2025-2026學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)單元檢測(cè)卷

第13章勾股定理?基礎(chǔ)通關(guān)

建議用時(shí)：120分鐘，滿分：150分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）

1.下列四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）

A.7,21,24B.6,8,10C.5,12,13D.3,4,5

【答案】A

【分析】本題考查了勾股數(shù)的知識(shí)，判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊

的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方.

【詳解】解：A.最大數(shù)為24,計(jì)算得72+212=49+441=490,而24?=576,不滿足勾股定理，故不

是勾股數(shù).

B.最大數(shù)為10,計(jì)算得62+82=36+64=100=I02，滿足勾股定理，是勾股數(shù).

C.最大數(shù)為13,計(jì)算得52+122=25+144=169=132,滿足勾股定理，是勾股數(shù).

D.最大數(shù)為5,計(jì)算得3?+42=9+16=25=52,滿足勾股足理，是勾股數(shù).

綜上，只有A不滿足勾股數(shù)條件，

故選：A.

2.下列四組線段中，不能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.a=1,力=石，c=2B.a=1,/?=y/2，c=1

C.a=\,b=2,c=2D.a=3,力=4,c=5

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理的逆定理.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要驗(yàn)證兩

小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方即可判斷.

由勾股定理的逆定理，只耍驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最K邊的平方即可.

【詳解】解：A、『+（6）2=22,故能組成直角三角形，不符合題意；

B、/+/=（夜）2,故能組成直角三角形，不符合題意；

C、廣+2?工2?,故不能組成直角三角形，符合題意；

D、32+42=5。故能組成直角三角形，不符合題意.

故選:C.

3.如圖，。為數(shù)軸原點(diǎn)，A,3兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)-3,3,作腰長(zhǎng)為4的等腰VAAC,連接。C,以。為圓心,

0c長(zhǎng)為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M表示的實(shí)數(shù)為（）

【答案】D

【分析】本題考杳了勾股定理及等腰三角形的性質(zhì).先利用等腰三角形的性質(zhì)得到則利用勾股定

理可計(jì)算出OC=V7,然后利用畫法可得到OM=OC=幣，于是可確定點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù).

【詳解】解：???△A8C為等腰三角形，04=08=3,

：.OC1AB,

在RLOBC中，OC7BC2-OB?=4-32="，

?.?以。為圓心，CO長(zhǎng)為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M,

:.OM=OC=幣，

，點(diǎn)”對(duì)應(yīng)的數(shù)為近.

故選：D.

4.用反證法證明命題“已知VABC,AB=ACf求證：N8v9（T.”的第一步應(yīng)先假設(shè)（）

A.ZB>90°B.Z￡f>9C<°C.ZB<90°D.Z￡?<90°

【答案】A

【分析】本題考查的是反證法，反證法的第?步是假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，原命題結(jié)論為“NB<90。”，

其反而應(yīng)為“4290。

【詳解】解：反證法證明命題“已知VA8C.AB=AC,求證：N8v900.”的第一步應(yīng)先假設(shè)N8之90°,

故選：A.

5.設(shè)。，。是直角三角形的兩條直角邊，若該直角三角形的周長(zhǎng)為9,斜邊長(zhǎng)為4,則必的值是（）

A.5.5B.5C.4.5D.6

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理，由直角三角形的周長(zhǎng)和斜邊長(zhǎng)可得兩直角邊之和，結(jié)合勾股定理和完全平方

公式即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：〃+匕+4=9,

a+b=5,

：.(a+b)2=a2+2ab+b2=25

?；a?+Z7~=42=16，

???2a力=25-16=9,

??ab=4.59

故選：c.

6.如圖，在Rt/XABC中，NAC8=90。，按以下步驟作圖：①以8為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交84,

BC于M,N兩點(diǎn)；②分別以M,N為圓心，以大于g/WN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P；③作射線4P,

交邊AC于點(diǎn)。.若A8=5,BC=3,則線段C。的長(zhǎng)為（）

【答案】A

【分析】本題主要考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)以及三角形面枳公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)并運(yùn)

用面積法建M方程是解題的關(guān)鍵.先通過(guò)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再利用角平分線的性質(zhì)和三角形面積關(guān)系

來(lái)求解C￡）的長(zhǎng)度.

【詳解】解:在RSAAC中，/4CA=90。，A8=5,BC=3,

；?根據(jù)勾股定理AC=JAJ_8c2=>/52-32=4,

由作圖可知，3尸是NAAC的平分線，過(guò)。作OE_LAB于￡,

/.CD=DE,

B

【答案】A

【分析】本題考查了勾股定理，折疊，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn).

根據(jù)題意和勾股定理得AB=10cm,根據(jù)折疊的性質(zhì)得DC=DC,BC=BC=6cm,NC=/BCD=90°,

即ZACD=90°,設(shè)力C=xcm,則力C'=Acm,4D=(8-x)cm,在Rt△八力C中，根據(jù)勾股定

理得，AD2=AC,2+CD2,即(8-幻2=/+42,進(jìn)行計(jì)算得x=3,即可得.

【詳解】解：???在Rt4ABC中，ZC=90°.BC=6cm,AC=8cm.

???AB=4BC2+AC2=用+8?=10(cm)，

???將△88沿3。折疊，使點(diǎn)。落在A8邊的C點(diǎn)，

:,DC=DC,BC=BC=6cm,NC=NBC7)=90。，

AAC=AB-BC=}0-6=4(cm),ZACD=180°-/BCD=180°-90°=90°,

設(shè)DC—Acm,則DC—Avm,AD=(8—.r)cm,

在Rt^AZXT中，根據(jù)勾股定理得，AD2=AC2+CD2,

即(8-X)2=X2+42,

**?64-16x+x2=X2+I6,

解得x=3,

:.44OC’的面積為：1ACXAD=1X3X4=6(cm2),

故選：A.

9.我國(guó)古代稱直角三角形為“勾股形”.如圖，數(shù)學(xué)家劉徽(約公元225年一公元295年)將勾股形分割成

一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形.若。=5,。=1,則此勾股形的面枳為()

A

CB

A.7.5B.10C.12D.15

【答案】A

【分析】通過(guò)設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理建立方程，求出相關(guān)線段長(zhǎng)度，進(jìn)而根據(jù)直角三角形面積公式計(jì)算

勾股形的面積.本題主要考查了勾股定理（直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方）以及直角三角

形面積公式的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理并能通過(guò)設(shè)未知數(shù)建立方程求解線段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，設(shè)陰影部分的宜角三角形的未知邊長(zhǎng)為x,則AC=x+5,BC=x+l,AB=a-ib=5+\=6.

由勾股定理，得AC2=A攵+6C2,即（X+5『=62+（X+1）2,

解得x=L5.

.?.3C=1.5+1=2.5.

S.=-AB-BC=-x6x2.5=7.5.

RC22

10.如圖，在V/A8c中，AA=4C,點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在線段AC的延長(zhǎng)線上，且BM=CN,連接MN與

BC相交于點(diǎn)。.若AM=3,BM=1,DN=2,則△8MZ）的面積為（）

A

A

BD

N

A.1B.2C.2.5D.3

【答案】A

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，

學(xué)握相關(guān)知以點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.如圖，過(guò)“作M石〃AC于E,證明A8=AC=4,△MDE'NDC,可得

MD=ND=2,結(jié)合從河2+必72=32+42=25=472,可得//防=90。=/81〃），再利用三角形的面積公

式即可求解.

【詳解】解：如圖，過(guò)M作于E,

：?tMEB=ZACB,/EMD=/CND,

;AM=3,8W=1,

:"AC=AB=AM+I3M=4,

：.4B=/ACB,

:.5EB=4,

BM=EM=\,

,?BM=CN、

???EM=CN=1,

,/AMDE=ANDC.

：.^MDE^NDC,

：.MD=ND=2,

:?MN=4,

,/A/V=AC+C/V=4+1=5,

/.AM1+MN2=32+42=25=W，

???ZAMN=90。，

???N8M￡>=90。，

???S"=gx8MxMO=!xlx2=l；

故選：A.

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.在RlAABC中，斜邊8c=10,則+的值是.

【答案】100

【分析】本題考查了勾股定理，根據(jù)勾股定理即可求解，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在Rt/XABC中，

???斜邊4C=10,

AB、AC2=BC2=100,

故答案為：100.

12.用反證法證明“若川+夕工。?，則VA8C不是直角三角形”第一步應(yīng)假設(shè).

【答案】VA8C是直角三角形

【分析】本題考杏了反證法，正確理解反證法的意義及步驟是解題的關(guān)鍵.根據(jù)反證法的步驟，第一步假

設(shè)結(jié)論不成立，據(jù)此進(jìn)行解答即可.

【詳解】解:用反證法證明“若1+夕=C?，則V"C不是直角三角形”第一步應(yīng)假設(shè)“VA5c是直角三角形”.

故答案為：VABC是直角三角形.

13.如圖在RlZiBCO中，BC=1,OC=2,以原點(diǎn)。為圓心，。8長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)4,貝lj點(diǎn)A

表示的實(shí)數(shù)是.

B

??力1。、；、、、、」?、

-4-3-2-10（。）12

【答案】-75

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，先根據(jù)勾股定理得出8O=JI^=逐，因?yàn)橐栽c(diǎn)。為圓

心，OB長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)A,所以40=80=不，即可作答.

【詳解】解：???在Rtz^ACO中，BC=1,OC=2,

,,BO-JF+22=\/5

依題意，AO=BO=也

???點(diǎn)A在負(fù)半軸，

???點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是-石，

故答案為：-石.

14.如圖，25、169分別表示兩個(gè)正方形的面積，則字母A所代表的正方形的面積是

【答案】144

【分析】本題考查了勾股定理，結(jié)合勾股定理和正方形的面積公式，得字母A所代表的正方形的面積等于

其它兩個(gè)正方形的面積差.

【詳解】解：字母4所代表的正方形的面積=169-25=144.

故答案為：144.

15.如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小止方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A8,C,右均在小止方形的頂點(diǎn)上.以點(diǎn)A為惻心，長(zhǎng)

為半徑畫弧，圓弧交CE于點(diǎn)。，則石。的長(zhǎng)為.

【答案】75

【分析】本題考查網(wǎng)格中求線段長(zhǎng),涉及勾股定理，由題中條件及網(wǎng)格可知在中，NE=90。,AB=3,

A￡=2,由勾股定理代值求解即可得到答案，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意可知，AD=AB=3,AE=2,

在R^AEO中，NE=90°,則由勾股定理可得團(tuán)=〃廳-三百=療二？=石，

故答案為：舊.

16.如圖，在四邊形A6CD中，Afi=12,6c=17,8=8,AD=9,6D為四邊形ABC。的對(duì)角廣線，且

80=15,則四邊形A8CO的面積為.

【答案】114

【分析】本題考查求四邊形面積，涉及勾股定理的逆定理、直角三角形面積公式等知識(shí)，在ABC。中和

△A3。中，由勾股定理的逆定理證得△8C7）和△A3。均為直角三角形，數(shù)形結(jié)合得到四邊形八867）的面積

為2A皿+S>e=：月&月。+：廈>。。，代值求解即可得到答案?熟記勾股定理的逆定理判定△3CO和

△A8D均為直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【詳解】解：在△BCD中，8￡>=15,8c=17,CD=8,

BD2=225,BC2=289,CD2=64,則BD^CD2=289=BC2，

由勾股定理的逆定理可知，△88為直角三角形，且/瓦X=90°：

在△A6O中，AB=12,BD=15,AD=9,

AB2=144,BD?=225,4。？=81,WlJAB2+AD2=225=BD2,

由勾股定理的逆定理可知，△A3。為直角三角形，且N8AD=90。：

四邊形人48的面積為S,BD+SBCD=-ARAD+-RDDC=-x\2x9+-xl5xS=\\4,

△△2222

故答案為：114.

17.如圖是由四個(gè)全等的直角三角形JAM,V8F,△C￡>G,VADE）組成的新圖形.若瓦'=2,G”=8.則

正方形A8c。的邊長(zhǎng)為.

【答案】V34

【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)，求得A￡=8尸=3,4尸=5的長(zhǎng)度，利用勾股定理即可解

答，利用全等三角形的性質(zhì)得到4七="=3,4/=5是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題意得：NABF4CBH匆DCG女DAE,

：.AF=CH,AE=BF=CG,

?;EF=2,GH=8,

設(shè)AE=CG=x,則AE=C”=x+2,

.\GH=CH+CG=（x+2）+x=^t

.二/=3,

AE=BF=3,AF=2+3=5,

AB=y/32+52=V34，

則正方形45co的邊長(zhǎng)為＞/34.

故答案為：\^4.

18.如圖，VABC為直角三角形，NB4C=90°,分別以VABC的三邊為直角邊，向外側(cè)作等腰直角三角形，

三個(gè)等腰直角三角形的面積分別記為L(zhǎng)S]S、,若53+邑-5；=18.則圖中陰影部分的面積為

22

【分析】本題主要考查了勾股定理，平行線的性質(zhì)與判定，由題意得，51=1AC,S.=^AB\S.=^-AC,

由勾股定理可得41+4。2=更2,則可推出S2=5LS1,據(jù)此可得S?=9,證明AC〃皿），則

S陰影=S》BD=$2=9.

222

【詳解】解：由題意得，SX=^AC,S2=^AB,S3=^AC,

在RlZ\4BC中，ZBAC=90°,則由勾股定理可得4夕+AC?=BC?,

???2S,+2S2=2S3,

:.S[+S2=s?,

:S=s「S\,

V53+S2-S,=18,

=

52+S218,

***52=9；

/ABD=ABAC=90°,

:.AC//BD,

Ml影=S△480=S2=9,

故答案為：9.

三、解答題（共7小題，共78分）

19.（1（）分）《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺.問(wèn)折高者幾何？意、

思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷,其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺

遠(yuǎn)，間折斷處離地面的高度是多少？

【答案】《91尺

【分析】設(shè)折斷處離地的高度為x尺，利用勾股定理建立方程，解方程即可得.

【詳解】解：設(shè)折斷處離地的高度為4尺，

由勾股定理得：X2+32=（10-X）\

即/+9=/_20工+100,（5分）

91

解得工=與，

91

答：折斷處離地的高度為工：尺.”0分）

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵.

20.（10分）如圖，在VABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,COJLA8于。.求:

（1）AC的長(zhǎng)和VA8C的面枳;

（2）CQ的長(zhǎng).

【答案】（l）4cm.6cm2

（2）2.4cm

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求得4c的長(zhǎng)；利用三角形的面積公式可求出VABC的面積；

（2）再根據(jù)三角形的面積公式是一定值求得CO即可.

【詳解】（1）解：在RtZ\A8C中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=女m,

；?AC=>lAB--BC2=>/52-32=4（cm）,

Sg耽=-4C-BC=-x4x3=6|cm2）.（5分）

22'7

（2）解：?.?CD±AB,

SV?A//i}mC=-2AC-BC=—2AB-CD,

ACBC

...CD==^1=2.4（cm）.（10分）

AB5

【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊

長(zhǎng)的平方是解題的關(guān)鍵.

21.（10分）如圖，一輛小汽車在一條道路上沿直線行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車速檢測(cè)儀4處的正

前方12米的C處，過(guò)了1.5秒，小汽車到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得小汽車與車速檢測(cè)儀間的距離為20米.

小汽車小汽車

----------QC

、、、!

⑴求的長(zhǎng)；

（2）這輛小汽車在8c段的速度約是多少米/秒？（結(jié)果精確到0.1）

【答案】（DBC的長(zhǎng)為16米

（2）這輛小汽車在BC段的速度約是10.7米/秒

【分析】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解題意，正確計(jì)算.

（I）直接利用勾股定理計(jì)算BC的長(zhǎng)即可；

（2）利用路程除以時(shí)間即可求解.

【詳解】（I）解：由題意可知，AC=12米，A8=20米，AC1BC,

?*-BC=ylAB2-AC2=16（米）,

答：BC的長(zhǎng)為16米.（5分）

（2）解：16?1.5=^^10.7（米/秒），

答：這輛小汽車在8c段的速度約是10.7米/秒.（10分）

22.（12分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分

別按下列要求畫圖形.

（1）在圖1中，畫一個(gè)等腰三角形（不含直角），使它的面積為8；

（2）在圖2中，畫一個(gè)直角三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；

（3）在圖3中，畫一個(gè)正方形，使它的面積為1（）.

___1?—-1_一.r一■..___1-——1___1_一一.——-1___r_一_r

一一一」

一一■■/

___J

,■■■

圖1圖2圖3

【答案】（1）作圖見詳解；（2）作圖見詳解；（3）作圖見詳解.

【分析】（1）根據(jù)題意找出三角形底為4,高為4的三角形即可；

（2）根據(jù)題意可畫出直角邊分別為3,4的直角三角形，斜邊通過(guò)勾股定理計(jì)算為5,符合題意;

（3）根據(jù)題意及正方形面積的特點(diǎn)即可畫出邊長(zhǎng)為M的正方形.

【詳解】（1）如圖所示，三角形底為4,高為4,面積為8,符合題意，即為所求：

（2）如圖所示，三角形為所求，直角邊分別為3,4,根據(jù)勾股定理，斜邊為5,符合題意;

（3）如圖所示，正方形為所求，正方形變長(zhǎng)為由了=而，

【點(diǎn)睛】此題主要考查網(wǎng)格與圖形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理.

23.（12分）如圖所示，在V/WC中，AB：BC：C4=3:4:5,且周長(zhǎng)為36cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向3點(diǎn)

以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)8沿邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，

⑴求證：VA4c是直角三角形；

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)了3秒時(shí)，求V8PQ的面積.

【答案】（1）見解析

（2）18cm2

【分析】本題考查了勾股定理逆定理，判定VA6c是直角三角形是關(guān)鍵：

（1）由ARBCt04=3:4:5,設(shè)A8=3x,BC=4x,CA=5x,由勾股定理的逆定理即可證明.

（2）由（1）的結(jié)論及周長(zhǎng)條件可求得x的值，從而求得AB5C的長(zhǎng)；由條件求得尸8,BQ,利用三角形

面積求解即可.

【詳解】（1）證明：?.Y8BCtC4=3：4：5,

..?設(shè)AB=3x,BC=4x,CA=5x.

?/AB2+BC2=(39*+(4x)2=25V二色蛾=25d

...AB2+BC2=CA2.

「.△AfiC是直角三角形；(6分)

(2)解：由(I)可知N8=90.

根據(jù)題意得3x+4x+5x=36,

解得x=3.

二.A3=9(cm),BC=12(cm).

當(dāng)運(yùn)動(dòng)了3秒時(shí)，PB=9—1x3=6（cm）,BQ=2x3=6（cm）.

??.△BPQ的面積=等=18（。/）.（12分）

24.（12分）如圖，VA8C是等腰直角三角形，ZAC8=90。，AC=BC=2出,。在線段BC上，￡是線

段A。上一點(diǎn).現(xiàn)以CE為直角邊，C為直角頂點(diǎn)，在8的下方作等腰直角△比戶，連接

（1）如圖1,求證：NCAE=NCBF；

（2）當(dāng)A、E、尸三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2,

①求證：ZDCT=90°；

②若BF=2,求AF的長(zhǎng).

【答案】（1）見解析

（2）①見解析；②2辨

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，熟知全等三角形的性

質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵.

（1）證明/XACE四△8b,即可解決問(wèn)題：

（2）①由三角形的外角性質(zhì)得到NAO8=NC4O+/4Cr>=NOM+NZ>3,則/4€7）=/。網(wǎng)=90。：②先利

用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再由勾股定理即可求出AF的長(zhǎng).

【詳解】（1）證明：???△AAC,都是等腰直角三角形,

:.CA=CB,CE=CF,ZACB=ZECF=90°,

ZACE=NBCF=90°-ZBCE,

.?.△ACE'BCF（SAS）,

;.NCAE=/CBF；（6分）

（2）①證叨：由（I）得：RCAD=NDBF,

ZADB=ZC4D+ZACD=/DBF+NDFB,

.-.zDF?=ZACD=90°；（9分）

②解：?.?47=水7=26，ZACB=90°,

AB=ylAC2+BC2=2瓜，

在所中，由勾股定理得：

AF=4AB2-BF1=^（2>/6）2-22=2>/5.（12分）

25.（12分）如圖，在V44C中，”B90?,AB=8c