2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——馬爾可夫過程及應(yīng)用考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。）1.一個(gè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為{1,2,3}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=[[0.5,0.2,0.3],[0.4,0.3,0.3],[0.2,0.4,0.4]]。則狀態(tài)1是（）。A.常返態(tài)B.暫態(tài)C.吸收態(tài)D.無法判斷2.設(shè){X(t),t≥0}是一個(gè)參數(shù)為λ的泊松過程，則P{X(2)=3,X(5)=5}等于（）。A.(λ^3*e^(-2))/3!*(λ^5*e^(-5))/5!B.(λ^5*e^(-5))/5!C.(λ^3*e^(-2))/3!D.(λ^8*e^(-8))/8!3.設(shè){X(t),t≥0}是一個(gè)齊次馬爾可夫過程，狀態(tài)空間為{1,2,3}，若P{X(0)=1,X(1)=2}=0.3，P{X(1)=2}=0.5，則P{X(0)=2|X(1)=2}等于（）。A.0.3B.0.5C.0.6D.0.84.一個(gè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=[[0.8,0.2],[0.1,0.9]]。則該馬爾可夫鏈?zhǔn)牵ǎ?。A.齊次的B.非齊次的C.可數(shù)狀態(tài)的D.連續(xù)時(shí)間的5.設(shè){X(t),t≥0}是一個(gè)維納過程，則E[X(t)^2]等于（）。A.tB.2tC.t^2D.0二、填空題（每小題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上。）1.一個(gè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為{1,2,3,4}，若P{X(n+1)=2|X(n)=1}=0.6，P{X(n+1)=3|X(n)=1}=0.4，則從狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2和狀態(tài)3的概率分別為______和______。2.設(shè){X(t),t≥0}是一個(gè)參數(shù)為1的泊松過程，則P{X(3)=0}等于______。3.設(shè){X(t),t≥0}是一個(gè)齊次馬爾可夫過程，狀態(tài)空間為{1,2}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=[[p,1-p],[1-p,p]]。則該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布為______。4.一個(gè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=[[0.5,0.5],[0.7,0.3]]。則狀態(tài)1是______態(tài)，狀態(tài)2是______態(tài)。5.設(shè){X(t),t≥0}是一個(gè)維納過程，且Y(t)=X(t)+t，則Y(t)是______過程。三、計(jì)算題（每小題10分，共40分。）1.一個(gè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為{1,2,3}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=[[0,1,0],[0.5,0,0.5],[0,1,0]]。求該馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布。2.設(shè){X(t),t≥0}是一個(gè)參數(shù)為2的泊松過程，求P{X(4)=2|X(2)=1}。3.設(shè){X(t),t≥0}是一個(gè)齊次馬爾可夫過程，狀態(tài)空間為{1,2,3}，轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=[[0.5,0.2,0.3],[0.4,0.3,0.3],[0.2,0.4,0.4]]。判斷該馬爾可夫鏈?zhǔn)欠窬哂衅椒€(wěn)分布，若有，求其平穩(wěn)分布。4.設(shè){X(t),t≥0}是一個(gè)維納過程，求Y(t)=X(t)+t的協(xié)方差函數(shù)。四、證明題（每小題15分，共30分。）1.證明：一個(gè)馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布π滿足πP=π。2.證明：若一個(gè)齊次馬爾可夫過程{X(t),t≥0}的轉(zhuǎn)移概率矩陣P滿足P(x,x)=1對(duì)所有x成立，則{X(t),t≥0}是一個(gè)確定性過程。試卷答案一、選擇題1.A2.A3.A4.A5.A二、填空題1.0.6,0.42.e^(-3)3.[(1-p)/(2-p),p/(2-p)]4.常返，暫態(tài)5.非馬爾可夫三、計(jì)算題1.解：設(shè)平穩(wěn)分布為π=[π1,π2,π3]。由πP=π，得：π1*0+π2*0.5+π3*0=π1π1*1+π2*0+π3*1=π2π1*0+π2*0.5+π3*0=π3且π1+π2+π3=1。解得π=[0,2/3,1/3]。2.解：由泊松過程的獨(dú)立增量性，得：P{X(4)=2|X(2)=1}=P{X(2)=1,X(4)-X(2)=1}/P{X(2)=1}=P{X(2)=1}*P{X(4)-X(2)=1}/P{X(2)=1}=(e^(-2)*2^1/1!)*e^(2*2)/(e^(2*2)*2^2/2!)=2/8=1/4。3.解：計(jì)算轉(zhuǎn)移概率矩陣P的行和，發(fā)現(xiàn)所有行和均不為1，故該馬爾可夫鏈不具有平穩(wěn)分布。4.解：Y(t)=X(t)+t。Cov(Y(t),Y(s))=Cov(X(t),X(s))+Cov(X(t),t)+Cov(t,X(s))+Cov(t,t)=Cov(X(t),X(s))+0+0+0=σ^2*min(t,s)其中σ^2為維納過程的方差。四、證明題1.證明：由平穩(wěn)分布的定義，π是概率分布，滿足πi≥0且Σiπi=1。由馬爾可夫鏈的性質(zhì)，有P(X(n+1)=j|X(n)=i)=ΣkP(X(n+1)=j|X(n)=k)P(X(n)=k|X(n-1)=i)。令n→∞，由于π是平穩(wěn)分布，P(X(n)=k|X(n-1)=i)→πk。故ΣkπkP(X(n+1)=j|X(n)=k)→πj。即πP=π。2.證明：對(duì)任