專題15.3分式方程

典例體系（本專題共58題25頁）

一、知識點(diǎn)

分式方程

1.分式方程：指含分式，且分母中含有未知數(shù)的方程

2.解分式方程的步驟：

（1）能化簡的先化簡

（2）去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。（產(chǎn)生增根的過程）

（3）解整式方程，得到整式方程的解。

（4）檢驗(yàn)，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：如果最簡公分母為0,則原方程無解，這個未知數(shù)的值

是原方程的增根；如果最簡公分母不為0,則是原方程的解。

注意：產(chǎn)生增根的條件是①是得到的整式方程的解；②代入最簡公分母后值為0。

列分式方程一基本步腺：審，設(shè)，歹U，解，答（跟一元一次不等式組的應(yīng)用題解法一樣）

①審一仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系。

②設(shè)一合理設(shè)未知數(shù)。

③列一根據(jù)等量關(guān)系列出方程（組）。

@解一解出方程（組）。注意檢驗(yàn)

⑤答一答題。

二、考點(diǎn)點(diǎn)撥與訓(xùn)練

考點(diǎn)1：解分式方程

典例：（2020?揚(yáng)州市梅嶺中學(xué)月考）解F列方程

【答案】（l）x=6；（2）分式方程無解.

【解析】（1）去分母得:2x=3（x-2）,

去括號得：2x=3x-6,

解得:x=6,

經(jīng)檢驗(yàn)x=6是分式方程的解；

（2）去分母得：（x+l）2?（x2?1）=4,

整理得:x2+2x+l-x2+l=4,

解得：x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)X=1是增根，

???該分式方程無解.

故答案為（l）x=6；（2）該分式方程無解

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查了解分式方程，在解題過程中一定要注意檢驗(yàn)所求解是否為增根，這是本題的關(guān)鍵，如果是增根,

則分式方程無解.

鞏固練習(xí)

A.x-4=3-2B.x-4=3-2x+l

C.x-4=3-2x+2D.x-4=3-2x-2

【答案】D

【解析】分式方程去分母得：x-4=3-2(x+l),

去括號得：x-4=3-2x-2.

故選D.

A.x=3B.x=4C.x=5D.x=-5

【答案】C

【解析】方程兩邊同乘(xl)(x+3),得

x+32(xl)=0,

解得：x=5,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=5時，(xl)(x+3)和,

所以x=5是原方程的解，

故選C.

A.x+2=2x(x+2)B.x+2(x2-4)=2x(x+2)

C.x+2(x-2)=2x(x-2)D.x+2(x2-4)=2x(x-2)

【答案】B

【解析】解：去分母得:x+2(x24)=2x(x+2).

故選：B.

【答案】D

【解析】解：分式方程的最簡公分母為(xT)(x+l),

方程兩邊乘以(x-l)(x+l),得整式方程2(x-l)+3(x+l)=6,

解得：x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)x=l是增根，分式方程無解.

故選D.

【答案】分式方程無解.

【解析】去分母得：於+1)-r+1=2,

去括號得：f+x?/+1=2,

解得：尸1,

經(jīng)檢驗(yàn)x=l是增根，分式方程無解.

【答案】(1)無解；(2)x=0

【答案】x=l.

去分母得:9x-7+4x-5=3x-2,

解得：x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)X=1是分式方程的解.

【答案】X=l

【解析】解：方程兩邊都乘以x(xl)得3x(x2);。

解這個方程得x=l

當(dāng)x=l時x(xl并0,

：.x=l是原分式方程的解，.

【答案】x=-3

【解析】去分母得：2x=x-2-1.

解得：X--3,

經(jīng)檢驗(yàn)x=-3是分式方程的解.

【答案】無解.

【解析】解：去分母得：15xl2=4x+103x+6,

移項(xiàng)合并得：14x=28,

解得:x=2,

經(jīng)檢驗(yàn)x=2是增根，分式方程無解.

【答案】x=l.

l+2(x-2)=-x,

l+2x-4=-x,

2x+x=4-1,

3x=3,

x=l,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=l是原方程的根.

【解析】解：2(xl)+(x+2)(xl)=x(x+2)

x=4

檢驗(yàn)：x=4是原方程的解

所以方程的解是x=4.

考點(diǎn)2：根據(jù)分式方程解得情況求參數(shù)取值

【答案】0.

VA>0,

???滿足條件的非負(fù)整數(shù)A的值為Q、1,

.??滿足條件的非負(fù)整數(shù)A的值為C.

故答案為：0.

故選c.

【答案】A

移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得

故選A.

93

A.m<—m<—且m,一

222

3

4

【答案】B

【解析】解：去分母得：x+m-3m=3x-9,

9

所以-2m+9>0,解得mV—，

2

93

所以m的取值范圍是：mV—且:nW-.

22

故答案選B.

A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.零D.無法確定

【答案】A

解得7Vk<14

；?整數(shù)2為6,5,4,3,2,1,0,I,2,3,4,5,6,7,8,9,10,II,12,13,

又?.?分式方程中x,2且xH3

，厚35且k翔

工所有符合條件的k中，含負(fù)整數(shù)6個，正整數(shù)13個，???k值的乘積為正數(shù)，

故選A.

【答案】C

???解是負(fù)數(shù)

故答案為：C.

【答案】k<6且k#3

方程兩邊都乘以(x3),得

x=2(x3)+k,

解得x=6k￥3,

x=6k>0,

k<6,且修3,

???k的取值范圍是kV6且導(dǎo)3.

故答案為kV6且H3.

【答案】a>l且a聲2

【解析】分式方程去分母得：2x-a=x-1,解得：x=a-I,

根據(jù)題意得：a-1>0,解得：a>l.

又當(dāng)x=l時,分式方程無意義，，把x=l代入x=a-1得a=2.

???要使分式方程有意義，a,2.

的取值范圍是a>l且ar2.

??、-2和,解得"2,

???方程的解是正數(shù)，

m+6>0且m+6,2,

解這個不等式得m>-6且m#-4.

故答案為：m>-6且n#-4.

【答案】kV3且k*.

(a2i(lx)=x+l,

(laix=3a,

?方程的角吊小于零，

【答案】m>1且n#3

【解析】解：方程兩邊同乘以xl,得，m3=2(xl),

m>1Km/3,

故答案為：m>l且m卻.

【答案】k>2且k￥3

【解析】解：方程兩邊都乘以(x+3)(x+k)得,

3(x+k)=2(x+3),

解得x=3k+6,

???方程的解是負(fù)數(shù)，

，3k+6V(),

解得k>2,

又,；x+3￥0,x+k和,

x#：3?x^k

3k+6#3,3k+6#k

，k￥3,

Ak>2Kk/3.

故答案為：k>2且k#.

【答案】a>l

【解析】解：去分母得2x+a=xL

解得x=al,

??,x>0且xrl,

，al>0且a"L解得aVl且a#2,

???”的取值范圍是aVl且a#2.

故答案為aVl且狎2.

【答案】〃?>?2且*-1

【解析】方程兩邊同時乘以x-1得，x-2（x-1）=-〃?，

解得x=〃?+2.

?b為正數(shù)，

：.nt+2>0f解得m>-2.

???加,

；?m+2#l,即，n*-1.

的取值范圍是m>-2且機(jī)H-1.

故答案為機(jī)>-2且〃#-1.

【答案】a>3且a*

???方程有一個正數(shù)解，

解得：a>3且存1,

故答案為：a>3且a力.

考點(diǎn)3：列分式方程

【答案】D

【解析】解：設(shè)施工隊(duì)原計劃每天鋪工米，則

故選￡）

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2020?景泰縣第四中學(xué)期末）為了幫助遭受自然災(zāi)害的地區(qū)重建家園，某學(xué)校號召同學(xué)們自愿捐款.已知

第一次捐款總額為4800元，第二次捐款總額為5000元，第二次捐款人數(shù)比第一次多20人，而且兩次人

均捐款額恰好相等.如果設(shè)第一次捐款人數(shù)為x人，那么x滿足的方程是（）

【答案】B

【解析】解：設(shè)第一次有x人捐款，那么第二次有（x+20）人捐款，由題意，有

故選B.

2.（2020?江西尋烏?期末）某電子元件廠準(zhǔn)備生產(chǎn)4600個電子元件，甲車間獨(dú)立生產(chǎn)了一半后，由于要盡快

投入市場，乙車間也加入該電子元件的生產(chǎn)，若乙車間每天生產(chǎn)的電子元件是甲車間的1.3倍，結(jié)果用33

天完成任務(wù)，問甲車間每天生產(chǎn)電子元件多少個？在這個問題中設(shè)甲車間每天生產(chǎn)電子元件x個，根據(jù)題

意可得方程為

【答案】B

【脩析】根據(jù)等量關(guān)系可列出方程：

3.（2020?河北靈壽?期末）八年級學(xué)生去距學(xué)校10千米的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20分

鐘后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)，已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍.設(shè)騎車學(xué)生的

速度為x千米/小時，則所列方程正確的是（）

【答案】C

【解析】由題意可得，

x2x=3,

故選：C.

【答案】B

【解析】解：設(shè)新生產(chǎn)線加入前，每天生產(chǎn)口罩x萬只，則根據(jù)題意可得：

故選B.

4.（2020?安徽臨泉?期末）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.據(jù)調(diào)查，湘潭某家小型

快遞公司的分揀工小李和小江，在分揀同一類物件時，小李分揀120個物件所用的時間與小江分揀90個物

件所川的時間相同，已知小李每小時比小江多分揀20個物件.若設(shè)小江每小時分揀X個物件，則可列方程

為（）

【答案】B

【解析】解：由題意可得，

故選B.

5.（2020?福建省泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)期天）A,B兩種機(jī)器人都被用來搬運(yùn)化工原料，A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每

小時多搬運(yùn)40千克，A型機(jī)器人搬運(yùn)1200千克所用時間與B型機(jī)器人搬運(yùn)800千克所用時間相等.設(shè)B

型機(jī)器人每小時搬運(yùn)化工原料x千克，根據(jù)題意可列方程為（）

【答案】A

6.（2020?河南遂平?期中）某煤礦原計劃x天生存120t煤，由于采用新的技術(shù)，每天增加生存33因此提前

2天完成，列出的方程為（）

【答案】D

7.（2020?廣西百色?期末）A,4兩地航程為48千米，一艘輪船從A地順流航行至“地，又立即從“地逆流

返回A地，共用去9小時，已知水流速度為4千米/時，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則可列方

程（）

【答案】C

【解析】解：由題意可得，

故選:C.

8.（2020,衡陽縣井頭鎮(zhèn)大云中學(xué)期末）某廠接到加工720件衣服的訂單，預(yù)計每天做48件，正好按時完成,

后因客戶要求提前5天交貨，設(shè)每天應(yīng)多做x件，則x應(yīng)滿足的方程為（）

【答案】D

故選:D.

9.（2020?四川巴州?期末）為響應(yīng)“科技扶貧”，我區(qū)某單位向一貧困村贈送1080本農(nóng)村實(shí)用書籍，現(xiàn)用A、B

兩種不同的包裝箱進(jìn)行包裝，單獨(dú)使用B型包裝箱比單獨(dú)使用A型包裝箱多用6個；已知每個B型包裝箱

比每個A型包裝箱可少裝15本課外書.若設(shè)每個A型包裝箱可以裝書x本，則根據(jù)題意列得方程為（）

【答案】B

故選:B.

1（）.（2020.廣東禪城.期末）輪船順流航行60千米后返回，共用了5小，己知水流速度是3千米/時，如果輪

船在靜水中的速度為x千米/時，則所列方程正確的是（）

【答案】C

【解析】解：設(shè)輪船在靜水中的航行速度為x千米/時，

故選：C.

II.（2020?四川南江?期末）某中學(xué)為了創(chuàng)建“最美校園圖書屋”，新購買了一批圖書，其中科普類圖書平均每

本刊的價格是文學(xué)類圖書平均每本書價格的L2倍.已知學(xué)校用12000元購買文學(xué)類圖書的本數(shù)比用這些錢

購買科普類圖書的本數(shù)多100本，那么學(xué)校購買文學(xué)類圖書平均每本書的價格是多少元？設(shè)學(xué)校購買文學(xué)

類圖書平均每本書的價格是x元，則下面所列方程中正確的是（）

【答案】B

故選B.

12.（2021.浙江瑞安?開學(xué)考試）抗擊新冠肺炎疫情期間，某口罩廠接到加大生產(chǎn)的緊急任務(wù)后積極擴(kuò)大產(chǎn)能，

現(xiàn)在每天生產(chǎn)的口罩比原來多4萬個.已知現(xiàn)在生產(chǎn)100萬個匚罩所需的時間與原來生產(chǎn)60萬個口罩所需

的時間相同，問口罩廠現(xiàn)在每天生產(chǎn)多少個口罩？設(shè)原來每天生產(chǎn)x萬個口罩，則由題意可列出方程（）

【答案】B

【解析】解：設(shè)原來每天生產(chǎn)x萬個口一罩，則現(xiàn)在每天生產(chǎn)（x+4）萬個口罩，

故選:B.

13.（2020?江蘇宿遷?二模）小明坐滴滴打車前去火車高鐵站，小明可以選擇兩條不同路線：路線A的全程是

25千米，但交通比較擁堵，路線B的全程比路線A的全程多7千米,但平均車速比走路線A時能提高60%,

若走路線B的全程能比走路線A少用15分鐘，若設(shè)走路線A時的平均速度為x千米/小時，杈據(jù)題意，可

列分式方程.

【解析】解：設(shè)走路線A時的平均速度為x千米/小時，則走路線B時的平均速度為（l+60%）x千米/小時，

15.（2018?河北邢臺?一模）兩個工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工1個月完成總工程的!，這時

3

增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了半個月.總工程全部完成，設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施1個月能完成總工程的工，根據(jù)

x

題意，得方程.

【解析】解：設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施1個月能完成總工程的X,

16.（2020?北京海淀?人大附中其他）一所中學(xué)組織學(xué)生去某市進(jìn)行研學(xué)活動，原計劃乘坐特快列車前往，為

了節(jié)省時間，現(xiàn)改為乘坐高鐵列車前往.已知北京與該市的距離約為1200千米，高鐵列車的平均速度是特

快列車的平均速度的2.4倍，且乘坐高鐵列車所用時間比乘坐特快列車所用時間少用7小時，設(shè)特快列車的

平均速度為R千米/時，則可列方程為.

17.（2020?四川開江?期末）疫情期間，某工廠一生產(chǎn)車間獲得只口罩的生產(chǎn)訂單，加工60000個口罩后，采

用了新的生產(chǎn)工藝，效率調(diào)高到原來的2倍，任務(wù)完成后，發(fā)現(xiàn)比原計劃少用了10小時.設(shè)采用新工藝之

前每小時可生產(chǎn)口罩x個，依據(jù)題意可得方程.

【解析】解：設(shè)采用新工藝之前每小時可生產(chǎn)口罩x個，則采用新工藝之后每小時可生產(chǎn)口罩2x個，

考點(diǎn)4：分式方程應(yīng)用題

（1）求購進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有多少包；

【解析】（1）解：設(shè)購進(jìn)的第一批醫(yī)用II罩有X包，

⑵解：設(shè)該醫(yī)用口罩每包的售價為），亓，

答：該藥店銷售該醫(yī)用口罩每包最高售價為3元.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

此題主要考查列分式方程和一元一次不等式解應(yīng)用題，理解題意，找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系和不等關(guān)系

是解題關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.（2019?河北南宮?期末）甲、乙兩同學(xué)的家與學(xué)校的距離均為6400米.甲同學(xué)先步行400米，然后乘公交

車去學(xué)校（由步行改乘公交車的時間忽略不計），乙同學(xué)騎自行車去學(xué)校，已知甲步行速度是乙騎自行車速度

的;，公交車的速度是乙騎自行左速度的3倍.甲、乙兩同學(xué)同時從家出發(fā)去學(xué)校，結(jié)果甲同學(xué)比乙同學(xué)

早到8分鐘.

（1）求乙騎自行車的速度；

（2）當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時，乙同學(xué)離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？

【答案】（1）乙騎自行車的速度為400m/min；（2）乙同學(xué)離學(xué)校還有3200機(jī)

【解析】解：（1）設(shè)乙騎自行車的速度為xm/min,則公交車的速度是3xm/min,甲宓行速度是-.rm/min,

解得：尸400.

經(jīng)檢驗(yàn)x=400原方程的解

答：乙騎自行車的速度為400m/min.

⑵當(dāng)甲到達(dá)學(xué)校時，乙同學(xué)還要繼續(xù)騎行8分鐘，所以8x400=3200（"。.

答：乙同學(xué)離學(xué)校還有3200〃?.

2.（2020?廣西右江?一模）節(jié)能乂環(huán)保的油電混合動力汽車，既可以用油做動力行駛，也可以用電做動力行駛，

某品牌油電混合動力汽車從甲地行駛到乙地，若完全用油做動力行駛，則費(fèi)用為80元；若完全用電做動力

行駛，則費(fèi)用為30元，已知汽車行駛中每千米用油費(fèi)用比用電費(fèi)用多0.5元.

（1）求：汽車行駛中每千米用電費(fèi)用是多少元？甲、乙兩地的距離是多少千米？

⑵若汽車從甲地到乙地采用油電混合動力行駛，旦所需費(fèi)用不超過50元，則至少需要用電行駛多少千米？

【答案】（1）每千米用電費(fèi)用是0.3元，甲、乙兩地的距離是100千米；（2）至少需要用電行駛60千米.

【解析】解：（1）設(shè)汽車行駛中每千米用電費(fèi)用是x元，則每千米用油費(fèi)用為（x+0.5）元，

解得：x=0.3,

經(jīng)檢驗(yàn)x=0.3是原方程的解.，

???汽車行駛中每千米用電費(fèi)用是0.3元，甲、乙兩地的距離是30:0.3=100千米；至少需要用電行駛60千米.

（2）汽車行駛中每千米用油費(fèi)用為0.3+0.5R.8元，

設(shè)汽車用電行駛ykm,

可得：0.3y+0.8（100y）W50,

解得：y>60,

所以至少需要用電行駛60千米.

⑴求第?次所購水果的進(jìn)貨價是每千克多少元？

（2）在實(shí)際銷售中，兩次售價開始均相同，但第一次購進(jìn)的水果在銷售過程中，消費(fèi)者挑選后，由于水果品

相下降，最后50千克八折售出：第二次購進(jìn)的水果由于同樣的原因，最后100千克九折售出，若售完這兩

批水果的毛利不低于940元，則每千克開始售價至少為多少元？

【答案】（1）2元；（2）3元

【解析】解：（1）設(shè)第一次所購水果的進(jìn)貨價是每千克x元.由題意，得

檢驗(yàn)，是原方程的根，

答：第一次所購水果的進(jìn)貨價是每千克2元.

每千克開始售價至少為〃?元.由題意，得

即每千克開始售價至少為3元.

4.（2019?廣東潮州?其他）甲、乙兩個工程隊(duì)共同承擔(dān)一項(xiàng)筑路任務(wù)，甲隊(duì)單獨(dú)施工完成此項(xiàng)任務(wù)比乙隊(duì)單獨(dú)

施工完成此項(xiàng)任務(wù)多用10天，且甲隊(duì)單獨(dú)施工45天和乙隊(duì)單獨(dú)施工30天的工作量相同.

(1)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)各需多少天？

(2)若甲、乙兩隊(duì)共同工作了3天后，乙隊(duì)因設(shè)備檢修停止施工，由甲隊(duì)繼續(xù)施工，為了不影響工程進(jìn)度，

甲隊(duì)的工作效率提高到原來的2倍，要使甲隊(duì)總的工作量不少于乙隊(duì)的_L作量的2倍，那么甲隊(duì)至少再單

獨(dú)施工多少天？

【答案】(1)甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需30天，乙隊(duì)單獨(dú)完成此頰任務(wù)需20天(2)甲隊(duì)至少再單獨(dú)施工3天

【解析】解：(1)設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需x天，則甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需(x+10)天，

解得,x=20,

經(jīng)檢驗(yàn)x=20是原方程的解.

:.x+10=30.

答：甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)需30天，乙隊(duì)單獨(dú)完成此頰任務(wù)需20天.

答：甲隊(duì)至少再單獨(dú)施工3天.

5.(2020?海東市教育研究室期末)枇杷肉質(zhì)厚實(shí)，鮮甜微酸，營養(yǎng)價值很高，是初夏里受人們喜愛的水果之

一.枇杷一上市，某水果店的老板就用1350元購進(jìn)一批枇杷，艱快售完.老板又用190()元敗進(jìn)第二批枇

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杷，所購箱數(shù)是第一批的二倍，但進(jìn)價比第一批每箱多了5元.

(1)求第?批枇杷的每箱進(jìn)價.

(2)老板以每箱145元的價格銷售第二批枇杷，但出80%后，為了盡快售完，決定將剩下的打折促銷.要使

得第二批枇杷的銷售利潤不