專題3.1方程與列方程、一元一次方程及其解法（舉一反三講義）

【滬教版五四制20241

題型歸納

【題型1（一元一次）方程的概念】...............................................................5

【題型2列方程】...............................................................................6

【題型3由（一元一次）方程的解求代數(shù)式的值】..................................................8

【題型4由等式的性質(zhì)判斷變形正誤】............................................................9

【題型5由等式的性質(zhì)比較大小】................................................................11

【題型6由兩個一元一次方程解之間的關(guān)系求字母的值】...........................................13

【題型7一元一次方程的整數(shù)解問題】...........................................................15

【題型8由一元一次方程的解的情況求值】........................................................18

【題型9錯看或錯解一元一次方程問題】..........................................................19

【題型10一元一次方程的遮擋問題】.............................................................22

【題型II整體換元求一元一次方程的解】.........................................................25

【題型12解含有絕對值的方程】.................................................................27

舉一反三

知識點1方程

含有未知數(shù)的等式叫作方程.

例如：x=0,2x=5,y+3=—5ia2+3a=7,x—2y=10>1+x=2等都是方程.

知識點2方程的解與解方程

1.一般地，使方程左、右兩邊的值相笠的未知數(shù)的值，叫作方程的解..例如：工=2是方程2%+1=5的解.

2.求方程的解的過程，叫作解方程.

知識點3一元一次方程的概念

1.一般地，如果方程中只含有二個未知數(shù)（元），且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)都是1,

這樣的方程叫作一元一次方程.

例如：x=1,2x-1=x+2,y+5皂等都是一元一次方程.

2.一元一次方程的最簡形式為x=g（a00）.

3.一元一次方程的標準形式為ax+Z?=0（a*0）.

知識點4列簡單的一元一次方程

列方程就是把實際問題中的等量關(guān)系用方程的形式表示出來.列方程的一般步驟如下:

（1）審：仔細審題，弄清題中的已知量、未知量和相等關(guān)系;

（2）設(shè)：設(shè)出恰當?shù)奈粗獢?shù)，并把與相等關(guān)系有關(guān)的量用裁數(shù)表示出來；

（3）歹U：根據(jù)題中等量關(guān)系列出一元一次方程.

知識點5等式的性質(zhì)

性質(zhì)內(nèi)容字母表示示例

對稱性：如果a=b,那么b=a；若a=2,則2=c,則a=

兩個基本事實

傳遞性：如果a=b,b=c,那么a=cc

等式兩邊加（或遨）同一個如果a=b,那么Q±C=若a=b,則x±3=y±

性質(zhì)1

數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等b±c3

等式兩邊乘同一個數(shù),或除如果a=b,那么ac=be；若a=b,則ax3=bx

以同一個不為0的數(shù),結(jié)果如果a=b(cH0),那么oa_b

性質(zhì)23,3~3

仍相等ab

7=7

知識點6合并同類項與系數(shù)化為1

1.合并同類項

將一元一次方程中含有未知數(shù)的項與常數(shù)項分別合并,使方程轉(zhuǎn)化為以=b（Q00）的形式，變形依據(jù)是合

并同類項法則.

2.系數(shù)化為1

方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)，使一元一次方程QX=b（aH0）變形為％=的形式，變形的依據(jù)

是等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.例如，解方程：x+2x=6-3,合并同

類項，得3x=3,系數(shù)化為1,得x=l.

知識點7移項法解一元一次方程

1.移項

（1）把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫作移項.

（2）移項的目的：使含有未知數(shù)的項與常數(shù)項分別位于方程的兩邊，以便為下??步合并同類項創(chuàng)造條件.移

項的依據(jù)是等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.

（3）移項的方法：通常把方程右邊的含未知數(shù)的項改變符號后移到方程左邊，把方程左邊的常數(shù)項改變符

號后移到方程右邊.但也不盡然，比如為使未知數(shù)的系數(shù)不出現(xiàn)負數(shù)，也可以把含未知數(shù)的項放在右邊，

常數(shù)項放在左邊.例如：-x+l=5,移項，得1-5=%,所以一4二%,即方程的解為x=-4.

2.移項法解一元一次方程的步驟

（1）移項：

（2）合并同類項；

（3）系數(shù)化為1.

例如，解方程：10-4y=6y+5,移項，得一4y-6y=5—10.

合并同類項，得一10y=—5.系數(shù)化為1,得y

知識點8去括號與去分瑁

1.去括號

（1）解含有括號的一元一次方程時，利用去括號法則去掉括號.

（2）去括號是為了下一步能用移項法解方程，實質(zhì)是分配律.

（3）去括號各項的變化：

①如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來符號相同，例如I：+（Q-b）=Q-加

②如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后要改變原括號內(nèi)各項的符號，例如：-（a-b）=-Q+b；

③當括號前不是“+1”或“-1”時，去括號時，將括號外的因數(shù)連同前面的符號看成一個整體，按分配律

乘括號內(nèi)的每?項，再把積相加.

（4）去括號解一元一次方程的步驟：

①去括號；②移項；③合并同類項；④系數(shù)化為L

2.去分母

（1＞在含有分數(shù)系數(shù)的方程兩邊都乘同一個數(shù)（該數(shù)為各分母的最小公倍數(shù)）,使方程中不含分母，這樣

的變化過程叫作去分母.

（2）去分母的目的是將方程中的分數(shù)系數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，再利用去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1解

方程.去分母的依據(jù)是等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.

（3；對于含小數(shù)的一元一次方程，先將小數(shù)化為分數(shù)，再利用云分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)

化為1解方程.

知識點9解一元一次方程的步驟

【題型1（一元一次）方程的概念】

【例1】（2425七年級上?河北邯鄲?期中）已知關(guān)于1的方程（加-1）/加-2|二0是一元一次方程，則m的值

是（）

A.3B.2C.1D.1或3

【答案】A

【分析】本題考查一元一次方程的定義，熟記定義并應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵.

只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程是一元一次方程，根據(jù)定義解答.

【詳解】解：團方程（加一1）%向-2|二0是一元一次方程，

團|m-2|=1,且m—1H0,

0m=3,

故選：A.

【變式11］（2425七年級下?全國?課后作業(yè)）下列各式:①7-8y：②3t2+包=4；③4+6=10：?2y+1=

y-2；（5）3x-1=4；⑥2z>3；⑦;%其中是方程，是一元一次方程.

【答案】②④⑤④⑤

【分析】根據(jù)含有未知數(shù)的等式叫做方程，只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程叫做一元一次

方程，解答即可.

本題考杳了方程，一元一次方程的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解?：根據(jù)題意，得是方程的是②3t2+4t=4；（4）2y+l=y-2；?3x-1=4；

故答案為：②④⑤.

是一元一次方程的是④2y+l=y-2；?3x-1=4；

故答案為：④⑤.

［變式12］若（m+5）x2+6mx+4m=0是關(guān)于A的一元一次方程，則TH=.

【答案】-5

【分析】本題考查了一元一次方程的定義，熟知定義是解本題的關(guān)鍵.根據(jù)一元一次方程的概念：只含有一

個未知數(shù)、未知數(shù)的最高次數(shù)為1且兩邊都為整式的等式，據(jù)此解答即可.

【詳解】解：團（TH+5）/+6mx+4m=0是關(guān)于工的一元一次方程，

0m+5=0且6mH0,

0m=-5,

故答案為：一5.

【變式13］己知下列各式：

0-3x+2y=1；②X=5；③：+1=3；?4-3=1；（5）x2-x-2=0；@3x-2；（7）2x-2=x.

其中方程有，一元一次方程有

【答案】①②③⑤⑦②⑦

【分析】此題主要考查了方程的定義，一元一次方程的定義，正確理解方程的定義和一元一次方程的定義是

解決問題的關(guān)鍵；

根據(jù)方程的定義對題目中給出的式子逐一進行判斷可得出答案；根據(jù)一元一次方程的定義對題目中給出的

式子逐一進行判斷可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)方程的定義得：①②③⑤⑦是方程，

根據(jù)一元一次方程的定義得：②⑦是一元一次方程，

故答案為：①②③⑤⑦；②⑦.

【題型2列方程】

【例2】王強參加3000米的長跑，他以8米/秒的速度跑了一段路程后，乂以5米秒的速度跑完了其余的路

程，一共花了15分鐘，他以8米/秒的速度跑了多少米？設(shè)以8米/秒的速度跑了x米,列出的方程是（）

A.^=15X60B.±+^￡=15

8585

【答案】A

【分析】設(shè)以8米秒的速度跑了r米，則以5米/秒的速度跑了（3000-乃米，然后再根據(jù)題意列一元一次方

程即可.

【詳解】解：設(shè)以8米秒的速度跑了x米，則以5米/秒的速度跑了（3000-幻米，

依題意，得：J+3警-15x60.

8S

故答案為A.

【點睛】本題主要考查了列一元一次方程，審清題意、設(shè)出未知數(shù)、列出一元一次方程成為解答本題的關(guān)鍵.

【變式21】一個長方形的周長為32cm,若這個長方形的長減少2cm,寬增加3cm就變成了一個正方形，設(shè)

長方形的長為xcm,可列方程（）.

A.x+2=(32-x)-3B.x-2=(16-x)+3

C.x-2=(32-%)+3D.x+2=(16-x)-3

【答案】B

【分析】根據(jù)長方形的長為xcm,得到長方形的寬，結(jié)合題意列方程，即可得到答案.

【詳解】團長方形的長為xcm

回長方形的寬為：(16-x)cm

根據(jù)題意得：x-2=(16-x)+3

故選:B.

【點睛】本題考查了一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解.

【變式22】《兒童算術(shù)》中記載了一個問題，大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8錢，多3錢;

每人出7錢，少4錢，問人數(shù)是多少？若設(shè)人數(shù)為x,則下列方程正確的是()

A.8x4-3=7x—4B.8x-3=7x4-4

C.8(x—3)=7(x+4)D.8x+4=7x3

【答案】B

【分析】設(shè)人數(shù)為x,然后根據(jù)等量關(guān)系“每人出8錢，多3錢；每人出7錢，少4錢”即可列出方程.

【詳解】解：設(shè)人數(shù)為心

根據(jù)題意可得：8%-3=7x+4.

故選B.

【點睛】本題主要考查了列一元一次方程，審清題意、找準等軟關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

【變式23】根據(jù)圖中給出的信息，可得正確的方程是()

A.nx(1)2x=7Tx(1)2x(x+5)B.7rxe)2%=7Tx(§2x(X-5)

C.nx82X=7ix62x(x4-5)D.nx82x=7rx62x5

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可得相等關(guān)系的量為“水的體積〃，然后利用圓柱體積公式列出方程即可.

【詳解】解：大量筒中的水的體積為：71X(|)\,

小量筒中的水的體積為：TIX(|)2X(X+5),

則可列方程為：nXX=7TX③2X(%+5).

故選A.

【點睛】本題上要考查列方程，解此題的關(guān)鍵在于準確找到題中用等關(guān)系的量，然后利用圓柱的體積公式列

出方程即可.

【題型3由（一元一次）方程的解求代數(shù)式的值】

【例3】（2425七年級下?河北石家莊?開學考試）已知工=2是關(guān)于x的方程1-2a=0的解，則代數(shù)式2a-1

的值是.

【答案】4

【分析】本題考杳了一元一次方程解的概念和一元一次方程的解法，結(jié)合已知條件求得2Q的值是解題的關(guān)鍵.

把x=2代入方程1-2Q=0得出5-2Q=0,求得2a的值，然后計算2a-1的值即可.

【詳解】解：?.?口=2是關(guān)于工的方程聲-20=0的解,

5-2a=0,

則2a=5,

那么2a—1=4,

故答案為:4.

【變式31】（2425七年級下?福建泉州?期中）若x=3是關(guān)于％的方程3QX-以=6的解，則40-6a+2b的

值是.

【答案】36

【分析】本題主要考查了一元一次方程的解，求代數(shù)式的值，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵；

將x=3代入方程3ax-bx=6,再根據(jù)整體思想求出值即可.

【詳解】解：因為％=3是方程3ax-bx=6的解，

所以9a-3b=6,

即3Q—b=2,

所以40-6a+2b=40-2（3a-b）=40-2x2=36.

故答案為：36.

【變式32]若％=3是方程收+8=4的解，則代數(shù)式一:。一g的值是.

【答案】Y

【分析】本題主要考查了方程的解.，等式的性質(zhì)，先把方程的解代入方程得出3a+b=4,再根據(jù)等式的性

質(zhì)即可得出-]a-±=-士.

555

【詳解】解：?.y=3是方程ax￥b=4的解,

.?.3a+b=4,

3b4

—a—=—?

555

故答案為：一（

【變式33］（2425七年級下?遼寧丹東?開學考試）已知》=—2是關(guān)于x的方程2以一匕+5=0的解，則8a+

2h+2032=.

【答案】2042

【分析】本題考查了一元一次方程解的定義，代數(shù)式求值，由一元一次方程解的定義可得4a+b=5,進而

代人代數(shù)式計算即可求解.，掌握整體代入法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：0%=-2是關(guān)于％的方程2ax-b+5=0的解，

0—4a—Z?+5=0>

04a+b=5,

08G+2b+2032=2（4a+b）+2032=2x5+2032=2042,

故答案為：2042.

【題型4由等式的性質(zhì)判斷變形正誤】

【例4】下列等式變形錯誤的是（）

A.若Q=匕，則二巴7=B.若Q=b,則3a=3b

1+x21+x2

C.若Q=b,則a%=bxD.若。=b,則巴

mm

【答案】D

【分析】本題考查等式的性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)逐項判斷即可，解題的關(guān)鍵是熟記等式性質(zhì)1：等式兩邊加

同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式.

【詳解】解：AA、若a=b,則占=4,原選項變形正確，不符合題意；

1+X21+X2

B、若。=兒則3a=3b,原選項變形正確，不符合題意；

C、若a=b,則=原選項變形正確，不符合題意；

D、若Q=b,在mH0時，兩邊都除以m可得3=±,原選項變形錯誤，符合題意；

mm

故選：D.

【變式41】（2425七年級下?四川遂寧?期末）下列選項正確的是（）

A,若-3%=4,則x=一三

4

B.若-2x>4,則％>-2

C.若a>b,則ac?>be?

D.若x與5的差是非正數(shù)，則用數(shù)學符號表示為x-5WO

【答案】D

【分析】本題考查了解一元一次方程、不等式的性質(zhì)，列不等式，根據(jù)以上知識逐項分析判斷，即可求解.

【詳解】解：選項A：解方程-3%=4,兩邊同除以一3得x=4+（-3）=-j故該選項不正確，不符合題意;

選項B：解不等式-2%N4,兩邊除以負數(shù)-2時需改變不等號方向，得不工-2,故該選項不正確，不符合

題意；

2

選項C：若Q>匕，當cHO時，c>0,貝be?>be?成立；但若c=0,貝ijac?=be?=0,不等式不成立，

故該選項不正確，不符合題意；

選項D：9與5的差是非正數(shù)〃即Z-5W0,故該選項正確，符合題意；

故選：D.

【變式42］（2425七年級下?河南南陽?開學考試）下列方程中移項正確的是（）

A.由％—3=4,得％=4—3

B.由2=3+》.得2+3="

C.由3—2%=5+6,得2%—3=5+6

D.由-4%+7=5%+2,得5%+4%=7-2

【答案】D

【分析】本題考查了解一元一次方程，等式的性質(zhì)，根據(jù)解一元一次方程的方法，等式的性質(zhì)逐一判斷即可,

掌握解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、由工一3=4,得戈=4+3,故選項不符合題意；

B、由2=3+%,得2-3=%,故選項不符合題意；

C、由3-2%=5+6,得2%-3=-5-6,故選項不符合題意：

D、由-4%+7=5x+2,得5x+4x=7-2,正確，故選項符合題意；

故選:D.

【變式43］（2425七年級上?山東棗莊?階段練習）下列變形正確的是（）

A.若3%一1=2%+1,貝Ij3x+2%=1+1

B.若3(x+l)-5(l-x)=0,則3x+3-5-5x=0

C.若1一等=%,則2-3x-l=x

D?若含-含=1°，則等-”1

【答案】D

【分析】本題考查等式的基本變形，包括移項、去括號、去分母等操作是否正確，逐一驗證各選項的變形過

程是否符合運算法則即可.

【詳解】解：A：原方程3%-1=2%+1,移項時應(yīng)將2%移至左邊變?yōu)?%-2%,-1移至右邊變?yōu)?+1,正

確變形為3%-2%=1+1,選項A錯誤地將2x的符號寫為+2%,故錯誤；

B：展開3(%+1)-5(1-％)時，3(%+1)=3%+3正確，但一5(1-無)應(yīng)展開為一5+5”,選項B錯誤地寫

為-5-5人符號錯誤，故錯誤；

C：原方程1一方二=x,去分母應(yīng)兩邊乘2得2—(3x-1)=2x,即2—3%+1=2%,合并為3-3x=2x,

選項C錯誤地寫為2-3%一1=，未正確處理分子符號，故錯;吳；

D：原方程震一言=10,兩邊同時乘以白(即除以10)，得等一彳=1,此變形正確，

故選：D.

【題型5由等式的性質(zhì)比較大小】

【例5】己知7nx：=7i+q(m、〃都不為零)，比較小、〃的大小正確的是()

A.m<nB.m>nC.m>nD.m<n

【答案】A

【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，利用等式的性質(zhì)，求出m,n的數(shù)量關(guān)系，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：mx￡=7i+M

所以mx=nx

56

所以mx^x1=nx^x1,

5666

所以m=nx

36

所以m<n；

故選A.

【變式51】(2425七年級上?河南鄭州?開學考試)【等量代換】某益智節(jié)目有這樣一個問題：如圖所示，兩

個天平都平衡，根據(jù)圖示回答三個球的質(zhì)量等于個正方體的質(zhì)量.

mu

△?

【答案】5

【分析】本題考杳的是等式的性質(zhì)，根據(jù)圖可得6個球的質(zhì)量等于15個圓柱質(zhì)量，10個正方體質(zhì)量等于15個

圓柱質(zhì)量；再進一步可得答案.

【詳解】解：由圖可得?：2個球的質(zhì)量等于5個圓柱質(zhì)量，2個正方體質(zhì)量等于3個圓柱質(zhì)量；

團6個球的質(zhì)量等于15個圓柱質(zhì)量，10個正方體質(zhì)量等于15個圓柱質(zhì)量；

團6個球的質(zhì)量等于10個正方體質(zhì)量，

即3個球的重量等于5個正方體的重量.

故答案為5.

【變式52］已知試用等式的性質(zhì)比較m與n的大小為.

【答案】m>n/n<m

【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)進行變形，最后得到〃，與〃的差，根據(jù)差的正負即可進行判斷.

【詳解】解：等式兩邊同時乘以4得：3m-4=3n,

整理得：3(m-n)=4,

???Tn—n>0,

則m>n.

【點睛】此題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【變式53］若。一匕>0,則a>6：若Q-b=0,則Q=R若Q—匕V0,則QV4這是利用"作差法〃比較

兩個數(shù)或兩個代數(shù)式值的大小.

⑴試比較代數(shù)式5?九2一4m+2與47n2-4m-7的值之間的大小關(guān)系；

(2)已知代數(shù)式3a+2b與2Q+3b相等，試用等式的性質(zhì)比較a,b的大小關(guān)系.

⑶已知:m-1=［九一：加，試用等式的性質(zhì)比較m,ri的大小關(guān)系.

【答案】（1）5血2—4m+2>4m2-4m—7

(2)a=b

(3)m>n

【分析】(1)把兩個多項式作差匕較大小即可；

(2)等式兩邊同時減去(2a+3b)即可得到a-b=0,由此即可得到結(jié)論；

(3)等式的性質(zhì)兩邊同時乘以6可得5(m-幾)=6,m-n>0,由此可得結(jié)論.

[詳解】(1)解：(5m2-4m+2)-(4m2-4m-7)=5m2-4m+2-4m2+4m+7=m2+9.

團不論m為何值，都有m?+9>0.

05?n2—4m+2>4m2—4m—7.

(2)解：(33a+2b=2a+3b,

回等式兩邊同時減去(2a+3b),得3a+2b-(2a+3b)=0,

整理得a-b=0,

0a=6.

⑶解：嗎m—[n—1="一加，

根據(jù)等式的性質(zhì)兩邊同時乘以6可得3m-2n-6=(3n-2m),

整理得5m-5n=6,

即5(m—n)=6,

(zlm—n>0,

回m>n.

【點睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

【題型6由兩個一元一次方程解之間的關(guān)系求字母的值】

【例6】(2425七年級下?吉林長春?階段練習)若關(guān)于“的方程3x+2=2x-5的解與方程;(3x+2)=5+

OAv

|a-1)的解互為相反數(shù)，則A的值為.

【答案】2

【分析】本題考查方程的解的問題及參數(shù)的求解，解題的關(guān)鍵是分別求出兩個方程的解，根據(jù)互為相反兩個

數(shù)和為0,列新方程求解.

分別解出兩個方程的解用含k的字母表示，再根據(jù)互為相反數(shù)列式即可得到答案.

【詳解】解：由題意得：解方程3x+2=2x-5,

解得k=-7；

解方程13%+2)=看+|(無一1),

解得無=等;

回兩個方程的解互為相反數(shù)，

23-k?f

??——(-7)=0A.

解得：k=2；

故答案為：2

【變式61】(2425七年級下?四川內(nèi)江?期中)如果2%+6=。的解與-2%+5=4—3%的解相同,則a的值

是.

【答案】4

【分析】先求一2"+5=4-3”的解，得到方程2工+6=a的解，代入計算即可.

本題考查「解方程，根據(jù)方程的解求值，熟練掌握解方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：解方程-2x+5=4-3x,

解得x=-1,

02A-+6=a的解與一2工+5=4-3%的解相同，

團方程2無+6=Q的解為無=-1,

團2x(-1)+6=a=4,

故答案為：4.

【變式62](2425七年級上?陜西渭南?期中)關(guān)于x的方程：+8x=7k+6x的解比關(guān)于％的方程k(2+幻=

4

x(A+2)(上工0)的解大6,則h勺值為.

【答案】r

【分析】本題考查了一元一次方程的解的定義.定義：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元

一次方程的解.通過解關(guān)于%的方程：+8%=7攵+6%、/2+乃=N〃+2),分別求得它們的解，然后依題

4

意列出關(guān)于k的方程，求出k的值即可.

【詳解】解方程:+8%=7攵+6%的解是：無二誓；

方程A(2+x)=x(k+2)的解是：x=k,

依題意，得竿—k=6,

8

解得，”黑

故答案為：家

【變式63】(2425七年級下?重慶?開學考試)已知關(guān)于%的方程手=學的解是關(guān)于y的方程空鏟=l-3m

的解的5倍，則.

【答案】卷

【分析】本題考查了解一元一次方程，先求出兩個方程的解，再根據(jù)關(guān)于x的方程三二三竺的解是關(guān)于y的

方程若空=1一3爪的解的5倍，得出關(guān)于機的方程，解方程艮］可得出答案.

【詳解】解：解方程十=餐，W%=5,

解方程『二1一3小，得丫=卓，

回關(guān)于X的方程專=等的解是關(guān)于y的方程空言=1-3m的解的5倍，

(35=5X『

解得m=*

故答案為:*

【題型7一元一次方程的整數(shù)解問題】

【例7】(2425七年級下?四川巴中?開學考試)k是一個正整數(shù)，關(guān)于x的一元一次方程2依-9=(k+2)%有

正整數(shù)解，則攵=.

【答案】3或5或11

【分析】本題考查了根據(jù)一元一次方程的解的情況求字母的值，先求出一元一次方程的解，然后根據(jù)一元一

次方程有正整數(shù)解確定k的取值即可，正確求出一元一次方程的解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：(32kx-9=(k+2)x,

B2kx—(k+2)x=9,

團(k-2)%=9,

回關(guān)于％的一元一次方程2依-9=(/:+2)%有正整數(shù)解，

歐-2H0,

0/c-2=1或3或9,

瞰=3或5或11,

故答案為：3或5或11.

［變式71］關(guān)于"勺一元一次方程:mx-^=kx-2）的解為整數(shù),則整數(shù)m的所有可能的取值之和為______

632

【答案】12

【分析】本題考查了解一元一次方程和一元一次方程的整數(shù)解.先求出原方程的解為工二三，根據(jù)原方程

m-3

有整數(shù)解可得巾一3=±1或巾一3=±2,求出小的值，再求和即可.

【詳解】解:=

去分母，得mx—8=3（x—2）,

去括號，得mx-8=3%-6,

移項、合并同類項，得（m-3）x=2,

解得％=吃，

m-3

（3關(guān)于x的方程——2）的解為整數(shù)，

632

團巾一3=±1或m-3=±2,,

解得m的值為4或2或5或1,

團整數(shù)m的所有可能的取值之和為：4+2+5+1=12,

故答案為：12.

【變式72】（2425七年級下?河南南陽?階段練習）己知關(guān)于3的方程%-號^=當一:的解是非正整數(shù)，則

632

符合條件的所有整數(shù)Q的和是.

【答案】-14

【分析】本題考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟練掌握解一元一次方程的方法，一元一次方程

的解是解題的關(guān)鍵.根據(jù)解一元一次方程的方法求出無=2,然后再根據(jù)方程的解為非正整數(shù)，可得廠-工

4+a4+a

0,進而得出4+a的值為-5,-1,分別求出a的值求和即可.

【詳解】解：X_4^x=xi2_l

632

去分母，得6%—(4—ax')=2(x+2)—3,

去括號，得6%-4+QX=2%+4—3,

移項、合并同類項，得(4+a)x=5,

解得：x=j

4+a

要想使方程的解為非正整數(shù)，則整數(shù)a滿足：-^<0,

4+Q

???4+a是負整數(shù)，且能整除5,

???4+。的值為-5,-1,

當4+Q=—5時，解得：Q=—9,

當4+a=-l時，解得：a=-5,

符合條件的所有整數(shù)a的和為：-9+(-5)=-14.

故答案為：—14.

【變式73】(2425六年級下?黑龍江大慶?期末)己知關(guān)于%的方程%-手=；-2有整數(shù)解.，則滿足條件的

63

所有整數(shù)Q的和為.

【答案】-32

【分析】本題考查了解一元一次方程，先根據(jù)一元一次方程的解法求出％=-言~,然后根據(jù)一元一次方程有

4+a

整數(shù)解求解即可.

【詳解】解：x-^=^-2,

63

去分母，得6%-(2-ax)=23-12,

去括號，得6%-2+ax=2x-12,

移頂，得6x+ax-2x=-12+2,

合并同類項，得(4+a)x=-10,

當4+aH0,即QA—4時，方程的解是％=—2，

4+a

???關(guān)于X的方程%-三竺二：一2有整數(shù)解，Q為整數(shù)，

63

4+a=-10或4+a=-5或4+a=-2或4+a=-1,或4+a=1或4+a=2或4+a=5或4+a=10,

:.a=-14或-9或一6或一5或一3或-2或1或6,

,滿足條件的所有整數(shù)a的和為-14—9—6—5—3—2+14-6=-32?

故答案為:-32.

【題型8由一元一次方程的解的情況求值】

2kx+mx-nk

【例8】若關(guān)于x的方程+2,無論％為任何數(shù)時，它的解總是無=1,則m—〃二

3

【答案】y

【分析】本題主要考查了一元一次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解一元一次方程的解.

整理原式得出（4k-1%=12--2m,根據(jù)方程的解為1,得出九二一4,12-2m=-1,然后代數(shù)求解

即可.

【詳解】解：等史=噂+2

36

4kx+2m=x-nk+12

(4A—l)x=12—n/c—2m

把x=1代入得：4/c—1=12—nfc—2m,

0n=-4,12—2m=-1,

.臂,

0Em—n=—13,F4.=—21,

22

故答案為：y.

【變式81】（2425七年級下?重慶?期中）若關(guān)于%的方程:匯+1=-3+3有無數(shù)個解，則m+M勺值為

【答案】-1

【分析】本題考查一元一次方程的解，將方程移項，合并同類項后根據(jù)題意求得加，幾的值，將其代入m+幾中

計算即可，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：裊+1=-瀉

mxn.

7X--=---l

團該方程有無數(shù)個解,

嗚十°，*-1=0,

0m=1,n=-2

0m+n=l—2=-1

故答案為：—1.

【變式82](2425八年級下?上海?期中)如果。芋兒那么關(guān)于”的方程(a-b)%=(a+b)(a-b)的解為

x=.

【答案】a+b/b+a

【分析】本題主要考查一元一次方程，根據(jù)(a-b)x=(a+b)(a-b),又。一600,即可求解.

(詳解】解：(a-b)x=(a+b)(a-b)

0ab

團a-bW0

=a4-b

故答案為：a+b.

【變式83](2425六年級上?上海?階段練習)已知關(guān)于％的方程。(2%-1)=3%-2無解，則a的值為.

【答案】|

【分析】此題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的

值.

方程整理后，由方程無解得到x前的系數(shù)為0即可得到關(guān)于a的方程，求出〃的值即可.

【詳解】解：a(2x-1)=3x-2,

2ax—a—3%+2=0,

(2a—3)x=a—2,

團關(guān)于X的方程a(2x-1)=3x-2無解，

02a—3=0,

解得：。=去

故答案為:

【題型9錯看或錯解一元一次方程問題】

【例9】(2526八年級上?重慶萬州?開學考試)小玉在解方程手二等-1去分母時，方程右邊的"-1"項沒

有乘6.因而求得的解是％=10,則a=__.

【答案】3

【分析】本題考查解整式方程.根據(jù)題意利用錯誤計算還原，即可得到本題答案.

【詳解】解：由小玉的解法可知去分母后的方程為

2(2x-1)=3(x4-a)-1,

解得％=3a+1,

=10,

03c+1=10,

解得Q=3.

故答案為：3.

【變式91】(2425六年級下?山東煙臺?期中)下面是曉彬同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并完成相

應(yīng)任務(wù).

解An：—3x+l"23=~3x-l~—2x+3

5(3x+1)-20=(3x-1)-2(2%+3)第一步

15x+5-20=3x-l-4x-6第二步

15x-3x+4x=-1-6+54-20第三步

16x=18第四步

x=l第五步

⑴任務(wù)一：①以上步驟第一步是進行去分母，依據(jù)是.

⑦以上步驟從第步開始出現(xiàn)了錯誤，錯誤的原因是.

⑵任務(wù)二：①請你將正確的解方程過程寫在下面；

②除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學習經(jīng)驗，就解一元一次方程還需要注意的事項給其他同學提出一

條建議.

【答案】(1)①等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等；②三；“+5〃從等號的左邊移到

右邊沒有改變符號；

(2)①見解析；②去分母時，常數(shù)項不要漏乘(答案不唯一)

【分析】本題考查了一元一次方程的解法.

(1)①根據(jù)等式的性質(zhì)2作答即可；

②根據(jù)移項需變號可知從第三步開始出現(xiàn)了錯誤；

(2)①根據(jù)解方程的步驟作答即可；

②提出合理建議即可.

【詳解】(I)解：①等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等；

故答案為：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等；

②三，"+5〃從等號的左邊移到右邊沒有改變符號：

故答案為：三；"+5"從等號的左邊移到右邊沒有改變符號；

(2)解：①去分母，得5(3x+1)-20=(3%-1)-2(2%+3)

去括號，得15%+5-20=3%-1-4%-6

移頂，得15%-3%+4%=-1-6-5+20

合并同類項，得16%=8

系數(shù)化為1,得%=也

②答案不唯一，如：去分母時，常數(shù)項不要漏乘；去括號時，如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后括號內(nèi)

各項的符號要改變；合并同類項時系數(shù)注意帶符號等.

【變式92](2425七年級上?河南商丘?期末)小明在解方程?時，誤將％+?？闯闪私獾?/p>

方程的解是％=4,則原方程的解為.

【答案】％=-多

[分析】本題主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定義，根據(jù)題意得％=4是方程號+1=x-a

的解，據(jù)此把％=4代入方程=+：=%—Q中求出。的值，進而解方程=+：=無+。即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，X=4是方程當+：=X-Q的解，

+：=4-Q,

解得：a=*

回原方程為當+；工+?

解得：x=-^,

即原方程的解為％=-弓，

故答案為：x=—g.

【變式93](2425七年級上?江西上饒?階段練習)本學期學習了一元一次方程的解法，下面是小明同學的解

題過程：

解方程:2X-0.1x+0.2

解：原方程可化為=二-二'=1，第一步

方程兩邊同時乘以6,去分母，得

3(20%-1)-2(10x4-2)=6,......第二步

去括號，得60%-3-20%+4=6,......第三步

移頂，得60%-20%=6+3-4,......第四步

合并同類項，得40%=5.........第五步

系數(shù)化為1，得％=：，……第六步

O

所以x=9是原方程的解.

上述小明的解題過程從第步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是.

請你寫出正確的解題過程.

【答案】三；去括號出現(xiàn)變號錯誤；過程見解析

【分析】本題考查了解一元一次方程，根據(jù)等式的性質(zhì)得出錯誤的步驟及原因，先整理方程，再根據(jù)去分母,

去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化成1解方程即可.

【詳解】解：從第三步開始出現(xiàn)錯誤，具體的錯誤是去括號出現(xiàn)變號錯誤，

正確解答過程如K：

方程兩邊同時乘以6,去分母，得3(20%-1)-2(10%+2)=6,

去括號，得60%-3-20%-4=6,

移頂，得60%-20%=6+3+4,

合并同類項，得40x=13,

系數(shù)化成得

1，40

所以無二提是原方程的解.

40

故答案為：三；去括號出現(xiàn)變號錯誤.

【題型10一元一次方程的遮擋問題】

【例10】(2425七年級上?吉林松原?期中)小明在做解方程作業(yè)時，不小心將方程中的一個常數(shù)污染了看不

清楚，被污染的方程是2y-：=y-團，怎么辦呢？小明想了想便翻看了書后的答案，此方程的解是y=

他很快就補好了這個常數(shù)，這個常數(shù)應(yīng)是.

【答案】2

【分析】本題主要考查了根據(jù)一元一次方程的解求參數(shù)，把'=-^代入方程，再解一元一次方程求解即可得

出答案.

【詳解】解：把y=—|代入2y—;y—肉，

則2＞（得-?-：回，

解得：0=2,

則常數(shù)為2,

故答案為：2

【變式1011（2425七年級上?廣東佛山?期末）小明不小心將墨水滴在試卷上，只能看至IJ“解方程：10-0=4%”，

回處被污染看不清.若方程的解是x=3,則同處的數(shù)字是應(yīng)是；

【答案】-2

【分析】本題考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定義，一元一次方程的解就是能夠使方程左右兩

邊相等的未知數(shù)的值.把％=3代入方程，可列出關(guān)于團的方程，解該方程即可求出答案.

【詳解】解：將％=3代入原方程，10-13=4x3

解得：回=一2

故答案為：-2.

【變式102】嘉淇在進行解一元一次方程的練習時，發(fā)現(xiàn)有一個方程“3%+7=a-%"中的常數(shù)被密，遮擋.

⑴嘉淇猜想"團”遮擋的常數(shù)是1，請你算一算x的值；

⑵老師說此方程的解與方程2x-1=1x+4的解相同，請你算一算也〃遮擋的常數(shù)是多少？

【答案】⑴》二一；

⑵遮擋的常數(shù)是19

【分析】本題主要考杳了解一元一次方程；

（1）根據(jù)題意得出方程3x+7=然后解方程即可；

（2）先解方程2%一：=：%+4得用這=3,設(shè)遮擋的常數(shù)為小然后把％=3代入方程得3x3+7=。-3,

求山。的值叩可.

解翅的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的一般方法，準確計算.

【詳解】(1)解：由題意得3x+7=1-x,

移項，得3%+X=-7+1,

合并同類項，得4%=-6,

系數(shù)化為1，得％=

(2)解：2x-1=1x+4,

移項，得2x-gx=g+4,

合并同類項，得得》=￡

系數(shù)化為1，得％=3,

設(shè)遮擋的常數(shù)為。，

把x=3代入方程得3x3+7=a-3,

解得Q=19.

故遮擋的常數(shù)是19.

【變式103】小明解關(guān)于x的一元一次方程號一審=1時，有一個數(shù)△看不清楚，但小紅解得的答案是x=

36

一1,則這個數(shù)△為()

A.-7B.-2C.0D.1

【答案】A

【分析】先把X=—l代入方程與工一歲=1，整理成關(guān)于△的一元一次方程，解新方程即可.

36

本題考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟練掌握方程的解，解方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解?：把％=—1代入方程容一警=1,

3o

金_*一1,

36

02(-2-A)-(-3-A)=6,

0—4—2A+3+△=6,

0A=-7,

故選：A.

【題型11整體換元求一元一次方程的解】

【例11]已知關(guān)于%的方程短％+3=2%+b的解為％=3,則關(guān)于y的一元一次方程-募(y-1)+3=

-2°-1)+8的解為.

【答案】y=-2

【分析】此題考查解一元一次方程，由題意可得y-l相當于第一個方程中的心由此列方程l-y=3,解方

程即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)=則方程變形為寂m+3=2m+b,

因為關(guān)于匯的方程感無+3=2x+b的解為％=3,

所以7九二3,即1—y=3,

解得：y=-2,

所以關(guān)于y的一元一次方程一募(y-1)+3=-2(y-1)+b的解為y=-2,

故答案為：y=—2.

【變式111](2425六年級上?上海?期末)定義：如果兩個一元一次方程的解的和為1,我們就稱這兩個方程

為“美好方程〃.例如：方程2x-1=3和計1=0為美好方程.若關(guān)于x的方程為x+1=0與焉x-1=3x4-

Z0Z42024

〃是“美好方程〃，則關(guān)于y的方程為(y+3)-1=3y+k+9的解是.

【答案】y=20