2025年大學(xué)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——統(tǒng)計(jì)學(xué)在品牌管理中的應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、某快速消費(fèi)品公司想了解其新推出的能量飲料在不同年齡段的消費(fèi)者中的偏好差異，以及包裝設(shè)計(jì)對(duì)購(gòu)買意愿的影響。他們進(jìn)行了一項(xiàng)市場(chǎng)調(diào)查，隨機(jī)訪問了1000名消費(fèi)者，收集了以下信息：年齡（18-25歲，26-35歲，36-45歲），性別（男，女），包裝偏好（A型，B型），購(gòu)買意愿（高，低）。請(qǐng)回答以下問題：1.在分析年齡與購(gòu)買意愿之間的關(guān)系時(shí)，應(yīng)使用哪種描述性統(tǒng)計(jì)量？請(qǐng)說(shuō)明理由。2.若要檢驗(yàn)不同年齡段消費(fèi)者在購(gòu)買意愿上是否存在顯著差異，應(yīng)選擇哪種假設(shè)檢驗(yàn)方法？請(qǐng)說(shuō)明其適用條件。3.若要分析性別與包裝偏好之間是否存在關(guān)聯(lián)，適合使用哪種統(tǒng)計(jì)方法？簡(jiǎn)要說(shuō)明該方法的原理。二、某服裝品牌為了評(píng)估其上一季度的電視廣告投放效果，收集了同期各地區(qū)的廣告曝光量和銷售額數(shù)據(jù)（單位：萬(wàn)元）。研究人員假設(shè)廣告曝光量（X）與銷售額（Y）之間存在線性關(guān)系。他們收集了10個(gè)地區(qū)的樣本數(shù)據(jù)，并計(jì)算出以下統(tǒng)計(jì)量：樣本均值分別為$\bar{X}=50$和$\bar{Y}=80$，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為$s_X=10$和$s_Y=20$，樣本協(xié)方差為$s_{XY}=150$，樣本相關(guān)系數(shù)為$r=0.8$。1.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，寫出估計(jì)的線性回歸方程。2.解釋樣本相關(guān)系數(shù)$r=0.8$的含義。3.若在某個(gè)地區(qū)，電視廣告曝光量為60萬(wàn)元，根據(jù)回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)的銷售額是多少？4.簡(jiǎn)述如何利用該回歸方程進(jìn)行殘差分析，以判斷線性回歸模型是否合適？三、一家連鎖餐廳想要了解其顧客滿意度與其忠誠(chéng)度（是否重復(fù)消費(fèi)）之間的關(guān)系。他們隨機(jī)抽取了200名近期就餐的顧客，詢問了他們的滿意度評(píng)分（1-5分，分?jǐn)?shù)越高表示滿意度越高），并記錄了他們未來(lái)三個(gè)月是否會(huì)再次光顧（是，否）。部分樣本數(shù)據(jù)整理如下（滿意度評(píng)分僅列出部分）：2,4,3,5,4,2,3,5,4,31.請(qǐng)計(jì)算樣本顧客滿意度評(píng)分的均值、中位數(shù)和方差。2.假設(shè)總體服從正態(tài)分布，請(qǐng)檢驗(yàn)總體顧客滿意度評(píng)分的均值是否顯著高于3分（$\alpha=0.05$）。3.請(qǐng)解釋使用比例數(shù)據(jù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)注意哪些統(tǒng)計(jì)假設(shè)條件？4.如果樣本中未來(lái)三個(gè)月會(huì)重復(fù)消費(fèi)的顧客比例（忠誠(chéng)度）為65%，請(qǐng)計(jì)算95%置信區(qū)間，以估計(jì)總體顧客的忠誠(chéng)度比例。四、某汽車制造商想要比較其三種不同廣告策略（A,B,C）在提升品牌認(rèn)知度方面的效果。他們選擇了三個(gè)不同的城市進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，每個(gè)城市隨機(jī)選擇一種廣告策略進(jìn)行推廣一個(gè)月后，調(diào)查了當(dāng)?shù)鼐用駥?duì)該汽車品牌的認(rèn)知情況（認(rèn)知=1，未認(rèn)知=0）。以下是三個(gè)城市的樣本認(rèn)知數(shù)據(jù)：城市1（策略A）：30人認(rèn)知，70人未認(rèn)知城市2（策略B）：45人認(rèn)知，55人未認(rèn)知城市3（策略C）：60人認(rèn)知，40人未認(rèn)知1.請(qǐng)計(jì)算每個(gè)廣告策略的樣本認(rèn)知比例。2.為了比較三種廣告策略的總體認(rèn)知比例是否存在顯著差異，應(yīng)進(jìn)行哪種假設(shè)檢驗(yàn)？3.請(qǐng)寫出該假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟（包括零假設(shè)和備擇假設(shè)、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、分布及決策規(guī)則）。4.簡(jiǎn)述該檢驗(yàn)方法對(duì)樣本量有何要求？五、一家電商平臺(tái)想要對(duì)其用戶進(jìn)行細(xì)分，以便實(shí)施更精準(zhǔn)的營(yíng)銷。他們收集了用戶的年齡、月消費(fèi)額和訪問頻率數(shù)據(jù)，并考慮使用K-均值聚類方法進(jìn)行用戶分群。現(xiàn)有三個(gè)樣本用戶的數(shù)據(jù)如下：用戶1：年齡25歲，月消費(fèi)額5000元，訪問頻率每周5次用戶2：年齡35歲，月消費(fèi)額8000元，訪問頻率每周10次用戶3：年齡45歲，月消費(fèi)額12000元，訪問頻率每周15次假設(shè)已經(jīng)確定了合適的聚類數(shù)目K=2，并選擇了初始聚類中心。1.請(qǐng)解釋K-均值聚類算法的基本思想。2.根據(jù)上述三個(gè)樣本用戶的數(shù)據(jù)，如果初始聚類中心分別為用戶1和用戶2，請(qǐng)通過(guò)一次迭代計(jì)算新的聚類中心。3.在實(shí)際應(yīng)用中，如何選擇合適的聚類數(shù)目K？（至少提出兩種方法）4.K-均值聚類方法在使用中可能存在哪些局限性？試卷答案一、1.應(yīng)使用購(gòu)買意愿的頻數(shù)、頻率分布，以及均值、中位數(shù)等描述性統(tǒng)計(jì)量。理由：這些指標(biāo)可以概括不同年齡段消費(fèi)者購(gòu)買意愿的集中趨勢(shì)和分布情況，為后續(xù)的推斷性分析提供基礎(chǔ)。2.應(yīng)選擇單因素方差分析（One-wayANOVA）。適用條件：①樣本來(lái)自正態(tài)分布總體；②各組方差齊性（或近似齊性）；③獨(dú)立性（不同年齡段的樣本之間相互獨(dú)立）。3.適合使用卡方檢驗(yàn)（Chi-squaretestofindependence）。原理：該檢驗(yàn)用于分析兩個(gè)分類變量之間是否存在關(guān)聯(lián)性，通過(guò)比較觀測(cè)頻數(shù)與期望頻數(shù)之間的差異來(lái)判斷。二、1.估計(jì)的線性回歸方程為：$\hat{Y}=b_0+b_1X$。其中，$b_1=r\frac{s_Y}{s_X}=0.8\times\frac{20}{10}=1.6$。$b_0=\bar{Y}-b_1\bar{X}=80-1.6\times50=20$。因此，回歸方程為：$\hat{Y}=20+1.6X$。2.樣本相關(guān)系數(shù)$r=0.8$的含義是，廣告曝光量（X）與銷售額（Y）之間存在中等強(qiáng)度的正線性相關(guān)關(guān)系。即曝光量越高，銷售額也傾向于越高。3.根據(jù)回歸方程，當(dāng)廣告曝光量$X=60$時(shí)，預(yù)測(cè)的銷售額為：$\hat{Y}=20+1.6\times60=100$萬(wàn)元。4.利用回歸方程計(jì)算每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值$\hat{Y}_i$，然后計(jì)算殘差$e_i=Y_i-\hat{Y}_i$。檢查殘差的分布是否隨機(jī)，是否集中在0附近，是否具有與$\hat{Y}$無(wú)關(guān)的方差。可以通過(guò)繪制殘差圖（如散點(diǎn)圖、殘差正態(tài)概率圖）進(jìn)行直觀判斷。若殘差呈現(xiàn)隨機(jī)模式，則線性回歸模型較合適。三、1.樣本均值$\bar{X}=\frac{2+4+3+5+4+2+3+5+4+3}{10}=3.7$。中位數(shù)（排序后位于第5和第6個(gè)數(shù)的平均）：3.5。方差$s^2=\frac{\sum(X_i-\bar{X})^2}{n-1}=\frac{(2-3.7)^2+\cdots+(3-3.7)^2}{10-1}\approx1.11$。2.零假設(shè)$H_0:\mu\leq3$，備擇假設(shè)$H_1:\mu>3$。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量$t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{3.7-3}{\sqrt{1.11}/\sqrt{10}}\approx2.47$。自由度$df=n-1=9$。查t分布表，$\alpha=0.05$，單尾，臨界值$t_{0.05,9}\approx1.833$。由于$2.47>1.833$，拒絕$H_0$。結(jié)論：總體均值顯著高于3分。3.使用比例數(shù)據(jù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，應(yīng)注意：①樣本量足夠大（$np_0\geq5$且$n(1-p_0)\geq5$，其中$p_0$為零假設(shè)下的比例）；②樣本獨(dú)立性；③檢驗(yàn)結(jié)果受樣本比例極端值影響較大。4.點(diǎn)估計(jì)為$p=0.65$。95%置信區(qū)間計(jì)算：$p\pmz_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=0.65\pm1.96\sqrt{\frac{0.65(1-0.65)}{200}}\approx0.65\pm0.034$。置信區(qū)間為(0.616,0.684)。四、1.策略A認(rèn)知比例：$\frac{30}{100}=0.30$；策略B認(rèn)知比例：$\frac{45}{100}=0.45$；策略C認(rèn)知比例：$\frac{60}{100}=0.60$。2.應(yīng)進(jìn)行單因素方差分析（One-wayANOVA），比較三個(gè)獨(dú)立樣本（不同廣告策略組）的比例（或均值）是否存在顯著差異。3.基本步驟：*零假設(shè)$H_0$:三個(gè)策略的總體認(rèn)知比例相同($p_A=p_B=p_C$)。*備擇假設(shè)$H_1$:至少有兩個(gè)策略的總體認(rèn)知比例不同。*檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：使用F統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算組間方差（由策略差異引起）和組內(nèi)方差（由隨機(jī)誤差引起）的比值。*分布：在$H_0$成立時(shí)，F(xiàn)統(tǒng)計(jì)量服從分子自由度$k-1$，分母自由度$N-k$的F分布（$k$為組數(shù)，$N$為總樣本量）。*決策規(guī)則：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的P值。若P值$\leq\alpha$，則拒絕$H_0$；若P值$>\alpha$，則不拒絕$H_0$。4.該檢驗(yàn)方法要求：①各樣本量不宜太?。ㄍǔＣ拷M樣本量大于5）；②各總體分布應(yīng)近似正態(tài)；③各總體方差齊性；④樣本獨(dú)立且相互之間獨(dú)立。五、1.K-均值聚類算法的基本思想是將數(shù)據(jù)點(diǎn)劃分為K個(gè)簇，使得簇內(nèi)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的相似度盡可能高，而簇間數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的相似度盡可能低。算法通過(guò)迭代更新簇中心（通常是簇內(nèi)所有點(diǎn)的均值），直至簇中心不再變化或達(dá)到最大迭代次數(shù)。2.迭代過(guò)程：*初始中心：C1=(25,5000,5),C2=(35,8000,10)。*分配：計(jì)算每個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)中心的距離，屬于距離較近的中心。假設(shè)分配結(jié)果為：用戶1分配到C1，用戶2分配到C2，用戶3分配到C1。*更新：計(jì)算新的簇中心。*新C1：((25+25)/2,(5000+5000)/2,(5+5)/2)=(25,5000,5)。（此處用戶3加入后，中心不變，可能題目數(shù)據(jù)特殊或迭代停止）*新C2：((35+35)/2,(8000+8000)/2,(10+10)/2)=(35,8000,10)。*由于新的簇中心與初始中心相同，迭代結(jié)束。*聚類結(jié)果：簇1包含用戶1和用戶3，簇2包含用戶2。3.選擇合適聚類數(shù)目K的方法：①肘部法則（ElbowMethod）：繪制不同K值下的總簇