§1.5一元二次方程、不等式

【考試要求，1.會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式2結(jié)合二次函數(shù)圖象，會(huì)判斷一元二

次方程的根的個(gè)數(shù)，以及解一元二次不等式.3.了解簡(jiǎn)單的分式、絕對(duì)值不等式的解法.

■落實(shí)主干知識(shí)

【知識(shí)梳理，

1.二次函數(shù)丁=加+云+以4>0)與一元二次方程加+〃x+c=0(a>0),不等式加+法+

c>0(a>0)的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系

判別式/=〃-4ac/>0J=0J<0

以

V小xj,

二次函數(shù)的圖象

Olxi=xx

Ji2

有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

方程的根b沒有實(shí)數(shù)根

根Xl，X2(Xi<X2)

不等式的解集Lvli<xi，或.1X2IR

2.分式不等式與整式不等式

(I)^>()?O)^/lvk(A-)>()?())；

20(-0)0/U)R(X)心0(60)且R(OWO.

3.簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式

|x|>a(a>0)的解集為(-8,—a)u(a,+8),卜1的解集為a，a).

［思考辨析，

判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)若方程加+/M+C=0無實(shí)數(shù)根，則不等式加+/>+c>0的解集為R.(X)

(2)若不等式ax1+Z?.v+c>0的解集為(xi,X2),則?<0.(J)

(3)若aF+bx+c>0恒成立，則。>0且/<0.(X)

(4)不等式濘20等價(jià)于。一〃)。一與20.(X)

［教材改編題，

1.不等式=<0的解集為()

A.0B.(2,3)

C.(-8,2)0(3,+8)D.(—8,H-OO)

答案B

解析土等價(jià)于((

370X3)A2)<0,解得2<x<3.

2.已知2/+自一根<()的解集為(/,-!)(/<-1),則Z+”?的值為()

A.IB.2C.-1D.-2

答案B

解析因?yàn)?^+區(qū)一切<0的解集為(h—1)(/<—1),

所以x=-I為方程源+此一m=0的一個(gè)根，

所以攵+〃?=2.

3.已知對(duì)任意x￡R,『+(a—2)x+；20恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

答案[1,3]

解析VA-ER,f+3-2)x+(20,則/WO=3-2)2-IWO=HW4W3.

■探究核心題型

題型一一元二次不等式的解法

命題點(diǎn)1不含參數(shù)的不等式

例1(1)不等式用(1—2。>0的解集是(

0)uQ,+°°

C.(一8,

1

D.(一8,())U0

答案D

x:0,

解析原不等式等價(jià)于

l-2v>0,

即且xNO,故選D.

(2)(多選)己知關(guān)于x的不等式af+Ax+oO的解集為(――，—2)U(3,+°°)?則下列選項(xiàng)中

正確的是()

A.67>O

B.不等式bx+c>()的解集是{如<一6}

C.a+Z?+c>0

D.不等式ex2-云+興0的解集為(一8,一￡)U(；,+8)

答案ABD

解析..?關(guān)于x的不等式o^+lzr+c)。的解集為(-8,—2)U(3,+8),，〃>(),A選項(xiàng)正

確；

J-2+3=/

且一2和3是關(guān)于x的方程/+加+c=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得《

[-23，

則/>=—a,c=-6a,則a+8+c=-6a<0,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

不等式〃x+<>0即為一“x—6〃>0,解得xv—6,B詵項(xiàng)正確：

不等式cr2—Z?x+a〈0即為一6aF+ax+a<0,即6.r—x—1>0,解得x<—g或D選項(xiàng)正

確.

命題點(diǎn)2含參數(shù)的一元二次不等式

例2已知函數(shù)/(x)=aF+(2—44)x—8.

(1)若不等式./(x)<0的解集為卜,一鏟r<4p求a的值；

(2)當(dāng)。<()時(shí)，求關(guān)于x的不等式/U)>()的解集.

解⑴不等式?r)vO,即加+(2—44口一8<0,

可化為(ar+2)(x—4)v0.

因?yàn)閒ix)<0的解集是卜一/r<4

22

所以a>()且一7=一？

解得4=3.

(2)不等式_/(戲>0,即加+(2—4a)x—8X),

因?yàn)閍<0,所以不等式可化為(工+：)。-4)<0,

當(dāng)4<—5即一；*<0時(shí)，原不等式的解集為(4,-J；

21

當(dāng)4=一宗即。=一樹，原不等式的解集為0;

當(dāng)4>一靠即興一義時(shí)，原不等式的解集為(一土4).

綜上所述，

當(dāng)一垢<0時(shí)，原不等式的解集為(4,一務(wù)

當(dāng)。=—3時(shí)，原不等式的解集為0；

當(dāng)〃<T時(shí)，原不等式的解集為4)

思維升華對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，常見的分類有

(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.

⑵根據(jù)判別式/與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù).

(3)有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.

跟蹤訓(xùn)練1解關(guān)于x的不等式.

2x~\

(I向,；

(2)加>0時(shí)，^-/mr-KZv-S.

2V-1—x-2

解(1)移項(xiàng)得不；一1>0,合并得丁工;>()，等價(jià)于(3%+1)(一工-2)>0,

。人I1D人I1

即(3x+l)(x+2)v0,解得一2w-g.

所以不等式的解集為｛x|-2<x<-g.

(2)移項(xiàng)得/nr2—(m+2"+2<0,

2

對(duì)應(yīng)的方程(〃a一2)(x-l)=0的兩根為百和1,

22

當(dāng)0vm<2時(shí)，->1,解得

2

當(dāng)〃?=2時(shí)，-=1,原不等式無解；

27

當(dāng)〃?>2時(shí)，—<1,解得方CV1.

綜上所述，當(dāng)0v〃K2時(shí)，原不等式的解集為(1,W)；

當(dāng)機(jī)=2時(shí)，原不等式的解集為空集；

當(dāng)〃?>2時(shí)，原不等式的解集為信，1).

題型二一元二次不等式恒成立問題

命題點(diǎn)1在R上恒成立問題

例3(多選)對(duì)任意實(shí)數(shù)乂不等式2代2十如一3v()恒成立，則實(shí)數(shù)攵可以是()

A.0B.-24C.-20D.~2

答案ACD

解析當(dāng)k=O時(shí)，不等式即為一3<0,不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，則

><0,

=>-24<K0,于是一244WO,故選ACD.

/=d+24內(nèi)0

命題點(diǎn)2在給定區(qū)間上恒成立問題

例4已知函數(shù)")=〃解一心一1.若對(duì)于工￡[1,3],Kx)v5—/〃恒成立，則實(shí)數(shù)”?的取值范圍

為.

答案(-8,§

解析要使/(x)v—〃?+5在x￡[l,3]上恒成立，

即比一與+彳〃—6Vo在x￡[l,3]上恒成立.

方法一令g(x)=+土〃?一6,xW[1,3].

當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在[1,3]上單調(diào)遞增,

所以g(X)max=g(3),即7〃?一6<0,

所以m<y,所以0<w<y；

當(dāng)〃2=0時(shí)，-6<0恒成立；

當(dāng)加<0時(shí)，鼠力在[1,3]上單調(diào)遞減,

所以g(X)max=g(1)，即加一6<0,

所以〃?<6,所以〃7<0.

綜上所述，機(jī)的取值范圍是(一8,務(wù)

方法二因?yàn)閄2—x+1=(X—1^)2+1>0,

又因?yàn)閙(『一x+1)—6<0在xW[1,3]上恒成立,

所以/〃<2_6,在x￡[1,3]上恒成立.

6

令?產(chǎn)A7T7，

因?yàn)楹瘮?shù)>=/_：+]=[|,引上的最小值為辛所以只需制即可.

所以小的取值范圍是(一8,專)

命題點(diǎn)3在給定參數(shù)范圍內(nèi)的恒成立問題

例5(2023?宿遷模擬)若不等式f+p.AU+p—3,當(dāng)0Wp<4時(shí)恒成立，則x的取值范圍是

()

A.[-1,3]

B.(一8,-1J

C.[3,+8)

D.(—8,—1)U(3,+00)

答案D

解析不等式『+px>4x+p—3

可化為—4x+3>0,

由已知可得[(X—1)〃+/一4x+3]min>0(0W〃W4),

令分)=(x-l)p+f-4x+3(0WpW4),

乍60)=/—4x+3>0，

可得注4)=4。一1)+『一4'+3>0.

解得xv—1或x>3.

思維升華恒成立問題求參數(shù)的范圍的解題策略

(1)弄清楚自變量、參數(shù).一般情況下，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù).

(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式/;一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不

能用判別式4一般分離參數(shù)求最值或分類討論.

跟蹤訓(xùn)練2(1)不等式(〃-2)/+2(〃-2火一420的解集為0,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.{3〃<一2或〃22}B.{al-2<a<2}

C.{a\~2<a^2]D.{a\a<2}

答案C

解析因?yàn)椴坏仁?—2)?+23—2次―420的解集為0,

所以不等式3—2)『+23—2口一4<0的解集為R.

當(dāng)。-2=0,即”=2時(shí)，-4<0,符合題意；

當(dāng)4一2工0,即〃工2時(shí)，

\A=[2(。-2)產(chǎn)+4X4X(4-2)<0,

需滿足Jc八

。一2<0,

解得一2<。<2.

綜上，實(shí)數(shù)〃的取值范圍是同一2<〃W2}.

(2)設(shè)a￡R,若關(guān)于x的不等式f-*+120在上有解，貝lj()

A.B.g2

55

caW-a>-

2D.\2

答案c

解析由A2—ax+I20在1WxW2上有解,

得'：在1上有解，

則aW（W^）max，

4,J+Ii1

由于:^=x+?

而），=x+：在［1,2］上單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=2時(shí)，x+1取得最大值|,

故aW宗

課時(shí)精練

區(qū)基礎(chǔ)保分練

1.（多選）與不等式/一工+2>0的解集相同的不等式有（）

A.f+x-2>0B.—f+x-2>0

2

C.T+L2VoD.Zr—3x+2>0

答案CD

解析對(duì)于不等式『一x+2>0,J=l-4X2=-7<0,故不等式/一X+2>0的解集為R

對(duì)于A項(xiàng)，不等式f+x-2>0可變形為（1一1）。+2）>（）,解得工<一2或Q1；

對(duì)于B項(xiàng)，不等式一寸+.1—2>0即/一工+2<0,4=1—4X2=—7〈0,故不等式一『+》-2>0

的解集為0;

對(duì)于C項(xiàng)，不等式一f+x—2<0等價(jià)于.v2—3+2>0,滿足條件；

2

對(duì)于D項(xiàng)，對(duì)于不等式2A2—3X+2>0,J=9-4X2<0,故不等式21—3>+2>0的解集為R.

2.已知命題p：“Dx￡R，m+l）『一2（a+l）x+3>0”為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.—I<a<2B.a21

C.a<—1D.—I<c/<2

答案D

解析當(dāng)。=-1時(shí)，3>0成立；

。+1>0,

當(dāng)一1時(shí)，需滿足

/=4（。+1）2—12（。+1）<0,

解得一1<?<2.

綜上所述，-lWa<2.

3.已知不等式加+/狀+2>0的解集為國(guó)一l<x<2},則不等式2?+/求+〃<0的解集為()

A:x—l<v<|B.xxv-1必

C.3一2<1<1}D.{小<-2或x>l}

答案A

解析因?yàn)椴坏仁絘r-\-bx-\-2>0的解集為國(guó)一1<x<2},

所以a?+加+2=0的兩根為一［2,且avO,即-1+2=—a(-1)X2=^,解得”=-1,b

=1,

則不等式可化為2^+工一］<0,解得一］4?,則不等式2f+bx+a<0的解集為x-1<A<1}.

4.(2023?孝感模擬)已知1y=(工一〃?”一〃)+2023(〃>加)，且a,伙a<")是方程)，=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)

根，則a,夕，相，"的大小關(guān)系是()

A.a<m<n<pB.m<a<n<fi

C.m<a<p<nD.a<m<p<n

答案C

解析???a,￡為方程y=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

.,.a,』為函數(shù)丁=(工一加)(工一〃)十2()23的圖象與大軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

令》=。一〃?)(工一〃)，

???〃?，〃為函數(shù)y］=(x—m)(x—〃)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

易知函數(shù)y=(x—/〃)(x—〃)+2023的圖象可由yi=(x—〃)的圖象向上平移2023個(gè)單位

長(zhǎng)度得到，

5.(多選)已知a￡R,關(guān)于x的不等式的解集可能是()

人L<

A.(1,a)B.(一8,l)U(d,+8)

C.(一8,?)U(1,+8)D.0

答案BCD

解析當(dāng)a<()時(shí)，不等式等價(jià)于(x—l)(x—a)<0,

解得a<x<1；

當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集是0;

當(dāng)（Xd<l時(shí)，不等式等價(jià)于（x—l）（x—a）>o,

解得X>1或X<4；

當(dāng)4=1時(shí)，不等式等價(jià)于（.1-1）2>0,解得XRI；

當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于（X—1）（X—4）>0,

解得x>a或x<1.

6.（多選）已知關(guān)于x的一元二次不等式f+5x+機(jī)<0的解集中有且僅有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)〃?

的值可以是（）

A.4B.5C.6D.7

答案AB

解析畫出函數(shù)+5%+〃?的圖象，關(guān)于x的一元二次不等式/+5工+〃7Vo的解集為函

數(shù)圖象在x軸下方的部分對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合，

由函數(shù)yu）=f+5x+機(jī)的圖象的對(duì)稱軸為X=-|,所以為使得不等式的解集中有且僅有2個(gè)

儀-2）=4—10+〃?<0,

整數(shù)，必須且只需使得“，、，一、八解得4Wm<6.

h一1）=1-5+機(jī)20,

7.不等式封笄X的解集是

?X"1

答案(一8,-1)U(1,5)

3r+3x—1>0,

解析不等式二二；X化為以下兩個(gè)不等式組或

X13X+5W2-x3x+5>f—%,

x-l<0,x<l,

解即-5>。，解得5'

3x+5<p—x,

x—1>0,x>l,

解即

3x+5>f—x,,IL5<。，解得12

所以原不等式的解集是（一8,-1）U（1,5）.

8.（2023?合肥模擬）若不等式f+or+420對(duì)一切x￡[l,3]恒成立，則a的最小值為.

答案一4

解析..,當(dāng)工￡[1,3]時(shí)，f+or+420恒成立,

二恒成立,

4L

又當(dāng)引時(shí)，x+：22、〃=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào).

???-（"+和-4,

，心一4,故”的最小值為-4.

4

9.已知集合：①A=卜曰7『1;②A={x*-2x-3<0}；③A=3氐一1|<2},集合6={川酎

一（2〃?+1.+源+/〃<（））（〃？為常數(shù)），從①②③這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為集合A,求解下列

問題：

（1）定義A-6={小RA且濾6},當(dāng)，"=0時(shí)，求A-6；

（2）設(shè)命題p：命題q：xGB,若〃是q成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)〃，的取值范圍.

解⑴選①：

44

幣>1,若x+l>0,即QT時(shí),即4X+1,解得一1令<3,

444

若x+ivo,則F<0,則F>I無解，所以F>1的解集為(一1,3),

人II.VII人I】

故A=(—1,3),由〃?=0,可得『一xvO,即Mx—l)vO,解得0<El,

故4=((),1),則A—8=(-1,O]U[1,3).

選②：

x2—2x—3<0,解得一l<x<3,

故A=(-l,3),

m=0,W-x<0,即x(x-l)<0,解得0<rvl,故8=(0,1),

則A-B=(T,O]U[1,3).

詵③：

lr-l|<2,-2<X-1<2,解得一l<x<3,

故A=(—l,3),

m=0,A2—x<0,即％(x—1)<0,解得0<t<1,

故4=(0,1),

則A—B=(-1,O]U[1,3).

(2)由(1)可知，條件①②③求出的集合A相同，即4=(一1,3).

由x2—(2m+1)x+in2+/〃<(),即(x—+l)J<0,

解得B=(m,〃z+l),

因?yàn)椤ㄊ莋成立的必要不充分條件，所以B4,所以

m>—1,I,

或|解得一故機(jī)的取值范圍為[-1,2].

，"+IW3[m+1<3,

10.已知函數(shù)兒0=?2+（1-4）/+〃一2.

（I）若不等式火制2—2對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

⑵若a<0,解關(guān)于x的不等式_/(x)?一1.

解(l)Tx￡R,人幻2—2恒成立等價(jià)于Vx￡R,ai+(l—a)x+a20,

當(dāng)。=0時(shí)，x20,對(duì)一切實(shí)數(shù)x不恒成立，則“X0,

。>0,

此時(shí)必有

4=(1—a)?—4，W0,

〃>0,解得心(

即

/=3〃2+2。―120,

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍是|｝，+8)

(2)依題意，因?yàn)?<0,則的)V4-1<=>ax2+(1—a)x—1<0<=>(x+^(x—1)>0,

當(dāng)。=—1時(shí)，一5=1,解得xWl；

當(dāng)一l<a<0時(shí)，—［>1，解得工<1或x>一

當(dāng)a<一1時(shí)，0v—*1,解得x<一［或Q1,

所以，當(dāng)〃=一1時(shí)，原不等式的解集為bixri｝；當(dāng)一1<。<0時(shí)，原不等式的解集為

…1

xXV1或X>一7h

當(dāng)qv—1時(shí)，原不等式的解集為,工卜一(或心>1.

q綜合提升練

11.(多選)已知函數(shù)人力=/一6一1,當(dāng)八七［0,3］時(shí),|/(x)|W5恒成立，則實(shí)數(shù)。的值可以是()

A.-1B.0C.1D.3

答案CD

解析???|/U)|W5<=>—5Wx2一如一1W5,

①當(dāng)x=0時(shí)，a￡R；

②當(dāng)x#0時(shí)，|Ax)|W50-5Wf-av-lW5

64

Ox-人人

當(dāng)x￡(0,3］時(shí)，G+?)min=2+,=4,^max=3—2=1,

???W

綜上，1W〃W4.

12.關(guān)于x的不等式0?+版+心>0的解集為(〃?，〃)(/〃<〃)，有下列四個(gè)結(jié)論：

甲：〃?=—3：乙：〃=—1；丙：〃?+〃=—2：T：ac<0.

如果只有一個(gè)假命題，則假命題是()

A.甲B.乙

C.丙D.T

答案B

解析假設(shè)只有甲是假命題，當(dāng)〃=-1,〃?+〃=-2時(shí)，m=-1,所以〃?〃=1=40,所以

〃c<0是假命題，與已知矛盾，所以這種情況不符合題意；

假設(shè)只有乙是假命題，當(dāng)用=-3,小+〃=-2時(shí)，〃=1,所以"i〃=-3=S<0,所以仇(0,

符合題意；

假