15.3.2等邊三角形第2課時課時練2025-2026學年上學期初

中數(shù)學人教版（2024）八年級上冊

一、單選題

1.如圖，在VABC中，ZC=30°,ADJ.AB,垂足為A,交BC于點D，過點。的直線“恰好

垂直平分線段AC,若4力=3,則3c的長是（）

A.6B.9C.12D.18

2.如圖，將一A8C沿A5方向平移得到二。所，點A、B、。的對應點分別為點。、E、F,DF

與BC交于點G,若NC=90。，4=30。，BD=4,則8G的長度為（）

A.4B.2邪C.75D.2

3.如圖，在V4BC中，ZB=30°,AO是角平分線，DEJ.AC,DFLAB,垂足分別為E、F.若

A.2yliB.3C.372D.4

4.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,以點A為圓心，小于4c的長為半徑作弧交AC,A8于

點、M,M分別以點M,N為圓心，大于;MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點尸，作射線AP,交BC

于點O,過點。作。E_L8C交A8于點E,若DE=3,ZB=30°,則A8的長為（）

A.8B.8.5C.9D.9.5

5.如圖，在VABC中，ZC=90°,N8=30°,以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交八8,

AC于點M和N,再分別以點M和N為圓心，大于：MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線AP

交BC于點D.則下列結論：①4。是V4BC的角平分線；②點。在線段的垂直平分線上；③

ZADC=60°；④Sf地雙枷=上3；其中正確結論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.如圖①為一塊光學直角棱鏡，其截面為RtZXABC如圖②，A8所在的面為不透光的磨砂面，

ZACB=90°,ZA=30°,現(xiàn)將一束單色光從AC邊上的點0入射，折射后到達邊上的點。然后

反射（即/a）￡=/O/X?）.再從點E垂直于射出.連接其中CO為法線（即。力.若

CD=10,則光線在棱鏡中的總路線（8+。砌的長度為（）

圖①

A.10C.15D.17.5

二、填空題

7.如圖所示，有一根高為18米的松樹（垂直于地面）在A處斷裂，松樹頂部落在地面C處,

通過測量可知ZACT=30°，則松樹斷裂處A離地面的距離AB的長為一米.

8.如圖，在點人處有AB,AC兩條路，甲、乙兩車同時從點A出發(fā)，甲車沿南偏西60。方向行

駛至點C,乙車沿正西方向行駛至點反經(jīng)測量，點C位于點B的南偏東15。方向上，若A8=300米,

則點C到公路AB的距離為米.

9.如圖，在中，ZACB=90°,ZA=15°,A8的垂直平分線與AC交于點。，與AB交

于點E,連接30.若4O=16cm,則8C的長為cm.

10.如圖，VABC是邊長8cm的等邊三角形，動點P,Q同時從A,B兩點出發(fā)，分別在AB,BC

邊上勻速移動，它們的速度分別為匕,=2cm/s,%=lcm/s,當點尸到達點8時，P,。兩點停止運

動.設點夕的運動時間為/s.則當/=s時.”8。為百角二角形.

11.如圖，在4ABe中，ZC=90°,。石是AB的中垂線，分別交人5、于點。、E,若4=30°,

8。=10,則CE=.

12.如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標為(7,0),點C在x軸上，點A在第一象限，且=AC,

連接AO,若44。。=60。)。=4,則點。的坐標為.

13.如圖，點Q、E是等邊VA8C的8C、AC上的點，且8=AE,A。、8E相交于。點，8。_LAD,

已知/E=1,AD=9,則尸Q二

題號123456

答案BDDCDC

1.B

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，三角

形內(nèi)角和定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關鍵.根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出

CD=AD=3,由NC=30。，ADJ.AB,得到4=30°,進而得出4O=2AO=6,即可求解.

【詳解】解：直線w恰好垂直平分線段AC,AD=3,

CD=AD=3,

.?.ZC4D=ZC=30°,

-ADIAB,

.?.447)=90。，

ABAC=ZBAD+ZCAD=9O°+3O°=l20°,

NB=180°-NRAC-NC=30°,

:.BD=2AD=6,

:.BC=BD+CD=6+3=9,

故選：B.

2.D

【分析】本題考查了平移的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟記平移的性質(zhì)，含30度角

的直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.根據(jù)平移可得AC〃。/得出NDG8=NC=90°,

NGD4=NA=30°,再根據(jù)含3()度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】???將VABC沿4B方向平移得到以無尸,

..AC//DF,

；.NDGB=NC=90。,NGO3=NA=30°,

:.BG=-BD=2,

2

故選：D.

3.D

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握角的平分線上的點到角的兩

邊的距離相等是解題的關鍵.

先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。/=?！?2,然后根據(jù)含30度角的直角三角形三邊的關系求解.

【詳解】解：A。是角平分線，DEJ.AC,DF±AB,

.\DF=DE=2,

在尸中，；N8=30°,

;.BD=2DF=4.

故選：D.

4.C

【分析】本題主要考杳了30。直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的判定及性質(zhì)，垂

線定義.由30。直角三角形的性質(zhì)得8E=2DE=6,由作圖知AO平分-3AC,NCAD=NEAD,進

而證明AC〃EO,得NC4O=N￡A4,ZEAD=NEDA,從而得AB=9.

【詳解】解：VDE±BC,DE=3,ZB=30°,

???BE=2DE=6,

由作圖知A。平分NBAC,

工ZCAD=ZEAD,

??,DE1BC,

???ZC=ZEM=90°,

:.AC//ED,

:.ZCAD=ZEDA,

:./EAD=NEDA,

:.AE=DE=3,

???BE=6,

???AB=9,

故選：C.

5.D

【分析】本題考查作圖-復雜作圖，角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，含30度的直

角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，由題意可知人。平分NCAB,求出N7M小

NC4D,利用直角三角形30。角的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】解：在RtAABC中，vZC=90°,ZB=30°,

/.ZC4Z?=90o-30o=60o,

由作圖可知：AO平分/C44故①正確，

/.NDAB=-ZCAI3=30°=N",

2

DA=DB?

「?點。在A3的垂直平分線上，故②正確，

/ADC=ZDAB+Z￡?=60°,故③正確，

ZC4D=30°,

../\D=BD=2CD,

:.CD=-BC

3t

-SADC:SABC=\:3,故④正確，

故選：D.

6.C

【分析】本題考查含30度角的直角三角形的特征，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定

理，先根據(jù)含30度角的直角三角形的特征，求出OE的長，再判定出.08是等邊三角形，從而得

到0。的長，進而得出結果.

【詳解】解：44cA=90。，4=30。，

.?./8=90°-30°=60°,

CDA.AB,

NBCD=900—6(尸=30°,

?:DE1BC,

:.DE=-CD=5,

2

vZCDE=ZC￡)B-Z5D￡=90o-30o=60o,

:"CDO=NCDE=9。,

;NOCD=ZACB-/BCD=90°-30°=60°,

ZCOD=180o-60O-60o=60°,

.?.△08是等邊三角形，

：.OD=CD=\0,

/.OD+￡)E=10+5=I5,

故選：C.

7.6

【分析】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意可得AC=2A6,再由樹高

為18米得到A3+AC=18米，據(jù)此可得答案.

【詳解】解：由題意得，在RIA48C中，ZA8c=90。，ZACB=30°,

???AC=2AB,

???樹高為18米,

???A8+AC=18米，

/.A8+2A8=18,

43=6米,

故答案為：6.

8.150

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、等角對等邊、直角三角形的性質(zhì)，過點。作CD_LA8于

D,則NADC=90。，由三角形內(nèi)角和定理計算可得？AC8?ABC,由等角對等邊可得AC=A3=300

米，再由直角三角形的性質(zhì)即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵.

【詳解】解：如圖，過點C作C￡)_LA8于。，

則ZAQC=90。，

由題意可得：Za4C=90c-30°=60°,ZABC=9O°-I5°=75°,

JZACB=180°-ZABC-zLCAB=75°,

?ABC,

:.AC=A8=300米，

???CQ=』AC=150米，

2

即點C到公路AB的距離為150米，

故答案為：150.

9.8

【分析】本題考杳了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等，利用線

段垂直平分線的性質(zhì)得由)=AO=16cm,進而由等腰三角形的性質(zhì)得NO4A=NA=15。，再利用外角

的性質(zhì)得N8DC=30。，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關

鍵.

【詳解】解：：。石垂直平分A4,

BD=AD=16cm,

:.NOA4=NA=15。，

???ZBZ)C=ZZ)BA+Z4=15o+15o=30o,

/.BC——BD-8cin,

2

故答案為：8.

10.2或學

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運用，30。角的直角三角形的性質(zhì)的運用，利用分類討

論是解題的關鍵.先分別表示出4P,伙2的值，當N8QP和N3PQ分別為直角時，由等邊三角形的性

質(zhì)就可以求出結論.

【詳解】解：ABC是等邊三角形，

AB=BC=8cm,N4=ZB=ZC=60°,

當N/>QB=90。時，NBPQ=30°,

BP=2BQ,

?/BP=8-2t,BQ=t,

/.8-2/=2f,

解得t=2,

當NQPB=90。時,NPQB=30。,

BQ=2PB,

/.r=2(8-2r),

解得/=

v0<r<4,

.?./=2"若均符合題意，

故答案為：2或與.

10

11.—

3

【分析】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，連接4石構造出直角三角形

是解答此題的關鍵.連接4E,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出N8AC的度數(shù)，根據(jù)線段垂直平分線的

性質(zhì)可得出8E=AE,ZB=ZBAE,進而可求出NE4C的度數(shù)，由直角三角形的性質(zhì)即可求出CE的

長.

【詳解】解：連接AE,

???二ABC中，ZC=90°,/6=30。，

/.ZA?AC=60°,

OE是八8的中垂線，

.-.ZB=ZBAE=30°,AE=BE,

ZEAC=ABAC-ZBAE=60°-30°=30°,

vZC=9(r,

l.AEC是直角三角形,

???CE=-AE,

2

:.CE=、BE,

2

12.(5,0)

【分析】本題主要考查了平面直角坐標系內(nèi)點的坐標，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì),

過點A作在RrAO。中，根據(jù)含30。直角三角形的性質(zhì)得。2,再根據(jù)等

腰三角形的性質(zhì)得CD=80=3,即可得出答案.

【詳解】解：如圖所示，過點A作AO18C,交8c于點。，

在RtA/40。中，Zm0=90°-Z40D=30°,且AO=4,

???DO=-AO=2.

2

???點W-1,0),

J"0=1,

二BD=3.

,:AB=AC,ADYBC,

???C￡)=BO=3,

；?CO=5,

即點C(5,0).

故答案為：(5,0).

【分析】由題中條件可得AABE且△C4。，得出AD=BE,ZABE=ZCAD，進而得出/BPD=60°,

又BQ_LAZ),所以在RJ4PQ中，求解族的長，進而可得出結論.

【詳解】解：???VA8C是等邊三角形,

???AB=AC,NAAC=ZC=60°,

在二ABE與.C4D中，

AB=AC

<N8AE=/C=60。，

AE=CD

???JBEgCAO（SAS）,

/.NA6E=":AD,AD=BE,

:.NBPD=ZABE+NBAP=NCAD+NBAP=NBAC=&T,

?：BQA.AD,

：.NPBQ=90°-/BPD=30。，

???BP=2PQ,

:.AD=BE=BP+PE=BP+1=9,

:.BP=8,

：.PQ=^BP=4.

故答案為:4.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判

定與性質(zhì)、三角形外角的定義和性質(zhì)等知識，證明N8尸。=60。是解題關鍵.

14.⑴見解析

（2）6

【分析】本題考杳了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，直角三角

形的性質(zhì)，掌握以上知識點是解題的關鍵.

（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得FB=FC,然后求得ZAFE=60。，再求得

ZZMC=90°-ZC=60°,然后即可求解；

（2）本題根據(jù)含30。角的直角三角形的知識，進行作答，即可求解.

【詳解】（1）證明：???點尸在的垂直平分線上，

:.FB=FC,

.\ZFBC=ZC=30°,

ZAFE=A.FBC+NC=60°,

...ZAD^=Z4DC=90°,

/.ZmC=90°-ZC=60°,

:.ZEAF=ZAFE=60°,

:.^AEF是等邊三角形；

(2)解：由條件可知/8,4。=90。-60。=30°,

BD=2,

:.AB=2BD=4,

ZC=30°,

6c=2A8=8,

:.CD=BC-BD=S-2=6.

15.(I)見解析

(2)6cm

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，角平分線的作法，含3。。角的直角三角形的性質(zhì)，正確作

圖是關鍵.

(1)根據(jù)題意作-ACM的平分線交A3十點M,點M即為水1的位置；

(2)過點4作于點H,得到NAO”=gNAO8=30。，根據(jù)含30。角的直角三角形的

性質(zhì)得到AH,再根據(jù)SAOM=；OMAH即可求出答案.

【詳解】(1)解：如圖所示，作-AO3的平分線交A8于點M,點M即為水廠的位置.

???ZAOB=60°,OM平分/AOB,

ZAOH=-ZAOB=30c,

2

2

AH=；AO=gx1()=5(cm),*.*SAOM