2025秋季初二講義第一講：勾股定理（1）

【復習鞏固】

1、勾股定理、勾股定理的驗證。

2、勾股定理逆定理、勾股數。

3、勾股定理的簡單應用。

【精準突破】

一、勾股定理

例1：若直角三角形中有兩邊長分別為6和8,那么斜邊長為.

例2:（求斜邊上的高）（1）直角三角形的兩邊長分別是3和4,求斜邊上的高（）

A謂B.乎C.5D.耕斗

（2）如圖，在4x5的網格中，每個小正方形的邊長均為1,點4,B,C都在格點上，若BD是△力8c的高，

則BD的長為（）.

A.2B.V3C.3D.,百

例3：（勾股樹）（1）如圖1,分別以直角三角形三邊為邊向外作正三角形，面枳分別為S1，Sz，S3,如圖2,

分別以直角三角形三邊長為直徑向外作半圓，面積分別為S”S5,S6,其中Si=1,S2=3,S5=2,S6=4,

則S3+S4=（）

A.10B.9C.8D.7

（2）如圖，Rt△48c中,LBAC=90。，分別以△48c的三邊為直知邊作三個等腰直角三角形：△48D,△ACE,

△BCF,若圖中陰影部分的面積二65,52=46,53=57,貝g彳=.

BC

【實戰(zhàn)演練】

1.如圖，三角形中，LACB=90°,BC=8,AC=6,0為直線上一動點，則線段PC的最小值

是.

2.（1）如圖，在5x5的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1.若點A,B,C都在格點（網格線的交

點）上，則4c邊上的高長為（）

A.2B.gC.旭D.2

131313

（2）如圖，△4的頂點A,B,。在邊長為1的正方形網格的格點上，BD14c于點D,則8。的長為.

3.（勾股樹）（I）如圖，由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形.其中兩正方形面積分別是Si=16,

$2=9,AC=V26,則48的長為

（2）如圖：Z-ACB=90°,△A8C的面枳為20,在AB的同側，分別以AB,BC,AC為直徑作三個半圓，則

陰影部分（即"希波克拉底月牙形"）的面積為.

（3）如圖，在四邊形48CD中，/.ABC=^CDA=90°,分別以四邊形4"。的四條邊為邊長，向外作四個

正方形，面積分別為Si，S2,S3,S4，若Si=8,S2=11,S3=15,則S4的值是;

（4）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現之一.如圖1,以直角三角形力8c的各邊為邊分別向外作正方形，

再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大的正方形內，三個陰影部分面積分別記為舟，S2,S3,

若已知Si=2,Sz=3,53=4,則兩個較小正方形紙片的重疊部分（四邊形?！?訪）的面積為.

（5）如圖1,Z.ACB=90°,AC=4,BC=3,以這個直角三角形兩直角邊為邊作正方形.圖2由圖1的

兩個小正方形向外分別作直角邊之比為4:3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作

正方形，…，按此規(guī)律，則圖6中所有正方形的面積和為（）

A.200B.175C.150D.125

B

D

A.20B.18C.16D.1

二、勾股定理的驗證

例1:我國是最早了解勾股定理的國家之一.據《周髀算經》記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高

發(fā)現的，故又稱之為“商而定理”；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》內的勾股定理作出了詳細注釋,

并給出了另外一個證明，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

A.B.

ab

bb

a

C.D.ab

例2：（趙爽弦圖+完全平方公式）如圖，“趙爽弦圖〃由4個全等的直角三角形所圍成，在Rt△ABC^,AC=b,

BC=a,LACB=90%若圖中大正方形的面積為40,小正方形的面積為5,則（a+匕尸的值為—.

例3：（等面積法勾股定理證明）如圖，有四個斜邊為c的全等直角三角形，已知其直角邊長為“，〃.拼接

成以c為邊長的正方形，試利用這個圖形驗證勾股定理.

BCLAD.

⑴連接8。，CD.請用a,b,c分別表示出四邊形480C,梯形4EDC,AEBD的面積，再探究這三個圖形面

積之間的關系，證明勾股定理。2+4=〃；

（2）如圖2,在△ABC中，力。是BC邊上的高，AB=4,AC=5,BC=6,設8。=x,求x的值.

3.勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法〃給了小聰以靈感，他驚喜地發(fā)

現，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利用圖1證明勾

股定理的過程：

將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中N￡MB=90。，求證：a2+b2=c2.

2

證明：TS四邊形ADCB=S^ACD+ShABC=-b+-ab,

又S四邊形二S四邊形ADCB=S^ADB+S.DCB=：c?+：a（b-a）,

---^b2+^ab=\c2+|a（Z）-a）,???a2+b2=c2.

請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明：

將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中乙048=90。，求證：a2+b2=c2.

三、直角三角形的判定

例1：如果下列各組數是三角形的三邊長，那么不能組成直角三角形的一組數是（）

A.3,4,5B.i|C.5,13,12D.春1

例2:滿足小+/=c2的三個正整數〃、b、C,被稱為勾股數.下列各組數是勾股數的是（）

A.7,24,25B.32,42,52C.1.5,2,2.5D.V3,"夕

例3：若a,b,c為△48C的三邊，下列條件中,不能判定△力BC是直角三角形的是（）

A.Z.B=/.A-Z.CB.Q?=(b+c)(b-c)

C.Z.A:z.B:Z.C=3:4:5D.a:b:c=l：y/2：yJ3

【實戰(zhàn)演練】

1.若△A8C的三邊分別是小b,c,則下列條件不能判斷△48C是直角三角形的是（）

A.乙4=2/.B=2zCB.Z.A:Z.B:Z.C=3:4:5

C.a=25,b=7,c=24D.a=V5,b=丘,c=>J3

2.洽出下列四個說法：

①由于().3,().4,0.5不是勾股數，所以以0.3,0.4,0.5為邊長的三角形不是直角三角形；

②由于以0.5,1.2,1.3為邊長的三角形是直角三角形，所以0.5,1.2,1.3是勾股數；

③若小b,c是勾股數，且。最大，則一定有『+扇=)；

④若三個整數a,Ac?是直角三角形的三邊長，則2小2b,2c一定是勾股數，其中正確的是()

A.??B.②③C.③④D.①④

四、勾股定理逆定理與勾股定理綜合運用

例1：(凹凸四邊形)如圖，某社區(qū)有一塊四邊形空地A8G),48=15m,CD=8m,AD=17m.從點A

修了一條垂育8C的小路4E(垂定為E),E恰好是的中點，HAE=12m.

⑴求邊8C的長；

⑵求這塊空地的面積.

例2：如圖，某小區(qū)有一塊四邊形的空地，物業(yè)計劃在四邊形/BCD區(qū)域內種植粉黛以供觀賞.經測量，ZC=

90c,8C=OC=5&米，40=26米，4B=24米，求四邊形4BCO的面積.

【實戰(zhàn)演練】

1.如圖有一塊等腰三角形菜地，其中AC=BC=26,AB=20,點E為4B的中點.現需要開辟一塊△RE尸的

空地用于堆肥，已知AF=8,EF=6.

(1)你能確定△A&f的形狀嗎，請說明埋由.

⑵計算陰影部分的面積.

【強化提升】

1.如圖，在RtaBAC中，44=90。，點。，￡分別為邊48,4c上的一點，當力D=8,4E=6時，將△DAE沿

折痕DE翻折后，點A恰好落在邊BC中點A處，則8C的長是.

2.如圖，在Rt△力8c中，/-ACB=90°,AC=10,BC=24,AD平分NCAB交BC于。點，E,F分別是AD,

4；上的動點，則CE+EF的最小值為.

A.4.8B.6C.9.6D.1

2025秋季初二講義第一講：勾股定理（1）

【復習鞏固】

1、勾股定理、勾股定理的驗證。

2、勾股定理逆定理、勾股數。

3、勾股定理的簡單應用。

【精準突破】

一、勾股定理

例1：若直角三角形中有兩邊長分別為6和8,那么斜邊長為.

【答案】8或10

【分析】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了分類討論思想，直角三角形中斜邊為最長邊,

無法確定邊長為8的邊是否為斜邊，所以要討論：邊長為8的邊為斜邊；邊長為8的邊為直角邊.

【詳解】解：當邊長為8的邊為斜邊時，該直角三角形中斜邊長為8；

當邊長為8的邊為直角邊時，則根據勾股定理得斜邊長為付不取=10.

故該直角三角形斜邊長為8或10.

故答案為：8或10.

例2：（求斜邊上的高）（1）直角三角形的兩邊長分別是3和4,求斜邊.上的高（）

A?蔡B.乎C.5D.裝或手

【答案】D

【分析】本題主要考查了勾股定理，求三角形的高的長度，分邊長為4的邊為斜邊和直角邊兩種情況，根

據勾股定理求出第三邊的長，再利用等面積法求解即可.

【詳解】解：當邊長為4的邊為直角邊為，則斜邊為遮斗布二5,

根據三角形面積計算公式可知，兩直角邊的乘積的?半等于斜邊與斜邊上的高的乘積的?半,

團斜邊上的高為牡=9

2X55

當邊長為4的邊為斜邊時，則另一直角邊為=V7,

用斜邊上的高為犁叱二斗；

-X44

2

綜上所述，斜邊上的高？或呼，

54

故選：D.

（2）如圖，在4x5的網格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，若8。是AA8C的高,

則8。的長為（）.

A.2B.V3C.3D.|V3

【答案】A

【分析】先利用勾股定理求出4c的長，再利用等積法即可求出8。的長.

本題考查勾股定理與網格問題.熟練掌握勾股定理，以及等積法求線段的長度，是解題的關鍵.

【詳解】解：根據勾股定理得：AC=矛=5,

???S^ABC=4x4-1x4x3-|xlx2-1x4x2=5,

又SAABC=,BD,

\AC-BD=5,

2

:，5BD=5,

2

BD=2.

故選：A.

例3：（勾股樹）（1）如圖1,分別以直角三角形三邊為邊向外作上三角形，面枳分別為S】，S2,S3,如圖2,

分別以直角三角形三邊長為直徑向外作半圓，面積分別為S”S5,S&，其中*=1,S2=3,S5=2,S6=4,

則S3+$4=（）

A.10B.9C.8D.7

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理、等邊三角形的面積、圓的面積，根據圖形和勾股定理，可以得到=53,

同理可得S5+S6=S4,然后根據a=1，S2=3,S5=2,S6=4即可得到S3+S4的值，本題得以解決.

【詳解】解：如圖1，S[=@ACJS=^AB2,S=^BC2,

14424°34

圖1

^BC2=AB2-AC2,

0S2—Si=S3,

如圖2,

同理可得，s5+s6=s4,

監(jiān)=I,S2=3,S5=2,S6=4,

□S3+S4=(3-1)+(2+4)=2+6=8,

故選：C.

(2)如圖，Rt△ABC^^BAC=90°,分別以△ABC的三邊為直角邊作三個等腰直角三角形：△48。，△ACE,

△BCF＞若圖中陰影部分的面積S]=65,s2=46,s3=57,則.

【答案】38

【分析】本題主要考查了勾股定理，三角形面積的計算，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理，得出+

ShACE=SABCF.設DE分另I」交8F、C尸于點G、點H，設48=BD=a,AC=CE=b,BC=CF=c,ShABG=m,

ShACH=n,由。2+標=上2,可得S-D+SMCE=SABCF，由此構建關系式，通過計算即可得到答案.

【詳解】解：如圖，設DE分別交8尸、CF于點G、點H,

^ABD,AACE,△8CF均是等腰直角三角形，

^AB=BD,AC=CE,BC=CF,

設＜8=BD=a,AC=CE=b,BC=CF=c,S^ABG=m,S￡iACH=n,

=2,=

回S"BD=5a2，S^ACE2^2,

又BQ2+d2=C2,

團SAAB。+S^ACE=S^BCF，

團S“BD=Si+m，S^ACE=n+S《，ShBCF=S2+S3+m+n,

13sl+m+n+S4=S2+S3+mn,

13s4=S2+S3—S]=46+57-65=38.

故答案為：38.

【實戰(zhàn)演練】

1.如圖，三角形ABC中，^LACB=90°,BC=8,AC=6,P為直線AB上一動點，則線段PC的最小值

是.

【答案】Y

【分析】此題考查了勾股定理和垂線段最短，根據勾股定理求出48=10,當PC1AB時，PC的值最小，利

用等積法求出答案即可.

【詳解】解：在Rt△力5c中，Z.ACB=90°,BC=Q,AC=6,

MB=\/BC2+AC2=V82+62=10,

團當PC_L48時，PC的值最小,

此時：-BC-AC=-AB-PC=SMBC,

22

G”BCAC8x624

HzL-----------——,

AB105

故答案為：孩.

2.(1)如圖，在5x5的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1.若點4B,C都在格點(網格線的交

點)上，則力C邊上的高長為()

【答案】B

【分析】本題考查了網格與勾股定理，分母有理化；先運用勾股定理，算出力C,再根據等面積法，即可求

解.

【詳解】解：如圖：

團每個小正方形的邊長均為1,

^AC2=22+32=4+9=13,,

即=V13,

設/C邊上的高長為九

%加=xCD=^ACxh

,ABxCD2x2WH

0rah=^^=7n=—>

故選：B.

(2)如圖，△48。的頂點人，B,C在邊長為1的正方形網格的格點上，BD1/1C于點D,則80的長為.

【答案】蔡

【分析】根據圖形和三角形的面積公式求出△ABC的面積，根據勾股定理求出4C,根據三角形的面積公式

計算即可.

［詳解］解：如圖，AE1BC,BD1AC,

用△48C的面積=3BCxAE=^x4x4=8,

由勾股定理得，AC==5,

則：x5xB0=8,

解得80=y,

故答案為：v

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，網格三角形的面積的計算，掌握在任何一個直角三角形中，兩條

直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關鍵.

4.（勾股樹）（1）如圖，由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形.其中兩正方形面積分別是*=16,

S?=9,AC=V26,則4B的長為.

【答案】1

【分析】本題考查了勾股定理、正方形面積的計算，由勾股定理得出正方形的面積關系是解題的關鍵.

【詳解】解：???$=16,S2=9,

???Si+S2=16+9=25,

.?."2=25,

AC=V26?

???AC2=26

；.AB=>JAC2-BC2=426-25=1,

故答案為：1.

（2）如圖：Z.ACB=90%的面積為20,在AB的同側，分別以4B,BC,AC為直徑作三個半圓，則

陰影部分（即“希波克拉底月牙形"）的面積為.

【答案】20.

【分析】根據勾股定理得到根據圓的面積公式、三角形的面積公式計算，得到答案.

【詳解】解：由勾股定理得，AB2=AC2+AC2,則陰影部分的面積為：

222

呆x有￥+x有產+SAABCX（第之二《7rx（BC+AC—AB）+20=20,

故答案為：20.

【點睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為c,那么/+/=/,

解題關鍵是利用面積和差表示陰影部分面積.

（3）如圖，在四邊形力8。。中，LABC=￡.CDA=90°,分別以四邊形力8C0的四條邊為邊長，向外作四個

正方形，面枳分別為Si，52,S3,若Si=8,$2=11,53=15,則S4的值是:

【答案】18

【分析】本題考查勾股定理，解投本題的關鍵是將面積轉化為勾股定理求邊長的平方即可.連接力C，構造

Rt△48c和Rt△ADC,然后在Rt△48C中利用勾股定理求出4c2,在內A4DC中求出力。2,進而求得的值.

【詳解】解：如圖，連接力C,

?.?在Rt△48C中，AC2=AB2-￥BC2,

2

AAC=S2+S3=11+15=26.

?.?在RtzMOC中，AC2=AD2+DC2,

??AC2=Si+S4=S4+8=26,

解得：S4=18.

故答案為：18.

（4）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現之一.如圖1,以直角三角形4BC的各邊為邊分別向外作正方形，

再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大的正方形內，三個陰影部分面積分別記為工，S2,S3,

若已知S1=2,Sz=3,63=4,則兩個較小正方形紙片的重疊部分（四邊形OE尸G）的面積為.

【答案】9

【分析】本題主要考查了勾股定理，弄清陰影部分與兩小正方形重疊部分面積相等是解題的關鍵.如果直

角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么a2+/=c2.設直角三角形的斜邊長為a,較長直

角邊為c,較短直角邊為b,根據勾股定理得到小=,2+匕2,根據正方形的面積公式，結合圖形得出陰影部

分面積等于兩個較小正方形紙片的重疊部分的面積，即可獲得答案.

【詳解】解：設直角三角形的斜邊長為⑶較長直角邊為c,較短直角邊為。，

由勾股定理得,a2=c2+b2,

0a2—c2—h2=0,

222222

圖二S陰影=a-c-（b-S四邊形D"G）=a-c-b+S四邊形DEFG=5四邊形DEFG，

團5四邊形DEFG=SI+S2+S3=2+3+4=9.

（5）如圖1,^ACB=90°,AC=4,BC=3,以這個直角三角形兩直角邊為邊作正方形.圖2由圖1的

兩個小正方形向外分別作直角邊之比為4:3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作

正方形，…，按此規(guī)律，則圖6中所有正方形的面積和為()

A.200B.175C.150D.125

【答案】B

【分析】本題主要考查了圖形規(guī)律，直角三角形的性質、勾股定理、正方形的性質等知識，解題的關鍵是

理解題意，靈活運用所學知識解決問題.根據題意分別計算出圖1、圖2和圖3中正方形的面積，得出規(guī)律

即可求解.

【詳解】解：^ACB=90°,AC=4,BC=3,

團AB?=AC2+BC2=42+32=25,

圖1中所有正方形面積和為：42+32+25=25x2=50,

圖2中所有正方形面積和，32+42+32+42+25=25x3=75,

圖3中所有正方形面積和,32+42+32+42+324-42+52=25X4=100

a

①第〃個圖形中所有正方形的面積和為25(n+1),

13圖6中所有正方形的面積和為：25x(6+1)=175,故B正確.

故選：B.

B.18C.16D.1

二、勾股定理的驗證

例1：我國是最早了解勾股定理的國家之一.據《周髀算經》記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高

發(fā)現的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，

并給出了另外一個證明，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是()

例2：(趙爽弦圖+完全平方公式)如圖，“趙爽弦圖〃由4個全等的直角三角形所圍成，在Rt△4BC中，AC=b,

BC=a,^ACB=90°,若圖中大正方形的面積為40,小正方形的面積為5,則(a+匕/的值為—.

【答案】75

2222

【分析】根據圖形知力辟=Q2+=40,(b—a)=5,可求得2ab=35,J-是(a+h)=a+b4-2ah=

40+35=75.

【詳解】解：由圖知，大正方形面積為482=小+/?2=40,小正方形邊長為3一。)，則(6-0)2=5,

0a2+〃—2ab=5

團2ab=35.

@(a4-b)2=蘇+82+2ab=40+35=75.

故答案為：75

【點睛】本題考查勾股定理，完全平方公式；掌握完全平方公式是解題的關鍵.

例3：(等面積法勾股定理證明)如圖，有四個斜邊為c?的全等直角三角形，已知其直角邊長為〃，b.拼接

成以c?為邊長的正方形，試利用這個圖形驗證勾股定理.

【答案】見解析

【分析】本題考查勾股定理的證明，通過不同的方法求圖形的面積列等式是解題的關鍵.

根據圖形的總面積等于一個大正方形的面積加上兩個直角三角形的面積，也等于兩個小正方形的面積加上

兩個直角三角形的面積，然后整理即可得證：

【詳解】解：圖形的總面積可以表示為S正方形48DF+SABCD+SgEF=c2+2x;ab=。2+ab,

如圖，

S2222

也可以表示為S正方形BCNM+S正方形GNEF+^ABM+S^AFG=a+b+2x^ab=a+b+abf

(3c2+ab=a2+b2+ab,

0a2+d2=c2.

【實戰(zhàn)演練】

1.(1)“趙爽弦圖〃是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖，大正方

形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的兩直角邊分別為a,b,那么(a+b/的值是()

A.25B.20C.16D.12

【答案】A

【分析】本題考查勾股定理以及完全平方公式及其變形.正確根據圖形的關系求得小+/和好的值是關鍵.

根據大正方形的面積即可求得c2,利用勾股定理可以得到a2+〃=c2,然后求得直角三角形的面積即可求

得G》的值，根據(a4-b)2—a2+b2+2ab=c2+2ab即可求解.

【詳解】解：如圖，

國大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形的較短直角邊長為a,較長直角邊長為b,設大正

方形邊長為c,

?0.c2=13,

???+b2=c2=13,

團直角三角形的面積是(13-1)-4=3,

又由直角三角形的較短直角邊長為a,較長直角邊長為b,

:.^ab=3?

ab=6,

2

(a+b)=a?+匕2+2ab=c?+2ab=13+2x6=25,

故選：A.

(2)如圖，“趙爽弦圖〃是用四個相同的直角三角形與一個小正方形組成的一個大正方形，已知大正方形面

積為25,(a+6)2=49,用〃、〃表示直角三角形的兩直角邊(a>b),下列選項中正確的是()

A.小正方形的面積為4B.a2+b2=5

C.a2—b2=7D.ab=24

【答案】C

【分析】根據勾股定理解答即可.

【詳解】解：根據題意可得：小+匕2=25,故B錯誤，

v(a+b)2=49,

:.2ab=24,故D錯誤，

???(。-6)2=1,故A錯誤，

v(a+b)2=49,(a-b)2=1

(3a+b=7,a—b=1

a2-=7,故C正確；

故選：C.

【點睛】本題考查勾股定理，解題的關鍵學會用整體恒等變形的思想，屬于中考?？碱}型.

(3)如圖是由“趙爽弦圖〃變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形八枚力，正方

形EFG”，正方形MNPQ的面積分別為S/,S2,S,，若S/+S2+S3=60,則S2的值是()

A.12B.15C.20D.25

【答案】C

(分析】設每個小直角三角形的面積為tn,則S/=4加+S2，S3=S24〃?,依據S/+S2+SJ=60,可得4/n+S?+S2+S247n=60,

進而得出S2的值.

【詳解】解：設每個小直角三角形的面積為加,則Si+s，S產S24m

國S/+S2+S3=60,

04///+52+52+5?4/?=60,

即3s2=60,

解得S2=20.

故選：C.

【點睛】本題主耍考查了圖形面積關系，根據己知得出用〃，表示出S/,S3,再利用S/+S2+S3=60求出是解決

問題的關鍵.

(4)如圖，正方形ABCD的邊長為15,AG=CH=12,BG=DH=9,連接GH,則線段GH的長為.

【答案】3企

【詳解】如圖，延長BG交CH于點E,易證團ABGE0BCE03CDH,所以AG=BE=CH,BG=CE=DH,所以GE=129=3,

HE=129=3,RU3GHE,由勾股定理得GH=3V1

故答案為3V1

點睛：本題主要考查了正方形的性質和全等三角形的判定與性質及勾股定理，由于正方形是最特殊的四邊

形，它有所有四邊形的性質，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，所以正方形中的問題較多的通過全等

三角形來解決，求線段的長通常要結合勾股定理求解.

(5)勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現之一，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了“趙爽

弦圖”，流傳至今.如圖是由“趙爽弦圖〃變化得到的，它由八個全等的直角三角形和一個小正方形拼接而成，

設每個直角三角形的兩條直角邊分別為a,b(a>匕)，斜邊為c,如下列結論：①Q+b>c；②Q2+b2>2ab,

③(a+b)2=(Q-b)2+4Q/?；④魚(a+b)<2c,其中正確的是()

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】D

【分析】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式，三角形三邊關系靈活運用完全平方公式是解題的關

鍵.根據三角形三邊關系可判斷①正確；根據完全平方公式即可得到②③正確；將不等式兩邊平方再相

減即可得出④正確.

【詳解】解：①由三角形的兩邊之和大于第三邊可知Q+匕〉c,故①正確；

②；(a-b)2=a24-b2-2ab>0,a>b,

即。2+匕2>2M，故②正確；

③；(a+b)2=a2+2ab+b2,(a—b)2+4ab=a2-2ab+〃+4ab=a2+2ab+b2,

(a+b)2=(a-b)2+4ab,故③正確；

④???a2+b2=c2,

[V2(a+b)F-(2c)2

=2(a+b)2-4(a2+b2)

=2a2+4ab+2b2-4a2—4b2

=-2a2—2b2+4ab

=-2(a—b)2<0,

???a、b、c都大T0,

???>/2(a+b)V2c,故④正確；

故選：D.

(6)公元三世紀，我國漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出了“趙爽弦圖〃.將圖①中的兩個趙爽弦

圖中的八個直角三角形和兩個正方形按圖②方式擺放，圍成正方形MNPQ.記直角三角形較短的直角邊為

a，較長的直角邊為〃，斜邊為c，空隙處正方形A8CD,正方形EFGH的面積分別為Si，>S2),則下

22222

列四個結論：①Si=a,s2=b\②若c=2a,則=3s?；③DG=2AF-.(4)a+b+c=>四邊形M“PQ，

其中正確的結論有.(只填寫序號即可)

【答案】②③④

【分析】本題主要考查勾股定理，根據BC=b,HE=a,即可判斷說法①；根據b==百一M=

V3a,即可判斷說法②；根據4G=GF-AF=HE-AF=a-{b-a)=2a-bfDG=AD-AG=BC-

AG=b-(2a-b)=2(b-a),即可判斷說法③；根據S四邊形“小。=MN2=(2c)2=4c2,a2+bz+c2=

2c2,即可判斷說法④.

【詳解】麗C=b,HE=a,

22

0Si=b,S2=a,故①錯誤.

He=2a?

(3b=Vc2—a2=V4a2—a2=V3a.

13sl=b2=(V3a)2=3a2.

05i=3S2,故②正確.

^AG=GF-AF=HE-AF=a-(b-a^)=2a-b,DG=AD-AG=BC-AG=b-(2a-b)=2(b-a),

^DG=2AF,故③正確.

I3MN=2c,a2+b2=c2,

國S四邊形MNPQ=MN?=(2c)2=4c2,u2+b2+c2=2c2.

13a2+爐+<2=四邊形MMQ，故④正確.

綜上所述，說法正確的為②③④.

故答案為：②③④.

2.把兩個全等的Rt△力和Rt/kDE力如圖1放置，其三邊長分別為小b,c,ZF/1C=zDF/l=90°,顯然

BCLAD.

⑴連接80,CD.請用a,4c分別表示加四邊形力8DC,梯形力EDC,ZkEBD的面積，再探究這三個圖形面

積之間的關系，證明勾股定理a2+〃=c2；

(2)如圖2,在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=4,AC=5,BC=6,i^BD=x,求x的值.

【答案】(1)見解析

⑵，="

【分析】本題主要考查了勾股定理的證明，三角形全等的判定和性質，三角形面積的計算，解題的關鍵是

數形結合，熟練掌握三角形面積的計算公式.

2

(1)根據△BAC三4DEA,得出DE=AB=a-b+b=a,求出S四邊形.BDC=S“BC+S?D=|C^ABD￡=

\BExDE=：(Q-6)Q="-gab,S梯形.DE=^(b+2+：ab,根據S四邊形而℃=S^BDE+

S梯形ACDE，即可證明結論；

(2)設80=x,則CD=6-，根據勾股定理得出42-M=52-(6-％)2,求出x的值即可.

【詳解】(1)證明：0ABAC^^DEA,

0Dr=AB=a—b+b=a,

第四邊形A8DC~Sf8c+S&BCD

11

=-BCxAF+-BCxDF

22

1

=-BCx(AF+DF)

1

=-BCxAD

-12

-2C，

SABDE=\BExDE=；(a-b)a=ja2-1ab,

S梯形ACDE=押十。)匕二*十加，

又居四邊形48DC=SHBDE+S梯形"DE'

碎c2=-a2--ab+-b24--ab?

22222

0a2+b2=c2.

(2)解：^AD1BC,

^ADB=乙ADC=90、

設BO=x,貝I」。。=6-x,

根據勾股定理得：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,

042—x2=52—(6—x)2,

解得：x=l

4

3.勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜地發(fā)

現，當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法"來證明，下面是小聰利用圖1證明勾

股定理的過程：

將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中4048=90。，求證：a2+b2=c2.

=2af

證明：,?,$四邊形ADCB=S^ACD+^￡.ABC2^2^

又S四邊形S四邊形ADCB=^AADB+S^DCB=$c?+￡Q（b—a），

??~b2+^ab=~c2+-a（b—a）,a2+b2=c2.

請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明：

將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中乙/MB=90。，求證：a2+b2=c2.

【答案】見解析

【分析】本撅考杳了勾股定理的證明.連接8D,過點8作。E邊上的高6廣，則BF=b—a,仿照已知材料

中的方法，利用五邊形面積的不同表示方法解答即可.

【詳解】證明：連接BD,過點A作OE邊上的高8/，則B5=b-a.

.五邊形4CBED=S^ACB+S^ABE+$AADE=++^ab

又好五邊形4CBED=S&ACB+^hABD+十+己。（人-a），

嗎a8+；匕2+=；Q匕++?Q（b-a）,

^-ab+-b2+-ah--ab+-c2+-ab--a2,

2222222

^b2=-c2--a2

222f

回匕2=。2一。2,

0a2+b2=c2.

三、直角三角形的判定

例1：如果下列各組數是三角形的三邊長，那么不能組成直角三角形的一組數是（）

A.3,4,5B.土；，1C.5,13,12D.1

【答案】B

【分析】根據勾股定理的逆定理對各選項進行逐一分析即可.

【詳解】解：A、團32+42=52,團此組數據能作為直角二角形的二邊長，故本選項不符合題??；

8、團(》2+(》2=荒工(》2,回此組數據不能作為直角三角形的三邊長，故本選項符合題意;

C、團52+122=132,團此組數據能作為直角三角形的三邊長，故本選項不符合題意；

。、0(|)2+(^)2=I2,瞅匕組數據能作為直角三角形的三邊長，故本選項不符合題意；

故選:B.

【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三邊長小乩C滿足〃2+/=/,那么這個三

角形就是直角三角形是解答此題的關鍵.

例2：滿足a2+〃=c2的三個正整數〃、b、C,被稱為勾股數.下列各組數是勾股數的是()

A.7,24,25B.32,42,52C.1.5,2,2.5D.V3,",夕

【答案】A

【分析】此題考查了勾股數，根據勾股數的定義逐項分析即可.

【詳解】A.7,24,25是滿足小+爐=。2的三個正整數，故本選項符合題意；

B.32,42,52是不滿足小+/=。2的三個正整數，故本選項不符合題意；

C.1.5,2,2.5不全是正整數，故本選項不符合題意；

D.V3,V4,夜不全是正整數，曲本選項不符合題意；

故選：A.

例3：若a,b,c為A/IBC的三邊，下列條件中，不能判定△4BC是直角三角形的是()

A.Z.B=Z.A-Z.CB.a?=(b+c)(b-C)

C.Z.A:Z.B:zC=3:4:5D.a.b'.c=1:5/2:V3

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理的逆定理，三角形內角和定理，熟知如果三角形的三邊長a，b,c滿足a?+82=c2,

那么這個三角形就是直角三角形是解題的關鍵.根據三角形內角和定理可分析出A、C的正誤；根據勾股定

理逆定理可分析出B、D的正誤.

【詳解】解：A、???NB=44一NC,AA+AB+^C=180°,

z/l=乙B+Z.C?

:.LA=90°,

△力8c為直角三角形，不符合題意；

B、va2=(b+c)(匕—c),即Q2=b2—c2,

222

???b=a+ct

△ABC能構成直角三角形，不符合題意；

C、設4A=3x°,乙B=4x°,乙C=5x°,

3x4-4x+5%=180,

解得：x=15,

則5x0=75°,

???△4BC不是直角三角形，符合題意；

D、???12+（遮）2=（臼）2,

???△4BC能構成直角三角形，不符合題意.

故選：C.

【實戰(zhàn)演練】

1.若△ABC的三邊分別是a,b,c,則下列條件不能判斷△/IBC是直角三角形的是（）

A.Z-A=2Z.B=2zCB.Z.A:Z.B:ZC=3:4:5

C.a=25,b=7,c=24D.a=>/5,b=V2,c=x/3

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內角和定理，根據勾股定理的逆定理，三角形內角和定理

進行計算，逐一判斷即可解答.

【詳解】解：A、團4力=2乙8=24C,Z.A+/.B+/.C=180°,

（3NB=4C,4乙B=180°,

0ZF=Z-C=45°,

S=90°,

團△ABC是直角三角形，

故A不符合題意；

B、0Z./4:Z.B:Z.C=3:4:5,乙4++Z.C=180°,

（3ZC=180°x—^―=75°,

3+4+5

回△力BC不是直角三角形，

故B符合題意；

C、勛2+C2=72+242=625,a2=252=625,

13b2+c2=Q2,

13AABC是直角三角形，

故C不符合題意；

D、0b2+c2=（＞/2）2+（V3）2=5,a2=（V5）2=5,

團匕2+c2=a2,

作ABC是直角三角形，

故D不符合題意；

故選：B.

2.洽出下列四個說法：

①由于0.3,0.4,0.5不是勾股數，所以以0.3,0.4,0.5為邊長的三角形不是直角三角形；

②由于以0.5,1.2,1.3為邊長的三角形是直角三角形，所以0.5,1.2,1.3是勾股數；

③若a,b,c是勾股數，且c最大，則一定有。2+廬=。2；

④若三個整數小b,c是直角三角形的三邊長，則2m2b,2c一定是勾股數，其中正確的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

四、勾股定理逆定理與勾股定理綜合運用

例1：（凹凸四邊形）如圖，某社區(qū)有一塊四邊形空地力BCD,AB=15m,CD=8m,AD=17m.從點A

修了一條垂直8C的小路4E（垂足為七），石恰好是BC的中點，且AE=12m.

⑴求邊5C的長；

⑵求這塊空地的面積.

【答案】⑴18m；

⑵這塊空地的面積為168m2.

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應用，純然垂直平分線的性質，掌握勾股定理及其逆定理和三

角形面積公式是解題關鍵.

（1）利用勾股定理以及中點的性質即可求解；

（2）連接AC,把四邊形的面積分割成兩個三角形的面積來計算.

【詳解】（1）解：EL4F1BC,

SEB=90°.

在ABE中，

^AB=15m,AE=12m,

(3BE=>/AB2-AE2=V152-122=9(m),

前是8C的中點，

0BC=2BE=18m.

(2)解：連接AC,如圖，

團4E1BC,用是BC的中點,

團4C=AB=15m.

團AD=17m,CD=8m,

^CD2+AC2=AD2,

@Z4CD=9O0,

(3/k/lCD是直角三角形