第第頁第07講分式方程【2大考點10大題型】考點一考點一分式方程【題型1分式方程的概念及其解】（2024·上海·中考真題）下列說法正確的是（）A．分式方程一定有解B．分式方程就是含有分母的方程C．分式方程中，分母中一定含有未知數(shù)D．分母中含有字母的方程叫做分式方程（2024·廣東·中考真題）下列各式中，是分式方程的是（

）A．16x25=1C．x+y4?1（2024·山東德州·中考真題）下列說法正確的是（

）A．5x+13xB．x=1或x=?1是分式方程x+1xC．若分式x2?4x+2的值為0，則D．解分式方程時一定會出現(xiàn)增根（2024·河南安陽·中考真題）請寫出一個解為4的分式方程：．（2024·河南鄭州·中考真題）請寫出一個未知數(shù)是x的分式方程，并且當(dāng)x=1時沒有意義．（2024·湖南衡陽·中考真題）一列方程如下排列：x4+x?1x6+x?2x8+x?3……根據(jù)觀察得到的規(guī)律，寫出其中解是x=2024的方程：．【題型2解分式方程】（2024·山東棗莊·中考真題）對于實數(shù)a、b，定義一種新運(yùn)算“?”為：a?b=1a?b2，這里等式右邊是實數(shù)運(yùn)算．例如：1?3=1A．x=7 B．x=6 C．x=5 D．x=4（2024·貴州畢節(jié)·中考真題）小明解分式方程1x+1解：去分母，得

3=2x?(3x+3)．①去括號，得

3=2x?3x+3．②移項、合并同類項，得

?x=6．③化系數(shù)為1，得

x=?6．④以上步驟中，開始出錯的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④（2024·四川廣元·中考真題）按照如圖所示的流程，若輸出的M=?6，則輸入的m為（

A．3 B．1 C．0 D．-1（2024·江蘇徐州·中考真題）分式方程3x+1=3（2024·浙江杭州·中考真題）一個僅裝有球的不透明布袋里只有6個紅球和n個白球（僅有顏色不同）．若從中任意摸出一個球是紅球的概率為25，則n=（2024·四川內(nèi)江·中考真題）對于非零實數(shù)a，b，規(guī)定a⊕b＝1a?1b，若（2x﹣1）⊕2＝1，則（2024·山東威海·中考真題）按照如圖所示的程序計算，若輸出y的值是2，則輸入x的值是．（2024·四川瀘州·中考真題）若方程x?3x?2+1=32?x的解使關(guān)于x的不等式2?ax?3>0【題型3分式方程的無解問題】（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若關(guān)于x的方程mx?1x?1=3無解，則m的值為（A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3（2024·廣西賀州·中考真題）若關(guān)于x的分式方程m+4x?3=3xx?3+2A．2 B．3 C．4 D．5（2024·山東濰坊·中考真題）當(dāng)m=時，解分式方程x?5x?3（2024·山東濟(jì)寧·中考真題）人教版教科書對分式方程驗根的歸納如下：“解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母為0，因此應(yīng)如下檢驗：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解．”請你根據(jù)對這段話的理解，解決下面問題：已知關(guān)于x的方程m?1x?1（1）求m和k的值；（2）求方程x2【題型4由分式方程的解求字母的取值范圍】（2024·四川甘孜·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程2x+mx?2＝3的解是x＝3，則mA．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）若關(guān)于x的分式方程2x?1=mx有正整數(shù)解，則整數(shù)A．3 B．5 C．3或5 D．3或4（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如果關(guān)于x的分式方程2x?mx+1=1的解是負(fù)數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（A．m<?1 B．m>?1且m≠0 C．m>?1 D．m<?1且m≠?2（2024·湖北荊門·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程2x+3x?2=k(x?2)(x+3)+2的解滿足?4<x<?1，且kA．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．零 D．無法確定（2024·重慶·中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式組{3x?2≥2(x+2)a?2x<?5的解集為x≥6，且關(guān)于y的分式方程y+2ay?1+3y?8A．5 B．8 C．12 D．15（2024·四川眉山·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程xx?3?2=kx?3有一個正數(shù)解，則考點二考點二分式方程的應(yīng)用的【題型5列方程方程】（2024·甘肅白銀·中考真題）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50臺機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機(jī)器所需時間與原計劃生產(chǎn)450臺機(jī)器所需時間相同，若設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)機(jī)器x臺，根據(jù)題意可列分式方程為（

）A．450x=600C．450x?50=600（2024·甘肅臨夏·中考真題）端午節(jié)期間，某商家推出“優(yōu)惠酬賓”活動，決定每袋粽子降價2元銷售．細(xì)心的小夏發(fā)現(xiàn)，降價后用240元可以比降價前多購買10袋，求：每袋粽子的原價是多少元？設(shè)每袋粽子的原價是x元，所得方程正確的是（

）A．240x?240C．240x?2?240（2024·四川·中考真題）近年來，我市大力發(fā)展交通，建成多條快速通道，小張開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線a為全程10千米的普通道路，路線b包含快速通道，全程7千米，走路線b比路線a平均速度提高40%，時間節(jié)省10分鐘，求走路線a和路線b的平均速度分別是多少？設(shè)走路線a的平均速度為xA．10x?7C．71+40%x（2024·山東淄博·中考真題）為扎實推進(jìn)“五育”并舉工作，加強(qiáng)勞動教育，某校投入2萬元購進(jìn)了一批勞動工具．開展課后服務(wù)后，學(xué)生的勞動實踐需求明顯增強(qiáng)，需再次采購一批相同的勞動工具，已知采購數(shù)量與第一次相同，但采購單價比第一次降低10元，總費用降低了15%．設(shè)第二次采購單價為x元，則下列方程中正確的是（

）A．20000B．20000C．20000D．20000（2024·黑龍江綏化·中考真題）甲、乙兩輛汽車同時從A地出發(fā)，開往相距200km的B地，甲、乙兩車的速度之比是4:5，結(jié)果乙車比甲車早30分鐘到達(dá)B地，則甲車的速度為km/h．（2024·江西·中考真題）斑馬線前“車讓人”，不僅體現(xiàn)著一座城市對生命的尊重，也直接反映著城市的文明程度．如圖，某路口的斑馬線路段A?B?C橫穿雙向行駛車道，其中AB=BC=6米，在綠燈亮?xí)r，小明共用11秒通過AC，其中通過BC的速度是通過AB速度的1.2倍，求小明通過AB時的速度．設(shè)小明通過AB時的速度是x米/秒，根據(jù)題意列方程得：．（2024·山東青島·中考真題）為落實青島市中小學(xué)生“十個一”行動計劃，學(xué)校舉辦以“強(qiáng)體質(zhì)，煉意志”為主題的體育節(jié)，小亮報名參加3000米比賽項目，經(jīng)過一段時間訓(xùn)練后，比賽時小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%，少用3分鐘跑完全程．設(shè)小亮訓(xùn)練前的平均速度為x米/分，那么x滿足的分式方程為．（2024·遼寧鞍山·中考真題）習(xí)近平總書記指出，中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”．為了大力弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校決定開展名著閱讀活動．用3600元購買“四大名著”若干套后，發(fā)現(xiàn)這批圖書滿足不了學(xué)生的閱讀需求，圖書管理員在購買第二批時正趕上圖書城八折銷售該套書，于是用2400元購買的套數(shù)只比第一批少4套．設(shè)第一批購買的“四大名著”每套的價格為x元，則符合題意的方程是．【題型6分式方程的行程問題】（2024·山東·中考真題）某校組織學(xué)生去郭永懷紀(jì)念館進(jìn)行研學(xué)活動．紀(jì)念館距學(xué)校72千米，部分學(xué)生乘坐大型客車先行，出發(fā)12分鐘后，另一部分學(xué)生乘坐小型客車前往，結(jié)果同時到達(dá)．已知小型客車的速度是大型客車速度的1.2倍，求大型客車的速度．（2024·四川自貢·中考真題）學(xué)校師生去距學(xué)校45千米的吳玉章故居開展研學(xué)活動，騎行愛好者張老師騎自行車先行2小時后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果同時到達(dá)；已知汽車速度是自行車速度的3倍，求張老師騎車的速度．（2024·四川樂山·中考真題）第十四屆四川省運(yùn)動會定于2022年8月8日在樂山市舉辦，為保證省運(yùn)會期間各場館用電設(shè)施的正常運(yùn)行，市供電局為此進(jìn)行了電力搶修演練．現(xiàn)抽調(diào)區(qū)縣電力維修工人到20千米遠(yuǎn)的市體育館進(jìn)行電力搶修．維修工人騎摩托車先行出發(fā)，10分鐘后，搶修車裝載完所需材料再出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)體育館，已知搶修車是摩托車速度的1.5倍，求摩托車的速度．（2024·重慶·中考真題）在全民健身運(yùn)動中，騎行運(yùn)動頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時恰好追上乙，求甲騎行的速度；(2)若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時到達(dá)B地，求甲騎行的速度．【題型7分式方程的工程問題】（2024·廣西玉林·中考真題）南寧至玉林高速鐵路已于去年開工建設(shè)，玉林輛隧道是全線控制性隧道，首期打通共有土石方總量600千立方米，總需要時間y天，且完成首期工程限定時間不超過600天．設(shè)每天打通土石方x千立方米．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；（2）由于工程進(jìn)度的需要，實際平均每天挖掘土石方比原計劃多0.2千立方米，工期比原計劃提前了100天完成，求實際挖掘了多少天才能完成首期工程？（2024·山東泰安·中考真題）一項工程，甲，乙兩公司合做，12天可以完成，共需付施工費102000元；如果甲，乙兩公司單獨完成此項工程，乙公司所用時間是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工費比甲公司每天的施工費少1500元．（1）甲，乙兩公司單獨完成此項工程，各需多少天？（2）若讓一個公司單獨完成這項工程，哪個公司的施工費較少？（2024·貴州黔東南·中考真題）某校為了在九月份迎接高一年級的新生，決定將學(xué)生公寓樓重新裝修，現(xiàn)學(xué)校招用了甲、乙兩個工程隊．若兩隊合作，8天就可以完成該項工程；若由甲隊先單獨做3天后，剩余部分由乙隊單獨做需要18天才能完成．（1）求甲、乙兩隊工作效率分別是多少？（2）甲隊每天工資3000元，乙隊每天工資1400元，學(xué)校要求在12天內(nèi)將學(xué)生公寓樓裝修完成，若完成該工程甲隊工作m天，乙隊工作n天，求學(xué)校需支付的總工資w（元）與甲隊工作天數(shù)m（天）的函數(shù)關(guān)系式，并求出m的取值范圍及w的最小值．（2024·遼寧丹東·中考真題）進(jìn)入防汛期后，某地對河堤進(jìn)行了加固．該地駐軍在河堤加固的工程中出色完成了任務(wù)．這是記者與駐軍工程指揮官的一段對話∶通過這段對話，請你求出該地駐軍原來每天加固的米數(shù)．（2024·江蘇淮安·中考真題）玉樹地震后，有一段公路急需搶修．此項工程原計劃由甲工程隊獨立完成，需要20天．在甲工程隊施工4天后，為了加快工程進(jìn)度，又調(diào)來乙工程隊與甲工程隊共同施工，結(jié)果比原計劃提前10天，為抗震救災(zāi)贏得了寶貴時間．求乙工程隊獨立完成這項工程需要多少天．（2024·遼寧阜新·中考真題）為落實“數(shù)字中國”的建設(shè)工作，市政府計劃對全市中小學(xué)多媒體教室進(jìn)行安裝改造，現(xiàn)安排兩個安裝公司共同完成．已知甲公司安裝工效是乙公司安裝工效的1.5倍，乙公司安裝36間教室比甲公司安裝同樣數(shù)量的教室多用3天．（1）求甲、乙兩個公司每天各安裝多少間教室？（2）已知甲公司安裝費每天1000元，乙公司安裝費每天500元，現(xiàn)需安裝教室120間，若想盡快完成安裝工作且安裝總費用不超過18000元，則最多安排甲公司工作多少天？【題型8分式方程的經(jīng)濟(jì)問題】（2024·江蘇宿遷·中考真題）某商店購進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品，已知紀(jì)念品A的單價比紀(jì)念品B的單價高10元．用600元購進(jìn)紀(jì)念品A的數(shù)量和用400元購進(jìn)紀(jì)念品B的數(shù)量相同．(1)求紀(jì)念品A、B的單價分別是多少元？(2)商店計劃購買紀(jì)念品A、B共400件，且紀(jì)念品A的數(shù)量不少于紀(jì)念品B數(shù)量的2倍，若總費用不超過11000元，如何購買這兩種紀(jì)念品使總費用最少？（2024·遼寧阜新·中考真題）為了進(jìn)一步豐富校園文體活動，某中學(xué)準(zhǔn)備一次性購買若干個足球和排球，用480元購買足球的數(shù)量和用390元購買排球的數(shù)量相同，已知足球的單價比排球的單價多15元．(1)求：足球和排球的單價各是多少元？(2)根據(jù)學(xué)校實際情況，需一次性購買足球和排球共100個，但要求其總費用不超過7550元，那么學(xué)校最多可以購買多少個足球？（2024·黑龍江·中考真題）2023年5月30日上午9點31分，神舟十六號載人飛船在酒泉發(fā)射中心發(fā)射升空，某中學(xué)組織畢業(yè)班的同學(xué)到當(dāng)?shù)仉娨暸_演播大廳觀看現(xiàn)場直播，學(xué)校準(zhǔn)備為同學(xué)們購進(jìn)A，B兩款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元購進(jìn)A款和用400元購進(jìn)B款的文化衫的數(shù)量相同．(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？(2)已知畢業(yè)班的同學(xué)一共有300人，學(xué)校計劃用不多于14800元，不少于14750元購買文化衫，求有幾種購買方案？(3)在實際購買時，由于數(shù)量較多，商家讓利銷售，A款七折優(yōu)惠，B款每件讓利m元，采購人員發(fā)現(xiàn)（2）中的所有購買方案所需資金恰好相同，試求m值．（2024·遼寧錦州·中考真題）2023年5月15日，遼寧男籃取得第三次CBA總冠軍，遼籃運(yùn)動員的拼搏精神感染了眾多球迷．某校籃球社團(tuán)人數(shù)迅增，急需購進(jìn)A，B兩種品牌籃球，已知A品牌籃球單價比B品牌籃球單價的2倍少48元，采購相同數(shù)量的A，B兩種品牌籃球，分別需要花費9600元和7200元．求A，B兩種品牌籃球的單價分別是多少元？（2024·山東濟(jì)南·中考真題）某校開設(shè)智能機(jī)器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號的機(jī)器人模型．A型機(jī)器人模型單價比B型機(jī)器人模型單價多200元，用2000元購買A型機(jī)器人模型和用1200元購買B型機(jī)器人模型的數(shù)量相同．(1)求A型，B型機(jī)器人模型的單價分別是多少元?(2)學(xué)校準(zhǔn)備再次購買A型和B型機(jī)器人模型共40臺，購買B型機(jī)器人模型不超過A型機(jī)器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號機(jī)器人模型均打八折的優(yōu)惠．問購買A型和B型機(jī)器人模型各多少臺時花費最少?最少花費是多少元?（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）某商場欲購進(jìn)A和B兩種家電，已知B種家電的進(jìn)價比A種家電的進(jìn)價每件多100元，經(jīng)計算，用1萬元購進(jìn)A種家電的件數(shù)與用1.2萬元購進(jìn)B種家電的件數(shù)相同．請解答下列問題：(1)這兩種家電每件的進(jìn)價分別是多少元？(2)若該商場欲購進(jìn)兩種家電共100件，總金額不超過53500元，且A種家電不超過67件，則該商場有哪幾種購買方案？(3)在（2）的條件下，若A和B兩種家電的售價分別是每件600元和750元，該商場從這100件中拿出兩種家電共10件獎勵優(yōu)秀員工，其余家電全部售出后仍獲利5050元，請直接寫出這10件家電中B種家電的件數(shù)．（2024·湖北荊州·中考真題）荊州古城旁“荊街”某商鋪打算購進(jìn)A，B兩種文創(chuàng)飾品對游客銷售．已知1400元采購A種的件數(shù)是630元采購B種件數(shù)的2倍，A種的進(jìn)價比B種的進(jìn)價每件多1元，兩種飾品的售價均為每件15元；計劃采購這兩種飾品共600件，采購B種的件數(shù)不低于390件，不超過A種件數(shù)的4倍．(1)求A，B飾品每件的進(jìn)價分別為多少元？(2)若采購這兩種飾品只有一種情況可優(yōu)惠，即一次性采購A種超過150件時，A種超過的部分按進(jìn)價打6折．設(shè)購進(jìn)A種飾品x件，①求x的取值范圍；②設(shè)計能讓這次采購的飾品獲利最大的方案，并求出最大利潤．【題型9分式方程的和差倍分問題】（2024·重慶·中考真題）“垃圾可變寶，分類更環(huán)?！保倚榉e極響應(yīng)有關(guān)垃圾分類的號召，從新世紀(jì)百貨購進(jìn)了A，B兩種品牌的垃圾桶作為“可回收垃圾桶”和“其他垃圾桶”．已知每個B品牌垃圾桶比每個A品牌垃圾桶貴25%，用4000元購買A品牌垃圾桶的數(shù)量比用3200元購買B(1)求購買一個A品牌、一個B品牌的垃圾桶各需多少元？(2)若我校購進(jìn)的B品牌垃圾桶的數(shù)量比A品牌垃圾桶的數(shù)量的12還多10個，且總費用不超過4465元，那么我校最多可購買多少個A（2024·吉林長春·中考真題）為建國70周年獻(xiàn)禮，某燈具廠計劃加工9000套彩燈，為盡快完成任務(wù)，實際每天加工彩燈的數(shù)量是原計劃的1.2倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)．求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量．（2024·四川自貢·中考真題）為傳承我國傳統(tǒng)節(jié)日文化，端午節(jié)前夕，某校組織了包粽子活動．已知七（3）班甲組同學(xué)平均每小時比乙組多包20個粽子，甲組包150個粽子所用的時間與乙組包120個粽子所用的時間相同．求甲，乙兩組同學(xué)平均每小時各包多少個粽子．（2024·河南·中考真題）近日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版），將勞動從原來的綜合實踐活動課程中獨立出來．某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗農(nóng)耕勞動，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動．據(jù)了解，市場上每捆A種菜苗的價格是菜苗基地的54倍，用300元在市場上購買的A(1)求菜苗基地每捆A種菜苗的價格．(2)菜苗基地每捆B種菜苗的價格是30元．學(xué)校決定在菜苗基地購買A，B兩種菜苗共100捆，且A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù)．菜苗基地為支持該?；顒?，對A，B兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠．求本次購買最少花費多少錢．（2024·山西·中考真題）太原武宿國際機(jī)場簡稱“太原機(jī)場”，是山西省開通的首條定期國際客運(yùn)航線．游客從太原某景區(qū)乘車到太原機(jī)場，有兩條路線可供選擇，路線一：走迎賓路經(jīng)太輸路全程是25千米，但交通比較擁堵；路線二：走太原環(huán)城高速全程是30千米，平均速度是路線一的53（2024·廣東·中考真題）甲、乙兩個工程隊均參與某筑路工程，先由甲隊筑路60公里，再由乙隊完成剩下的筑路工程，已知乙隊筑路總公里數(shù)是甲隊筑路總公里數(shù)的43（1）求乙隊筑路的總公里數(shù)；（2）若甲、乙兩隊平均每天筑路公里數(shù)之比為