2026屆高考數(shù)學(xué)壓軸題系列：數(shù)列問(wèn)題

1.（2025?天津）已知為等差數(shù)列，也;為等比數(shù)列，《叫「2”：二生"必二乩,

（1）求I”」」“）的通項(xiàng)公式；

（2）V〃w、?，/={0J）,有

。={p岫?PW也?…中2外-/1+幾。也IP",,…，2€/）,

①求證：V/eT；,均有，<4也“；

②求7；中所有元素之和.

2.（2025.湖南模擬）若存在常數(shù)八使得數(shù)列滿足JWM…凡l（n>\,nN）,則稱(chēng)

數(shù)列為"〃"）數(shù)列

（1）判斷數(shù)列：1,3,5,10,152是否為“〃（2）數(shù)列“，并說(shuō)明理由；

（2）若數(shù)列”二是首項(xiàng)為2的“〃⑴數(shù)列”，數(shù)列他，是等比數(shù)列，且①」與也；滿足

〃…q+hg“，求/的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；

|w|

⑶若數(shù)列①」是“〃⑺數(shù)列”，s“為數(shù)列值」的前“項(xiàng)和，a>1,Z>0,證明：

3.（2025?湖南模擬）在數(shù)列“；中，q二I,其前n項(xiàng)和為S.,且〃；Sn二（〃1）（5.J

（“22且〃￡'■）.

（1）求他」的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列也}滿足其前〃項(xiàng)和為7；,若加億.3）4儲(chǔ)、丁恒成

）n-\'

立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

4.（2025?浙江模擬）定義：若對(duì)〃22,都有一如|=/（j為常數(shù)，且"0）,則

稱(chēng)數(shù)列伊;為“絕對(duì)等差數(shù)列“，常數(shù)j為數(shù)列也|的“絕對(duì)公差已知“絕對(duì)公差''數(shù)列所有

項(xiàng)的和為E

（1）若/=1,a,2,&I,請(qǐng)寫(xiě)出有序?qū)崝?shù)對(duì)（生的所有取值；

（2）若數(shù)列共有259項(xiàng)，且/=3,q=211,，985,求數(shù)列的通項(xiàng)公式q,；

（3）若j為奇數(shù)，數(shù)列曾「共有2k（AWN，422）項(xiàng)，且q?0,￡■（1.證明：k為偶

數(shù)，并寫(xiě)出一個(gè)符合條件的數(shù)列

5.（2025?天河模擬）對(duì)于數(shù)集/={-1.4%.…,6},其中0<q</<???<%,”22,定義“伴

隨向量集“8：而二（口）,、￡.4/一1；.若對(duì)任意彳￡8,存在萬(wàn)wB,使得&萬(wàn)0,則稱(chēng)

A為“好集”.

（1）已知數(shù)集4<卜&.I，請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)集.4的”伴隨向量集“/并判斷是否為"好集”（不

需要證明）；

（2）若有限集d={-1嗎嗎為“好集”，求證：lw,4,且當(dāng)0<q<l時(shí)，ajl；

（3）若有限集.4二；1必必,,?“；為“好集”，且?！?xqq二I,求

6.（2025?威海模擬）設(shè)集合？'?2'04八“目。中所有的數(shù)從小到大排列構(gòu)成數(shù)列

①」，并將數(shù)列的各項(xiàng)農(nóng)次按照上小下大，左小右大，第〃行共有〃項(xiàng)的原則，寫(xiě)成如下

的數(shù)表.

a\

。2。3

。4。5。6

（1）寫(xiě)出該數(shù)表第4行各項(xiàng)的數(shù)；

⑵求〃”：

（3）設(shè)外位于數(shù)表的第八行，若\〉200,且該數(shù)列前、.項(xiàng)的和能被2“整除，求、的最小

值.

7.（2025?長(zhǎng)沙模擬）對(duì)于有窮數(shù)列4：q,g,...,q,若存在，使得q-a72,

則將數(shù)列進(jìn)行操作變換T：將a,減1,。，加1,其余項(xiàng)不變，得到數(shù)列.（，記為7（IJ.從

.（開(kāi)始進(jìn)行m次操作變換丁，依次得到數(shù)列4,4,…，4,即4八IJ,，=12…M.

(1)已知數(shù)列.1，：2，0，I，3,是否可以通過(guò)巾次操作變換7得到如下數(shù)列？

①-4，2，I，2：②0，0,0，2，

若可以，請(qǐng)寫(xiě)出一種滿足題意的4，兒，…，4.；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)已知數(shù)列,(：q,%，…，6是公差為I的等差數(shù)列，若從(開(kāi)始進(jìn)行用次操作變換

7后得到數(shù)列/.：3,3,3,3,3,求用的所有可能值.

(3)已知數(shù)列4：I,2,???，20,將數(shù)列兒進(jìn)行6次操作變換丁，直到這種操作不能再

進(jìn)行時(shí)為止，求陽(yáng)的最大值.

8.(2025?眉山模擬)已知是定義在/上的函數(shù),若對(duì)任意上￡模/(己20恒成立,則稱(chēng)〃I)

為/上的非負(fù)函數(shù).

(1)判斷二i-clni是否為上的非負(fù)函數(shù)，并說(shuō)明理由.

(2)已知〃為正整數(shù)，g(0=nr-alni(d>0)為(0.?工)上的非負(fù)函數(shù)，記。的最大值為q,

證明：他」為等差數(shù)列.

(3)已知〃22且"《N'，函數(shù)加i)=《(x>0)，若尸(外=加外-力(〃)為(0.+“)上的非

X-

2029|

負(fù)函數(shù)，證明：Xr<dn2()25):?

?=2幺

9.(2025?義烏模擬)給定正整數(shù)〃23,考慮集合［2…〃)的所有排列N=(49…d),對(duì)每

個(gè)定義：J,并規(guī)定4?o.記S.為所有排列中￡4的最大

值.

(1)對(duì)于排列x=(l.3.2.4),計(jì)算￡d，再直接寫(xiě)出S和1的值，并分別給出一個(gè)滿足

立，的排列和一個(gè)滿足%.S,的排列；

(2)對(duì)任意整數(shù)423,證明：1+；

(3)證明：Sp>13312.

10.(2025?上虞模擬)已知數(shù)列滿足：①4￡7,②/.「qlSl,則稱(chēng)數(shù)列他」有性質(zhì)

答案解析部分

】.【答案】（1）解：設(shè)等差數(shù)列值二的公差為d,等比數(shù)列的公比為。,

由q二勺2.ub*l.aA,,可得解得/二3,q—2,

2+2d=2/

則&?3〃I,"=2?；

（2）①證明：由⑴可得心。也二。或幾。也;（3吁1）2?，4Mz=伽*2）2"”，

當(dāng)也=（3〃I）2">0時(shí),

設(shè)S.=p岫?P/?A+…+P,i*&+P.a也=2X2+5X2'+?T（如7）2,①，

電一2,2二.5x2J.?…（3〃1）21②，

①.②可得—S.二4+3”丁?丁..丁|[3”1）211=-8+（4-3n）2*,

即、=（3〃明,2'',為匚中的最大元素，

%"（3"2）.2，

,

4.也.「$<,=（3〃+2）2?“-[8+（切-4）2".]=6,2"“-8>0恒成立，

則,￡7；,均有/..也“；

②解：由⑴可得J=（3〃-4）?2?“-8,為7；中的最大元素,

由題意可得：「二一帖』.一咕一"一咕一°"一（他，"人‘

其中i."w|12…間Jw/"，

則r,的所有元素的和中各項(xiàng)u"出現(xiàn)的次數(shù)均為：

???.?仁；*Ct?2一次，

所以7；中所有元素的和為2-1￡>也卜2‘1（3”4）?2A.8].

2.【答案】（1）解：若數(shù)列：1,3,5,10,152為“〃（2）數(shù)列“，則”2,

即a.”,2,因?yàn)椋?q?2成立，成立,

/acj,a101-^-55/2不成立，

所以1,3,5,10,152不是“"(2)數(shù)列”;

(2)解：由數(shù)列k；是首項(xiàng)為2的“〃⑺數(shù)列”，則?：??/,仇3f?4,

設(shè)等比數(shù)列|"；的公比為4,

-I.!

由>a①，可得?廣—，?hg」，..②,

|o||v|

①-②可得以l|?kg”.lug\.

即匕尸。已。，…。I卜kgg,

由數(shù)列|。」是“〃⑴數(shù)列”，則q/一，對(duì)于〃21,”￡、恒成立，

所以必=(4—川生T)+晦q，

即"+1肛即小也.1108s.對(duì)于“Al,〃w、恒成立，

則;“?1)%-，=1%4=(/?l)〃+2)-/=k>g/

[(r41)<jj-/=log:^+l)(5/+4)T=log]q

解得，=-l,4=2,由q?2,a：?q+kg%,則々7,即々?2”“，

故所求的/--I,數(shù)列也：的通項(xiàng)公式22,；

(3)證明：要證,>“廣0-/?，即證，>%「一?，因數(shù)列|〃」是“〃〃)數(shù)列”，

則?小〃「??《?/，

則要證,>4“e’?',即證-q%…可c'?，oqq…q<<?，",

又q?qq必…q/,對(duì)于〃2I,〃w、恒成立，

因?yàn)閝>l,f〉()，則再結(jié)合q>l,f>0,a>>I,

反復(fù)利用q.?qaa仇T,可得對(duì)于任意的〃2I,”￡N,a,>I,

則要證：q%…可<c，",即證Inq+In%-Inq<S.一〃oglnq<-1),

i

設(shè)函數(shù)/(x)二hl,"l,WJr(x)=lI,令/'(x)=o,解得

X

當(dāng)x>l時(shí)，r(K)<0,則/("二Ini-l在區(qū)間(1./N)單調(diào)遞減，

因?qū)τ谌我獾摹╳N,a,>I,則/(o.)<〃l)=0=>Ina.-a.+1<0=Ina.<a.-I,

即1nq<q-l,Ina;<a2-1,...?In<a,-1,

相加可得Inq+?i-lna,<a-u.*?qn,即￡皿〃《工(0-1),故命題得證.

|o|

3.【答案】(1)解：在數(shù)列中，q二I,其前n項(xiàng)和為5“，且⑸-§-=("1)61+。一),

,代入，0q_J,整理得4=二°一(〃22),

以上(勿T)個(gè)式子相乘可得：a.=qH--,

23nnn

當(dāng)”,I時(shí)，q■I,符合上式，則4=1；

n

2}

(2)解：由(1)可得：A.=-----1=(2；I-I)x3<,

m)

Z=lx3+3x3：+…“2”l)x3?①，

37；=1」(2^-3)x3'f(2j>-l)x3-1

2,

①一②得，-27；=lx3+2x3+..+2x3--(2/i-I)xy

2x32-2x3ax3

=3?_(2”l)x3i=(-2/f+2)x3Z-6

1-3

則7.=(〃->3”、3,

An(T-3),,v_.,/-9n3

由tinf9x3,可得zw久￡-一匚+,

〃?lI,3〃3〃

；+；22、1-2,當(dāng)且僅當(dāng)〃3時(shí)等號(hào)成立，x^2,則人的取值范圍是(，」].

4.【答案】⑴解：由題意可知，同，|=|4-2|=1,所以％=3或勺?1,

當(dāng)％?3時(shí)，因?yàn)?二：；「；：：：，所以3,二所以(4必)=(3.2)；

卜右一叫|=卜人-l|=I

當(dāng)％?1時(shí)，因?yàn)镴Ji,，所以3??；颉?2,

呵-引=|"％|=1

所以(4.4)=(1.2)或(％.%)=(1.0],

所以有序?qū)崝?shù)對(duì)(生MJ的取值情況為(3.2),(1.2),(1.0).

(2)解：由題可得，1*一3|=3…,258,

所以aa”、3”..、a.<3......a,*3,

累加得〃,-q?774,即〃、，、〃?9S5,

因?yàn)樾　ⅲ?85,所以上述不等式中的等號(hào)同時(shí)成立，

所以q3,k=L2.--.258,

所以數(shù)列①」是以〃211為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，

所以〃，一211?(〃I)?t，〃+20X(〃(N，，〃/25。).

所以數(shù)列打二的通項(xiàng)公式凡3〃-08(〃wN?，“4259).

(3)證明：令/i=1.2,?-\2A1,所以q?士J,

因?yàn)橐?q?q.a、q+q??八...，。工只…,

所以￡=a1+a??="q+("-1)。+(2大-2八?,,+1],

又q0,所以-(24l)q?(找2卜.?…?口一

?(2斤」)“2A-2)???M?[("?I)("G)“2G-2)(I-CJMU-3)("CJ????“JC”.J]

二('I)X甲"1)_[(〃-])("小(2h2)(1?0).(2人-3)("6"??/1-—)]

一(*-1*一[(2*-l)("cJM乂一2)(>CJ+(2A-3)("(J-(1-G，.)]因?yàn)镴,士j,

且j為奇數(shù)，所以(力=12….2LI)為偶數(shù)，

所以(2A-I)(I-卜42|(1r，H(2AJ為偶數(shù)，

因?yàn)镋O,所以(〃1)”?為偶數(shù)，

又因?yàn)?4I為奇數(shù)，所以k為偶數(shù).

0.“為奇數(shù)

當(dāng)大(￡22)為偶數(shù)時(shí)，/■，.^

為偶數(shù)

5.【答案】(1)解：由“伴隨向量集”的定義可得:

4=(-1.-1).I.；.(U)

(-!>-=0,(-1,-1)(1.-1)=0,卜，KT/卜。，=0，

則對(duì)任意Aw4,存在RWB,使得兀區(qū)二。，故集合,4為好集；

(2)證明：取耳=匕必)￡8,因?yàn)榧?是“好集”,所以存在斤二(八/)￡6,

使得“也二H,即〃/、,/)=(),因?yàn)?<q<l,所以.什，=0,

因?yàn)?“},所以存在5?一|,，=|或5■],，?一|,所以lw4,

假設(shè)q>1,取a=(qs)wH,因?yàn)榧蟙是“好集”，所以存在另二(、,/)￡6,

使得々?/).=+a1=0,

因?yàn)?<q<%<…</，所以、J異號(hào)，

若則q4,而0<q<4，所以q二町,不可能成立；

若/-I,則叫a,而0<.-4，0<<I,所以叫:可不可能成立，

故假設(shè)錯(cuò)誤，即凡01,

又因?yàn)閘w/，且0<q<%<…<^，所以4?1；

(3)解：有限集/=卜1必….〃,；為“好集”，且0<q<用<…<a.,a._1?q,aj\,

所以0V取4=3，q)wB,由“好集”定義，存在，二($.，)￡6，使得看石=■$??.<，

所以3,異號(hào)，

若、?一|,則q:/,因?yàn)椤?lt;夕<1,qS/Sl,所以，=6wd；

q

若，-1,則q、q,因?yàn)椤?lt;1,所以該式不成立，

類(lèi)似的：考慮向量〈亍?。，($?</],…，可得序列q,&,3，…，/y都在集合力中,

由華=6=1n%7''?

，/

6.【答案】(1)解：由題意知，第4行各項(xiàng)為2、2',2、2-2\212、24,

所以第4行各項(xiàng)的數(shù)為17,18,20,24.

(2)解：由題意知，

第〃行各項(xiàng)為T(mén)+T中，二〃/二0J2.….〃I對(duì)應(yīng)的值,

設(shè)《在第〃行，

則前〃行總項(xiàng)數(shù)””1%50,

一

解得〃>10,

9x10

則數(shù)表前9行共有、-45項(xiàng)，

所以a*在第10行從左往右的第5項(xiàng),

所以*2—040.

(3)解:數(shù)表第”行所有項(xiàng)的和為:

(2。.2").(7.2?).(2?+2?).???.(2?7.2")

=(/>??1)2"-1,

設(shè)數(shù)表前〃行所有項(xiàng)的和為乙，

則7>(2?7_|)“3?2二1卜(4?2：1卜??*((?1)2--|)

-2,2,+3,2??4,2’+1)2"—",

令刀=2?2,-3?2：)4?21+???*0|3)2*,

則2r-,

兩式相減得7=2?2>2*2?,丁(〃?])>“=4+±土l-y+]R?“

1-2

可得一〃2"“，

所以7；=小2?“-〃，

設(shè)出為數(shù)表的第〃行的第"人T〃)項(xiàng)，

所以數(shù)列前,V項(xiàng)的和為：

心?。?轉(zhuǎn)"倒”卜優(yōu)”)+…優(yōu)t”)

124

=(w-1)2"—(n-1)-?-A:,2*?1-'?=(〃-1)2"—(/>—1)4,A,2*+21-1

1—2

一（〃?斤1）2-2'n，

由題意知，前〃行總項(xiàng)數(shù)嗎1之200,解得〃23」，

因?yàn)槿?n,

所以2'<2">

所以2,〃<2"，

又因?yàn)?"?C'?（?<-*C：>〃，

所以-2“<e

所以-2"<2'，

則-2"<2'-〃<2?，

乂因?yàn)樵摂?shù)列前、項(xiàng)的和能被2"整除，

所以2，—〃0?則〃），

所以丁、20，

可得A>log.20,

所以35,

可得〃的最小值為32,

所以、的最小值為""7=501.

7.【答案】（1）解：山變換7的定義可得，變換前的數(shù)列和變換后的數(shù)列的各項(xiàng)和相等,

所以①不可以，理由：注意到每一次操作變換T不改變的值，

而-4+2+I+21/240+143,故①不可以；

②可以，操作如下：4：3，

4:—I?0,0,3?

4：0,0,0,2；

（2）解：由于每?次操作變換丁不改變q?+…?凡的值，也沒(méi)有改變數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，

故q?生，,?a=3：?：5IS,q,〃,，4；,a,,u、是公差為1的等差數(shù)列，

故數(shù)列4為：I，2，3,4,5,

當(dāng)q-u22時(shí)，(@-|)?I「二+1)0。：-2,

即每次操作后，新數(shù)列各項(xiàng)的平方和至少減少2,且每次減少的數(shù)為偶數(shù)，

而a44,故每次操作后新數(shù)列各項(xiàng)的平方和至多減少6,

記數(shù)列4的所有項(xiàng)平方之和為，，則，產(chǎn)1、2、3、4、52?55,

(■3。3、3、3。3??45,于是人-.匚,10,故24m45,

當(dāng)所=3時(shí)，存在操作變換?。?：2,2,3,4,4：.1：2,3,3,3,4；4：3,3,

3,3,3；

當(dāng)徵,4時(shí)，存在操作變換T：4：2,2，3,3,5：4：2,2,3,4,4：4：2,3,

3,3,4；4：3?3,3!3?3：

當(dāng)刖=5時(shí)，存在操作變換T：4：2，2，2，4,5；4：2，2,3,3,5；4：2，2,

3,4,4；4：2，3,3,3,4；4：3,3,3,3,3；

變換r滿足條件，由于每次變換只能改變兩個(gè)數(shù)，故M的第三項(xiàng)必須為3,

所以4可能為2，2，3,3,5,或2，2，3,4,4,或I，3,3,3,5,或I，3,3,

4,4,

此時(shí)&都不可能為3,3，3,3,3.所以巾-2不可能，

綜上，陽(yáng)的所有可能值為3,4，5；

(3)解：由題意，每一次操作變換/不改變…的值，也沒(méi)有改變數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，

而1+2+…+20?210,因此操作停止時(shí)，數(shù)列(：q,中應(yīng)該含有10個(gè)10,10

個(gè)II，

由(2)可知，由于每次操作后，新數(shù)列各項(xiàng)的平方和至少減少2，

因?yàn)?"1)'一/=(“+1)(〃+2〃+1)-/二刀'+2〃-2/1一"'二3"+3〃+1,

所以=+3xlN，3J-25-3X22+3X2+I，

…，3〃+3/141,

所以?3(-.2，4+,

所以3(1-2-----w)-(/7?1|V“1.2,

所以3(1?.21?…=1,3仆”)-外,

所以3(『,2'*3/?2n-3"”")，

4

3(r?2??/)=〃(〃■])m+2)-3"‘；"),

所以3(1■]------nI〃|“74〃+；),

所以入2、…八小")⑶")

6

記數(shù)列力的所有項(xiàng)平方之和為4,

20x21x41

則4=1+2'+…+20：=2K7O

::

4-IOx|O+IOx||.2210，于是41-，?660,故04330,

下面證明：存在330次操作變換丁滿足題意，

若數(shù)列中的最大數(shù)與最小數(shù)之間的所有整數(shù)至少出現(xiàn)一次，則稱(chēng)該數(shù)列為“連續(xù)數(shù)列”,

則4：1,2,20為連續(xù)數(shù)列，記其中的最大值為人，最小值為。

先對(duì)。與“多二操作，再對(duì)u+1與u+3操作，

然后對(duì)u+2與u+4操作，…，直到對(duì)/>-2與人操作，

經(jīng)過(guò)這樣一輪操作后，數(shù)列中等于。，〃的數(shù)減少一個(gè)，等于/)-1的數(shù)增加一個(gè),

并且此時(shí)數(shù)列依舊為“連續(xù)數(shù)列從,4：1,2,...,20開(kāi)始反復(fù)進(jìn)行上述操作，

直到不能操作為止，因每次操作恰使得/-2,故操作次數(shù)恰好為330次,

綜上，加的最大值為330.

8.【答案】(1)解：/(])是(0.?4)上的非負(fù)函數(shù),

理由如下：

函數(shù)/(1)=定義域?yàn)?0.+。)，/'(i)=l-±=二￡,

XX

當(dāng)JTW(O,C)時(shí)，/函數(shù)/(、)單調(diào)遞減，當(dāng)xw(c.y)時(shí)，函數(shù)」L單調(diào)

遞增，

則/(€)-(),故〃1)是(0,T)上的非負(fù)函數(shù)；

nr-

（2）證明：函數(shù)月（刀）=H[-。1!1.“。＞0）定義域?yàn)椋?-r）,月卜）二〃

x

時(shí)，g'（V）＜0,函數(shù)*（l）單調(diào)遞減，當(dāng)A，一,+/)時(shí)，g'（x）＞。，函數(shù)8（K）單

調(diào)遞增，

則弁。）2乂|：|a-u\n^,

因?yàn)間（x）為（0」工）上的非負(fù)函數(shù),所以〃-〃皿2：?（）,解得"Sc”，則4因，

n

因?yàn)椤?：cnc,所以卜〃為等差數(shù)列；

(3)證明：山，“i)=L,x>0//(<)=Inw--

x*JrVx)

當(dāng)〃22且〃e、?，由力'C）＞0,解得ln〃”＞0,則,

由方'（工）＜0,得In"；，＜0,解得0。＜”,

xln/y

則函數(shù)介n）在上單調(diào)遞減，在[J--?）上單調(diào)遞增，故人仃）之人（二），

VInwj\lnnJIIn”）

IInn

由八X）為（0、+x）上的非負(fù)函數(shù)，得可小帥）,則"=：

Innb.n

令f（jr）=lnx+:1,x＞l；貝!=在（l./r）上恒成立，

XXXX

故r"在（l.?N）上單調(diào)遞增，則mdD二o,從而在（1??,）上恒成立，

令，=*=I?--..＜＞1,得，9（1.+工），則x=，,從而In'＞1在（、?/）上恒成立,

x-lx-lf-lf-li

故-L二見(jiàn)2<In/r-ln，—=(ln/0'-lnw-ln(/i-l)i(lnnr-|ln<n-l)|

b.nw-1

當(dāng)且僅當(dāng)〃2時(shí)，等號(hào)成立，

225?

則Z—<(ln2)'-(Ini)*+(ln3>;-dn2f-+(ln2G25?-(li)2024>2=(In202?」

D

9.【答案】（1）解：因?yàn)榕帕衳（U.2.4）,

則”?,J,??,4,2,a■o，

所以Z"，="l+2+0=4,

I

則33對(duì)應(yīng)排列為（2,L3）,5,-5對(duì)應(yīng)排列為（2,3,l,4i.

（2）證明：設(shè)原排列為再（q.u......q,rq）,

交換最后兩項(xiàng)得到新排列KI.

顯然（兀）,即交換排列的最后兩項(xiàng)不改變4的總和，

考慮一般情況：設(shè)原排列為不=（4…??。.」」?人4.2…??4），

交換1和，的位置后得到新排列=（立…匚1…,即J,

顯然，對(duì)于j4桁-I或，2M?2的項(xiàng)，有d=d,

因此只需比較幺+4.和（+4?的大小，

設(shè)A/=minM7?….，分三種情況分析：

情況I：當(dāng)"22/-I時(shí)，有/?心?1-\,

且4"?"—Ml，

情況2：當(dāng)/<"427-2時(shí)，有人「〃>”一，

情況3：當(dāng)“</時(shí)，有d.?《“?,且4t.i工（，

綜上所述，在三種情況卜都有人?J.*d：?d：,

即交換后總和不會(huì)減少，

對(duì)于任意排列x=（4…4）,

構(gòu)造其對(duì)稱(chēng)排列'=（12+1-^....,^41-即J時(shí)，

對(duì)任意，恒有可（TT）:4（）

因?yàn)閷⒃帕兄械?后移等價(jià)于在對(duì)稱(chēng)排列中將〃后移，

結(jié)合已證向右移動(dòng)1不減少整個(gè)的總和，

所以向右移動(dòng)〃也不減少總和，

因此，最優(yōu)排列的構(gòu)造中，將〃固定在末位同樣能保證尋找到總和最大,

設(shè)原排列為%設(shè)...,A.L2A?,

前*-3項(xiàng)中｛2.?…&-1｝的4和為1?（4-1）*?1一.U“

的4和為

固定項(xiàng)八？A1,4：一UI,

（3）證明：設(shè)原排列為