第十三至十四章（三角形和全等三角形）綜合過關試題

2025?2026學年上期初中數(shù)學人教版（2024）八年級上冊

一、單選題

I.用三角板作△人的邊上的高，下列三角板的擺放位置正確的是（）

4.如圖，在VABC中，點。是其重心,連接AQCO并延長，分別交8GA8于。，E兩點,則下

列說法一定正確的是（)

B

DC

A.NBA/)=NOWB.AE=CDC.OA=OCD.BD=CD

5.已知數(shù)軸上點A,B,C,。對應的數(shù)字分別為T,1,x,7,點C在線段8。上且不與端點重合，

若線段ABBC,CO能圍成三角形，則x可能是（）

ABCD

1」I」」?

-101X7

A.2B.3C.4D.5

6.下列可使兩個直角三角形全等的條件是（）

A.一條邊對應相等B.兩條直角邊對應相等

C.一個銳角對應相等D.兩個銳角對應相等

7.小明同學只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出?個角的平分線.如圖：?把直尺壓住射線

OB,另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P,小明說:“射線OP就是的角平分線.”

A.在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上

B.角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等

C.三角形的三條高交于一點

D.三角形三邊的垂直平分線交于一點

8.如圖，VA3c中，ZB=ZC,BD=CF,BE=CD,/EDF=a,則下列結論正確的是（）

A.2a+ZA=\S0°B.a+ZA=90°

C.2a+ZA=90°D.?+ZA=180°

9.如圖，AO為NC4E的角平分線，BD=CD,過。作OE/AC于E,JLAB交B4的延長線于

F,則下列結論：

D,

A

/

B匕.......—

①△CO睦△8ZW；②CE=AB+AE；@ABDC=^BAC.其中正確結論的序號有（）

A.??B.??C.①③D.①②③

10.如圖，在V48c中，N84C和/ABC的平分線AE,即相交于點。，AE交8c于E,BF交AC

于凡過點。作O￡>_18c于D,下列三個結論：①408=90。+/。：②若45=4,00=1,則

SAABO=2;③當NC=60。時，AF+BE=AB;④若“)=a,AB+BC+CA=2b,則山依=".其中

正確的個數(shù)是（）

二、填空題

II.如圖，AABC*ABAD,如果A8=6,80=5,AO=4,則4c的長是

12.如圖，已知A3=OE,NA=NO,請你添力口一個條件（一個即可）：,使△aB（Wz\DEC.

13.已知。，b,c為VA8C的三邊，化簡：\a+b-c]+\a-b-c]=

14.如圖，VABC中NA=100。，BO,CO分別是乙ABC,NAC8的角平分線且相交于。點，則/8OC

的度數(shù)為

c9/

APB

三、解答題

20.如圖，AC和8。相交于點。AB=CD,AB//CD.求證。A=OC.

X

---------------

21.如圖，ABA.BD,垂足為從AC±CD,垂足為C,且AC與8。交于點E,那么,

A

至

C

(l)VAOE的邊力E上的高為____,邊4E上的高為___.

⑵若石是3。的中點，AE=5,ED=2,CD=",求A8的長.

22.已知VABC中，ZB=50°,ZC=7C尸，AO是VABC的角平分線，DEJ.AB于E點、.

A

A

BDC

⑴求NE4D的度數(shù)；

(2)AB=10,AC=8,DE=3,求山8c?

23.如圖，RQAC8中，ZACB=90°,ZA=30°,/A8C的角平分線BE交AC于點E.點。為AB上

一點，且AD=AC,CD,BE交千點、M.

B

⑴求功WK的度數(shù):

(2)若曲_LBE于點HAB=16,求的長.

24.如圖，VA6c中，點。在笈C邊上，ZBAD=100°,N'43c的平分線交AC于點E,過點￡作

EFLAB,垂足為尸，且NAM=50。，連接OE.

(1)求NC4。的度數(shù)；

(2)求證：OE平分

(3)若AB=7,4)=4,CO=8,且Sj8=15,求△A8E的面積.

25.如圖①，在Rt2\A8C中，ZC=90°,BC=9cm,AC=12cm,A8=15cm,現(xiàn)有一動點P,從

點4出發(fā)，沿著三角形的邊ACfC8-84運動，回到點A停止，速度為3cm/s,設運動時間為—

A

C

圖①

⑴如圖①，當”時，△APC的面積等于VA4C面積的一半;

(2)如圖②，ADEF中,ZE=90°,DE=4cm,DF=5cm,ND=NA.在V人BC的邊上，若另外有

一個動點Q，與點P同時從點人出發(fā)，沿著邊八8TBeTCA運動，回到點4停止.在兩點運動過程

中的某一時刻，恰好△4PQ與ADE尸全等，求點Q的運動速度.

參考答案

題號12345678910

答案ACBDCBAADC

1.A

【分析】根據(jù)高線的定義即可得出結論.

【詳解】解：B,C,D都不是△ABC的邊8c上的高，

A選項是△ABC的邊8c上的高，

故選：A.

【點睛】本題考查的是三角形的高，熟知三角形高線的定義是解答此題的關鍵.

2.C

【分析】此題考查全等圖形問題，根據(jù)能夠完全重合的平面圖形是全等圖形判斷即可.

【詳解】解：A、兩個圖形是全等圖形，不符合題意：

B.兩個是全等圖形，不符合題意；

C、兩個圖形大小不同，不是全等圖形，符合題意；

D、兩個圖形是全等圖形，不符合題意；

故選：C.

3.B

【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，可在框架里加根木條，構成三角形的形狀.

【詳解】因為二角形具有穩(wěn)定性，只有B構成了二角形的結構.

故選B.

【點睛】本題考查三角形的穩(wěn)定性在實際生活中的應用問題.

4.D

【分析】本題考查的是三角形的重心，三角形的重心是三角形三邊中線的交點.直接根據(jù)三角形重心

的概念進行解答即可.

【詳解】解：:點。是VA8C里心，

:.AO是8c邊的中線，

???BD=CD,

觀察四個選項，只有D選項符合題意，

故選：D.

5.C

【分析】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，三角形三邊的關系，解不等式組.先根據(jù)題意得到

x-1+7-x>2(D

AB=2,BC=x-\,CD=7-x,由三角形三邊關系定理得：<2+x-1>7-愈，得到不等式組的解

2+7-01③

集是3Vx<5,即可得到答案.

【詳解】解：由點在數(shù)軸上的位置得：^=l-(-l)=2,BC=x-\,CD=7-x,

???線段48BC,CD能圍成三角形，

%-1+7-工>2①

，由三角形三邊關系定理得：2+工-1>7-逸)，

2+7-x>x-1③

不等式①恒成立，

由不等式②得：x>3,

由不等式③得：x<5,

???不等式組的解集是3Vx<5.

觀察四個選項，只有C選項符合題意，

故選：C.

6.B

【分析】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)全等三角形的判定方法，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：A、一邊一角無法得到兩個直角三角形全等，不符合題意；

B、利用SAS可以得到兩個直角三角形仝等，符合題意；

C、一個銳角對應相等，則另一個銳角也對應相等，AAA無法得到兩個直角三角形全等，不符合題

意；

D、AAA無法得到兩個直角三角形全等，不符合題意；

故選B.

7.A

【分析】過兩把直尺的交點尸作出口_臺0與點”，由題意得產(chǎn)￡_LAO,因為是兩把完全相同的長方形

直尺，可得PE=PF,再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上可得OP平分

NAOB

【詳解】如圖所示：過兩把直尺的交點P作PELBO與點F,由題意得PEL40,

A

OFB

???兩把完全相同的長方形直尺，

:.PE二PF,

???(〃＞平分NA0/6(角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上)，

故選A.

【點睛】本題主要考查了基本作圖，關鍵是掌握角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分

線上這一判定定理.

8.A

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角利定理的運用，根據(jù)題意可得

△BDE^CFD(SAS),得到NBE￡)=NC0E4BDE=/CFD,根據(jù)平角的性質(zhì)可得

ZBDE+ZCDF=180°-a,即N3OE+NB￡O=180°—。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，NB=4C,可得

Z5=180°-(Z5DE+ZfiED)=i(180o-Z/l),由此即可求解.

【詳解】解：,:BD=CF,NB=NC,BE=CD,

???&BDEq/FD(SAS),

:?/BED=/CDF,/BDE=/CFD,DE=DF,

NBDE+NEDF+ZCDF=180°,即ZBDE+a+/CDF=180°,

???ZBDE+ABED=180。-a,

/B=186。-(NBDE+/BED),Z^=-(I80o-Z/\)=90o--Z/l,

22

???N8=180。-(180。-a)=a,a=90。-；/A,

:.2a+NA=180。，

故選：A.

9.D

【分析】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性

質(zhì)并準確識圖判斷出全等的三角形是解題的關鍵，難點在于需要二次證明三角形全等.根扼角平分線

上的點到角的兩邊距離相等可得。E=OF,再利用“HL”證明RSCDE和RtABDF全等，根據(jù)全等三角

形對應邊相等可得CE=A尸，利用證明RtAADE和RtAADF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可

得隹然后求出CE=A8+AE；根據(jù)全等三角形對應角相等可得ND8/=NDCE,利用“8字型”

證明N8DC=N3AC.

【詳解】解:

?.?AO平分NC4〃，DE.LAC,DFtAB,

：.DE=DF,

在RtACDE和RtABDF中.

BD=CD

DE=DF'

R(ACDE^RtABDF(HL),故①正確;

:.CE=AF,

在RlAADE和RlAADF中，

AD=AD

DE=DF'

RtAADE^RtAADF(HL),

：.AE=AF,

:.CE=AB+AF=AB+AE,故②正確；

RtACDE^RtABDF,

;"DBF=/DCE,

設AC交于0,

ZAOB=ZCOD,

:"BDC=/BAC,故③正確；

綜上所述，正確的結論有①②③共3個.

故選：D.

10.C

【分析】由角平分線的定義結合三角形的內(nèi)角和的可求解-404與-C的關系，進而判定①；過0

點作于P,山角平分線的性質(zhì)可求解8=1,再根據(jù)三角形的面積公式計算可列定②；在A8

上取一點從使BH=BE,證得△”皮注△砧O,得到NBQ〃=N4OE=60。，再證得△HAgAEAO,

得到A/=A〃，進而判定③正確；作@V_LAC于N,QM_LAB于M,根據(jù)三角形的面積可證得④正

確.

【詳解】解：???/84C和NABC的平分線相交于點O,

NOBA=-NCBA,ZOAB=-ZCAB,

22

???Z40?=180°-ZOBA-ZO^=180°-^ZCT>4-izC/l?=I800-1(1800-ZC)=900+izC,故①

錯誤；

過O點作OP_LA8于P,

：.OP=OD=\,

???/W=4,

AS/tflO=|ABOP=1x4xl=2,故②正確；

'：ZC=60°,

A+ZABC=120°,

VAE>M分別是/B4C與443。的平分線,

工Z.OAB+ZOBA=i(ZBAC+^ABC)=60°,

/.ZAOZ?=120°,

/.ZAOF=60°,

???4OE=60。，

如圖，在A3上取一點“，使BH=BE,

A

?IB產(chǎn)是/ABC的角平分線，

，/HBO=/EBO,

在△“80和△E8O中，

BH=BE

<ZHBO=NEBO,

BO=BO

???△”8g4￡1B0(SAS),

：,/BQH=NBQE=GT、

/.ZAOH=180o-60o-60o=60°,

???ZAOH=ZAOF.

在"iAO和△EAO中，

ZHAO=ZFAO

AO=AO,

ZAOH=ZAOF

.??AAMO^AMO(ASA),

，AF=AH,

；?AB=BH+AH=BE+AF,故③正確;

作ON_LAC于N,0""148于"，

???NZMC和/A3c的平分線相交于點O,

???點O在/C的平分線上，

：.ON=OM=OD=a,

,rABIAC卜9C=2Z?,

Z.SJBC=-xABxOM+-xACxON+-xBCxOD=-（AB+AC+BC}a=abt故④正確.

2222

故選：c.

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，三角形全等

的性質(zhì)和判定，正確作出輔助線證得得到N89〃=N8OE=60。，是解決問題的關鍵.

11.5

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，找到對應邊即可求解.

【詳解】解：?：sABCRBAD,BD=5,

:.AC=A/）=5,

故答案為：5

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，找準對應邊是解題的關鍵.

12.ZAC8=/OCE（合理即可）

【分析】本題是開放性題目，考查了全等三角形的判定，由已知條件：AB=DE,ZA=ZD,再添

加一組角相等或AC=OC即可證明全等.

【詳解】添加條件：ZACB=/DCE；

證明：二AB=DE,ZA=ZD,ZACB=/DCE

,ZMBC^ADEC（AAS）,

故答案為；/4圓=//乂石（合理即可）.

13.2b

【分析】本題考查了三角形的三邊關系，合并同類項，根據(jù)三角形三邊的關系，即可得到a+〃-c>0,

a-b-c<0,然后將原式去掉絕對值，再合并同類項即可，解題的關鍵是正確理解任意兩邊之和大

于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊.

【詳解】解：???VA8c的三邊長分別是久b、c,

???必須滿足兩邊之和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊，則“十"a-b-c<0,

\a+b-c\+\a-b-c\=a+b-c-a+b+c=2b,

故答案為：2b.

14.1400/140JS

【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)是解決本

題的關鍵.利用三角形的內(nèi)角和定理先求出NABC與NAC6的和，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出

4OBC+/OCB,最后再利用三角形的內(nèi)角和求出NBOC.

［詳解］解：vZA=IOO0,

/.ZAfiC4-ZACT=180°-100°=80°.

?;BO,CO分別是N4BC和/AC8的平分線，

:.ZOBC+ZOCB

=-(ZABC+ZACB)

=-x80°

2

=40°.

zoi?c+zoce+ZA=i8(r,

.?.ZBOC=180°-40°=140°.

故答案為：140。

15.50

【分析】作p石_LBC干E.P"LAC干尸,如圖,根據(jù)角平分線的件研得到PE=PF=PO=5?然后根

據(jù)三角形面積公式和SA48C=S△辦8+SAPBC+S△%。得至l」S&A8C=g(AB+BC+AC),再把△48C

的周長為20代入計算即可.

【詳解】作尸EJ_BC于E,P凡L4c于F,如圖所示，

???點?是^A8C三條角平分線的交點，

:,PE=PF=PD=5,

：.S^ABC=S^PAB+S^PBC+S^PAC

=gPD^AB+1PE?BC+；PF?AC

=-(AB+BC+AC)

2

=-x20

2

=50,

故答案為：50.

【點睛】考食了角平分線的性質(zhì)，解題關鍵是運用了：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

16.10或20

【分析】本題考查了直角三角形全等的判定方法，山于本題沒有說明全等三角形的對應邊和對應角，

因此要分情況討論：當人2=BC=10時，當AP=C4=20時，由HL證明直角三角形全等，即可得出結

果.

【詳解】vAXLAC

NR4Q=90°

/.ZC=ZPAQ=90°

分兩種情況：

當AP=BC=10時,

在■△ABC和RtZXQAA中

AB=QP

BC=AP

Rt“80RtaQP4（HL）；

當A尸=C4=20時，

在RtZXABC和R/PQ人中

AB=PQ

AC=AP

/.RUABC^RIAP2A（HL）,

綜上所述；當點夕運動到八夕=10或20H寸，V/V?。與△4PQ仝等，

故答案為：10或20.

17.24

【分析】證明484戶也2\瓦?。?於），則SaBA尸凡利用割補法可得陰影部分面積.

【詳解】解：???4B〃CQ,

：,ZBAD=ZD,

?:AB+CE=CD,CE+DE=CD,

：,AB=DE,

在48人?和^EDF中,

Z.BFA=NEFD

?NBAD=ND,

AB=DE

:.△BAF94EDF（/US）,

：.SABAF=SAEDF,

VAC=6,人￡>=8,

???圖中陰影部分面積=S咽杉ACEF+LB/IF

=SAACD

2?4C?A。

2

=—x6x8

2

=24,

故答案為：24.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，三角形的面積計算方法，熟練掌握全

等三角形的判定是解決問題的關鍵.

18.2

【分析】先求解2g=6,再求解S4P=；x6=3,過戶作PG_LA8于G,再證明莊=PG=3,再利用三

角形的面積公式列方程求解人尸即可得到答案.

【詳解】解：:PEJ_AC于點E,且PE=3,AE=4,

,?MAEP=—AE?PE=-x4x3=6,

22

,/aE4P的面積恰好是面積的J,

S/"=/x6=3,

過P作PG_LA8于G,

???PE_LAC于點E,P是/%C的平分線AD上一點,

:.PE=PG=3,

：.-AF?PG=3,

2

/.AF=2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關鍵.

19.4

【分析】本題考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知識.設運動工分鐘后aCA尸與△PQ8全

等；則8P=.vm,BQ=2xm,貝JAP=(12-x)m,分兩種情況：①若8/〉=AC,則x=4,此時入尸=8Q,

△CAP^LPBQ；②若3尸=4尸，則12—x=x,得出x=6,8Q=12工AC,即可得出結果.

【詳解】解：?.?C4_L4?于A,DBA.ABT-B,

.\ZA=ZB=90°,

設運動x分鐘后△CAP與APQB全等；

則8P=;im,BQ=2nn,則AP=(12-x)m,

分兩種情況：

①若8P=AC,則x=4,

AP=12-4=8,BQ=8,AP=BQ,

.?.△CAgAPBQ；

②若BP=AP,則12-x=x,

解得：x=6,BQ=12HAC,

此時△CA尸與△P。^不全等；

綜上所述：運動4分鐘后△CAP與△P0B全等；

故答案為:4.

20.見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).由A4〃CD得ND=N8,再利用AAS即可證明

△CODMAAOB,即可得出結論.

【詳解】解：???川”CD,

，ZD=NB,

???在VAO8和△COD中，

NB=ND

、NAOB=/COD,

AB=DC

/.△AOB^ACOD(AAS),

.,.OA=OC.

21.(1)48；DC

(2)AB=4.5

【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義進行判斷即可；

（2）根據(jù)等積法求出的長即可.

【詳解】（I）解：VAOE的邊DE上的高為A8,邊AE上的高為。C,

故答案為：A8：DC.

（2）解：：邊DE上的高為AB,邊AE上的高為。C,

/.—xAExCD=—xDExAB,

22

9

VAE=5,￡0=2,CD=-,

—x5x-=-x2xAB,

252

???AB=4.5.

【點睛】本題主要考查了三角形高度的有關計算，解題的關鍵是熟練掌握三角形高的定義.

22.（1）30°

（2）27

【分析】（1）直接利用三角形內(nèi)角和定理得出N7MC的度數(shù)，再利用角平分線的定義得出答案;

（2）過。作。尸工AC于凡依據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得到。尸=。E=3,再根據(jù)

S小質(zhì).=^乂48乂0￡；+3乂40*0/進行計算即可.

【詳解】⑴???NB=50°,ZC=70\

/.ZBAC=180-ZB-ZC=180°-50-70"=60°,

?.?AO是VABC的角平分線，

/.ZEAD=-ZBAC=-x600=30"；

22

（2）如圖，過。作。尸/AC于尸，

?.?A。是V48C的角平分線，DEJ.AB,

：.DF=DE=3,

又；AB-\Q,AC,

：.SABC=—xABxDE+—x/lCxDF=—xl0x3+—x8x3=27.

2222

【點睛】本題主要考瓷了角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積，角的平分線上的點到角的兩邊的距離相

等.

23.(1)ZDMB=45°

(2)A#7=4

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可得/ABC的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義可得NA8E的

度數(shù)，根據(jù)等邊對等角以及三角形的內(nèi)角和定理可得NADC的度數(shù)，進而根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可

得4W仍的度數(shù)；

(2)根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可得A/3=23C,BC=2CH,根據(jù)等腰直角三角形的性

質(zhì)可得CH=MH,進而即可得出AB=4M〃，即可得出答案.

【詳解】(I)解：VZACB=90°,44=30。，

AZABC=60°,

??YE是NA8C的角平分線，

/.ZABE=ZCBE=30°,

VZA=30°,AC=AD,

/.ZACD=ZADC=^x(180°-30°)=75°,

???ZDMB=ZADC-ZABE=45°；

(2)解：VZACT=90°,4=30。，

，AB=2BC,

ZCBE=30°,

:.BC=2CH,

/.AB=4CH,

'：NCMH=NDMB=45°,

???在中，ZHCM=900-ZCMH=45°,

，NCMH=/HCM,

:.CH=MH,

???AB=4MH.

*/AB=\6,

4

【點睛】本題主要考查了直角三角形的兩個銳角互余，角平分線的定義，等邊對等角以及三角形的內(nèi)

角和定埋、一-角形的外角性質(zhì)，含3。度角的直角一.角形的性質(zhì)，等腰直角二角形的判定和性質(zhì)，熟

練掌握以上知識是解題的關鍵.

24.(1)(1)4。=；(2)證明見解析；(3)—.

4

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出/布￡根據(jù)補角的定義計算，得到答案；

(2)過點上作于G,EH人BC于H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF=EG,EF=EH,等量代

換得到EG=E，，根據(jù)角平分線的判定定理證明結論；

(3)根據(jù)三角形的面積公式求出EG,再根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案.

【詳解】(1)解：^EFA.ABtZAEF=50°,

/.ZME=90°-50°=40°,

VZBAD=100°,

:.NC4O=180°-100°-40°=40°;

(2)證明：過點上作EG_L4O于G,EH工BC于H,

:,EF=EG,

〈BE平分/ABC,EFLBF,EHLBC,

:?EF=EH,

：.EG=EH,

*：EGLAD,EH±BC,

????！辏浩椒忠?。。；

(3)解：VSzv4CD=15,

/.-XADxEG+-XCDXEH=\5.即

22

—x4xEG+-x8xEG=15,

22

解得，EG=EH=?

：.EF=EH=-

2t

,△ABE的面積=gxA“xE〃=；x7xg=