2026年中考數(shù)學：四邊形專題訓練

一.選擇題（共8小題）

1.（2025?浙江模擬）已知一個菱形的周長是20,面積是24,則該菱形的兩條對角線的長度之和為（）

A.7B.4V5C.14D.875

2.（2025?五華區(qū)校級模擬）如果一個正多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，那么這個正多邊形的邊數(shù)

為（）

A.7B.8C.9D.10

3.（2025?天元區(qū)校級模擬）如圖，RtA/l?C^RtADC/?,其中NABC=90°,A8=3,BC=4,O為

8C中點，月產(chǎn)過點交AC、BD于效E、F,連接BE、CF,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.四邊形BEC廠為平行四邊形

B.當B尸=3.5時，四邊形BECF為矩形

C.當8尸=2.5時，四邊形BEC/為菱形

D.四邊形8ECF不可能為正方形

4.（2025?織金縣模擬）如圖，在菱形A8CO中，對角線AC與8。相交于點O,OELAB垂足為E,

若NBCD=50°,則N40E的大小為（）

A.24度B.25度C.40度D.65度

5.（2025?南岸區(qū)校級二模）如圖，在正方形44co中，點E在對角線AC上，連接8E,過點￡作

8七的垂線交CO于點F,交8c的延長線于點G,若點產(chǎn)是￡G的中點，AB=3,則￡G的長度為

A.4B.5C.2V5

6.（2025?重慶模擬）如圖，在正方形A8CO中，點石為A/3上的一點，且8￡=4人8=1,連接QE,

過點4作BELOE交DE延長線于點凡連接4F,則線段A廠的長度為（）

7.（2025?椒江區(qū)校級模擬）如圖，已知矩形ABC。，AD=2AB,射線8P與邊A。交于點P,過點A,

C,。分別作射線8P的垂線，垂足分別為H、C、D',設(shè)加=A/V+CC+OZ7,若A8=l,則加的

8.（2025?鐵東區(qū)校級模擬）如圖，正方形A8CD中，AB=4,點E,尸分別為邊A。，C。上一點，

且滿足AE=/）F,AF,BE相交于點G.連接B凡點，為"的中點，連接G”,則（7〃+異尸的

最小值是（）

A.3B.4C.4V5D.2遙

二.填空題（共8小題）

9.（2025?子洲縣二模）如圖，在正五邊形ABCDE中，延長AE,CD交于點F,則/b的度數(shù)

10.（2025?從江縣校級二模）如圖，正方形A3CQ的邊長為4,點￡是CQ的中點，A尸平分N84E

交BC于點、F,則CF的長為.

11.（2025?虞城縣二模）如圖，菱形4BC。中，AB=4,NB=60°.過菱形48CO的中心O分別作

邊48、BC的垂線，交各邊于點￡、F、G、H,則四邊形EFGH的周長為.

12.（2025?千山區(qū)模擬）如圖，在矩形ABC。中，AB=6,4。=8.連接AC,在AC和A。上分別截

取AE、A凡使4E=4凡分別以點E和點尸為圓心，以大于［EF的長為半徑作弧，兩弧交于點G,

作射線4G交CO于點機則線段C77的長是.

13.（2025?旺蒼縣一模）如圖，在RtZ\4BC中，ZC=90°,BC=2,AC=4,點。為AC邊上一個

動點，以BD為邊在BD的上方作正方形BDFE,當AE取得最小值時,BD的長為

14.（2025?天河區(qū)校級四模）如圖，在菱形48C。中，48=4,N48C=60°,點E為邊8c上一動

點，點F為AE中點，點G為DE上一點，滿足EF=FG，連接CG,則CG的最小值

為.

AD

15.（2025?廣東模擬）如圖，。是13ABe。內(nèi)一點，連接AO,BO,CO,DO,過點A作A￡:〃50,

過點。作DE〃C。交AE于點E.若回48C。的面積為24,則圖中陰影部分的面積為

16.（2025?武侯區(qū)校級模擬）在目A4CQ中，tan8=2,點E,尸分別是BC,A3邊上的動點，滿足N

DEF=/B,DFA.EF.

①當E為中點時，若AF=2,則BC=;

三.解答題（共6小題）

17.（2025?朝陽區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AC=BC,點。、石分別是邊AB、AC的中點，延

長。七到F,使得試判斷四邊形AOCr的形狀，并說明理由.

18.（2025?江陰市一模）如圖，在四邊形4BCO中，點E為A。的中點，連接C￡,并延長交8A的

延長線于點凡己知。CZM6.

（1）求證：△AEbgZVJEC；

(2)若/IO〃8C,4E=2,求8c的長.

19.（2025?東湖區(qū)校級模擬）如圖1為折疊便攜釣魚椅子，將其抽象成幾何圖形,如圖2所示，測得

AC=EF=CG=50cm,BD=20cm,GF=S0cmfNABO=I18°,NGFE=62°,已知BD//CE//

GF.

（1）求證：四邊形8CEO是平行四邊形;

（2）求椅子最高點A到地面G尸的距離.

圖1

20.（2025?南山區(qū)一模）在平行四邊形八8C。中，NA5C=60°,八3一4,點E為平面內(nèi)一點，旦

BE=1.

（1）若AB=BC,

①如圖1,當點E在8C上時，連接AE,作NEA〃=6（T交CO于點凡連接AC、EF,求證：△

EA*為等邊三角形；

②如圖2,連接AE,作NEAr=30°,作EELA產(chǎn)于點F,連接CE當點廠在線段8c上時，求

CF的長度；

（2）如圖3,連接AC,若NBAC=90°,尸為AB邊上一點（不與A、B重合），連接尸E,以PE

為邊作RtAEPF,且NEP尸=90°,NPEF=60°,作NPEF的角平分線EG,與PF交于點G,

連接。G,點E在運動的過程中，QG的最大值與最小值的差為.

AD

AD

21.(2025?孝義市三模)綜合與探究

問題情境：在正方形紙片中,點月是邊A。的中點.點尸是邊。。卜的一個動點.將AOE廣

沿“折疊，點。的對應點為。'，F(xiàn)D'的延長線與邊A8交于點G,連接A。'.

佟|2備用圖

(1)如圖1,求證：△AG。'是等腰三角形:

拓展探究:

過點G再折出AO的平行線,與邊CO交于點"射線。D'與GH交于點、P.

(2)如圖2,若點尸在/)/”的延長線上，試判斷線段G尸與尸”的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)若AD=4,在點尸運動的過程中，是否存在某一時刻，使△尸GD'是等腰三角形？若存在,

請直接寫出。尸的長；若不存在，請說明理由.

22.(2025?昌邑區(qū)校級三模)如圖①，四邊形A8CD與四邊形AEFG是共一個頂點的兩個大小不同

的正方形.

圖③圖④

(I)如圖②，正方形AEFG繞點人逆時針旋轉(zhuǎn)，使點E落在邊人D上，線段8E與OG的數(shù)量關(guān)

系是,，N4BE與NAZ)G的關(guān)系是.

【猜想證明】

(2)如圖③，正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)某一角度a(0<a<90°)時，猜想(1)中的結(jié)

論是否成立？并證明你的結(jié)論.

【拓展應用】

(3)如圖④，正方形AEPG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使點廠落在直線A。上，當A3=3,=&時,

直接寫出GO的長度.

2026年中考數(shù)學：四邊形專題訓練

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

題號12345678

答案CDBBCBBD

一.選擇題（共8小題）

1.（2025?浙江模擬）己知一個菱形的周長是20,面積是24,則該菱形的兩條對角線的長度之和為（）

A.7B.4x/5C.14D.8追

【解答】解：如圖所示：

???四邊形ABCQ是菱形，

???AO=CO=%C,DO=BO=^BD,AC1BD,

???菱形面積=1x8D?4C=2OB?Q4=24,

/.0區(qū)?04=皿，

???菱形的周長是20,

；?A8=5,

VZAOB=W,

：,OB2+OA2=AB2=25@,

由①②兩式可得49-2OD*OA=25,

解得；OR+AO=7,

?"C+8O=14,

故選：C.

2.（2025?五華區(qū)校級模擬）如果一個正多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，那么這個正多邊形的邊數(shù)

為（）

A.7B.8C.9D.10

【解答】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為〃，由題意得：

(〃-2)?180°=4X360°，

解得:71=10,

故選：D.

3.（2025?天元區(qū)校級模擬）如圖，RtAABC^RtADCB,其中N43C=90°,AB=3,4c=4,。為

8C中點，EF過點交AC、BD于點E、F,連接BE、CF,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.四邊形?'為平行四邊形

B.當8尸=3.5時，四邊形8ECF為矩形

C.當8尸=2.5時,四邊形BEC尸為菱形

D.四邊形BEC廠不可能為正方形

【解答】解：???/ABC=9(T,48=3,BC=4,

.\AC=y/AB2+BC2=5,

VRtAABC^RtADCB,

：.AB=CD=3,AC=BD=5,BC=EF=4,NA=N。，ZACB=ZCBD,NABC=NDCB=90°,

TO為BC中點,

：?BO=CO,

在△BO〃和△COE中，

乙ORF=乙OCE

BO=CO,

Z-BOF=乙COE

:.△BOFQACOE(ASA),

???OF=OE,

???四邊形BECb為平行四邊形，故4選項不符合題意；

當BP=3.5時，gBE1AC,

11

YS^ABC=7AB-BC=^AC-BE,

???CE=\!BC2-BE2=J42_(第2=M

VBF=3.5,

:.CE于BF,

IB尸=3.5時,四邊形BEC”不是矩咳,

故B選項符合題意，

VBF=2.5,

：.CE=2.5,

：.AE=AC-CE=2.5,

????為AC中點,

:?BE=CE,

???四邊形BEC尸是平行四邊形，

???當6產(chǎn)=2.5時，四邊形SEC尸為菱形，故C■選項不符合題意；

當8尸=2.5時，四邊形8EC尸為菱形，此時/BECW90。，

???四邊形8EC"不可能為正方形.故。選項不符合題意.

故選:B.

4.（2025?織金縣模擬）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC與8/5相交于點O,OELAB垂足為E,

若NBCD=50°,貝IJN8OE的大小為（）

A.24度B.25度C.40度D.65度

【解答】解：???四邊形人8CO是菱形，對角線AC與8。相交于點O,

???NB4O=N8CO=50°,AB=AD,ACLBD,

：,ABAO=ZDAO=|ZB/\D=25°,408=90°,

VOELAB于點E,

，/OE8=90°,

???N8OE+NA8O=90°,NBAO+N4BO=90°,

：,ZBOE=ZBAO=25°,

故選：B.

5.（2025?南岸區(qū)校級二模）如圖，在正方形A4c。中，點E在對角線AC上，連接8E,過點￡作

8E的垂線交CO于點R交8c的延長線于點G,若點尸是七G的中點，A8=3,則EG的長度為

()

AD

B

5^5

A.4B.5C.2V5D.——

2

交CD于H,

：.AC=3^2,

：.ZBAD=ZADC=ZBCD=ZABC=90Q,N84C=45°=ZACD,AB=BC,AC2=AB2+BC2

=2AB2,

：,AB=BC=^AC=3,

?:HM"AD,

???MH_L4B,MH_LCQ,

:,BM=CH,EH=CH,AM=ME,NBME=90°=NEHF,

:,BM=EH,

'：BELCE,即NBEG=90°,

/.ZBEM=90a-ZFEH=ZEFH,

:.ME=FH,BE=EF,

???尸為EG的中點,

：.EF=FG,

,：ZEHF=ZFCG=9Qa,4EFH=/GFC,

:.△EHF/XGCF(A4S),

:.HF=FC=EM=AM,

：.AB=3AM=3,

：.AM=ME=\,BM=CH=EH=2,

:.BE=Vl2+22=yf5=EF=FG,

:?EG=2V5,

故選：C.

6.（2025?重慶模擬）如圖，在正方形A8CO中，點￡為AB上的一點，且==連接?！?

過點3作出口_?！杲籓E延長線于點八連接4R則線段A尸的長度為（）

7

D.-

2

【解答】解：如圖，作/G_LD4交D4的延長線于點G

???四邊形A8CZ）是正方形，BE=^AB=1,

：.AD=AB=4,NE4O=90°,

：.AE=AB-BE=4-1=3,

在直角三角形AOE中，由勾股定理得：0E=VAE2+柳二仃2+42=理

?；/EFB-/EAD-90°,/FEB—/AED,

，△尸EBS/XAED,

EFBE?EF1

/.—=--,即—=—,

EADE35

3

；?EF=5，

VZrcD=ZE4D=90o,4FDG=4EDA,

???△FQGSZ\ED4,

AEDADE345

??__?_________，IpAnU__—__________O9

GFDGDFGF4+GA5+-

5

解得G/7=西,GA=25?

在直角三角形A/G中，由勾股定理得：--=7GF?+G不=J（盤）2+（黃）2=呼,

故選:B.

7.（2025?椒江區(qū)校級模擬）如圖，已知矩形ABC。，AD=2AB,射線BP與邊4Z）交于點P,過點A,

C,。分別作射線B尸的垂線，垂足分別為A、C、D',設(shè)〃?=AA+CC+QD',若AB=1,則小的

最小值為（）

「.

BC

2\/54x<5廣

A.---B.---C.2V2D.4

55

【解答】解:連接BD,PC,

BC

VAB=1,

：,AD=2AB=2,

:?S矩形A8C￡>=1X2=2,

由勾月殳定理得：BD=y/AB2+AD2=V5,

VA5-1,

V5,

1

/?SADPC=S/BPD=/BP，DD',

1

?；S矩形A8C￡)=2=SAABP+SA8CP+Sa￡)PC=7xBP*(AA'+CCf+DD'),

4

?MA'+CC'+DD'

V1^BP<V5,

當4P=后時，+CC+DD'有最小值丁，

5

故選：B.

8.（2025?鐵東區(qū)校級模擬）如圖，正方形4BC。中，AB=4,點E,尸分別為邊A。，C。上一點，

且滿足AE=O尸，AF,BE相交于點G.連接/，點H為"的中點，連接G”，則⑦+鼻F的

A.3B.4C.4V5D.2遙

【解答】解：:四邊形A8CQ是正方形，

.??NZME=NQ=90",AD=DC=BC=AB=4,

?；AE=DF,

A(SAS),

???NABE=NDAF,

VZABE+ZAEB=90°,

.\ZDAF+ZAEB=90a,

AZAGE=ZBGF=9O0,

???點G在以A/3為直徑的圓上運動，

連接OH,

???點”為3尸的中點,

：,OH=^AF,GH=^BF

乙乙f

：.GH+^AF=^BF+^AF=^AF+BF^

乙乙乙乙1

作點B關(guān)于CD的對稱點M,連接AM即為人尸+Bb的最知長度,

???6〃+，下的最小值=>"=2V5,

???G，+；/lF的最小值是2百，

故選：D.

二.填空題（共8小題）

9.（2025?子洲縣二模）如圖，在正五邊形A8CQE中，延長AE,CO交于點立則/尸的度數(shù)是36°.

【解答】解：:正五邊形每個外角度數(shù)=塔=72°,

：.ZDEF=ZEDF=12°,

AZF=1800-NDEF-NEDF=36°.

故答案為：36.

10.（2025?從江縣校級二模）如圖，正方形A8C。的邊長為4,點E是C。的中點，4/平分NBAE

交BC于點F,則CF的長為6-2星.

【解答】解：如圖，延長A/交。C的延長線于”,

AD

B

H

,/正方形ABCD的邊長為4,

：,AD=CD=4,

???￡是CO的中點，

：.CE=DE=^CD=2,

由勾股定理得，AE=?AD?+DE2=y/42+22=2瓜

平分N/ME,

:./BAF=NEAF,

???正方形的對邊人8〃C。，

；?NBAF=NH,

:?NEAF=4H,

：?EH=AE,

：.CH=EH-CE=2^5-2,

"：AB〃CD,

:?△HCFs/XABF,

*CFCH

BFAB

■:BF=BC-CF=4-CF,

CF2V5-2V5-1

??,

4-CF42

ACF=6-2V5.

故答案為：6-2VS.

11.（2025?虞城縣二模）如圖，菱形ABC。中，48=4,ZB=60°.過菱形ABC。的中心。分別作

邊4B、的垂線，交各邊于點E、F、G、H.則四邊形EFGH的周長為_6+2舊_.

???四邊形ABC。是菱形,

：.AB=BC=CD=AD=4,LABO=Z-CBO=鼻48c=30°,BD1AC,

：,OA=^AB=2,OB=V3OA=2?即4c=2OA=4,BD=2OB=473,

VOELAB,OFIBC,

：?NBEO=/BFO=90°,

在△8EO和△BFO中，

LBEO=乙BFO

乙EBO=乙FBO,

BO=BO

:.△BEOWABFO（八AS）,

AOE=OF,BE=BF,

VZEBF=60°,

??.△BE/是等功二角形，

：,EF=BE=￡BO=28x寸=3,

同法可證，ADGH,MOEH,△OFG都是等邊三角形，

:?EF=GH=3,EH=FG=*F=?

:.四邊形EFGH的周長=2（3+V3）=6+26，

故答案為：6+275.

12.（2025?千山區(qū)模擬）如圖，在矩形A3c。中，AB=6,40=8.連接AC,在AC和AO上分別截

取AE、AR使A￡=AF,分別以點七和點尸為圓心，以大于：EF的長為半徑作弧，兩弧交于點G,

作射線AG交CO于點”，則線段CH的長是學.

—3—

過〃作〃Q_L4C于Q,

在矩形ABCO中，ZB=ZD=90°,

：.AC=\0,

由作圖得：AG平分NC4Q,

：.ZCAG=ZDAG,

ZD=ZAQH=9Q°,AH=AH,

:AADH出4AQH(A4S),

:?DH=HQ=x,AQ=QQ=8,

：.CQ=AC-QA=2,

在RtZ\C〃Q中，WCQ1+QH2=CH2,

即：2?+/=(6-x)2,

8

律

解=_

Xr

8

?

：c/7=6-=130

-3

13.（2025?旺蒼縣一模）如圖，在RtZ\A8C中，ZC=90°,BC=2,AC=4,點。為AC邊上一個

動點，以8。為邊在8。的上方作正方形8QFE,當AE取得最小值時，8。的長為_遙_.

【解答】解：過點E作于H,如圖所示:

由條件可知N8OE=900=NC,DE=BD,

；?NDBC=NEDA,RDE=BD,NDHE=NC=90",

:?△BDgMDEH(A4S),

:.EH=CD,DH=BC=2,

：.AH=AC-DH-CD=4-2-CD=2-CD,

'：AE1=AH2+EH2=(2-CD)2+CD2=2(CD-1)2+2,

V2>0,

???當CO=1時，AF最小，則AE也最小，

此時8。=>/CD2+BC2=Vl2+22=V5,

故答案為：V5.

14.(2025?天河區(qū)校級四模)如圖，在菱形ABC。中，AB=4,NA8C=60°,點E為邊8c上一動

點，點F為AE中點，點G為DE上一點,滿足EF=FG,連接CG,則CG的最小值為_28-2_.

【解答】解：尸是4E的中點，如圖1,連接4G,

YEF=FG,

:.AF=FG=EF,

：,ZFAG=ZFGA,NFGE=NFEG,

?；乙FAG+乙FGA+乙FGE+NFEG-2(/FGA+/FGE)-180°,

，ZFGA+ZFGE=90°=/AGE,

/.ZAGE=ZAGD=90°,

???點G在以A。為直徑的懼上運動，取A。的中點。，連接OG,如圖2：

圖2

當。，G,C三點共線時，CG的值最小，

???四邊形4BCD是菱形,48=4,ZABC=60°,

AZ4DC=60°,AD=CD=AB=4,

：.0D=OG=yAD=2,

1OD1

VcosZ-ADC=5,—=—>

2CD2

：.ZCOD=90°，

在直角三角形OCO中，由勾股定理得：OC=7CD?-01）2=2同

???。6的最小值為275-2.

故答案為：273-2.

15.（2025?廣東模擬）如圖，。是團A8CO內(nèi)一點，連接AO,BO,CO,DO,過點A作AE〃8。,

過點D作DE//CO交AE于點E.若團A3CQ的面積為24.則圖中陰影部分的面枳為，_.

【解答】解：???四邊形人BCD是平行四邊形,

：.AD//CB,AD=CB,

???NOAB+NA8O+/O8C=180°,

?：AE//BO,

???NE4D+ND48+NA8O=180°,

：,ZEAD=ZOBC,

同理/EDA=NOC8,

在△EO/1和△OC8中，

(/.EDA=Z-OCB

{AD=CB,

t/EAD=/ORC

:.△EDN9XOCB(ASA),

作的高〃，△AO/）的高加，△8OC的高/⑵

E

由平行線間的距離處處相等，

；?h=hi+h2,

:"S&AOD+ShBOC=^0ZBCD,

***圖中陰影部分的面積為另40。+S^BOC=2s團4BCD=12,

故答案為：12.

16.（2025?武侯區(qū)校級模擬）在團A8CO中，tan4=2,點￡,尸分別是4C,A4邊上的動點，滿足/

DEF=NB，DFA.EF.

①當E為8C中點時，若4干=2,則8。=」明_；

嗯的取值范圍是T<￥—.

【解答】解：①過點。作OGJ_A從交朋的延長線于點G,過點E作EH_LA3于點H,如圖1,

圖1

則N3〃￡：=NAGQ=9（r,

設(shè)BC=a,

???E為BC中點，

1

:?BE=F，

,:四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AD=BC=a,AD//BC,

NDAG=NB,

「tanB=2,

??tanN。4G=2,

EHDG

*.--=—=2?

BHAG

BH=^-RE=EH=^67,AG=DG=-

口XMDDJ

：AF=2,

\FG=^-a+2,

:DFIEF,

?.NDFE=90°,

:/DEF=/B,

np

\tanZDEF=^=2,

:/DFG+EFH=ZDFCHZFDG,

，,/EFH=NFDG,

,.△EFHS^FDG,

FGDF

—=—=2,

EHEF

FG=2EH,

線+2=華小

55

解得：a=2甚,

故答案為：2V5；

②過點。作。G_LA8,交64的延長線于點G,過點E作EH上AB于點H,如圖2,

VtanZDAG=tanZDEF=tanB=2?

DGDFEH

AGEFBH

：,DG=2AG=2m,DF=2EF,EH=2BH=2n,

則AO=8C=遮機，BE=

由①知：△EFHSAFDG,

DGFGDF

???,—-—-—-No,

FHEHEF

:?FH二DG=m,FG=2EH=4n,

：,AB=BH+FH+FG-AG=5n,BF=BH+FH=n+m,AF=FG-AG=4n-m,

???點￡尸分別是A8,8C邊上的動點,

:?BEVBC,BFVAB,

即”V得i,

(n+m<5n

/.n<m<4n,

???t8

ttADy/5m

AB5n

4MV5AD475

故答案為：—<—<—->

5AB5

三.解答題（共6小題）

17.（2025?朝陽區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AC=BC,點。、石分別是邊A8、AC的中點，延

長到凡使得石尸=￡>￡試判斷四邊形人。C下的形狀，并說明理由.

【解答】解：四邊形AQCF是矩形，理由如下:

VAC-BC,。是A3中點,

.,.CD1AB,

AZADC=90°,

???￡是AC中點,

：.AE=EC,

又VDE=EF,

???四邊形ADCF是平行四邊形,

又???NAZ)C=90°,

???四邊形AOC尸是矩形.

18.(2025?江陰市一模)如圖，在四邊形4BCD中，點E為A。的中點，連接CE,并延長交BA的

延長線于點?，己知OC〃人及

(1)求證：△?1￡；/0△QEC；

(2)若人?！˙C,AE=2,求8C的長.

【解答】(1)證明：???OC//A從

:,NF=NDCE,

,??點七為4。的中點，

：.AE=DE,

在△?1￡：/和△QEC中，

Z-AEF=乙DEC

乙F=Z.DCE,

\AE=DE

A^AEF^ADEC(AAS).

(2)解：VAE=DE=2,

：.AD=2AE=4,

?：DC//AB,AD//BC,

J四邊形ABCD是平行四邊形，

???BC=4O=4,

JSC的長為4.

19.(2025?東湖區(qū)校級模擬)如圖1為折疊便攜釣魚椅子，將其抽象成幾何圖形，如圖2廳示，測得

AC=EF=CG=50cnhBD=20c/n,GF=S()cm,Z/\Z?D=118°,ZGF￡=62°,已知8。〃C七〃

GF.

(1)求證：四邊形BCEO是平行四邊形；

(2)求椅子最高點4到地面GF的距離.

A

A

【解答】（1）證明：VBD//CE//GF,ZABD=\\S°,NGFE=62°,

???NACE=NABO=118°,ZDEC=ZGFE=62°,

則NACE+NOEC=180°,

RC//DE.

???四邊形BCED是平行四邊形：

（2）解：???四邊形4CEO是平行四邊形，

：,CE=BD=20cm,

延長AC交G廠于，，

由（1）可知，CH〃EF,CE//HF,

???四邊形CHFE是平行四邊形，

???CH=EF=50cm,HF=CE=20cm,

則AH=AC+CH=100?！?，GH=GF-HF=60cm,

Y4CHG=4EFG=3,CH=CG,

:?/GCH=56°,

'：AC=CG,

AZA=28°,

???NAiNAHG=90°,

/.ZAGF=90°,

：.AG=y/AH2-GH2=80cm,

即：椅子最高點A到地面GF的距離為80c/〃.

20.（2025?南山區(qū)一模）在平行四邊形ABCD中，NABC=60。，AB=4,點E為平面內(nèi)一點，且

BE=\.

(1)若A8=6C,

①如圖1,當點E在8C上時，連接4E,作NE4”=60°交CO于點「連接AC、EF,求證：△

E4尸為等邊三角形;

②如圖2,連接AE,作NEAF=30°,作EF工AF于點凡連接。立當點r在線段8C上時，求

C廠的長度;

（2）如圖3,連接AC,若N84C=90°,P為AB邊上一點、（不與48重合），連接尸石，以尸石

為邊作RlZiEPF,且NEPF=90°,NPEF=60°,作NPE戶的角平分線EG,與尸產(chǎn)交于點G,

連接QG,點￡在運動的過程中，。G的最大值與最小值的差為罵

圖3備用圖

【解答】（I）①證明：如圖1中，

BEC

圖1

在平行四邊形ABC。中，AB=BC,

???平行四邊形ABCD是菱形，

???C4平分N8CO,

，/ACB=NACD

?：BA=BC,NB=60°,

???△ABC是等邊三角形，

：.AB=AC,/6AC=/ACB=/ACD=6(r,

???N8AC=NE4/=60°,

AZ1=Z2,

?:NB=NACF,

.?.△ABE注△ACE(ASA),

：.AE=AF,

VZ￡AF=60°,

???△AE/是等邊三角形.

②解：過點A作A”_L8c于點”.連接AC,則8”=C”=2.

在RtZXAB”中，sin/4BH=^=亨，ZBAH=30°,

在Rl/XAEF中，cos/"A/二票=坐,

AHAF

???一=—,ZBAE=ZHAF,

ABAE

???AABESAAHF,

FHAHV3

EB~AB~2

:?FH瀉,

：.當尸落在“左側(cè)時，CF=CH+HF=2+適,

當尸落在“右側(cè)時，CF=CH-HF=2~.

EBpII

（2）解；如圖3中，過點。作交NABC的角平分線于點〃，連接“C.

圖3

?；NBPH=90。,ZPBH=^ZABC=30°,

乙

PB=V3PH,

1

VZEPG=90°,ZPEG=|ZPEF=30°,

???PE=巾PG,

.PB_PE

??~9

PHPG

?:/BPH=/EPG=90°.

：?4BPE=4HPG,

:.△BPES^HPG,

BEPB

/.—=—=V3r,

HGPH

:?HG=*E=*

.?.點G的運動軌跡是以〃為圓心，今為半徑的圓,

：?DG的最大值與最小值的差是。”的直徑=攣.

故答案為：學

21.（2025?孝義市三模）綜合與探究

問題情境：在正方形紙片ABCO中，點E是邊A。的中點，點尸是邊CD上的一個動點，將ADE尸

沿E/折疊，點。的對應點為O',FD'的延長線與邊A8交于點G,連接A。'.

圖2備用圖

數(shù)學思考:

（1）如圖1,求證：△AGD'是等腰三角形;

拓展探究：

過點G再折出4。的平行線，與邊CO交于點〃，射線?！放cGH交于點P.

（2）如圖2,若點P在/W的延長線上，試判斷線段G。與P”的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）若人。=4,在點廠運動的過程中，是否存在某一時刻，使△尸G。'是等腰.三角形？若存在,

請直接寫出拉尸的長；若不存在，請說明理由.

【解答】（1）證明：連接交.EF于點、O.

根據(jù)折疊圖形的軸對稱性，EFLDD',OD=OD',NOFE=N。'FE.

又???AO=OE,

：,EO//AD'.

：.ZDEF=ZDAD,,NDFE=NAD'G.

*：ZGAD1+ZDAD'=ZDEF+ZDFE=9()°,

.\ZGAD1=NDFE.

?