2025年考研理學(xué)量子力學(xué)沖刺押題試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在答題卡相應(yīng)位置。）1.下列哪個(gè)物理量在量子力學(xué)中是算符？A.位置B.動(dòng)量C.能量D.質(zhì)量2.一維無限深勢(shì)阱中，粒子能量量子化是由于：A.波函數(shù)的連續(xù)性B.波函數(shù)的有限性C.邊界條件的限制D.能量守恒3.下列哪個(gè)算符是厄米算符？A.$\hat{x}^2$B.$\hat{x}\hat{p}_x-\hat{p}_x\hat{x}$C.$\hat{x}^3$D.$\frac{\mathrms6sk6m8}{\mathrm8ywecomx}$4.氫原子中，2p軌道的角量子數(shù)l和磁量子數(shù)m的可能取值分別是：A.l=1,m=-1,0,1B.l=0,m=-1,0,1C.l=2,m=-2,-1,0,1,2D.l=1,m=-2,-1,0,1,25.下列哪個(gè)效應(yīng)證明了光的波粒二象性？A.光的干涉B.光的衍射C.康普頓散射D.光電效應(yīng)二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在答題卡相應(yīng)位置。）1.波函數(shù)$\psi(x,t)$的歸一化條件是________。2.薛定諤方程的含時(shí)形式為________。3.粒子的動(dòng)量算符$\hat{p}_x$在坐標(biāo)表象下表示為________。4.量子力學(xué)中，測(cè)量一個(gè)不可觀測(cè)的物理量A，其平均值由________決定。5.自旋量子數(shù)為$\frac{1}{2}$的粒子，其總自旋角動(dòng)量在$z$軸上的投影的可能值為________。三、計(jì)算題（每小題10分，共40分。請(qǐng)寫出詳細(xì)的解題過程。）1.一維無限深勢(shì)阱中，粒子處于基態(tài)，求在$0\leqx\leqa/2$區(qū)間內(nèi)找到粒子的概率。2.一個(gè)質(zhì)量為$m$的粒子，在勢(shì)能為$V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2$的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求其能級(jí)表達(dá)式。3.氫原子中，一個(gè)電子從2p軌道躍遷到1s軌道，發(fā)射一個(gè)光子。求該光子的能量和波長。4.一個(gè)自旋量子數(shù)為$\frac{1}{2}$的粒子，測(cè)量其自旋在$z$軸上的投影，得到自旋向上和自旋向下的概率分別為多少？四、證明題（每小題15分，共30分。請(qǐng)寫出詳細(xì)的證明過程。）1.證明一維無限深勢(shì)阱中，波函數(shù)$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pix}{a}\right)$是薛定諤方程的解，并求其對(duì)應(yīng)的能級(jí)$E_n$。2.證明厄米算符具有完備性。試卷答案一、選擇題1.B2.C3.A4.C5.C二、填空題1.$\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2\,\mathrmkw0ggs6x=1$2.$i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partialt}=\hat{H}\psi(x,t)$3.$-i\hbar\frac{\partial}{\partialx}$4.$\int\psi^*(x)\hat{A}\psi(x)\,\mathrmeogs6g8x$5.$+\frac{\hbar}{2},-\frac{\hbar}{2}$三、計(jì)算題1.解析思路：利用歸一化波函數(shù)$\psi_1(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{\pix}{a}\right)$，計(jì)算概率$P=\int_0^{a/2}|\psi_1(x)|^2\,\mathrm0wwk6akx$。答案：$\frac{1}{4}$2.解析思路：將勢(shì)能$V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2$代入一維諧振子薛定諤方程，求解能級(jí)公式$E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)$，其中$n=0,1,2,\ldots$。答案：$E_n=\hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)$，$n=0,1,2,\ldots$3.解析思路：利用能級(jí)差公式$\DeltaE=E_{n_2}-E_{n_1}$，計(jì)算光子能量$E=\DeltaE=h\nu$，再由$c=\lambda\nu$求解波長$\lambda$。已知$E_{2p}=-\frac{13.6}{n_2^2}\,\text{eV}$,$E_{1s}=-13.6\,\text{eV}$，$n_2=2$,$n_1=1$。答案：$E=10.2\,\text{eV}$,$\lambda=121.6\,\text{nm}$4.解析思路：自旋量子數(shù)為$\frac{1}{2}$的粒子，自旋在$z$軸上的投影$\hat{S}_z\psi=m\hbar\psi$，本征態(tài)為$\chi_+=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$,$\chi_-=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$。假設(shè)粒子處于自旋狀態(tài)$\psi=\alpha\chi_++\beta\chi_-$，計(jì)算測(cè)量結(jié)果為自旋向上和自旋向下的概率$P_+=|\alpha|^2$,$P_-=|\beta|^2$。若粒子處于自旋向上狀態(tài)，則$P_+=1$,$P_-=0$；若粒子處于自旋向下狀態(tài)，則$P_+=0$,$P_-=1$。答案：測(cè)量結(jié)果為自旋向上和自旋向下的概率分別為1和0（或0和1，取決于初始狀態(tài)）四、證明題1.解析思路：將$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pix}{a}\right)$代入一維無限深勢(shì)阱的薛定諤方程$\hat{H}\psi(x)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\mathrmugg6omm^2\psi(x)}{\mathrmigoaaymx^2}+V(x)\psi(x)$，其中$V(x)=0$，$0<x<a$，$V(x)=\infty$，其他地方。證明左邊等于右邊，從而證明$\psi_n(x)$是解。能級(jí)$E_n$由邊值條件$\psi(0)=\psi(a)=0$和能量本征值方程$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{n^2\pi^2}{a^2}\psi_n(x)+0\cdot\psi_n(x)=E_n\psi_n(x)$求解。答案：證明過程見上述解析思路，$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$2.解析思路：證明對(duì)于任意波函數(shù)$\psi(x)$，可以表示為厄米算符本征函數(shù)的完備集展開：$\psi(x)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)$，其中$\int|\psi_n(x)|^2\,\mathrm6c8w6w6x=1$是歸一化條件，且$\psi_n(x)$滿足$\hat{H}\psi