第十四章全等三角形-與角平分線有關的全等證明

模型練2025?2026學年上期初中數(shù)學人教版（2024）八年級上冊

1.如圖，在VA4C中，AB>AC,AO為角平分線，。為AD上任意一點，連接尸8,PC,求證:

AB-AC>PB-PC.

A

A

2.如圖，Z1=Z2,Z3=Z4.求證：A/,平分NBA。

A

Y

p

3.感知：如圖①，人。平分/胡C,ZB+ZC=180°,NB=90>.易知：DB=DC.探究：如圖②，AD

平分NBAC,z7LB￡>+ZACZ)=180°,ZAB￡><90°.求證：DB=DC.

C

上

“BAB

①②

4.圖，P為NA8C的平分線上的一點,點。和點E分別在A8和BC上，且BDvBE,PD=PE,試

探究/8DP與/班尸的數(shù)量關系，并給予證明.

A

RFC

5.如圖所示，在V/WC'中，40是VA4C'的外角平分線，0是A。上異于點A的任意一點，試比較

P8+PC與AB+AC的大小，并說明理由.

A

P

6.如圖，乙408=90。，0M平分NAO8,將直角三角板的頂點P在射線0例上移動，兩直角邊分別

與。A、0B相交于點C、。，問尸。與尸。相等嗎？試說明理由.

7.如圖，在VA8C中，ZAC5=90°,CD1AB于點D，AO平分N84C,交CD于點O,E為AB上

一點，且AE=AC,求證：OE//BC.

8.如圖，已知點C是/MAN的平分線上一點，CEJ.AB于E,B、。分別在AM、AN上，且

2AE=ADIAB.問；N1和Z2有何數(shù)量關系？并說明理由.

9.如圖，在VA8C中，AO平分/8AC,CE工AD于點、E.求證：ZACE=ZB+ZECD.

10.如圖所示，已知N/UX7+ZAAC=18O°,DC=BC.求證：點C在/DAB的平分線上.

11.如圖，CA=CBfCD=CE,ZACB=ZDCE,AD,BE交于點、H,連接C〃.求證:

(l)VACZ^VfiCE；

⑵HC平分ZA//E.

12.如圖，在四邊形488中，BC>DA,AD=DCt80平分NA3C,DHLBC于點、H.求證:

(l)ZZM^+ZC=180o；

(2)B/7=1(AB+BC).

13.如圖，八￡>為V人"。的中線，DE,￡)歹分別是△人力“和的角平分線.求證：BE+CF>EF.

14.如圖，在VABC中，ZABC=60°,AD,CE分別平分/加C,ZACB,且交于點。.

(1)求NAOC的度數(shù)：

(2)求證：AC=AE+CD.

參考答案

1.見解析

【分析】在A8上取一點￡,^AE=AC,連接EP,可證△ACPg/XAEP,利用全等三角形的性質結

合三角形的三邊關系即可求證.

【詳解】證明：在A3上取一點E,使AE=AC,連接EP,

：4。為角平分線，AZI=Z2,

AC=AE.

在和△人￡：?中，-N2=N1,

AP=AP,

：.研SAS),

:,CP=EP,

在△APE中，BE>BP-EP=BP-PC,

又「BE=AB-AE=AB-AC,

:.AB-AC>PB-PC.

【點睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質、三角形的三邊關系.以角平分線構造全等三角形

是解題關鍵.

2.見解析

【分析］過點P作PQ工A8于點Q,PNLBC于點、N,PMJ.AC于點M,利用角平分線的性質定

理得到PQ=PM,再推出曾平分ZBAC.

【詳解】證明：如圖，過點尸作于點Q,7W_L8C于點N,于點M.

PQ=PM,

又?.?PQ_LA8,PM±AC,

./P平分/班C.

【點睛】此題主要考查了角平分線的性質定理和判定定理，添加恰當?shù)妮o助線是解此題的關鍵.

3.見解析

【分析】過點。作于點E,Ob_LAC交AC的延長線于點尸，證明△。加△OFC(AAS),

即可證明03=DC.

【詳解】證明：如圖，過點。作小/A6于點E,M_LAC交AC的延長線于點尸.

?.?AO平分/8AC,DE1AB,DFA.AC,

.?.NF=NDEB=90。,DE=DF.

VZABD+ZACD=180°,ZACD+ZFCD=180°,

ZABD=4FCD.

NEBD=ZFCD

在△O￡3和△￡）「（？中，NDEB=/F,

DE=DF

/.△DEB^ADFC(AAS).

:.DB=DC.

【點睛】此題主要考查全等三角形的判定和性質；解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角

形，屬于中考?？碱}型.

4.NBDP+/BEP=180°.證明見解析

【分析】過點。作/M_LAA于點M，PN1BC于點、N,根據角平分線的性質得到尸M=/W,再證明

RtADPM^RtAEP/V(HL),推出ZADP=NBEP

【詳解】解：過點。作/沏_LA8于點M,PN1BC于點、N,則NPMD=NPNE=900.

..叱平分/八2C.

/.PM=PN，

PD=PE

在RtADPM和RiAEPN中,

PM=PN

...RtADPA/^RtAEPN(HL).

：.ZADP=ZBEP.

vZ^DP+ZA￡)P=180o,

;.N3DP+NBEP=180。.

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，三角形全等的判定和性質，解題的關鍵是掌握角平分線上

的點到兩邊距離相等，全等三侑形對應角相等.

5.PB+POAB+AC.理由見解析

【分析】在川的延長線上取一點尸，使A/=AC,連接尸尸，求證A4C心八40(5人)，得出

PC=PF,再利用三角形三條邊的關系即可得解.

【詳解】解：PB+PC>AB+AC.

理由如下：如圖，在班的延長線上取一點“，使A/=AC,連接尸尸.

?AP是V4BC的外角平分線,

:.ZCAP=ZFAP.

AC=AF

在和中，<々CAP=4FAP,

AP=AP

AAC-FP(SAS).

;.PC=PF.

?;PB+PF>BF,BF=AB+AF=AB+AC,

:.PB+PC>AB+AC.

【點睛】本題考查的知識點是全等三角形的判定定理及其性質以及三角形三邊的關系，解題的關鍵是

作出合理的輔助圖.

6.PC與PD相等.理由見解析

【分析】先過點。作尸E_LOA于點E，P/U_08于點F,構造全等三角形：RsPCE和RmPDF,這

兩個三角形已具備兩個條件：90。的角以及PAPF,只需再證NEPGN尸PD,根據已知，兩個角都等

于90。減去NCPR那么三角形全等就可證.

【詳解】尸C與P。相等.理由如下：

過點P作PELOA于點E,PF±OB于點F,

???OM平分NAO8,點P在OM上，PE1OA,PFLOB,

:?PE=PF(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)

又,/ZAOB=90°,ZPEO=ZPFO=90°,

JNEPF=900,

???NEPC+NCPF=9()0,

又「/。月。二的。，

JZCPF+ZFPD=90°,

，ZEPC=ZFPD=900-ZCPF.

在△PCE與APO尸中，

4PEC=4PFD

???、PE=PF,

NEPC=/FPD

:ZCE之4PDF(ASA),

：,PC=PD.

【點睛】本題考查了角平分線的性質，以及四邊形的內角和是360。、還有三角形全等的判定和性質

等知識.正確作出輔助線是解答本題的關犍.

7.見解析

【分析】證明“戊名》0石(5人5),根據全等三角形的性質得出=進而根據等角的

余角相等可得NACO=/8,等量代換得出NAEO=NA,即可得證.

【詳解】證明：???AO平分/BAC,

:.^CAO=^EAO.

在和"。七中，

AC=AE,

ZCAO=ZEAO.

AO=AO,

/.△AOC^AAOE(SAS),

/.N'ACD=N'AEO.

?.?△AAC中，ZACB=90°,CDA.AB,

NACD+/BCD=NBCD+=90。，

/.ZACD=ZB,

/.ZAEO=/B,

OE//BC.

【點睛】本題考杳了全等三角形的性質與判定，平行線的判定定理，熟練掌握全等三角形的性質與判

定是解題的關鍵.

8.Z1與N2互補，理由見解析

【分析】作CnL4N于尸，證明/?/△AC舊Rt>ACE得至IJAQAE,再證明△。尸得到AQAE,

由已知條件從而證得.

【詳解】解：Z1與N2互補，理由是：

如圖，作CRLAN于F,

VZ3=Z4,CELAMy

：.CF=CE,ZCFA=ZCEA=90c,

.*./?；△ACF^RtLACE(HL),

：,AF=AE,

TAE=;(AD+AB)(AF-DF+AE+EB)=A￡+；(BE-DF),

:?BE-DF=Q,

:?BE=DF,

:.△DFCQ4BEC(SAS),

AZ5=Z2,

VZ1+Z5=I8O°,

.*.Zl+Z2=180°.

【點睛】本題考杳了角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，利用角平分線性質，作犍助線得到

三角形全等，并利用已知條件來求解是解題的關鍵.

9.證明見解析.

【分析】延長CE交A4于尸，求出NAEC=NA￡：RN/%E=NCA￡,根據ASA證△用E94CAE,推

出NACE=NAFC,根據三角形外角性質得出/AFC=N8+NECO,代入即可.

【詳解】證明：延長CE交人8于F,

?:CE工AD,

ZAEC=ZAEFf

???人。平分/84。，

：.ZFAE=ZCAE,

在△以￡：和ACAE中，

ZFAE=4CAE

\<AE=AE,

/AEF=ZAEC

/.△ME^ACAE(ASA),

???ZACE=NMC,

,/NAFC=NB+NECD,

/.NACE=NB+NECD.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的外角性質等知識點，關鍵是作輔助線后求出

NAFC=ZACE.

10.見解析

【分析】作CE1A8,b_L4。的延長線，根據條件證明ACBE/△CZ)F(AAS)即可得/C=EC,

從而證明.

【詳解】解：如圖，作CE工人B,CFJ_A/)的延長線，垂足分別為石，H

/.ZBEC=ZDFC=90°,

ZADC+ZABC=180°,/ADC十/CZ)產=180°,

，ZABC=/CDF,

?:DC=BC,

/.△CBE%4CDF(AAS),

???FC=EC,

???點C在/D43的平分線上.

【點睛】本題考查角平分線的判定，掌握角平分線的判定定理和全等三角形的判定與性質是關鍵.

11.(1)證明見解析

⑵證明見解析

【分析】(1)由ZACB=/BCE得ZACD=NBCE,再由C4=C8,CD=CE,利用S4S,即可判定

VACD^VBCE；

(2)首先作CM_LAO于點M,CN工BE于點、N,由VACgVBCE,可得CM=CN,即可證得”。

平分ZAHE.

【詳解】(1)證明：\-ZACI3=ZDCE,:.NACD=NBCE

在△ACD和△/(￡中，

CA=CB,

<NACD=NBCE,

CD=CE,

.\/\ACD^/\BCE(SAS)

(2)證明：如圖：過點C作CM_L4。干點M,CN上BE干點、N

..ZCAM=ZCBN,

在△ACM和^BCN中,

/CAM=/CBN*

■/AMC=N8NC=90。.

AC=BC.

AACMg△8CN,

:,CM=CN

又CMJ.A//,CNJ.HE,

??.〃C平分

【點睛】本題考查了全等三角形判定與性質以及角平分線的判定，此題難度適中，注意掌握輔助線的

做法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用，解題關健是證明三角形全等.

12.⑴見解析

Q）見解析

【分析】（1）如圖所示,過點。作DE/A/L交RA的延長線干點R.由角平分線的性質得到DH=DF,

證明RtZ\APE^RtACZ）H,得到ZC=ZDAE,由/DAB+ZDAE=180°,即可證明NDAB+ZC=I8O°；

（2）證明得到8E=8"，由RtAADE絲RtZXCD”,得到AE=C〃，再根據

線段之間的關系證明/W+4C=24",即

【詳解】（1）證明：如圖所示，過點。作Z）石交84的延長線于點E,

QBD平分/ABC,DH1BC,DEJ.AB,

:.DH=DE,

在RjAO￡和RtACD/7中，

\DE=DH

[DA=DC'

RtzMDE^RtACD/7（HL）,

:.ZC=ZDAE,

-^DAB+^DAE=\S00,

...NZMB+NC=18O。：

BHC

(2)證明；在石和RtAJJD”中,

DE=DH

BD=BD'

「.RtABDE^RtABDH(HL),

/.BE=BH,

RlAADE^RtACZ)/7,

;.AE=CH,

AB+BC=AB+BH+CH=BE+BH=2BH,

BH=；(AB+BC).

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，全等三角形的性質與判斷，正確作出輔助線構造全等一..角

形是解題的關鍵.

13.見解析

【分析】根據中線的定義可得8。=。。，在0A上截取8=80=0”，然后利用“邊角邊”證明

△BD-HDE，根據全等三角形對應邊相等可得座=〃E,同理證明根據全等三角形

對應邊相等可得。尸=彼，然后根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊證明.

【詳解】證明：在0A上截取。”=3￡),連接E”，F(xiàn)H.

〈A。是3c邊上的中線，

:.CD=BD=DH.

????！昶椒?4/用，

,ZBDE=^HDE.

又；DE=DE,

???△BDE%HDE（SAS）.

:,BE=HE.同理△CDF玨HDF（SAS）,

：,CF=HF.

在AHEF中,?:HE+HF>EF,

???BE+CF>EF.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，作輔助線構造出

全等三角形并把鴕、CF、EF的長度轉化為同一個三角形的三邊是解題的關鍵.

14.(1)120°

(2)見解析

【分析】(1)ZABC=60°,AO,CE分別平分/8AC,NAC5得NO4C+NOC4=60。，即可得到

N'A。。的度數(shù)；

(2)在AC上截取=連接OF.先證明zMOEgAMORSAS),得到NAOE=ZAOE由(1)

知NAOC=120。，則NAOE=60。，再證明△口??△CO/)(ASA),則b=C。，即可得到結論.

【詳解】(1)解：?.?NA4C=60。，AO,