高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí):空間向量與立體幾何解答題專項(xiàng)練

一、空間幾何體的表面積與體積（本大題共8小題）

1.如圖1,在直角梯形中，力021Po2，以直角梯形的下底尸OJ斤在的直線

為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成如圖2所示的幾何體。（C由圓錐PQ和圓柱QU組合而成），且該幾

何體C內(nèi)接于半徑為5的球。（點(diǎn)P和圓柱RO?的上下底面圓周均在球0的球面上）.

（2）若尸Q=1:2,求幾何體。的表面積；

（3）當(dāng)月8為何值時，圓柱。02的側(cè)面積最大.

2.如圖，是圓柱。。1的兩條母線，AB,C。是圓。的直徑，月4=48=4,且CO_L48/是母

（I）求證：平面PCZ）_L平面力力乃乃；

（2）若。是線段84的中點(diǎn)，求直線。&與。P所成角的余弦值；

（3）若四面體。的體積為匕，圓柱。01的體積為匕，求匕：匕的值.

3.如圖，某鐵質(zhì)零件由一個正三棱臺和一個正三棱柱組成，已知正三棱柱的底面邊長與高均為1cm,正

二棱臺的卜底面邊長為2cm,且正二棱臺的高為1cm,現(xiàn)有一盒這種零件共重650VJg（不包含盒子的質(zhì)

量），取鐵的密度為7.8g為n?.

（I）試問該盒中有多少個這樣的零件？

第1頁，共76頁

（2）如果要給這盒零件的每個零件表面涂上一種特殊的材料，試問共需涂多少cm?的材料？

4.如圖，在矩形48CQ和四分之一的。。拼接的平面圖形中，AD=\,DC=DE=3,將該圖形繞4E所

在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體記為「?

（I）求「的體積；

（2）求「的表面積.

5.如圖，在四棱錐月8?！辏┲校酌媪?CQ是等腰梯形，AB〃CD、AD=AB=；CD,平面4DPJ.平面

PCD,PD1PC.

（I）求證：ACLADx

（2）求證：△/￡＞尸為直角三角形；

（3）若PC=AD=1,求四棱棱P-/18C。的體積.

6.如圖，四棱錐夕-力4CQ的底面是邊長為4的正方形，點(diǎn)0在線段上，PO_L平面/BCD,

PA=PD=后,石是尸8的中點(diǎn).

（I）證明；AEHPOC.

（2）求三棱錐尸OC的體積.

7.如圖，正四棱錐產(chǎn)-川?的底面積為3,。為正方形49CD的中心.

第2頁，共76頁

(I)若正四棱錐P-48CO的高為T，求它的表面積.

(2)若正四棱錐尸-X4CO的外接球的表面積為8九，求正四棱錐P-48。。的體積.

8.(1)已知圓錐的母線長是2,側(cè)面積是2兀,求該圓錐的高？

(2)已知圓臺的上底面半徑為2,下底面半徑為4,母線長為3,求它的體積？

二、直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(本大題共2小題)

9.如圖所示，在三棱柱力8C-44G中，過4C的平面與上底面44G交于G〃(G〃與4G不重合).

(I)求證：BC//GH；

(2)若E,F,G分別是力從AC,46的中點(diǎn)，求證：平面比4〃平面8C//G

10.如圖，在四棱錐尸-48CO中，底面48c。是菱形，N,M,。分別為尸8,PD,尸。的中點(diǎn).

(I)求證：QN//平面PAD：

(2)記平面CA/N與底面48CO的交線為/,試判斷直線/與平面P8O的位置關(guān)系，并證明.

三、空間角、距離(本大題共22小題)

11.如圖，四棱錐P-/8c。的底面48c。是正方形，△尸力。是正三角形，平面平面/18C。，M

是PD的中點(diǎn).

(1)求證：PB〃平面M4C；

(2)求二面角M—力。一。的余弦值;

第3頁，共76頁

(3)在棱尸C上是否存在點(diǎn)Q使平面8。。，平面M4C成立？如果存在，求出黑的值；如果不存在,

請說明理由.

12.如圖，已知三棱臺48c-44G，底面V48。是以8為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，體積為學(xué)，

3

平面ABB/、1平面ABC,且月耳=44=BB]=-AB.

(I)證明：8C_L平面4844；

(2)求點(diǎn)8到面4CC/的距離;

(3)在線段CG上是否存在點(diǎn)尸，使得二面角尸-初-C的大小為若存在，求出CF的長，若不存

6

在，請說明理由.

13.在V"C中，AB=BC=2,48C=120。.若平面相。外的點(diǎn)尸和線段/IC上的點(diǎn)。，滿足

(I)證明：BD1AP；

(2)求直線PB與平面川火;所成角的正弦值.

14.如圖，在四棱錐夕一/8C。中，4_1_平面力8CQ,AD//BC.ABLAD,AB=BC=AP=2,AD=4.

(3)點(diǎn)T是棱PC上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，求直線與平面48CO所成角的正切值的取值范圍.

15.如圖，在長方體力8CQ-48]CQ]中，48=80=2,44=3.

第4頁，共76頁

(I)設(shè)。、E分別為4c和44中點(diǎn)，求證：OE〃平面4DQA；

(2)求異面直線4c與。。所成角的正切值.

16.如圖，在多面體48CQM中，平面平面力88,川邊形力?！戤a(chǎn)為正方形，四邊形/仍C。為

90。,仍=力。=；8c.

(I)求證：平面力C￡_L平面/8C。；

(2)求直線8E■與平面。CE所成角的正切值.

17.如圖，在三棱臺44G-48。中，△44G和V/8C都為等邊三角形，且邊長分別為2和4,

CC,=2,ZJCC,=Z5CC,=90°.G為線段力。的中點(diǎn)，〃為線段8c上的點(diǎn)，力乃〃平面C?！?

(I)求證：點(diǎn)H為線段BC的中點(diǎn)：

(2)求點(diǎn)〃到平面448的距離.

18.如圖，在四棱錐S-/12CZ)中，底面/8CD是邊長為1的正方形，SA=SB=2,石、產(chǎn)分別是SC、

8。的中點(diǎn).

(I)求證：所//平面”8；

第5頁，共76頁

(2)若二面角S-"-。的大小為5，

(i)求S力與8。所成角的余弦值；

(ii)求直線SO與平面48c。所成角的大小.

后

19.如圖，在三棱臺/18C-OEF中，AB=BC=AC=2a,AD=FC=-a，DF=a,N為線段DF上一

2

(I)求證：點(diǎn)N為線段。尸的中點(diǎn)；

(2)若直線8N與直線力。所成角的正切值為5,BN＞瓜,求證：平面48C_L平面4CQ.

(3)設(shè)二面角Q-/C-B的大小為。，直線W;與平面48C所成角的大小為夕，求tan/7關(guān)于a的函數(shù)表

達(dá)式，并求tan尸的取值范圍.

20.如圖，在三棱錐尸一48。中，PCYAC,CAIAB,CA=AB=2,PC=4.

(1)若G為△P8C的重心，點(diǎn)〃在棱產(chǎn)/上，且PH=2HA,求證：GH"平面ABC；

(2)若三棱錐尸-/4。外接球的表面積為207r.

(i)求二面角C-4-8的余弦值；

(ii)若點(diǎn)E是棱產(chǎn)力上的動點(diǎn)(異于端點(diǎn))，求直線BE與平面A8C所成角的取值范圍.

21.如圖，在三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長均為4,D,E分別為棱4CCG的中點(diǎn)，且

CQ_L平面力8C

(2)設(shè)G為核4G上一點(diǎn)(不包含端點(diǎn)4，G),

第6頁，共76頁

①若G為棱8Q的中點(diǎn)(如圖①)，三棱柱4481G被過G,B,。三點(diǎn)的平面所截，求襁面的面

積；

②求二面角G-BQ-E的取值范圍.

22.如圖，是。。的直徑，P力與。。所在的平面垂直，PA=AB=2,C是。。上的一動點(diǎn)(不同于

43),〃為線段形的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PC上，且/N_LPC.

(1)求證：AN1MN

(2)當(dāng)力C=8C時，求直線尸。與直線力M所成角的余弦值

(3)當(dāng)三棱錐的體積最大時，求直線尸C與平面產(chǎn)力8所成角的正弦值.

23.在V48C中，NA4C=45°，AB=W，/C=4,“是邊8c上的動點(diǎn)(不與A,C重合),過點(diǎn)產(chǎn)

作/。的平行線交彳8于點(diǎn)E,篇ZX8E/沿斯折起，點(diǎn)8折起后的位置記為尸，得到四棱錐尸-4C尸￡,

如紹所示.

(2)若尸為8c中點(diǎn)，且平面PMJ.平面力。在，求二面角尸-EC-"的余弦值；

(3)若。為/C中點(diǎn)，是否存在點(diǎn)產(chǎn)，P,使得2。_1_力￡,若存在，求W的取值范圍；若不存在，請說

明理由.

24.如圖，V48c與△8CO所在平面互相垂直，在直角三角形ABC中，AB=AC,在△BCD中,

BC1BD,NBCD=60。，點(diǎn)E、戶分別在線段40、CD上,將出斯沿直線E尸向上翻折，使點(diǎn)。與點(diǎn)

A重合.

(1)證明：ACLAE,

(2)求更線,4"弓平面所成角的正弦值;

第7頁，共76頁

(3)判斷四棱錐是否存在外接球，若存在，求出外接球半徑，若不存在說明理由.

25.如圖，已知48是圓柱下底面圓的直徑，點(diǎn)。是下底面圓周上異于48的動點(diǎn)，CD,3E是圓柱的

兩條母線.

(2)若該圓柱的側(cè)面積等于兩底面面枳的和，當(dāng)。為弧Q的中點(diǎn)時，求直線4E與平面力C。所成角的

正切值.

26.如圖是由6個邊長為2的正三角形拼接而成的六面體，M,N分別為PC,力8的中點(diǎn).

(3)求直線"N與平面440所成角的正弦值.

27.如圖，四棱錐尸-4BCQ中，尸4_L底面/8CO,AB=AC=BC=2,AD=CD=41^PA=2,E為

PC上一點(diǎn).

(I)證明：平面4C_L平面瓦圮；

(2)若E為PC的中點(diǎn)，求二面角。-砧-C的平面角的正切值.

28.如圖，在四棱錐尸-力8。。中，底面48C。為平行四邊形，△PCO為等邊三角形，P4L平面尸8,

E為CO的中點(diǎn)，21=1,AD=2.

(1)求證：平面尸力后，平面/18C。；

(2)求四棱錐P-45CQ的體積：

(3)求直線P8與平面/出。。所成角的正弦值.

第8頁，共76頁

29.如圖，在四棱錐中，底面四邊形/出CZ＞是正方形，4￡_L平面C'QE,二面角￡-48-。為

4

(1)證明：平面平面力8CQ；

(2)求直線““與平面力8CQ所成角的正弦值.

30.已知正四棱錐P-48C。，M,N分別是8C,P。的中點(diǎn).

(I)證明：CN//平面P4U；

(2)若四棱錐各校長均為2,求直線CN與力〃所成角的余弦值.

31.如圖，在四棱錐產(chǎn)-川弘》中，底面48CQ為正方形，口，底面力取'。，PA=AB,E為線段總的

中點(diǎn).

(2)求4C與平面尸5c所成角的大小.

32.如圖，在四棱錐產(chǎn)一48CQ中，AD/!BC,ADLDC,AC=CO=’力力=1,月為棱力。的中點(diǎn)，PAL

2

(I)求證：平面48_L平面尸80；

(2)求直線。力與平面P8。所成角的正弦值:

(3)求點(diǎn)。到平面產(chǎn)力3的距離.

第9頁，共76頁

四、立體幾何綜合問題（本大題共2小題）

33.在直角梯形/18c。中，ADdBC,ABA.BC,8c=2拒，AD=AB=6（如圖1）,把△力8。沿

8。翻折，使得/把平面BC。，連接力C,M,N分別是8。和3C的中點(diǎn)（如圖2）,請用幾何法求解下

列訶題：

（I）證明：BD上AMN；

（2）當(dāng)平面44。，平面3C。時.求二面角力-8C-力的正弦值；

（3）若P,。分別在線段4?,ON上，且我二篙二〃2〉。）（如圖3）,令P0與8。所成的角為

外PQ與4V所成的角為4,求sinq-sin&的取值范圍.

34.如圖，在三楂錐/一力8。中，VA=bB=AB=AC=BC=2,VC=\.

（1）求證：ABLVC,

（2）求直線P8與平面/IM?所成角的正弦值：

（3）若力3//a,VC/la,用平面a將三棱錐【/-/8C分為兩部分，求截面面積的最大值.

五、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（本大題共21小題）

35.如圖，在長方體力4。。-44GA中，44=44=4,40=2,AE=\AB.

4

（I）證明：力。1平面?！ā辏?/p>

（2）求直線與平面。￡6所成角的正弦值.

36.如圖，在四棱錐。-彳8c。中，平面P4）平面"CO,E為40的中點(diǎn)，PALAD.BE//CD,

BELAD,PA=AE=BE=2,CD=\.

第10頁，共76頁

(I)求點(diǎn)A到平面P8C的距離；

(2)在線段PE上是否存在點(diǎn)M,使得DM〃平面尸AC?若存在，求出點(diǎn)M的位置；若不存在，說明理

由.

37,如圖，將△5CO沿直線CO旋轉(zhuǎn)至△/C。，再將△力CO沿直線CO旋轉(zhuǎn)至△PCD,且使得力P//平面

BCD.

(2)若△ACO為正三角形，且4〃=。。，求直線力8與平面PCD所成角的正弦值.

38.如圖，在多面體ME-48CD中，底面力8CO是邊長為近的正方形，EM//AC,AE-平面

ABCD,且三棱錐M-44。的體積為".

M

DA

(I)若CM〃平面8OE,求證：平面8OE；

(2)求平面力8E與平面8EO的夾角的正弦值.

39.在平行四邊形力8c。中，/8=2,力。=1,/。力8=6()。,后為/14中點(diǎn)，將VAOE沿直線OE翻折至

△4OE.設(shè)"是線段4。的中點(diǎn)，CEL&E.

(2)求三棱錐4-OEC的體積；

(3)求直線與平面4。。所成角的正弦值.

40.如圖，在平面四邊形力8CZ)中，V48C為等腰直角三角形，VZCO為止三角形，

第11頁，共76頁

力2=2.現(xiàn)將4。4。沿/。翻折至\『5/。，形成三棱錐S-48C,其中S為動點(diǎn).

二二/^c

D—一又

(I)證明：ACA.SB,

⑺若SC1BC,三棱錐S-力取?的各個頂點(diǎn)都在球。的球面上，求球心。到平面勿。的距離；

(3)求平面"C與平面S8C夾角余弦值的最小值.

41.如圖1,在平行四邊形MCO中，AB=2BC=4^ABC=^°,E為。。的中點(diǎn).將V4OE沿花折

起，連接8。與CO,如圖2.

(I)當(dāng)8。為何值時，平面4QE_L平面力BCE?

(2)設(shè)麗=2而(0K4K1),當(dāng)BEJ.DE時,是否存在實(shí)數(shù)尤，使得直線"一與平面月8CE所成角的正

弦值為畫？若存在，求出力的值；若不存在，請說明理由.

10

(3)當(dāng)三楂錐8-COE的體積最大時，求三棱錐。-48E的內(nèi)切球的半徑.

42.如圖，直四棱柱488-44GA的底面44co為直角梯形，

NBAD=/ADCMB=AD=l,AA+CD=2,P為。。的中點(diǎn)，點(diǎn)。為棱上一動點(diǎn).

(3)若二面角的余弦值為更亙，求押的值.

57BQ

43.如圖，在三棱錐P—48c中，P4=PC=4B=AC=2,BC=26,E為PC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在P/I上,且

E/_L平面PAB,~PM=XPB(A€R).

第12頁，共76頁

（I）若平面/8C,求4：

（2）若a=!，求平面R18與平面A"C夾角的正切值.

2

44.如圖，在三棱柱48C-48G中，平面/AC,D,￡分別為AC,4G的中點(diǎn),

（I）求證：力C_L平面8OE；

（2）求直線OE與平面力4七所成角的正弦值；

（3）求點(diǎn)。到平面力8￡的距離.

<*>

45.如圖，在三棱柱48C-48cl中，ABtBC,AB=BC,NABB\=NCBB、=彳.

（I）求證：四邊形*CG4為矩形；

（2）若48=44=2,求平面488M與平面48C夾角的余弦值.

46.如圖，三棱錐/一用口3中，DB=DC=BC=2,AD—近，AB—標(biāo),平面/8C_L平面DCZ,E是

第13頁，共76頁

(2)求二面角。-力4的正弦值.

47.如圖1,在直角梯形“8CQ中，己知/1Q〃8C,/1Q=48=LBC=2,N84O=90。，現(xiàn)將△力B。沿用。折

2

起到△P8。的位置，使平面PBOJ_平面4CQ,如圖2.

(I)求證：CDA.PB；

(2)求尸C與平面8CO所成的隹的正弦值；

(3)求二面角2-8C-。的平面角的余弦值.

48.在V48C中,4C=4Q=CQ=3,30=5,將"CO繞著CD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐4一院?。?

(2)若平面4。。_1平面8。。，求平面與平面8c。夾用的余弦值.

49.如圖，在三棱錐P—48c中，41平面力8C,ABLBC,PA=AB=BC=2,M,N分別為PC,AB

(I)求異面直線PC與48間的距離；

(2)求二面角4—MN-P的余弦值.

50.如圖，在四棱錐P-A8C。中，四邊形力8co是菱形，P4JL平面A8C。，乙48c=60。，PA=

\AB=1,￡,F分別是線段8D,PC上的動點(diǎn)，且BE=W0,P?="C(OW入K1).

(1)若EF//PA,求人的值；

(2)當(dāng)^=；時.求直線?！ㄅc平面P9C所成角的正弦值:

第14頁，共76頁

(3)若直線HE與線段BC交于點(diǎn)M,4HJ.PM于點(diǎn)H,當(dāng)C77的長度最小時，求人的值.

51.如圖，在平面圖形甲中，2AD=2CB=2CD=4B,CDIIAB,4。。尸與分別為以斜邊

的等腰直角三角形，現(xiàn)將該圖形沿。2C8向上翻折使C￡;B邊重合(從尸重合于E),連4E.圖乙

中，M為所中點(diǎn).

求證：。知//平面力。后；

(3)求平面DMC與平面ABD夾角的正弦值.

CO_L平面P4O,PAA.AD.

(2)若底面月8。。是正方形，AP=AB=2,E為PB中點(diǎn)、，點(diǎn)F在棱PD上,且異面直線力尸與尸〃所

成的角為60。.

(i)求相的長度；

(ii)平面力石產(chǎn)交PC于點(diǎn)G,點(diǎn)用在線段P8上，求EG與立面M4O所成角的正弦值的取值范圍.

53.如圖，在直三棱柱48C—44G中，AB1AC,D,E分別為的中點(diǎn).

(I)求證：QE//平面4BC；

(2)若。EJL8C,二面角4-8。-。的大小為?，求直線8c與平面8C。所成角的大小.

54.在如圖所示的平行六面體，42C。-44。田中，AB=\,4。=2,AAx=lj2,

第15頁，共76頁

^4D=b?AA]=c.

________UULU____________

(l)用d,b?^表示衣，AC1,西;

(2)求異面直線4c與8A所成角的正切值.

55,在梯形43CQ中，AB〃CD,NBAD=60；AB=2AD=2CD=4,P為AB的中點(diǎn)、,線段AC與。尸交于

O點(diǎn),將△/CO沿4c折起到△/S'的位置，使得平面4c8工平面力8'.

(I)求證：^。//平面人?。'；

(2)線段尸。上是否存在點(diǎn)。，使得C。與平面8c。所成角的正弦值為在？若存在，求出絲的值;

8PD'

若不存在，請說明理由.

第16頁，共76頁

參考答案

1.【答案】（I）—

⑵75（2必3

4

（3）5五

【詳解】（1）如圖，設(shè)球心為。，由題知。為QU的中點(diǎn)，且。力=。4=。2=/?（其中/?為外接球的半

徑），

又球O半徑為5,力。2=4,則00>=J"PT=-4?=3,

所以002=6,0。I=5-3=2,則圓柱。。2的體積為匕="4'6=96幾，圓錐尸。的體積為

..1_32it

K,=-nx4-x2=---,

~33

則幾何體C的體積P=匕+匕=96兀+子317r=早3）0立.

由題知OP=2a=5,得到a=|,

則4。2=何2一。21=/「一弓=孚，又O'B=O[A=E，則PB=8尸+0聲=梓哼=5,

所以圓柱。。2的表面積為￡=叫彳2+2叫力?。2=7tx寧2以半<5=25石底等

圓錐PO.的表面積為色=吟BPB=冗x孚x5=竺普，

7573^75^75（2^+1）^

所以幾何體。的表面積為§=S+S,=

244

（3）設(shè)H4=x,則03=

戶⑼一/

則圓柱。02的側(cè)面積為S3=2nOA-AB=71.J100-，<7C=50兀，

22

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)TOO—/,即工=50時取等號，即當(dāng)x=5及時，圓柱。?的側(cè)面積最大.

第17頁，共76頁

2.【答案】(1)見詳解

3

(2)3

匕±

--

(3)匕

371

(1)由題意平面彳CQ,又COu平面4CO,

BB、1CD,

又CDA.AB,ABcBB\=B,AB,BB}u平面ABB4,

\CD"平面，:CDu平面PCD,

平面PCD_L平面AA^B.

(2)連接80,因?yàn)樗訬BPD為所求角,

依題意，OB1ODQB=OD=2,所以8。=2及，

又P為正方形448避的邊的中點(diǎn)，所以尸8=2,

故PD=20.

所以cos/8PO="=且.

PD3

所以直線00、與DP所成角的余弦值為史.

(3)?.?44//0。|,0。1U平面。6。*用《平面QCO

BBJ/平面O[CD,

二.P到平面qc。的距離等于點(diǎn)8到平面qc。的距離，

,,Vq-PCD=^P-OtCD=%-OiCD=

—1x—1x44x2…x4,

..Krz3_2______

=2

V2nx2x43兀

3.【答案】(1)100個

(2)(300+125易75MM2

【詳解】(1)設(shè)等邊三角形的邊長為。，則由三角形面積公式可得該三角形面積為』〃飛畝6()。=且

24

故正三棱柱的體積匕=立x/x[=走cnV,

44

第18頁，共76頁

正三棱臺的體積匕=；xlx乎x/+'x2?+乎2?）=,

rRE、1彳6

所以該零件的質(zhì)量為7詈+半、7.8=詈8，

所以該盒中共有零件65。鳳等=1。。個.

（2）如圖，設(shè)。，A分別為三棱臺所在棱的中點(diǎn)，o,a分別為三棱臺上、下底面的中心,

連接OO|,OD,DD\,OR.

因?yàn)閬V。=lxsin60°=立cm,所以。￡>==近c(diǎn)m，

2326

同理可得aA=1X近X2=Ecm，

11323

所以。A={OO；+（OQ「OD『=烏cm,

所以三棱臺的側(cè)面積為』x（l+2）x叵x3=8叵cm?,

所以一個零件的表面積為遮+3xF+Xix22+lxlx3=3+也應(yīng)亙cm?.

4444

因?yàn)椋?+5百：3輛）x100=300+12573+75x/39,

所以共需涂（300+1256+75MKm2的材料.

4.【答案】（1）27兀

（2）33兀

【詳解】（1）依題意得，旋轉(zhuǎn)體的上方是一個半球體，下方是一個圓柱，如圖所示.

匕拄=-X-7IDE3=-7TX33=18TI,

羊球233

/.彳=%+/半球=971+18兀=27兀，

所以「的體積為277t.

第19頁，共76頁

(2),/AD=1,DC=DE=3,

S陽柱創(chuàng)+S網(wǎng)柱底=2nDC-AD+兀DC2=2;rx3x1+nx32=15K,

S半球面=gx47rQd=gx4兀x32=18n

二.=S用柱側(cè)+$柱底+[/面=15兀+18兀=33兀.

所以「的表面積為33兀.

5.【答案】（1）見詳解

（2）見詳解

⑶立

4

【詳解】（1）作4E_LQC,￡為垂足，如圖,

在等腰梯形ABCD中，AD=AB=BC=^CD=a(a>0),

DE=^(CD-AB)=^a,ZADE=60°,

AC=\ja2+-2x2a'cos600=&，

AC2+AD1=DC\AACA.AD.

(2),；PC工PD,平面4OPL平面PC。，平面45Pc平面PCQ=PO,PCu平面PC。,

???PC_L平面力QP,又4。u平面力。P,

APCA.AD,又力C_L/1。，

?：ACnPC=CyAC.PC1ACP,

JAD1平面ACP,

Y/lPu平面XC尸，/.ADLAP,

；?ND"=90。,即△WQP為直角三角形.

(3)由(1)知在等腰梯形力BCD中，AE=—.=ixlxV3=—,

2x-i/ftA.22

I+2y/i3A/T.S-CD_3P-AHCD-3

Jc柯形/IBO——x—=——

224SGADC2Vp-ADC2,

又PC_L平面ZOP,為直角三角形，PDA.PC,

***DP=yj22-\2=6，AP=

匕TDC=〃-仙/,=:X；X1X近X1=4

32O

3V2V2

Vf>-ABCD-彳^P-AiX：—x----=----.

264

6.【答案】（1）見詳解

第20頁，共76頁

（2）4

【詳解】（1）證明：因?yàn)镻01平面48CQ,所以PO_L1。.

又PA=PD,所以。是力。的中點(diǎn)，

所以力?！?。，AO=-BC.

2

取尸。的中點(diǎn)連接。W,EM,

可知EMHBC?EM=—BC,

2

所以EM//4O,EM=AO,

所以四邊形4EMO是平行四邊形，從而AE//OM.

因?yàn)榱Α阛平面POC,（）Mu平面P0C,

所以4E〃平面POC.

（2）因?yàn)榱Α?/平面尸。。，所以點(diǎn)E到平面P0C的距離等于點(diǎn)A到平面尸。C的距離,

所以—E-POC~^A-POC?

22

又因?yàn)閊A-POC=^P-AOC?PO—PA—AO=3?

/TX=；X（：X2X4）X3=4,所以三棱錐E—POC的體積為4.

7.【答案】（1）9

（2）也或逑

22

【詳解】（1）由題意知P?！蛊矫?8CQ,過點(diǎn)0'作O,_LC。交。。于點(diǎn)尸，連結(jié)尸兒

則點(diǎn)尸為C。的中點(diǎn)，所以尸產(chǎn)_LC。，

因?yàn)榈酌娣e為3,可得力。=6，則。下=立.

2

因?yàn)樗睦忮F的高為T，所以母）=6.

所以%=LGXGX4+3=9.

&2

第21頁，共76頁

p

（2）設(shè)外接球半徑為A,由外接球表面積5=4兀心=8兀，可得〃=&.

因?yàn)榈酌娣e染=3,設(shè)底面正方形邊長為“，

則c/=3,a=6底面正方形對角線長30=5/1。=〃，

所以底面正方形外接圓半徑/二處=如.

22

由題，正四棱錐外接球的球心。在P。'上，

設(shè)球心。到底面距離為由爐=d2+/,可得dH=、□=包,

V22

當(dāng)頂點(diǎn)尸與球心。在底面月4。。異側(cè)時，正四棱錐的高/?=R-d=拉-等=*；

當(dāng)頂點(diǎn)尸與球心。在底面力BCO同側(cè)時，正四棱錐的高力=/?+/=亞+立=速.

22

根據(jù)正四棱錐體積公式展2S〃當(dāng)公正時，昨匕3義父旦;

32322

當(dāng)人3行...1.3723&

3A=---時，V=-x3x----=----.

2322

8.【答案】（1）石；（2）迪兀

3

【詳解】（1）設(shè)圓錐的母線長為/，高為力，底面半徑為小

則該圓錐的側(cè)面積為“/=2nr=2兀,解得〃=1,

故該圓錐的高為h=J/?一產(chǎn)=y]2'-I2=Ji；

故該圓臺的體積為/=$、（22+42+2、4卜石=箏九.

9.【答案】（1）見詳解

（2）見詳解

【詳解】（1）在三棱柱48C—44G中，

第22頁，共76頁

平面4AG〃平面力4C,平面8CHGc平面力4C=AC,平面8c"Gc平面44G=G”,

WBC〃GH

(2)?.,在三棱柱力8C-4/G中，

E.F,G分別是川9,AC,44的中點(diǎn)，

AG/iBE,A】G=BE,

???四邊形AG/盧是平行四邊形，.ME"的,

?.?BG仁平面4以"A】Eu平面AEF,

z.BG〃平面4M.

又EFIIBC,BC仁平面FEu平面&EF,

BC//平面4石廠.

AG。8c=8,BG,8Cu平面BCHG

平面EFAj/平面BCHG.

10.【答案】(1)見詳解

(2)〃/平面尸8。，見詳解

【詳解】(1)

證明：???底面48co是菱形，N,M,。分別為P8,PD,PC的中點(diǎn).

:?QNHBC,BCIIAD,:.QNHAD,

???0N<Z平面P4O,4QU平面4。，

(2)

直線/與平面P8O平行，證明如下：

N分別為PO,P8的中點(diǎn)，

:.MNIIBD,

,:BDU平面ABCD,MNB平面ADCD.

「?MN//平面/BCO,

???平面CMN與底面ABCD的交線為I,

???由線面平行的性質(zhì)得MN/；/,

■:MN//BD,：.BD//l,

????！?,。2面。8。，且8OU平面080,/(Z平面P8D,

???〃/平面P8D.

第23頁，共76頁

p

II.【答案】（1）見詳解

（2）叵

5

PQ1

（3）存在,QC=2

【詳解】（1）設(shè)力C,8。交于點(diǎn)0,連接。M,則。為4。中點(diǎn).

在△尸8。中，O,M分別為8。，尸。中點(diǎn)，所以QW//尸8.

因?yàn)镺Mu平面A7/1C,P8&平面

所以P8〃平面M/IC.

（2）過點(diǎn).“作垂足為E,過點(diǎn)E作石尸I/O,垂足為尸，連接」ME

因?yàn)槠矫鍼/。I平而48C。，平面平面45CQ=4Q.

所以ME_L平面力8CO.

因?yàn)榱u平面48CQ,所以

又EF1AC,MEcEF=E,ME,Mu平面ME/.

所以力C_L平面A"戶.

因?yàn)榘?u平面所以力CL/M7,

則NMFE即為平面M4C與底面ABCD所成二面角的平面角.

設(shè)/夕=2,則￡＞尸=2^1,ME=^，故A/產(chǎn)=+（乎

所以cosZ.MFE-烏-=業(yè)5，

MF5

即二面角M-力。-。的余弦值為巫.

5

（3）存在點(diǎn)。，當(dāng)黑二；時，平面8。。，平面M4C.

證明如下：

如羽，取力。中點(diǎn)N,連接CN交87）于點(diǎn)G,連接G。,

第24頁，共76頁

p

M

B"C

因?yàn)椤髁Q是正三角形，所以尸八〃AD.

因?yàn)槠矫?fZ）_L平面48C。，平面八40c平面45CQ=4Q,

所以PN八平面48CQ.

因?yàn)榈?N=!=?，所以。G〃尸N,所以。G_L平面48co.

CODC2

因?yàn)?ICU平面48CQ,所以0G_L4C.

因?yàn)榈酌鍺5CQ是正方形，所以4CqBD.

又。Gn8O=G,QG,8Qu平面B。。，所以4C_L平面8。。，

又力Cu平面M4C,所以平面平面AMC,

所以棱PC上點(diǎn)存在點(diǎn)。，當(dāng)?shù)?；時，平面平面4WC.

y<J

12.【答案】（1）見詳解；

⑵"

7

（3）存在，CF=—.

5

【詳解】（1）在三樓臺力〃。一中，平面力_L平面/BC,ARLBC,

而平面力8814。平面/8C=力4,BCu平面4BC,

所以4CJ.平面488d.

（2）由棱臺性質(zhì)知:延長力4,5B1,CG交于一點(diǎn)P,

由44=（%凡得%*=45%的，點(diǎn)/>到平面48c的距離為到平面44G距離的2倍，則

VpTBC=8%44G,

于是〃=匕生叵=生叵，由FUL平面力網(wǎng)4,得8c為點(diǎn)C到平面的距離,

r-AtfL7力打（一/1,Ai733

第25頁，共76頁

又則4是P4的中點(diǎn)，P4=44=44=P4，即為正三角形，△以“為正三角形,

設(shè)48=2x,則8C="=P8=48=2x,

XX2

VPABC=~SP\B-BC=~—（x2x=—i解得x=2,

PYBC3m&3433

AB=BC=PA=PB=4,由P8u平面產(chǎn)力8,得BC工PB,AC=PC=4粒，

22

S「c=；x4x7（4X/2）-2=4X/7,設(shè)點(diǎn)"到平面ACCtA,的距離為d，

由％田=%/，得;5“〃〃=笄"=與，解得：d=*

即點(diǎn)〃到平面4CG4的距離為也H.

7

(3)由8cl平面8Cu平面48C,得平面彳8C_L平面,取力8中點(diǎn)N,連接ZW,

在正中，PN工AB,而平面力〃CD平面產(chǎn)力8則/W"平面力8C,而CVu平面力4C,

則尸N1CN,又PNu平面PNC,則平面PNC1平面力8C,KFE工CN于E,

平面尸/VCCI平面/出C=CN,則FE_L平面"C,FEHPN,而力8u平面"C,貝i」”_L在，

作￡。148于。，連接O,DECFE=E,DE,FEu平面DEF,則481.平面/，

而PDu平面DEF,于是月4J.五D,N/T應(yīng)即二面角尸-/e-。的平面角，

設(shè)所="，由（2）知：PN=2后,CN=>!BC2+BN2=2#，

由當(dāng)■=笑"，得?！?=平■.囚=百，EN=2亞-亞t,

PNCNJ3

EN2^5-J5

tljDE/IBC,得。E二把4。='.'1bx4=4-2,

CN25/5

若存在尸使得二面角F-AB-C的大小為9，

則tanZ.FDE=tan—=0,解得/=:

6DE4-2/35

2

CF={CE?+EF=272=—<CC]=2#,

5

所以存在滿足題意的點(diǎn)尸，CF="

5

13.【答案】(1)見詳解

⑵立

4

第26頁，共76頁

【詳解】(1)取4P中點(diǎn)K,連接K'K。，

由=PB=B4,

得力尸_L8K,AP1DK,

乂因?yàn)锽KClDK=K,且8K,DKu平面BDK,

所以4尸“平面2力K,

因?yàn)?Ou平面4OK,所以6Q14P.

(2)設(shè)點(diǎn)P到平面力8。的距離為力，直線網(wǎng)與平面/出C所成角為0,

則四面體P-48c的體積為四=—Xi-x2x2x^-h=或＞

由題意有巫力=叵，得力=近，

362

故sinO=-4-=立，即直線P"與平面44C所成角的正弦值為包.

PB44

14.【答案】(1)見詳解

(2)—

6

(1、

(3)0,-

I2)

【詳解】(1)AD〃BC、AB工AD,AB=BC=2,

所以ZBAC=/BCA=ZCAD=-.AC=242,

4

所以在△4C。中，由余弦定理得

CD=^AC2+AD2-2ACADcos^=j+16-4也x4x李:2M

所以/。2+。2=力。2,所以CO_L4c

因?yàn)?_L底面ABC。，。。（=平面48。。，所以COJLE4.

又P4c4c=4P4MCu平面以C,所以COJL平面P4C

(2)取8P的中點(diǎn)￡過點(diǎn)。作。尸_Z平面P8C,。尸交平面08c于點(diǎn)立連接CR

BC

因?yàn)槭?_L平面48CQ,"u平面產(chǎn)44,所以平面_L平面44CD

因?yàn)槠矫媸?18c平面"CQ=/B,8CJ,48,所以8cl平面P44.

因?yàn)榱u平面218,所以