第十四章全等三角形?一角的平分線常見題型總結(jié)練

2025-2026學(xué)年上學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級上冊

一作角平分線

I.（24-25八年級上?廣東江門?期中）尺規(guī)作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）作VABC的角平分

線4￡>.

2.（24-25七年級下?陜西寶雞?期末）如圖，在V4BC中，作NC4B的平分線交BC于點(diǎn)。；（不

寫作法，只保留作圖痕跡.）

3.（24-25八年級上?廣東廣州?期中）已知NC4E是VABC的一個(gè)外角，AB=AC.

⑴尺規(guī)作圖，作NC4E角平分線AZ）.（不寫作法，保留痕跡）；

（2）求證：AD//BC.

4.（24-25八年級上?廣東油頭?階段練習(xí)）如圖，VA8C中，ZBAC=90°,AD1BC,垂足為D

（1）求作/A8C的平分線（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法；）

（2）若的平分線分別交A。，AC于P,。兩點(diǎn)，證明：44PQ=4QP.

二用角平分線的性質(zhì)定理證明

1.（24-25八年級上砌南湘西?期中）如圖，在VABC中，40平分/84C,且

HD=CD,DE工AH,DF工AC,垂足分別為E,F.求證:

A

（2）EB=FC.

2.（24-25八年級上?天津?期中）如圖，在VA6c中，AD平分NTMC,點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，DEJ.AB

于點(diǎn)E,DFJ.AC于點(diǎn)F.求證：/B=NC.

3.（24-25八年級上?陜西安康?期末）如圖，在VA8C中，?B90?,4。是的平分線,

于點(diǎn)M,N在邊A8上且ON=7）C.

⑴求證：BN=CM.

（2）試判斷AC與人MCM之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

4.（24-25八年級上?河北石家莊?期末）如圖，已知AC平分NBA。，CEJ.AB于息E,CFLAD

求證：BE=DF.

5.（24-25八年級上?山東荷澤?期末）如圖，在VA3C中，ZC=90°,4。平分/8AC,DE±AB

于點(diǎn)七，點(diǎn)廠在AC上，BD=DF,求證：？B?CFD.

A

三用角平分線的性質(zhì)定理求面積

1.（24-25八年級上?廣東廣州?期中）如圖，己知VA8C的周長是21,OB,0C分別平分/48C

和NAC8,ODLBC于點(diǎn)、D,且O￡>=4,VA3C的面積是.

A

2.（24-25八年級上?江蘇宿遷?期中）如圖，在VA8C中，ZC=90°,N84C的平分線A。交

于點(diǎn)。，若BD=5,80:8=5:3,AB=\0,則△A8O的面積是.

3.（24-25八年級上?上海?階段練習(xí)）如圖，在VABC中，AB=2,BC=3,BD是/ABC的平

3

分線，如果VA4C的面積為那么△O8C的面積為.

4.（22-23八年級上?黑龍江雞西期中）如圖，A。是陽4A3c的角平分線，ZC=90°,￡>C=6./\fi=8,

則AABD的面積是.

四用角平分線的性質(zhì)定理求線段長度

1.（23?24八年級上?廣東汕頭?期中）如圖，在VA4C中，A。為/胡。的平分線，DEJ.AB于

E,DFJ.AC于F,VAAC的面積是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求。月的長.

A

2.（23-24八年級上.廣東珠海.期中）如圖，在VABC中，A。平分NBAC,過點(diǎn)。作

于點(diǎn)E,作力尸/AC于點(diǎn)尸.

⑴求證：AE=AFx

（2）若人8=6.AC=4.5dBe=15,求DE的長.

3.（24-25八年級上?湖北十堰?期末）如圖，在VABC中，4。是它的角平分線.求證

：

S&ABDSAAC?=AB：AC.

（2）在圖2中，如果八6=3,AC=2,BC=4,求C。的長.

4.（23-24八年級上.陜西商洛?期末）如圖，在Rl^ABC,ZC=90°,AD平分NB4C,DEJ.AB

于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在AC上，BD=DF.

⑴求證：BE=FC：

（2）若48=15,AF=9,求AC的長.

五用角平分線的性質(zhì)定理求點(diǎn)到直線的距離

1.（24-25八年級上?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?期中）如圖，AO是VA4c的角平分線，若/"=90。：班）=2,

則點(diǎn)。到AC的距離是

2.（23-24八年級上?江蘇宿遷?期中）如圖，在VABC中，以點(diǎn)A為圓心，小于AC長為半徑作

圓弧，分別交AB4c于點(diǎn)E、凡再分別以￡尸為圓心，大于r的同樣長為半徑作圓弧，兩弧

交于點(diǎn)P，作射線AP,交CB于點(diǎn)D.ZC=90°,BC=9cm,80=6cm,那么點(diǎn)。到AB的距離是

cm.

A

3.（24-25八年級上,新疆烏魯木齊?期末）如圖，在中，

NC=90o,AC=4cm,BC=3cm,4B=5cm,。是NC4B與NCSA平分線的交點(diǎn)，則點(diǎn)。到A8的距離

為?

4.（24-25八年級上?河南洛陽?期末）如圖，在VA3C中，ZC=90°,A。平分/84C交于

點(diǎn)。，若CD=9,則點(diǎn)。到斜邊人4的距離為.

六角平分線的判定定理

1.（24-25八年級上嚀夏固原?期中）如圖，4=/。=如，M是8C的中點(diǎn)，0M平分/ADC,

求證：AM平分/D4B.

D

2.（24-25八年級上?四川自貢?階段練習(xí)）如圖，在V/WC中，。是BC的中點(diǎn)，DEJ.AB于E,

DFJ.AC于點(diǎn)F,且BE=C戶.求證：A。平分/84C.

3.（23-24八年級上?河南安陽?期中）如圖，BE=FD,CEJ.AB十點(diǎn)E,CO_LA尸交AF的延

長線于點(diǎn)。，且AC=FC,求證：AC是N8A/的平分線.

4.（24-25八年級上?河北石家莊?階段練習(xí)）在三角形百8c中，。為8C的中點(diǎn)，DEJ.AB,

DFJ.AC,垂足分別是E,F,/8=NC.求證：點(diǎn)。在的平分線上.

七角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用

I.（22-23八年級上?甘肅定西?階段練習(xí)）如圖，要在S區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場，使它到公路和鐵路

的距離相等，并且離交叉處500m,這個(gè)集貿(mào)市場應(yīng)建于何處？（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺1:20000）

2.（2023?吉林長春?模擬預(yù)測）三條公路兩兩相交于A,B,C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修一座油庫，要求

到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有幾處？請?jiān)趫D中畫出來，保留作圖痕跡，不寫畫法.

AC

3.（23-24八年級上?廣東廣州?期中）如圖，要在S區(qū)建一個(gè)電子商品批發(fā)市場，使它到公路機(jī)、

鐵路〃的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉處500m,這個(gè)電子商品批發(fā)市場應(yīng)建于何處（請?jiān)趫D

上標(biāo)出它的位置.，保留作圖痕跡，比例尺為1:20000）.

4.（22-23八年級上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知：如圖公路A￡、AF.4C兩兩相交.

L'

求作：加油站O,使得。到三條公路的距離相等.（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

答案

1.解：以點(diǎn)A為圓心任意半徑畫弧，交45、AC兩點(diǎn),以兩點(diǎn)分別為圓心，大于兩點(diǎn)g的距

離畫弧交于一點(diǎn)，連接A點(diǎn)和此點(diǎn)的射線交BC邊于D點(diǎn)，連接4。即可;

A

D

BC

2.解：如圖，射線AD即為所求.

B

3.(1)解?：如圖所示，射線AD即為所求;

(2)證明：???A4=AC,

:.ZB=ZC,

:.ZE4C=ZB+ZC=2Z5,

???A力為N￡4C的平分線，

???ZEAD=ZCAD

:.ZE4C=2ZE4D,

/.ZE4D=ZB

.?.AD//BC.

4.(1)解：以點(diǎn)8為圓心，任意長為半徑畫弧交8ABe于兩點(diǎn)，再分別以這兩點(diǎn)為圓心，大

于兩點(diǎn)長的一半為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，再連接8和兩弧的交點(diǎn)，如下圖即為N48。的平分線：

(2)解：根據(jù)題意畫圖如下:

...4位＞4=90",

:.ZBPD+ZPBD=90°.

vZaAC=90°,

/.ZAQP+ZA8Q=90。.

???^ABQ=/PBD,

/BPD=NAQP.

/BPD=ZAPQ,

:.NAPQ=NAQP.

二用角平分線的性質(zhì)定理證明

1.(I)證明：???AD平分N84C,DE±AB,DF±AC,

：.ZDEA=4DFA=90。,DE=DF,

又＜AD=AD,

：,△E4Z)^AE4D(HL)；

(2)?:NDEB=NDFC=9(1°,DE=DF,BD=CD,

：.力(HL),

???EB=FC.

2.證明：?「AO平分N8AC,DEJ.AB,DF1AC,

:.DE=DF，/BED=NCFD=90。,

???￡)是8C的中點(diǎn),

:.BD=CD.

在RSBDE和RtACDF中，

BD=CD

DE=DF'

???RtA/^DE^RtACDF(HL),

N8=NC.

3.(1)證明：?/ZC=90°,

DM1AC,

???4。是，84c的平分線，BD工AB,DM1AC,

BD=DM,

在R^BON和Rl&WDC中，

BD=DM

DN=DC'

RtA^MDC(HL),

BN=CM.

(2)解：AC=AN+2CM,理由如下：

在RLA8D和中，

BD=DM

AD=AD'

RaAfi恒Rt”WO(HL),

AB=AM，

AC=AM+CM=AB+CM=AN+BN+CM.

由(1)得BN=CM,

AC=AN+2CM.

4.證明：VZC=90°,AO平分NBAC,DEJ.AB于點(diǎn)E,

???DC二DE,

,/DF=DB，

???△DCFGADEB(HL),

：.?B1CFD.

三用角平分線的性質(zhì)定理求面積

1.如下圖，連接。4,過。作OEJ_A8于E,_L4C于r,

QOB、0C分別平分/A8C和4AC8,

是-4AC的平分線,

V0E1AB,OF±AC,OD1BC

：,OE=OF=OD=4,

???△ABC的周長是21,

=-xABxOE+-^I3CxOD+-xACxOF

=-(AB+BC+AC)x4

=—x21x4

2

=42,

故答案為：42.

2.解；過力作。ZT1A3于￡,

AO平分/84C,ZC=90°,

?;BD=5,BD:CD=3：3、

：.CD=3,

???在VABC中，ZC=90°,NBA。的平分線4。交BC于。,

/.DE=CD=3,

???48=10,

.△440的面積是：：4B?OE=；x]Ox3=15.

乙乙

故答案為：15

3.解：如圖所示，過點(diǎn)D分別作A8AC的垂線，垂足為￡、F,

丁汝）是NAAC的平分線，DEA.AB,DF±RC,

:.DE=DF,

c-AB?DE*n,

S△ABD__2________AS_2

S△CBD1BCDFBC3

2

._3_9

??SMBD-3+2S^BC~歷‘

9

故答案為；—.

4.解：過。作于E,

???AD是Rt^ABC的角平分線，NC=90。,OC=6,

???DE=CD=6,

???A8=8,

???△ABO的面積，"OE/x8x6=24.

22

故答案為:24.

四用角平分線的性質(zhì)定理求線段長度

1.解：:AO為N8AC的角平分線，DEJ.AB,DF1AC,

:.DE=DF，

???q‘JBC—-q^^ABD+丁qu"CD

=-ABDE+-ACDF

22

=-ABDE+-ACDE

22

=-DE(AB+AC),

VNABC的面積是28cm2?AB=20cm,AC=8cm,

:.28=4。石(20+8),

DE=2cm.

2.(1)證明：?.?AO平分DE上AB,DFJ.AC,

:.DE=DF，

在RtAA￡)K和Rt^ADF中：

AD=AD

DE=DFf

RtAADE^Rt^ADF(HL),

:.AE=AF：

(2)解：,/S必BC=S2DB+SAADC=DF-i--AC-DE,DF-DE,AH=6?AC=4,^^WBC=15,

.?.-x6DE+-x4D￡=15,

22

:.5DE=\5,

:.DE=3.

3.(1)證明：過。作。fSAB于E,DFJ.AC于F,如圖所示:

???4。平分/84。，

；?DE=DF，

S=-ACDF

AAb"2A/AKCVD2T

-ABDE

.Sc.ABD_2_"Ali

s小-ACDFAC

2

即SJBD-SAACO=AB:AC.

(2)解：如圖，過點(diǎn)4作AE_LBC于E,

*.*S6只A《R‘)])=—2HD-AE△,八[.S〃AC2n=—CD-AE,

S-HDAE

.?.S：=2=處pn

SJCD-CDAECD

2

.ABBD

..---=---,

ACCD

*.*AB=3,AC=2,BC=4,

.34-CD

??一=------

2CD

：.CD=~.

5

4.(1)證明：VZC=90°,A￡)平分N8AC,DELAB,

；?DE=DC

?：/DCF=/DEB=9(r,BD=FD,DC=DE,

:.RL石也Rt△/)/<(HL),

:.BE=FC.

(2)解：VZC=90°,AD平分/44C,DEJ.AB,

???DE=DC,

ZACD=ZAED=9()°,AD=AD,DC=DE,

???R(AAC。郃aAED(HL),

:.AE=AC,

:.AF+FC=AB-BE,

???BE=FC.

:.AF+FC=AB-FC,

VAB=15,A/=9,

五用角平分線的性質(zhì)定理求點(diǎn)到直線的距離

I.解：VZ￡?=90°,

???8。的長為點(diǎn)。到AB的距離，

力是VABC的角平分線，

???點(diǎn)D到AC的距離等于點(diǎn)D到AB的距離，即為8。的長,

,:80=2,

???點(diǎn)。到AC的距離等于2；

故答案為：2.

2.解：如圖所示，過點(diǎn)。作。“JLAB于，，

由作圖方法可得A0平分/B4C,

VDH1AB,ZC=90°,

:?CD=DH,

*.*BC=9cm,BD=6cm,

JDH=CD=I3C-l3D=3cm,

.??點(diǎn)。到45的距離是3cm,

故答案為：3.

3.解：分別過點(diǎn)。作O￡_LAC,O"_L4coG_LA4,連接OC,

A

???點(diǎn)。是NC4B與/CBA平分線的交點(diǎn)，

???點(diǎn)。在NAC8的角平分淺上，

：,OF=OE=OG,

設(shè)OE=OF=OG=x,

?SJBC=SQAB+^CJOAC+tPCB?

在AABC中，NC=90°,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,

：,-%3x4=-x5OG+-x^OE+-x3OF

2222f

6工=6,

x=1,

???點(diǎn)。到A8的距離等于1cm.

故答案為：1cm.

4.解：過點(diǎn)。作。￡工行4于點(diǎn)￡,如圖：

???4。平分/胡。，ZC=90°,DE上AB,

:,DE=CD=9,

即點(diǎn)。到斜邊AB的距離為9.

故答案為：9.

六角平分線的判定定理

1.證明：如圖，作MZTJ.4）于E,

???OM平分NADC,MEJuAD,ZC=90°,

:.ME=CM,

??，M是3c的中點(diǎn)，

:.CM=BM,

:.EM=BM,

VMELAD.?B90?,

，點(diǎn)M在/ZM3的角平分線上.，

???AM平分ZDAB.

2