新高考數(shù)學一輪復(fù)習

第講數(shù)列的基本知識與概念

數(shù)列的定義：按照一定聯(lián)序排列的

!一列數(shù)禰為數(shù)列，數(shù)列中的每一個

數(shù)叫做這個數(shù)列的項.

知識點1:數(shù)列的概念

（I）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.

（2）數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集

工"..,〃｝）為定義域的函數(shù)%=/（〃）當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值.

（3）數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法.

知識點2：數(shù)列的分類

（1）按照項數(shù)分：有限和無限

遞增數(shù)列：%2%

遞減數(shù)列:。向之4

（2）按單調(diào)性來分:

常數(shù)列：/=4=c"（常數(shù)）

擺動數(shù)列

知識點3：數(shù)列的兩種常用的表示方法

（1）通項公式：如果數(shù)列｛凡｝的第〃項與序號〃之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫

做這個數(shù)列的通項公式.

（2）遞推公式：如果已知數(shù)列｛4｝的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與

它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.

解題方法總結(jié)

￡,n=1

（1）若數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，通項公式為明，則巴

S?-5ZI.,,n>2,〃eN'

注意：根據(jù)S“求勺時，不要忽視對〃=1的驗證.

0,之14,?凡一

（2）在數(shù)列｛〃“｝中,若最人，則?若a”最小,則?

a”24用%4%

題型一：數(shù)列的周期性

【典例1?1】在數(shù)列｛q｝中，。向=，若4=5,則，。20=（）

2a?-ian>-

｝_

D.

5

【答案】C

“24

【解析】因為4+產(chǎn)1且％=彳'

4331

所以生=2〃]一]=2xg_]=g,%=2a2-1=2x—-1=—,

c2今44.3

a4=2ay=—,a5=2CJ4=—,ah=2t75-1=2x—-1=—,....,

o

所以｛q｝是以4為周期的周期數(shù)列，所以。現(xiàn)。=〃卬必4=4=W

故選:C

【典例1?2】在數(shù)列｛%｝中，4t>0嗎=1,出=后，若對V〃￡N，d+a3+〃3=10,則生024=（）

A.0B.1C.75D.石

【答案】A

【解析】由43+。3+晨3=10與。：+心+心2=10相減得:碓3-。：=0,

即3"3一%）（4”+3+?！埃?°，又見>°，故4+3=4，所以％必=%02]==%=&

故選:A.

【方法技巧】

解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

【變式1?1】

現(xiàn)有甲乙丙丁戊五位同學進行循環(huán)報數(shù)游戲，從甲開始依次進行，當甲報出1,乙報出2后，之后每個人

報出的數(shù)都是前兩位同學所報數(shù)的乘枳的個位數(shù)字，則第2024個被報出的數(shù)應(yīng)該為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】報出的數(shù)字依次是1,2,2,4,8,2,6,2,2,4,&2,6,除了首項以外是個周期為6的周期數(shù)列.

去掉首項后的新數(shù)列第一項為2,

因為2023=337x6+1,所以原數(shù)列第2024個被報出的數(shù)應(yīng)該為2.

故選:A.

【變式1?2]已知函數(shù)/（x）=V+2/+3x,數(shù)列｛《,｝的首項為1,且滿足q+3=4（〃eN）若

/（%23）+/（%024+4025）=。，則數(shù)列｛4｝的前2023項和為（）

A.0B.1C.675D.2023

【答案】B

【解析】因為函數(shù)〃力=^+2?+3X，貝IJ/（刈=5犬+6/+3>0,

所以函數(shù)〃x）=x'+2/+3x在R上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù).

%+3=%（〃€N"），...4=a”）23=1，白2=々2024，4=/025，

.../（4）+/（。2+6）=/（/23）+/（%24+。2025）=。'

???/（4）=一〃4+。3）=/（-%一6），?,?6=_/_%，即。|+%+%=0，

，數(shù)列｛4｝的前2023項和為674x（4+,+6）+生023=°+4=1-

故選：B.

).

A.(—3,+oo)B.(—2,+oo)C.[-2,+oc)D.[—3,+a?)

【答案】A

【解析】由題意可得。向一，”>。恒成立，即(〃+1)2+》(〃+1)-/一加=2〃+1+方>0,

即/)>一2〃一1,又〃之1,-2/i-1<-3?故。?—3,+8).

故選：A.

【變式2?2】數(shù)列｛q,｝中前〃項和S,,滿足多=/1〃2+2〃+](2￡用，若｛q｝是遞增數(shù)列，則九的取值范圍為

()

A.(O,-K?)B.(g,+8C.-g,+e)D.(-1,+8)

【答案】B

【解析】因為S,=4/+2〃+l(/leR),

則S”+i=處〃十十2(〃十1)十l(2eR),

兩式相減得4.1=S〃+]-5“=利2〃+1)+2,

因為數(shù)列他“｝是遞增數(shù)列，

所以當?shù)禢2時,^n+1-??=[2(2/1+1)+2]-[2A(n-1)+2+2]=2A>0,解得4>0.

當〃=1時，4=S=4+3,%=34+2,

同〒以生_6=(3/1+2)―(/1+3)=2/1_1>0,解得/1>；.

綜上4>—.

故選:B.

【變式2-3]已知數(shù)列｛q｝的首項/為常數(shù)旦4工|,。向+2〃“=4〃(〃€1<),若數(shù)列｛〃“｝是遞增數(shù)列，則

《的取值范圍為()

7B.(加信)

CH)D.(O,lMlg)

【答案】B

【解析】因為e+2巴=4“，

所以

66

2?

由于4H3，即4一§00，

4"19

可得數(shù)列/-7是首項為％-彳，公比為-2的等比數(shù)列，

uJ

則““=*4"+[4-|卜（-2廣，因為數(shù)列的｝是遞增數(shù)列，可得…外,

1O17

即-X+（4-4）.（-2）">lx4n+（4-令?（-2嚴對任意的正整數(shù)〃都成立.

6363

當〃為偶數(shù)時，4>g-gx2”恒成立，由于數(shù)列｛|-gx2"｝單調(diào)遞減，

可得|—；x2"g—g=—|,則4>]；

當兒為奇數(shù)時，4<g+gx2”恒成立，由于數(shù)列｛g+；x2"｝單調(diào)遞增，

可得2捐x2"'12+2瀉4,則4<丁4

綜上可得/的取值范圍是（Wljj停。

故選:B.

題型三：數(shù)列的最大（小）項

【典例34】已知勺=，，（當"+2,則數(shù)列｛4｝的偶數(shù)項中最大項為（）

A.NoB.4C.4D.A

【答案】D

(〃+1)4)”.3

【解析】數(shù)列｛〃"｝中，/二小（§"4〃+1

2則3=——=-x------

%〃.("+25n

5

令解得〃<4,則當"<4時，外.|>q，即4>%>。2>4,

5n

同理當〃>4時，勺+1<6，即4>緣>%>4>…，而當〃=4時，%=%，

所以數(shù)列｛q｝的偶數(shù)項中最大項為牝.

故選：D

【典例3?2】已知數(shù)列｛q｝的通項公式%=（-1）”好（〃wN’），則九4=49…q的最小值為_.

2k=l

【答案】一夕-3.5

【解析】由于當〃為奇數(shù)時，4=-竽，當〃為偶數(shù)時，％=竽,

要求口怎=4?%…的最小值，只需要考慮出現(xiàn)奇數(shù)個奇數(shù)項時即可,

3（〃+1）+1

乂4八_2T-3"+4?.||

乂凡一虹一2（3〃叫1=%'

T

且當〃=4時，%="最+1＜1,因此〃24時，同＜心＜1，

綜上

7

故答案為：-]

【方法技巧】

求數(shù)列的最大項與最小項的常用方法

（1）將數(shù)列視為函數(shù)/（幻當xeM時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)/G）的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，

或利用求函數(shù)最值的方法，求出/*）的最值，進而求出數(shù)列的最大（?。╉?

（2）通過通項公式牝研究數(shù)列的單調(diào)性，利用,（〃22）確定最大項，利用

一'"。此2）確定最小項.

U。向

（3）比較法：若有4rH-%=/（〃+1）-/（〃）＞（）或可＞。時皿＞1，則4rH＞4,則數(shù)列｛%｝是遞增

數(shù)列，所以數(shù)列｛4｝的最小項為4=/（1）;若有?！?|-＜?；?r＞0時包Lc1,則

%＜4,則數(shù)列｛〃“｝是遞減數(shù)列，所以數(shù)列｛凡｝的最大項為q=/（l）.

【變式3?1]在數(shù)列｛4｝中,q=2,4=-3.數(shù)列也｝滿足“=若也｝是公差為1的等差

數(shù)列，則｛2｝的通項公式為勿=_，4的最小值為

【答案】n-6-13

【解析】由題意乙=生一4=-5,又等差數(shù)列他｝的公差為1,所以％=-5+(〃-1)」=〃-6：

故%+「4二〃-6,所以當〃工6時，an^-an<Ot當〃>6時，

所以4>%>%>a>4>%=%<4<%<…，顯然明的最小值是4.

又知+「〃”="6'所以4=4+3-4)+3-出)+(%-6)+(%-。4)+(。6一6)

=2+(-5)+(M)+(-3)+(-2)+(-l)=-13,即％的最小值是一13.

故答案為：〃-6,—13

【變式3?2】設(shè)，“是(1-6『的展開式中x項的系數(shù)(〃=2,3,4,…)，若々=(〃*；,，則。的最大值

是一

【答案】卷

a=C2'b='*=Q+i=_________=］

【解析】""…"(〃+7)磯(〃+7)。3(〃+7)(〃+2)計好+9，

n

因為),=〃+?在(0,舊)是減函數(shù)，在(內(nèi)收)是增函數(shù)，且〃=2,3,4,…，

…o1423g、?…414152315

〃=3時，y=3+—=—f所以〃=4時^訪=4+7=3,—>y>

15。1J

所以為n=3,所以I：的最小值是二一記.

乙(〃十/八%2萬■十

故答案為：TT

JJ

【變式3-3］在數(shù)列｛4｝中，4=4,??=A->+2(2</I<100),則數(shù)列｛4｝的最大項的值是—.

【答案】4

［解析］根據(jù)4=4以及an-1*+2(2<n<1(X)),可知a”>。，

所以媼=%+2①，貝1」〃3=/+2(2),

由②-①得%-4』，即(4加+q)“*一4,)=4-an-\(2<n<100),

因為。">。，所以%+i4與4qI同號，

又因為4=J"+2=而，且％=#一4<0,

所以6-<。，所以數(shù)列｛為｝為單調(diào)遞減數(shù)列，

所以因此數(shù)列｛《,｝的最大項是外,其值是4.

故答案為:4.

題型四：數(shù)列中的規(guī)律問題

【典例4-1】漢諾塔(TowerofHanoi),是一個源于印度古老傳說的益智玩具.如圖所示，有三根相鄰的標

號分別為A、B、C的柱子，A柱子從下到上按金字塔狀疊放著〃個不同大小的圓盤，要把所有盤子一個

一個移動到柱子B上，并且每次移動時，同一根柱子上都不能出現(xiàn)大盤子在小盤子的上方，請問至少需要

移動多少次？記至少移動次數(shù)為"(〃)，例如：H(l)=1,〃⑵=3,則下列說法正確的是()

ABC

MA.H⑶=5lB.｛"(〃)｝為等差數(shù)列

C.｛45)+1｝為等比數(shù)列D.”⑺<100

【答案】C

【解析】由題意知若有I個圓盤，則需移動一次：

若有2個圓盤，則移動情況為：AfC,AT8,CT8,需移動3次；

若有3個圓盤，則移動情況如下：

AB,A—>C,B—>C,A—>B,C—>A,CB,A—>B,共7次，故〃⑶=7,A錯誤；

由此可知若有〃個圓盤，設(shè)至少移動4次，則4=2%T+1,

所以。+1=2(的+1),而4+1=1+1=2工0,故｛4+1｝為等比數(shù)列,

故％=2”-1即“(〃)=2"-1,該式不是〃的一次函數(shù)，

則｛"(〃)｝不為等差數(shù)列，B錯誤；

乂"5)=2”一1,則”(〃)+1=2",：(〃)；1=2,則｛”5)+1｝為等比數(shù)列，C正確，

/7(7)=27-1=127>100,D錯誤，

故選：C

【典例4?2】大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化

中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)

文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,

40,50,則此數(shù)列的第30項為()

A.366B.422C.450D.600

【答案】C

【解析】由題意,大衍數(shù)列的偶數(shù)項為2,8,18,32,50,

可得該數(shù)列｛4｝的偶數(shù)項的通項公式為由“=2"，

所以此數(shù)列｛4｝的第30項為由。=2x15?=450.

故選：C.

【方法技巧】

特殊值法、列舉法找規(guī)律

【變式4?1】分形幾何學是美籍法國數(shù)學家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀70年代創(chuàng)立的?門新學科,

它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路.卜.圖展示了如何按照圖①的分形規(guī)律生長成

一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數(shù)是（）

第1行

第2行

第3行

圖①圖②

A.12B.13C.40D.121

【答案】C

【解析】設(shè)題圖②中第〃行白心圈的個數(shù)為凡，黑心圈的個數(shù)為年，

依題意可得4+以=3"、且有4=14=0,

所以｛4+a｝是以4+4=1為首項，3為公比的等比數(shù)列,

??U+d=3"T①;

又知+i=24+b“,be=2b“+an，

故有〃用一2+1=%一〃

為常數(shù)數(shù)列，且…=1,所以｛勺-〃｝是以4-4=1為首項，1為公比的等比數(shù)列,

.?.4-2=1②：

由①②相加減得：

3d-1+1,3"-1-1

%=—}—，吼=---

34-1

所以丘與口皿.

故選：C.

【變式4?2】我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三

角，這是數(shù)學史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，若去除

所有為1的項，其余各項依次構(gòu)成數(shù)列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,…，則此數(shù)列的第56項為

A.IIB.12C.13D.14

【答案】B

【解析】由題意可知：若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數(shù)為1,2,3,4,...?

可以看成構(gòu)成一個首項為I，公差為1的等差數(shù)列，則（=當4,

可得當〃=10,所有項的個數(shù)和為55,第56項為12,

故選：B.

題型五：數(shù)列的恒成立問題

I?VI

【典例5?1】記分別為數(shù)列{%},1?。┣啊椇停阎?是公差為（的等差數(shù)列.若丁“<〃?

恒成立，則加的最小值為.

【答案】3

【解析】.?忑=4=1，=又是公差為（的等差數(shù)列，

343

,41+：（〃-1）=與2，所以S.二W^a”，

即當〃22時，=卓■丹,

“Tc_（"2）4（〃+1）%

整理得：（〃-1）%=（〃+1”,1，即廣=有，

234n〃+1+

。2名=—X—X—X...X--------x--------=-i-----------,

4%312n-2n-\3

顯然對于〃=I也成立，二a?="/I),—=(=3L_L

34+、〃n+1

所以MN3,即m的最小值為3.

故答案為：3.

【典例5?2】已知數(shù)列—｝的前〃項和為S“，且滿足S“=2a“-2,若S.+〃-1W/q對于任意的正整數(shù)〃恒

成立，則實數(shù)2的取值范圍為一.

【答案】1W+8）

IJ6）

【解析】根據(jù)邑=2%-2,當〃=1時,%=2；

當〃22時，5?_,=2%-2,兩式相減可得冊=2an-2%,

?.?工=2,「.數(shù)列｛4｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，?〃=2"S=2（1_2"）=2“+I_2,

*”"1-2

則S?+n-\<2an可變?yōu)?川一3+144?2",

n-3>?—3n-2/?一3

即八2+F，令仇=亍，則=辭..—o.

33

且4<<仇<4="5>%>瓦>=2+—=

1616

即實數(shù)尤的取值范圍是”,+8

16L16

-33、

故答案為：-,+<ZJ-

16；

【典例5?3】已知數(shù)列｛6｝滿足%+q=2〃-1,若。向>，“對〃eN’恒成立，則外的取值范圍為一.

【答案】「生）

【解析】法一：

由知+I+?！?2〃-1,得勺+2+4+I=2〃+1,兩式相減得“2-%=2,

則數(shù)列｛%小｝，%”｝都是以2為公差的單調(diào)遞增數(shù)列.

.a、〉氏

要使%>Un對〃€N?恒成立，只需1~，

1。3>a2

而%=2+q,則、，解得：〈6〈不

2+q>1-422

法二：

由％+I+?！?2〃-1,得聯(lián)+―=2一+1，兩式相減得"2-=2,

又的=1-4,則生〃=]—〃1+2（八-1）二2〃-4