。求圓柱體質(zhì)心的加速度和地面對圓柱體的摩擦力大小。八、質(zhì)量為m、長為l的均勻細(xì)桿，放置在光滑的水平面上，可繞通過其一端O的豎直軸自由轉(zhuǎn)動。桿對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為ml2/3。初始時，桿靜止，且其一端O的速度為v?（水平向右），另一端A靜止。求桿轉(zhuǎn)動到與初始位置成θ角時的角速度。試卷答案一、推導(dǎo)過程：設(shè)質(zhì)點質(zhì)量為m，速度為v，圓周半徑為r。根據(jù)牛頓第二定律，質(zhì)點的加速度為a=v2/r，方向指向圓心。根據(jù)加速度的定義，a=d2r/dt2=(dr/dt)*(dv/dt)=v*(dv/ds)，其中ds是沿圓周運(yùn)動的微小弧長。由于速率v=ds/dt，所以dv/dt=v*(dv/ds)=v2/r。因此，質(zhì)點的加速度a=v2/r。根據(jù)牛頓第二定律F=ma，向心力F=m*(v2/r)。又因為角速度ω=v/r，所以v=ωr。代入上式，F(xiàn)=m*(ω2r)/r=mω2r。二、解：設(shè)小球質(zhì)量為m，重力加速度為g。小球從高度h自由下落，到達(dá)地面時的速度v?=√(2gh)。由于碰撞是彈性的，小球碰撞后速度大小不變，方向相反，即速度v?=-√(2gh)。取向上為正方向，小球與地面碰撞過程中的動量變化Δp=mv?-mv?=m(-√(2gh))-m(√(2gh))=-2m√(2gh)。根據(jù)動量定理，沖量I=Δp=-2m√(2gh)。地面對小球的沖量大小為2m√(2gh)。三、解：設(shè)桿質(zhì)量為M，長度為L，重力加速度為g，桿對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為I=ML2/3。桿繞O軸轉(zhuǎn)動，受到重力矩M_G=(1/2)*M*g*L*sinθ（重力作用在桿質(zhì)心，質(zhì)心在L/2處）。根據(jù)轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程M=Iα，有M_G=Iα，即(1/2)*M*g*L*sinθ=(ML2/3)*α。其中α是桿的角加速度，α=d2θ/dt2?；喌忙?(3g/2L)*sinθ。桿做變角速度轉(zhuǎn)動，角加速度α=dω/dt。所以dω/dt=(3g/2L)*sinθ。對上式積分，∫??dω=∫??(3g/2L)*sinθdθ。ω(y)-ω(0)=(3g/2L)*[-cosθ]??=(3g/2L)*(1-cosθ)。由于初始時桿靜止于水平位置，θ=0，ω(0)=0。所以ω=(3g/2L)*(1-cosθ)。四、解：設(shè)小球質(zhì)量為m，繩長為l，重力加速度為g，小球通過最低點時的速率為v?。在最低點，小球受到重力mg和繩子張力T，兩者都豎直向上。根據(jù)牛頓第二定律，沿豎直方向F=ma，即T-mg=m*(v?2/l)。解得繩子張力T=mg+m*(v?2/l)=m(g+v?2/l)。五、解：系統(tǒng)由圓盤和質(zhì)點組成，質(zhì)點沿直徑相對圓盤運(yùn)動，對地面的速度v'=v。由于圓盤轉(zhuǎn)動，對地面的絕對速度需要合成。設(shè)圓盤角速度為ω。當(dāng)質(zhì)點運(yùn)動到邊緣時，其中心位于圓盤邊緣，半徑為R。質(zhì)點對地面的速度v=ωR（方向沿切線）。根據(jù)題意，v'=v=v。由于質(zhì)點沿直徑運(yùn)動，其速度方向與半徑方向始終一致。所以ωR=v。圓盤角速度ω=v/R。六、解：設(shè)小球質(zhì)量為m，繩長為l，重力加速度為g。小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動，受重力和繩子張力。在繩子與水平方向成α角時，重力沿切線方向的分力提供向心力的一部分。取沿圓周切線方向，向心力F_c=m*(v2/l)。重力沿切線方向的分力F_t=mg*sinα。根據(jù)牛頓第二定律沿切線方向，F(xiàn)_t=m*a_t，其中a_t是切向加速度。切向加速度a_t=dv/dt。由于a_t=d2s/dt2，其中s是沿圓周運(yùn)動的弧長。由幾何關(guān)系，ds/dt=v。所以a_t=d(v2)/(2dt)=v*(dv/dt)=v*(dv/ds)*(ds/dt)=v2/l。因此，mg*sinα=m*(v2/l)。解得小球速率v=√(gl*sinα)。七、解：設(shè)圓柱體質(zhì)量為M，半徑為R，動摩擦因數(shù)為μ，水平恒力為F，重力加速度為g。圓柱體在水平面上純滾動，受到重力Mg、支持力N、水平恒力F和地面的靜摩擦力f。沿水平方向，根據(jù)牛頓第二定律F_net=Ma_c，其中A_c是圓柱體質(zhì)心的加速度。F-f=Ma_c。由于純滾動，角速度ω和質(zhì)心速率v的關(guān)系為v=Rω，角加速度α=dv/dt=(R/R)*(dω/dt)=(1/R)*(dω/dt)。所以α=(1/R)*(dv/dt)=(1/R)*(a_c)。靜摩擦力f提供轉(zhuǎn)動所需的力矩M=fR。根據(jù)轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程M=Iα，有fR=(MR2/2)*α。代入α=a_c/R，得fR=(MR2/2)*(a_c/R)=(MR/2)*a_c。解得靜摩擦力f=(Ma_c)/2。將f代入水平方向牛頓第二定律方程，F(xiàn)-(Ma_c)/2=Ma_c。解得圓柱體質(zhì)心加速度a_c=2F/(2M+M)=2F/(3M)。地面對圓柱體的摩擦力大小為f=(M/2)*a_c=(M/2)*(2F/(3M))=F/(3M)。八、解：設(shè)桿質(zhì)量為M，長度為l，初始速度為v?，重力加速度為g，桿對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為I=ml2/3。桿在光滑水平面上繞O軸轉(zhuǎn)動，受重力Mg、支持力N和水平外力（初始時提供）。由于水平面光滑，水平方向不受外力，桿質(zhì)心速度v和桿端O的速度關(guān)系為v=(l/2)v?（桿做平動和轉(zhuǎn)動的合成運(yùn)動，初始時A靜止，O速度為v?）。桿做變角速度轉(zhuǎn)動，角加速度α=dv/dt=(1/(l/2))*(dv/ds)*(ds/dt)=(2/l)*(dv/dθ)*(dθ/dt)*(lθ/dt)=(2/l)*(dv/dθ)*ω。所以dv/dθ=(l/2)*α。根據(jù)轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程M=Iα，有M*(l/2)*g*sinθ=(ml2/3)*α?；喌忙?(3g/2l)*sinθ。代入α=dv/dθ*(2/l)*ω，得(3g/2l)*sinθ=(2/l)*ω*(dv/dθ)*(l/2)?；喌?3g/2l)*sinθ=ω*(dv/dθ)*(1/2)。所以ω*(dv/dθ)=(3g/2)*sinθ。對上式積分，∫??ωdω=∫??(3g/2)*sinθdθ。(1/2)*ω2|