第4講機械能守恒定律

如圖甲,

甲

情

境彈跳鞋是一種新型體育用品鞋，其底部裝有彈簧。使用時人對彈簧施加壓力，使彈簧形

導(dǎo)

思變后產(chǎn)生豎直向上的彈力，將人向上彈離地面。某次上升過程中人的動能心隨重心上

升高度h變化的圖像如圖乙所示，上升高度為加時動能達到最大值，圖中生?加段為

直線，其余部分為曲線，已知彈簧始終處于彈性限度內(nèi),空氣阻力忽略不計。

（1）人的加速度達到最大值時人的重心高度在哪一位置?

（2）彈跳鞋離開地面時人的重心高度和哪一位置？

（3）整個上升過程中,人的機械能是怎樣變化的?

?國小題試做

1.（多選）如圖所示，攻防箭是一項人們很喜愛的團體活動。若將質(zhì)量為，〃的箭（可視為質(zhì)點）從

地面（初始高度可忽略）以與水平方向成某一角度斜向上射出，初速度為￡0,最高點離地高“，不

計一切阻力，取地面為零勢能參考平面，下列說法正確的是（）

[A]箭在最局點的機械能為mgH

[B]箭在最高點的機械能為》也（）2

[C]箭剛要落地時的速度與拋出時速度相同

[D]筋剛要落地時的機械能大于〃

【答案】BD

2.如圖所示，質(zhì)量為〃?的木塊放在光滑的水平桌面上，用輕繩繞過桌邊的定滑輪與質(zhì)量為必的

祛碼相連，已知時=3〃八讓純拉直后使祛碼從靜止開始下降。若祛碼底部與地面的距離為隊祛

碼剛接觸地面時木塊仍沒離開桌面，此時木塊的速率為（）

畫知識構(gòu)建

—物體運動時，重力對它做的功只跟它的起點

重力做功"和終點的位置有關(guān)，而跟物體運動的路徑無關(guān)

的特點L重力做功不引起物體的變化

—（表達式）~氏=

r-系統(tǒng)性：重力勢能是物體和地球所共有的

相對性:重力勢能的大小與參考平面的選

匚取，但重力勢能的變化量與參考平

面的選取

機定性重力對物體做正功,重力勢能；

關(guān)系重力對物體做負功，重力勢能

能

定量重力對物體做的功等于物體重力勢

守

關(guān)系能的量，即％=%-紇產(chǎn)-AE,

恒

定發(fā)生的物體的各部分之間，由于有

彈

律彈力的相互作用而具有的勢能

性

勢AE,與乙彈力做正功，彈性勢能;彈力做負功，彈

能的關(guān)系性勢能。定垃衣達式為n=-AE,

在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，與

機—4LrJh-.

'-------）可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機械能

械

能表達式）~mg兒+jmv^mghj+jmvt2

守

恒系統(tǒng)只受重力或彈簧彈力的作用，不受其他

外力

定

律守恒―系統(tǒng)除受重力或彈簧彈力作用外，還受其他

條件"一內(nèi)力和外力，但這些力對系統(tǒng)

系統(tǒng)內(nèi)除重力或彈簧彈力做功外,還有其

匚他內(nèi)力和外力做功,但這些力做功的代數(shù)

和______

[A]而誦

[C]河[D]|歷

【答案】A

【答案】機械能mgh有關(guān)無關(guān)減少增加減少彈性形變減少增加動

能勢能保持不變不做功為零

考點一對機械能守恒的理解與判斷

判斷機械能守恒的三種方法

［例1］【對機械能守怛的理解與判斷】（多選）有以卜物理過程:圖甲為跳傘運動員勻速卜

落;圖乙為地面上放置一固定斜面B,物塊A從B上勻速卜.滑;圖丙為物體A壓縮彈簧的過

程;圖丁為不計任何阻力和定滑輪與繩子質(zhì)量，物體A加速下落，物體B加速上升過程。關(guān)

于這幾個物理過程，下列判斷正確的是（)

甲

X

丙T

［A］圖甲所示過程中跳傘運動員的機械能不守恒

［B］圖乙所示過程中物塊A的機械能守恒

［C］圖內(nèi)所示過程中物體A的機械能守恒

［D］圖丁所示過程中物體A、B組成的系統(tǒng)機械能守恒

【答案】AD

［A］在A點具有的重力勢能為〃唱H

［B］在坑底具有的重力勢能為〃?加

［C］在坑底具有的機械能為機冢”+方）

［D］從4點落到坑底的過程中，重力勢能減少量為〃唱（〃+〃）

【答案】AD

【解析】以地面為零勢能面，蘋果在/點具有的重力勢能為,叫，，在坑底具有的重力勢能

為-mgh,故A正確,B錯誤;蘋果下落過程只有重力做功，滿足機械能守恒定律，則蘋果在坑

底具有的機械能為故C錯誤;從4點落到坑底的過程中，重力做功為%=〃?g（H+機該

過程重力勢能減少量為陽故D正確。

［例3］【單物體在多過程中的機械能守恒】（2025?北京海淀區(qū)階段檢測）如圖所示，豎直.

平面內(nèi)的四分之三圓弧形光滑管道半徑略大于小球半徑，管道中心到圓心距離為火M端與

圓心O等高,/1。為水平面上端在O的正下方,小球自A點正上方由靜止釋放，自由下落至

A點時進入管道。

⑴如果管道與小球接觸的內(nèi)側(cè)壁（圖中較小的四分之三圓周）始終對小球沒有彈力，小球

釋放點距離力點的最小高度為多大？

⑵如果小球到達B點時,管壁對小球的彈力大小為小球重力大小的9倍。求：

①小球運動到管道最高點E時對管道的彈力；

②落點C與力的水平距離。

【答案】（l）L5R

⑵①3〃?g,方向豎直向上

②（2g）R

【解析】（1）如果管道與小球接觸的內(nèi)側(cè)壁始終對小球沒有彈力，則小球到達最高點時的

最小速度滿足mg=nr-

Ry

以水平面AD為參考平面，從開始下落到到達管道的最高點，由機械能守恒定律有

mgh,\=mgR+^m\>2,

解得力A=L5A,

則小球釋放點距離A點的最小高度為1.5M

(2)①在B點，管壁對小球的彈力F=9mg,

小球做圓周運動，由牛頓第二定律得

小球從8點到到達管道最高點E的過程中，以8所在水平而為參考平面，由機械能守恒定

律得

22

^mvB=mgx2R+^mvE,

在￡點由牛頓第二定律得

F+mg=m^-,

n

聯(lián)立解得尸=3〃g

根據(jù)牛頓第三定律可知小球運動到管道最高點￡時對管道的彈力為3〃?g.方向豎直向上。

②小球離開管道后做平拋運動，

在豎直方向上有R女尸,

在水平方向上有X=Vf/,

解得x=2y/2R,

則落點C與A的水平距離為(2近-1)心

考點三多物體系統(tǒng)的機械能守恒問題

幾種實際情境的分析

多物體

常見情境模型特點

系統(tǒng)類型

(1)兩物體沿繩方向的分速度

大小相等。

輕繩連(2)對于單個物體，一般純上

接的系統(tǒng)的力會做功，機械能不守恒，

但對于繩連接的系統(tǒng)，機械

能可能守恒

輕桿連(1)平動時兩物體的線速度相

接的系統(tǒng)等，轉(zhuǎn)動時兩物體的角速度

相等。

(2)桿對物體的作用力并不總

是沿桿的方向，桿能對物體

做功,單個物體機械能不守

恒。

(3)對于桿和物體組成的系

統(tǒng)，若忽略空氣阻力和各種

摩擦且沒有其他力對系統(tǒng)做

功,則系統(tǒng)的機械能守恒

[例4]【輕繩連接的系統(tǒng)】(2025?廣東惠州期末)阿特伍德機是英國科學(xué)家阿特伍德發(fā)明

的著名力學(xué)實驗裝置，如圖所示為阿特伍德機的簡化示意圖。質(zhì)量均為M的兩個重物A、

B通過輕繩跨過光滑輕滑輪，保持靜止狀態(tài)。現(xiàn)將質(zhì)量為的小物塊C輕放在A上，讓裝

置動起來,從開始運動到A和C下落高度h過程中，重力加速度為g,下列說法正確的是

()

Cd

AnB

[A]A和B構(gòu)成的系統(tǒng)機械能守恒

[B]A和C向下運動的加速度大小為不篙

[C]輕繩的彈力大小為6=喘竽

[D]A的末速度大小為v=聆gh

【答案】B

[解析】物塊C對A和B構(gòu)成的系統(tǒng)做功，所以A和B構(gòu)成的系統(tǒng)機械能不守恒,A錯

誤;對A、B、C系統(tǒng)，根據(jù)牛頓第二定律得〃嗚=(2M+/〃)凡解得。噌上,B正確;對B根據(jù)牛

頓第二定律得F「Mg=Ma,解得尸T=2M,+m)g,c錯誤;根據(jù)機械能守恒定律導(dǎo)

ZM+)n

〃?g/?W(2A/+〃?)y2,解得錯誤。

［例5］【輕桿連接的系統(tǒng)】（2025?江蘇南通開學(xué)考試）如圖所示，在豎直平面內(nèi)有光滑物道

48co，其中AB是豎直軌道是水平軌道與BC相切于B點方。與CD相切于C點。

一根長為2R的輕桿兩端分別固定著兩個質(zhì)量均為m的相同小球P、Q（視為質(zhì)點），將輕桿

鎖定在圖示位置，并使Q與B等高?，F(xiàn)解除鎖定釋放輕桿，輕桿將沿軌道卜滑，重力加速度

為g。求：

（1）P球到達C點時的速度大??；

（2）P球到達B點時的速度大小。

【答案】（1）2歷（2a誓

（解析】（1）P球到達C點時由機械能守恒定律得mgR+3mgR=^2rnv2,

解得v=2廊。

⑵如圖所示，設(shè)當(dāng)P球到達8點時桿與水平面的夾角為仇則有sin仇吟三,

解得<9=30。；

當(dāng)P球到達8點時，由于兩球在沿桿方向的分速度大小相等，則有VQCOS30°=VPCOS60°,

P、Q系統(tǒng)機械能守恒，則有

解得Q翌

課時作業(yè)

（滿分:60分）

國基礎(chǔ)對點練

對點I.對機械能守恒的理解與判斷

1.（4分）（2024?山西太原模擬）籃球運動是深受學(xué)生喜愛的一項體育運動。某同學(xué)練習(xí)投籃,

籃球在空中的運動軌跡如圖中虛線所示。若不計空氣阻力，下列關(guān)于籃球在空中運動時的

速度大小匕加速度大小出動能員和機械能￡隨運動時間，的變化關(guān)系，可能正確的是（）

[C][D]

【答案】C

【解析】籃球運動過程中僅受重力，豎直方向做勻變速直線運動，水平方向做勻速直線運

動,則其合速度隨時間一定不會是均勻變化的，故A錯誤;運動過程中,只有重力作用，加速

度一直為重力加速度且機械能守恒，故B、D錯誤;豎直方向做勻變速直線運動，有〃=M1-氐產(chǎn),

其運動過程中，只有重力做功,則某時刻慟能

4=反0-〃*〃=&0-〃嗚（壞/一如2尸&0+1爐產(chǎn)-〃唁1，",其中￡k0為初動能，力為初始豎直方向速度，

由此可知,耳-/圖線應(yīng)是開口向上的拋物線，故C正確。

對點2.單物體的機械能守恒問題

2.（6分）（多選）從地面豎直向上拋出一物體，取地面為零勢能參考平面，該物體的反和師隨

上升高度〃的變化如圖所示。重力加速度g取lOm/s?,由圖中數(shù)據(jù)可得（）

E/J

[A]物體的質(zhì)量為2kg

[B]h=2m時，物體的動能Ek=50J

[C]6=0時，物體的速度大小為4而m/s

[D]物體的速度大小為20m/s時,距地面的高度力=2m

【答案】BC

【解析】由題圖可知，上升的最大高度為4m,由重力勢能公式品=”九可得〃1=2.5kg,

A錯誤;由題圖可知h=2m時,物體的動能&=50J,根據(jù)￡|<="里可得物體的速度大小為

v=2V10m/s,B正確,D錯誤;〃=0時，物體的速度大小為v,=4y/5m/s,C正確。

3.（4分）（2024?江蘇鎮(zhèn)江階段檢測）細長輕繩下端拴一小球，在懸掛點正下方捌長處有一個

釘子A,如圖所示?，F(xiàn)將單擺向左拉開某一個角度然后無初速度釋放。在輕繩運動到豎

直位置與釘子碰撞后的瞬間，繩子上的力的大小突變?yōu)樵瓉淼?，倍，不考慮運動的阻力及碰

撞過程的能量損失,以下關(guān)于角度。的數(shù)值正確的是（）

[A]300[B]37[C]450[D]60°

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，設(shè)擺長為"小球質(zhì)量為〃7,小球接到最低點瞬間速度為匕小球從最高

點擺到最低點過程中，機械能守恒，則有，"M（l-cosa）弓陽彼,設(shè)小球擺到最低點時，繩子拉力

為￡則與釘子碰撞后的瞬間繩子拉力為|凡由牛頓第二定律，在最低點與釘子碰掛前有

在最低點與釘子碰撞后有■，聯(lián)立解得a=60。,故選D。

4.（4分）（2024?全國甲卷,17）如圖，一光滑大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量為小的小環(huán)套在大

圓環(huán)上，小環(huán)從靜止開始曰大圓環(huán)頂端經(jīng)。點自由下滑至其底部為豎直線與大圓環(huán)的

切點。則小環(huán)下滑過程中對大圓環(huán)的作用力大?。ǎ?/p>

[A]在。點最大[B]在。點最小

[C]先減小后增大[D]先增大后減小

【答案】C

【解析】設(shè)大圓環(huán)半徑為R,小環(huán)所在位置與圓心的連線和豎直方向夾角為仇大圓環(huán)對小

環(huán)的作用力剛好為零時，受力分析如圖所示，由牛頓第二定律得加geos0=m三根據(jù)動能定理

得2（1-cos聯(lián)立解得cosT，故小環(huán)運動到°點時對大圓環(huán)的作用力不足最

小,B錯誤;設(shè)大圓環(huán)對小環(huán)的作用力大小為￡大圓環(huán)對小環(huán)的作用力剛好為零時小環(huán)處于

2

A點，到達A點前，由牛頓第二定律得/〃geos0\~F\=nr^-,根據(jù)動能定理得mgR（1-cos

r\

仇）聯(lián)立解得曰=（3cos0r2）mg,0\增大尸i減小;從A點到Q點，由牛頓第二定律有

nigcos02+B=，〃字，根據(jù)動能定理有nigR（1-cos幻畤，憶2,聯(lián)立解得B=（2-3cos（）2）nig/）2增

nL

大尸2增大;從。點到最低點、的過程中，由牛頓第二定律有尸3FgCOS仇=〃?塔,根據(jù)動能定理

有wg/?（l+cos。3）=!加力2,軼立解得￡=（2+3cos&）〃7g,夕3減小增大，根據(jù)牛頓第三定律可

知,。點不是小環(huán)對大圓環(huán)作用力最大的點，小環(huán)自頂端下滑至底部過程中對大圓環(huán)的作

用力先減小后增大,C正確,A、D錯誤。

對點3.多物體系統(tǒng)的機械能守恒問題

5.（4分）（2025?山東濟南開學(xué)考試）如圖所示，物塊A用不可伸長的輕繩繞過輕質(zhì)光滑定滑

輪與置于光滑水平面上的物塊B連接，物塊A、B的質(zhì)量均為凡施加外力使物塊A、B保

持靜止，此時輕繩恰好處子伸直狀態(tài)。某時刻撤去外力，兩物塊同時由靜止開始運動,當(dāng)物塊

AF落高度為h時，其加速度大小為方向豎直向下，此時連接物塊B的輕繩與水平方向

的夾角為名整個過程物塊B始終未離開水平面，已知重力加速度為g。當(dāng)物塊A下落高度

為力時，下列說法正確的是（）

［A］物塊B的加速度大小為高

［B］物塊B的加速度大小為（g+a）cos。

［C］物塊A的速度大小為序?

［D］物塊A的速度大小為J需蛾

【答案】D

【解析】對物塊A,根據(jù)牛頓第二定律有機g-尸r=〃M對物塊B,根據(jù)牛頓第二定律有FTCOS

心〃?即,解得“B=（g-a）cos8,故A、B錯誤;對物塊A和B整體，根據(jù)機械能守恒定彳粉

/煙/《加叫干+）巧^物塊A和B的速度有VA=VBCOS。，聯(lián)立解得VA=J^^4^，故C錯誤,D

正確。

6.（4分）（2024?湖南長沙模擬）一根長為2的輕桿04。端用錢鏈固定在地面上，另一端固定

一質(zhì)量為〃】的小球A,輕桿靠在高〃［、質(zhì)量為M=4m的物塊B上,開始時輕桿處于豎直

狀態(tài)，受到輕微擾動,輕桿開始順時針轉(zhuǎn)動，推動物塊B沿地面向右滑至圖示位置（桿與地面

夾角為火》,若不計一切摩擦,重力加速度為名則此時小球A的線速度大小為（）

D

聞廊網(wǎng)商

?麻P］廊

【答案】B

【解析】小球A順時針轉(zhuǎn)動，物塊B向右運動，如圖所示，根據(jù)運動的分解有vi=VBsin。，由

7.(14分)(2025?重慶渝中階段檢測)如圖所示，質(zhì)量為〃?的帶孔物塊A穿在豎直固定的細桿

上，不可伸長的輕質(zhì)柔軟細繩?端連接物塊A,另?端跨過輕質(zhì)定滑輪連接質(zhì)量為2〃?的物

塊B.已知東滑輪到細桿的距離為“細繩的總長度為2￡,現(xiàn)將系統(tǒng)從A與滑輪等高的位曾

由靜止釋放，已知重力加速度為g,忽略一切阻力，定滑輪大小不計,兩物塊均可視為質(zhì)點，求:

□3=；-L-

A-----------n

I向

(1)從系統(tǒng)開始釋放到A下落上過程中，物塊B的重力勢能增加量；

⑵物塊A下落的最大距離小

【答案】(1)2(畬-(2*>

【解析】(1)設(shè)物塊A下落￡時，物塊B上升的高度為〃，由幾何關(guān)系有

/?=VL2+L2-L,

物塊B重力勢能的增加量

A￡P(guān)B=2(V2-1)nigL。

(2)物塊A下落距離最大時,A、B速度為零，對A、B組成的系統(tǒng),由機械能守恒定律有

nigd=2mg(y/L2+d2~L),

國綜合提升練

8.（4分）（2024?廣西二模）如圖所示，一輕桿通過錢鏈連接在固定轉(zhuǎn)軸Oi上，可繞。釉自由

轉(zhuǎn)動，輕桿另一端與一質(zhì)量未知的小球A連接。一輕繩繞過輕質(zhì)定滑輪Q,一端連接小球

A,另一端連接一帶掛鉤、質(zhì)量為的物塊B,已知。與Q等高,圖中仇=60?！?=30。,此時

小球A與物塊B恰好靜止。