2026-2027學年度人教版數(shù)學七年級上冊新教材學講練測講義

第五章一元一次方程

專題5.3實際問題與一元一次方程

課節(jié)學習目標

1.理解配套和工程等問題的背景.分清有關數(shù)量關系，能正確找出作為列方程依據(jù)的主要等量關系.

2.理解商品銷售中的相關概念及數(shù)量關系.根據(jù)商品銷售中的數(shù)量關系列一元一次方程解決與打折

銷售有關的實際問題，并掌握解此類問題的一般思路.

3.會閱讀、理解表格，并從表格中提取關鍵信息.掌握解決“球賽積分表問題”的一般思路，并會

根據(jù)方程的解的情況對實際問題作出判斷.

4.體會分類思想和方程思想在解決問題中的作用，能夠根據(jù)已知條件選擇分類關鍵點對“電話計費問

題''進行整體分析,從而得出整體選擇方案.

5.進一步深化對數(shù)學建模方法的體驗，增強應用方程模型解決問題的意識和能力.

課節(jié)知識點解讀

一、列一元一次方程解應用題的一般步驟：

審題-找出相等關系一列出一元一次方程一解一元一次方程一寫出答案.

思路：用一元一次方程解決實際問題的基本過程如下

實際問題|?設未知數(shù)列方桂|_元_次方程

解

方

程

V

一元一次方程的解

實際問題的答案

檢駟（x=a）

關鍵：尋找等量關系是關鍵，注意兩點：（1）設適當?shù)奈粗獢?shù)；（2）題中各個量的單位.

處理問題常用方法：

第1頁共16頁

(1)讀題分析法：多用于“和，差，倍?，分問題”

仔細讀題，找出表示相等關系的關鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，

減少，配套——"，利用這些關鍵字列出文字等式，并且據(jù)題意設出未知數(shù)，最后利用題目中的量

與量的關系填入代數(shù)式，得到方程.

(2)畫圖分析法：多用于“行程問題”

利用圖形分析數(shù)學問題是數(shù)形結合思想在數(shù)學中的體現(xiàn)，仔細讀題，依照題意畫出有關圖形，使

圖形各部分具有特定的含義，通過圖形找相等關系是解決問題的關鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最

后利用量與量之間的關系(可把未知數(shù)看做已知量)，填入有關的代數(shù)式是獲得方程的基礎.

注意：本章內(nèi)容是代數(shù)學的基礎核心。能做到熱練解方程、列方程。列方程是難點，需要學生綜合能

力。列方程解應用題需要對下面常用公式熟練掌握，在理解的基礎上，靈活對公式進行變形。

二、具體問題處理

1.解決工程問題的基本思路

(1)三個基本量：工作量、工作效率、工作時間.

它們之間的關系是：工作量=工作效率義工作時間.

①工作量:工作效率X工作時間。

②工作時間:1作，

工作效率

③工作效率:「?作最.

工作時間

(2)相等關系：工作總量=各部分工作量之和=1.

1)按工作時間，工作總量=各時間段的工作量之和；

2)按工作者，工作總量=各工作者的工作量之和.

(3)通常在沒有具體數(shù)值的情況下，把工作總量看作1.

2.行程問題中有三個基本量：路程、時間、速度。關系式為：

(1)路程=速度X時間；⑵速度(3)時間=￡工。

時間速度

注意：下列行程問題的等量關系：

(1)行程問題：路程=速度X時間.

(2)相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程.

第2頁共16頁

（3）追及問題（同地小同時出發(fā)）：前者走的路程=追者走的路程.

（4）追及問題（同時不同地出發(fā)）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程.

（5）水中航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度.

3.市場經(jīng)濟問題

（1）商品利潤=商品售價一商品成本價

商品利潤

(2)商品利潤率=X100%

商品成本價

（3）商品銷售額=商品銷售價X商品銷售量

（4）商品的銷售利潤=（俏售價一成本價）義銷售量

（5）商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，外商品打8折出售，即按原標價的80猊II

售.

4.調配問題：調配與比例問題在日常生活中十分常見，比如合理安排工人生產(chǎn)，按比例選取工程材料,

調劑人數(shù)或貨物等。調配問題中關鍵是要認識清楚部分量、總量以及兩者之間的關系。在謊配問題中

主要考慮“總量不變”；而在比例問題中則主要考慮總量與部分量之間的關系，或是量與量之間的比

例關系。

生產(chǎn)調配問題通常從調配后各量之間的倍、分關系尋找相等關系，建立方程.解決配套問題的思路:

（1）利用配套問題中物品之間具有的數(shù)量關系作為列方程的依據(jù)；

（2）利用配套問題中的套數(shù)不變作為列方程的依據(jù).

5.數(shù)字問題

一般可設個位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,百位數(shù)字為c.

十位數(shù)可表示為10b+a,百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關系找等量關系列方程.

3.數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關系：

如兩位數(shù)ab=10a+b；

三位數(shù)abc=100a+10b+co

在求解數(shù)字問題時要注意整體設元思想的運用。

5.其他問題。

課節(jié)知識點例題麗"

【例題1】某項工程，甲單獨做30天完成，乙單獨做40天完成，若乙先單獨做15天，剩下的由甲

第3頁共16頁

3.為做好疫情防控工作，學校把一批口罩分給值班人員，如果每人分3個，則剩余20個；如果每人

分4個，則還缺25個，設值班人員有x人，下列方程正確的是（）

A.3x+20=4x?25B.3x-25=4x+20

C.4x-3x=25-20D.3x-20=4.r+25

4.某商品進價4元，標價5元出售，商家準備打折銷售，但其利潤率恰好為10%,則該商品可以打

（）折（利潤率=型型_X100%）

成本

A.7B.7.5C.8D.8.8

5.出售兩件衣服，每件600元,其中一件賺25%,另一件賠25%,那么這兩件衣服售出后商店是（）

A.賺80元B.虧80元

C.不賺不虧D.以上答案都不對

6.《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題：“今有善行者行一百步.

不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？“其意思為：速度快的人

走100步，速度慢的人只走60步，現(xiàn)速度慢的人先走100步，速度快的人去追趕，則速度快的人要

走步才能追到速度慢的人.

7.某種商品每件的進價為120元，標價為180元.為了拓展銷路，商店準備打折銷售.若使利潤率

為20%,則商店應打折.

8.某品牌旗艦店平日將某商品按進價提高40%后標價，在某次電商購物節(jié)中，力促俏該商品，按標價

8折銷售，售價為2240元，則這種商品的進價是元.

9.《算法統(tǒng)宗》是中國古代重要的數(shù)學著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房

七客多七客，一房九客一房空.其大意為：今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可住：

若每間住9人，則余下一間無人住，設店中共有x間房，可求得x的值為.

10.某校組織七年級學生到江姐故里研學旅行，租用同型號客車4輛，還剩30人沒有座位；租用5

輛，還空10個座位.求該客車的載客量.

11.（2023?陜西）“綠水青山就是金山銀山”，希望中學每年都會組織學生進行植樹活動.今年該

校又買了一批樹苗，并組建了植樹小組.如果每組植5棵，就會多出6棵樹苗；如果每組植6棵，就

會缺少9棵樹苗.求學校這次共買了多少棵樹苗？

12.一件工程，甲獨做需15天完成，乙獨做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務,

剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？

13.某公司要把24（）噸白砂糖運往某市的力、8兩地，用大、小兩種貨車共20輛，恰好能一次性裝

第5頁共16頁

完這批白砂糖.已知這兩種貨車的載重量分別為15噸/輛和1。噸/輛，運往力地的運費為：大車630

元/輛，小車420元/輛；運往4地的運費為：大車750元/輛，小車550元/輛.

（1）求兩種貨車各用多少輛；

（2）如果安排10輛貨車前往4地，其中調往力地的大車有。輛，其余貨車前往B地，若設總運費

為印,求W與。的關系式（用含有的代數(shù)式表示W(wǎng)）.

第6頁共16頁

2026-2027學年度人教版數(shù)學七年級上冊新教材學講練測講義

第五章一元一次方程

專題5.3實際問題與一元一次方程

課節(jié)學習目標

1.理解配套和工程等問題的背景.分清有關數(shù)量關系，能正確找出作為列方程依據(jù)的主要等量關系.

2.理解商品銷售中的相關概念及數(shù)量關系.根據(jù)商品銷售中的數(shù)量關系列一元一次方程解決與打折

銷售有關的實際問題，并掌握解此類問題的一般思路.

3.會閱讀、理解表格，并從表格中提取關鍵信息.掌握解決“球賽積分表問題”的一般思路，并會

根據(jù)方程的解的情況對實際問題作出判斷.

4.體會分類思想和方程思想在解決問題中的作用，能夠根據(jù)已知條件選擇分類關鍵點對“電話計費問

題''進行整體分析,從而得出整體選擇方案.

5.進一步深化對數(shù)學建模方法的體驗，增強應用方程模型解決問題的意識和能力.

課節(jié)知識點解讀

一、列一元一次方程解應用題的一般步驟：

審題-找出相等關系一列出一元一次方程一解一元一次方程一寫出答案.

思路：用一元一次方程解決實際問題的基本過程如下

實際問題|?設未知數(shù)列方桂|_元_次方程

解

方

程

V

一元一次方程的解

實際問題的答案

檢駟（x=a）

關鍵：尋找等量關系是關鍵，注意兩點：（1）設適當?shù)奈粗獢?shù)；（2）題中各個量的單位.

處理問題常用方法：

第7頁共16頁

(1)讀題分析法：多用于“和，差，倍?，分問題”

仔細讀題，找出表示相等關系的關鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完成，增加，

減少，配套——"，利用這些關鍵字列出文字等式，并且據(jù)題意設出未知數(shù)，最后利用題目中的量

與量的關系填入代數(shù)式，得到方程.

(2)畫圖分析法：多用于“行程問題”

利用圖形分析數(shù)學問題是數(shù)形結合思想在數(shù)學中的體現(xiàn)，仔細讀題，依照題意畫出有關圖形，使

圖形各部分具有特定的含義，通過圖形找相等關系是解決問題的關鍵，從而取得布列方程的依據(jù)，最

后利用量與量之間的關系(可把未知數(shù)看做已知量)，填入有關的代數(shù)式是獲得方程的基礎.

注意：本章內(nèi)容是代數(shù)學的基礎核心。能做到熱練解方程、列方程。列方程是難點，需要學生綜合能

力。列方程解應用題需要對下面常用公式熟練掌握，在理解的基礎上，靈活對公式進行變形。

二、具體問題處理

1.解決工程問題的基本思路

(1)三個基本量：工作量、工作效率、工作時間.

它們之間的關系是：工作量=工作效率義工作時間.

①工作量:工作效率X工作時間。

②工作時間:1作，

工作效率

③工作效率:「?作最.

工作時間

(2)相等關系：工作總量=各部分工作量之和=1.

1)按工作時間，工作總量=各時間段的工作量之和；

2)按工作者，工作總量=各工作者的工作量之和.

(3)通常在沒有具體數(shù)值的情況下，把工作總量看作1.

2.行程問題中有三個基本量：路程、時間、速度。關系式為：

(1)路程=速度X時間；⑵速度(3)時間=￡工。

時間速度

注意：下列行程問題的等量關系：

(1)行程問題：路程=速度X時間.

(2)相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程.

第8頁共16頁

（3）追及問題（同地小同時出發(fā)）：前者走的路程=追者走的路程.

（4）追及問題（同時不同地出發(fā)）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程.

（5）水中航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度.

3.市場經(jīng)濟問題

（1）商品利潤=商品售價一商品成本價

商品利潤

(2)商品利潤率=X100%

商品成本價

（3）商品銷售額=商品銷售價X商品銷售量

（4）商品的銷售利潤=（俏售價一成本價）義銷售量

（5）商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，外商品打8折出售，即按原標價的80猊II

售.

4.調配問題：調配與比例問題在日常生活中十分常見，比如合理安排工人生產(chǎn)，按比例選取工程材料,

調劑人數(shù)或貨物等。調配問題中關鍵是要認識清楚部分量、總量以及兩者之間的關系。在謊配問題中

主要考慮“總量不變”；而在比例問題中則主要考慮總量與部分量之間的關系，或是量與量之間的比

例關系。

生產(chǎn)調配問題通常從調配后各量之間的倍、分關系尋找相等關系，建立方程.解決配套問題的思路:

（1）利用配套問題中物品之間具有的數(shù)量關系作為列方程的依據(jù)；

（2）利用配套問題中的套數(shù)不變作為列方程的依據(jù).

5.數(shù)字問題

一般可設個位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,百位數(shù)字為c.

十位數(shù)可表示為10b+a,百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關系找等量關系列方程.

3.數(shù)位、數(shù)位上的數(shù)字、數(shù)值三者間的關系：

如兩位數(shù)ab=10a+b；

三位數(shù)abc=100a+10b+co

在求解數(shù)字問題時要注意整體設元思想的運用。

5.其他問題。

課節(jié)知識點例題麗"

【例題1】某項工程，甲單獨做30天完成，乙單獨做40天完成，若乙先單獨做15天，剩下的由甲

第9頁共16頁

完成，問甲、乙一共用幾天完成工程？若設甲、乙共用X天完成，則符合題意的是()

x-15x,

D.-----4-——=1

3040

【答案】A

【解析】乙15天的工作量為巴，

r-15

甲(xT5)天的工作量為一^

.,?x—1515.

,可列萬程<r為——+—=1.

3040

【例題2】船在靜水中的速度為36千米/時，水流速度為4千米/時，從甲碼頭到乙碼頭再返回甲碼頭,

共用了9小時(中途不停留)，設甲、乙兩碼頭的距離為T千米，則下面所列方程正確的是()

A.（36+4）X+（36-4）（9-J）=1B.（36+4）x=9

—:---1—■—=9

36+436-4

【答案】D

【解析】此題主要考查了一元一次方程的應用的航行問題，順水中的速度=船在靜水中的速度+水流速

度，逆水中的速度=船在靜水中的速度-水流速度，關鍵是正確理解題意，抓住題目中的關鍵語句找等

量關系，列出方程.

由題意可得順水中的速度為(36+4)km/h,逆水中的速度為(36-4)km/h,根據(jù)“從甲碼頭順流航行

到乙碼頭，再返回甲碼頭共用9〃”可得順水行駛x千米的時間+逆水行駛x千米的時間=96,根據(jù)等量

關系代入相應數(shù)據(jù)列出方程即可.設甲、乙兩碼頭的距離為X千米，

【例題3】端午節(jié)買粽子，每人肉粽比素粽多1元，購買10個肉粽和5個素粽共用去70元，設每個

肉粽x元，則可列方程為()

A.10.v+5(x-1)=70B.lO.v+5(,r+l)=70

C.10(x-1)+5x=70D.10(x+1)+5x=70

【答案】A

【解析】設每個肉粽x元，則每個素粽(x-l)元，根據(jù)總價=單價X數(shù)量，結合購買10個肉粽和

5個素粽共用夫70元.即可得出關干x的一元一次方程,此題得解.

第10頁共16頁

設每個肉粽X元，則每個素粽（X-1）元，

依題意得：10x+5（x-1）=70.

［例題4］某車間有26名工人，每人每天可以生產(chǎn)800個螺釘或1000個螺母，1個螺釘需要配2

個螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套.設安排x名工人生產(chǎn)螺釘，則下面所列方程正確的

是（）

A.2X1000(26-x)=800xB.1000(13-x)=800x

C.1000(26-x)=2X800xD.1000(26-x)=800x

【答案】C

【解析】題目已經(jīng)設出安排x名工人生產(chǎn)螺釘，則（26-x）人生產(chǎn)螺母，由一個螺釘配兩個螺母可

知螺母的個數(shù)是螺釘個數(shù)的2倍從而得出等量關系，就可以列出方程.由題意得

1000（26-x）=2X800x,故C答案正確。

深化對課節(jié)知識點理解的試題專系

1.輪船沿江從力港順流行駛到4港，比從6港返回力港少用2小時，若船速為26千米/時，水速

為3千米/時，求力港和4港相距多少千米.設力港和4港相距x千米.根據(jù)題意，可列出的方程

是（）

A---=-2----=------F2

?26+326-326+326-3

-x+3x-3cx-3x+3_

C.------=-------+2---=-----2

26262626

【答案】A

【解析】輪船沿江從A港順流行駛到B港，則由B港返回A港就是逆水行駛，由于船速為26千米/

時，水速為3千米/時，則其順流行駛的速度為26+3=29千米/時，逆流行駛的速度為：26-3=23千米/

時.根據(jù)“輪船沿江從A港順流行駛到B港，比從B港返回A港少用2小時“，得出等量關系：輪船

從A港順流行駛到B港所用的時間=它從B港返回A港的時間?2小時，據(jù)此列出方程即可.

解：設A港和B港相距x千米，可得方程：

xx_

----=------2

26+326-3

2.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載“今有共買物，人出八，盈三，不足四.問人數(shù)、物價各

幾何？”意思是：現(xiàn)有幾個人共買一件物品，每人出8錢；每人出7錢，還差4錢.問人數(shù)，物價是

y錢，則下列方程正確的是（）

A.8（x-3）=7（x+4）B.8x+3=7x-4

C.=I）.=

第II頁共16頁

【答案】I）

【解析】根據(jù)人數(shù)=總錢數(shù)?每人所出錢數(shù)，得出等式即可.

設物價是y錢，根據(jù)題意可得：

?

3.為做好疫情防控工作，學校把一批口罩分給值班人員，如果每人分3個，則剩余20個：如果每人

分4個，則還缺25個，設值班人員有x人，下列方程正確的是（）

A.3x+20=4.v-25B.3x-25=4x+20

C.4x-3x=25-20D.3x-20=4x+25

【答案】A

【解答】解：由題意得3x+20=4x?25.故選：A.

4.某商品進價4元，標價5元出售，商家準備打折銷售，但其利潤率恰好為10%,則該商品可以打

（）折（利潤率=粵理?XlOO%）

成本

A.7B.7.5C.8D.8.8

【答案】D

【解答】設這種商品可以按x折銷售，

則售價為（5X0.1為元，那么利潤為（5X0.U-4）元,

所以相應的關系式為5X0.1*-4=4X10%,

解得；x=8.8.

答：該商品可以打8.8折，故選：D.

5.出售兩件衣服，每件600元，其中一件賺25%,另一件賠25%,那么這兩件衣服伴出后商店是（）

A.賺80元B.虧80元

C.不賺不虧D.以上答案都不對

【答案】B

【解析】設賺錢的衣服的進價為x元，賠錢的衣服的進價為y元，

依題意，得：600-x=25%x,600?y=?25%y,

解得：x=480,y=800,

A600-480+600-800=-80,

，這兩件衣服售出后商店虧了80元.

6.《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有善行者行一百步，

不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？“其意思為：速度快的人

第12頁共16頁

走10()步，速度慢的人只走60步，現(xiàn)速度慢的人先走100步，速度快的人去追趕，則速度快的人要

走步才能追到速度慢的人.

【答案】250.

【解析】設走路快的人追上走路慢的人所用時間為t,根據(jù)二者的速度差X時間=路程，即可求出t

值，再將其代入路程=速度X時間，即可求出結論.

根據(jù)題意得：(100-60)t=l00,

解得：t=2.5,

A100t=100X2.5=250.

所以走路快的人要走250步才能追上走路慢的人.

7.某種商品每件的進價為120元，標價為180元.為了拓展銷路，商店準備打折銷售.若使利潤率

為20%,則商店應打折.

【答案】八

【分析】打折銷售后要保證打折后利率為20%,因而可以得到不等關系為：利潤率=20%,設可以打

x折，根據(jù)不等關系列出不等式求解即可.

【解析】設應打x折，則根據(jù)題意得：(180XXX10%_120)+120=20%,

解得：x=8.故商店應打八折.故答案為：A.

【點睛】本題考查一元?次方程的實際應用，解題關鍵是讀懂題意，找到符合題意的等量關系式，同

時要注意掌握利潤率的計算方法.

8.某品牌旗艦店平日將某商品按進價提高40%后標價，在某次電商購物節(jié)中，為促銷該商品，按標價

8折銷售，售價為2240元，則這種商品的進價是元.

【答案】2000

【解析】一元一次方程的應用，

設這種商品的進價是x元，

由題意,得(1+40%)xX0.8=2240.

解得x=2000

9.《算法統(tǒng)宗》是中國古代重要的數(shù)學著作，其中記載：我問開店李三公，眾客都來到店中，一房

七客多七客，一房九客一房空.其大意為：今有若干人住店，若每間住7人，則余下7人無房可住；

若每間住9人，則余下一間無人住，設店中共有x間房，可求得x的值為.

【答案】8

【解析】設店中共有*間房.根據(jù)“今有若干人住店,若每間住7人.則余下7人無房可住：若每間

第13頁共16頁

住9人，則余下一間無人住”可列一元一次方程，求解即可.

設店中共有*間房，

由題意得，7x+7=9(x-l),

解得犬=8,

所以，店中共有8間房，

故答案為：8.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，準確理解題意，找到等量關系是解題的關鍵.

10.某校組織七年級學生到江姐故里研學旅行，租用同型號客車4輛，還剩30人沒有座位；租用5

輛，還空10個座位.求該客車的載客量.

【答案】該客車的載客量為40人.

【解答】設該客車的載客量為x人，

根據(jù)題意得：4x+3O=5.r-10.

解得：x=40.

答：該客車的載客量為40人.

II.(2023?陜西