第一篇熱點、難點突破篇

專題01不等式綜合問題（練）

【對點演練】

一、單選題

1.（2022?遼寧?朝陽市第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)）已知命題〃：*wR,3/+2m-+lW0是假命題，則實數(shù)"

的取值范圍是（）

A.（f,0]U（3,”）B.（—,0）U（3,+oo）C.（0,3）D.[0,3）

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次不等式恒成立求解實數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】由題意得f是真命題，E*X/xeR,3ax2+2av+1>0.

當(dāng)a=0時，1>0符合題意；

當(dāng)〃工0時，有a>0,且△=(2a)2-4.3a<0,解得O〈a<3.

綜上所述，實數(shù)"的取值范圍是[0,3）.

故選:D.

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）不等式32-加+00的解集為{人1-2<?1},則函數(shù)I），=/+笈+<7的圖像大致為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，可得方程?2_加+。=0的兩個根為4=-2和ml,目.*0,結(jié)合二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

得到0、6、。的關(guān)系，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】根據(jù)題意，七一bx+c>0的解集為{x|-2<x<1},則方程ar?-/?x+c=0的兩個根為x=-2和x=l,且

a<（）.

cP=-Cl

則有（-2）x1=一，變形可得，

a[c=-La

a<0

故函數(shù)）=以2+加+。=奴2-編：一加=4"一2）（3+1）是開口向下的二次函數(shù)，且與入軸的交點坐標(biāo)為（-1,0）和

（2,0）.

對照四個選項，只有C符合.

故選：C.

3.（2022?重慶市云陽縣高陽中學(xué)高三階段練習(xí)（理））關(guān)于x的不等式占+2or+l>0恒成立的一個充分不必要

條件是（）

A.0<?<1B.0<t/<I

C.0<?<1D.0<6/<I

【答案】D

【分析】根據(jù)二次不等式恒成立得〃《0」），再根據(jù)充分不必要條件的概念求解即可.

【詳解】解：當(dāng)。=0時，1〉0,該不等式成立；

當(dāng)，4八，即0<"1時，該不等式成立；

綜上，得當(dāng)0W”l時，關(guān)于X的不等式加+2辦+1>0恒成立，

所以，關(guān)于工的不等式0?+2辦+1>0恒成立的一個充分不必要條件是

故選：D.

4.（2022?寧夏?銀川一中高三階段練習(xí)（理））《忠經(jīng)?廣至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在實際生

活中，新時代的青年不僅要有自己“不私”的覺悟，也要有識破“詐公”的智慧.某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平（兩邊

臂不等長）稱黃金，顧客要購買10g黃金，售貨員先將5g的祛碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；

然后又將5g的跌碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實際所得黃金（）

A.大于10gB.小于10gC.等于10gD.以上都有可能

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解.

【詳解】由于天平兩臂不相等，

故可設(shè)天平左臂長為。，右臂長為方（不妨設(shè)，,切，

第一次稱出的黃金重為xg，第二次稱出的黃金重為yg,

由杠桿平衡定理可得，5a=.xb,ya=5b,

5a5b5a5b..lab,_

則］=丁，y=——，-v+y=—+—>IOj--=10,

babaa

故顧客實際所得黃金大于10g.

故選：A.

5.(2022?湖北?高三階段練習(xí))已知隨機變量且~(4"))=〃/之4),則L+_2_(o<x<a)的最

X。一X

小值為()

9

A.9B.8C.-D.6

2

【答案】B

【分析】由正態(tài)曲線的對稱軸得出。=2,再由基本不等式得出最小值.

【詳解】由隨機變量4~N(1，/),則正態(tài)分布的曲線的對稱軸為J=l,

又因為尸(4式0)=。值之々)，所以0+a=2,所以a=2.

wc一19(19Ax+(2-x)12-x9x9yl2^x9x-。

當(dāng)0<X<2時，-+z-=~+Z----Z=T+-Z—+T7Z\+^-5+2nJ^~'^r=8,

x2-x\x2-xJ222x2(2-x)22x2(2-x)

2-x9r1

當(dāng)且僅當(dāng)即x時等號成立，故最小值為8.

故選：B

二、多選題

6.(2020?山東?青島二中高三期中)設(shè)0</)<々，4+人=1,則下列結(jié)論正確的是()

A.a2+b2>aB.b<a2+h2C.b<2ab<D.^-<a2+b2<\

22

【答案】BCD

【分析】結(jié)合已知條件，可得至lJ0<6<g<"l,對于選項A：對。+方=1兩邊同時平方，并利用不等式性質(zhì)即

可判斷；對于B；利用不等式性質(zhì)即可判斷；對于CD：結(jié)合均值不等式即可判斷.

【詳解】由a+b=\,Pl,0</?<—<?<1,\-2a<0,

2

對于A：由。+〃=1兩邊平方并整理得，a2+h2=\-2ab=b+a-2ah=a+h(\-2a)<a,故A錯誤；

22

對于B：^<a=>\<2a=>b<lab<a+bf故B正確；

對于C：由選項B知，b<2ab,X2^<2xf—=-,故C正確；

I2)2

【詳解】當(dāng)/注（）時，由（奴-4乂f+3之?？傻眯?_420對任意X?Y＞,0］恒成立,

即a蕓對任意X?Y）叫恒成立，此時。不存在：

當(dāng)b＜0時,由（ar-4）（x2+^）＞0對任意xe（-oo,0］恒成立，

可設(shè)/(x)=ar-4,g(x)=^+b,作出/(%),g(x)的圖象如下,

a=-\a=-4a=-2

〃是整數(shù)可得〈或，或，

b=-\6b=-\b=-4

所以"〃的可能取值為-17或-5或

故選：BCD

三、境空題

9.（2022?廣西南寧?模擬預(yù)測（文））若直線av+力-1=0（。＞0力＞0）平分圓C/+產(chǎn)-級-4產(chǎn)0的周長，則他的

最大值為_________

【答案】|

O

【分析】因為直線平分圓，則直線過圓心，再利用基本不等式求出"的最大值.

【詳解】由題意得，直線ax+力-1=。過圓心（1,2）,所以a+?=1,

所以如劭畔2?（當(dāng)且僅當(dāng)〃=2/九即〃=＜力=：,取，，="），

222824

乂所以帥的最大值為

O

故答案為：

O

10.（2022?河南安陽?高三階段練習(xí)（文））已知點。（加，〃）是函數(shù)/"）=一、圖象上的點，當(dāng)加＞1時，2m

X—1

+〃的最小值為.

【答案】2&+2

【分析】根據(jù)基本不等式即可求解最小值.

【詳解】尸（加，〃）是函數(shù)/"卜上圖象上的點，所以〃=」？m-+1,

x-1m-1n

因為盟>1,所以〃>0,所以2m+〃=2譽+1+〃=：+〃+2?2拒2,當(dāng)且僅當(dāng)〃=核時取等號，故26+〃的

最小值為2&+2.

故答案為：2&+2

【沖刺提升】

一、單選題

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知〃?，〃，s,f為正數(shù)，〃?+〃=4,-+-=9,其中〃?，”是常數(shù)，且s+f的最

st

小值是:，點M（〃?，〃）是曲線￡+￡=1的一條弦48的中點，則弦A8所在直線方程為（）

982

A.-T—4y+6=0B.4.v—y—6=0

C.4x+y-10=0D.x+4y-10=0

【答案】D

【分析】由已知得s+/=（（s+z）（生+2）,化簡后利用基本不等式可求出其最小值，再結(jié)合其最小值為，和

9st9

加+〃=4可求出犯〃，從而可得點M的坐標(biāo)，再利用點差法可求出直線4B的斜率.，從而可求出直線方程.

【詳解】因為加，小s,/為正數(shù)，-+-=9,

st

“八1、/"1〃、1,nsnil、、1/-I—、8、,，n1、i,nsmt.?

所以?$+，=K（zs+i）（—+-）=K（m+—+—+n）>-（m+n+2Vmn）=-,當(dāng)且僅當(dāng)一=一時取等M弓,

95/9：s99ts

所以m+〃+2\!mn=8?又〃2+〃=4,

乂〃5為正數(shù)，所以解得即M（2,2）,

n=2

設(shè)弦兩端點分別為（百，力）仆2m），則《

兩式相減得仔+之_巧）+O）a）=o,

因為玉+超=4,%+必=4,

所以直線的斜率為七絲2■“券普=一；,

百一X28。1+），2）4

所以直線方程為），一2二-1。-2）,即x+4y-10=0.

4

經(jīng)檢險直線x+4y-10=0與橢圓=+工=1有兩個交點,

82

所以直線方程為x+4y-IO=O,

故選：D

2.（2022?全國?高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36不，且

3KM3G，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

A」I8即B.佟丹］C.名片］D,［18,27］

.4J144」1_43_

【答案】C

【分析】設(shè)正四棱錐的高為人由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱

錐體積的取值范圍.

【詳解】???球的體積為36江，所以球的半徑R=3,

［方法一］:導(dǎo)數(shù)法

設(shè)正四棱錐的底面邊長為2“，高為h,

則/=2￡+〃2,32=2?2+(3-/:)2,

所以6〃=/2,2a2=l2-h2

112/4I2］（I6

所以正四棱錐的體積Z4--

1//5\1'24--、

所以，4/?--=-/3

916)9、6,

當(dāng)34/42卡時,r>0，當(dāng)2,<絲3石時,V'<0，

所以當(dāng)/=26時，正四棱錐的體積丫取最大值，最大值為三,

27fi1

又/=3時，V=--,/=3百時，V=—,

44

所以正四棱錐的體積V的最小值為9一7，

4

所以咳正四棱錐體積的取值范圍是亍，丁.

故選：C.

[方法二]:基本不等式法

由方法一故所以4=9，=：（64-//）=1（12-2/?）人仄+"+與=（（當(dāng)且僅當(dāng)力=4取到

當(dāng)嗚時,得a萼，則L=W嗜'奪學(xué)

當(dāng)/=36時，球心在正四棱錐高線上，此時力=13=，

<八攣n?=輩，正四棱錐體積匕=卜％=；（輩）?x卜曰<目，故該正四棱錐體積的取值范圍是鳥，目.

22y233,224345

二、多選題

17.（2020?海南?高考真題）己知X）,b>0,且a+〃=l,則（）

A.a2+b2>-B.2“”>!

22

C.log,a+log,b>-2D.y[a+4b<y/2

【答案】ABD

【分圻】根據(jù)。+b=l,結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進行求解.

【詳解】對于A,/+/=/+（1-。）2=2/-2。+1=2I

,■

當(dāng)且僅當(dāng)〃=力=3時，等號成立，故A正確；

對于B,a-b=2a-\>-\,所以2"">2T=L,故B正確；

2

（方、2]

對于C,Iog2a+log2b=log2ah<logj----=log2-=-2,

\2y4

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=T時，等號成立，故C不正確；

對,卜D,因為（+>/^）=1+2ylabK1+a+/?=2,

所以6+當(dāng)且僅當(dāng)。=/，=（時，等號成立，故D正確;

故選：ABD

【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算

的核心素養(yǎng).

3.（2022?黑龍江?哈爾濱市第六中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，若％=3,S產(chǎn)7,

則（）

A.%=5-〃B.若勺+。”=2+4（）,則的最小值為fl

mn12

C.s.取到最大值時，〃=5D.設(shè)2=*,則數(shù)列也｝的最小項為-士

【答案】AD

【分析】求得等差數(shù)列｛q｝的通項公式判斷選項A；求得5+?的最小值判斷選項B：求得S”取到最大值時〃

的值判斷選項C：求得數(shù)列｛"｝的最小項判斷選項D.

%+d=3

【詳解】由’5?「，可得心-「

7?,+—1/=7[d=-\

則等差數(shù)列｛〃“｝的通項公式為凡，則選項A判斷正確；

若am+an=a2+al0,則+〃=2+10=12

Ml116116m+n1“rn16m、、1…25

則一+一—十—x----=—(17+—+——)>—(17+8)=—

mnmn1212mn1212

（當(dāng)且僅當(dāng)〃?=y,?=y時等號成立）

—哈+弓的最小值為不蟾.則選項B判斷錯誤;

等差數(shù)列｛4｝中，4=4>4=3>《=2>&=1>%=。>4=一1>…

則等差數(shù)列｛&｝的前〃項和S〃取到最大值時，,?=4或〃=5.則選項C判斷錯誤；

.aEI,5-n.5-n4一〃6-n

設(shè)2二夕n，或也=丁，則"一"的=-^--尹=中

則2>仇>仄>4>6=打V4<…

則數(shù)列也｝的最小項為仇=a=孚=.則選項D判斷正確

264

故選：AD

4.（2022?廣東?廣州大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知C：E+《=l（a>〃>0）的左，右焦點分別為工，長

O

軸長為4,點P（及,1）在橢圓。外，點。在橢圓。上，則下列說法中正確的有（）

A.橢圓。的離心率的取值范圍是

B.已知七（0,-2）,當(dāng)橢圓。的離心率為乎時，|。目的最大值為3

C.存在點。使得西?麗二0

立翳符的最小值為I

【答案】ACD

【分析】易得。=2,再根據(jù)點P（及』）在橢圓。外，可得|+城〉1，從而可求得〃的范圍，再根據(jù)離心率公式

即可判斷A；根據(jù)離心率求出橢圓方程，設(shè)點Q（x,），），根據(jù)兩點的距離公式結(jié)合橢圓的有界性即可判斷B：當(dāng)

點Q位于橢圓的上下頂點時居取得最大值，結(jié)合余弦定理判斷/耳。尼是否大于等于90。即可判斷C；根據(jù)

|。耳卜|。用|。"|I明41|明|Q用產(chǎn)武|?？冢┙Y(jié)合基本不等式即可判斷D.

【詳解】解：根據(jù)題意可知〃:2,

則橢圓方程為工+￡=1,

4b~

因為點P（6l）在橢圓C外，

2I

所以了+=〉］，所以從<2,

4"

所以0<2r<L

a-2

則離心率e=￡,1,故A正確;

對于B,當(dāng)橢圓c的離心率為立時，￡=￡=蟲,

2a22

所以。==1?

所以橢圓方程為工+V=i,

4

設(shè)點Q（xy）,

貝lj|QE|=也2+(),+2『=7-3y2+4y+8(-l<y<1),

當(dāng)制時，網(wǎng)「孥，故B錯誤;

對J--C,當(dāng)點。位于橢圓的上下頂點時/月。鳥取得最大值,

此時|3|=|然|=4山段=2c,

IM?+|Qg『,圖22〃2公2_4從一2a

cosN^QE=*0,

21MlMI2/

即當(dāng)點Q位于一橢圓的上下頂點時/月。鳥為鈍角,

所以存在點。使得/匕。鳥為直角,

所以存在點。使得西?圾=0,故C正確:

對于D,血制+|Q周=%=4,

則懈扁:函+函=3函+函婀㈤困）

T喝+制小榴副-L

當(dāng)且僅當(dāng)因=因

M31，即|Q6|=|QE|=2時,取等號,

所以〈制+IQ周

」以加可的最小值為1,故D正確.

rv二!，則x+2y的最小

5.（2022?重慶市云陽縣高陽中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知4>0,y>0>——+--—

3x+22y+\O

值為___________

【答窠】4

43/5

【分析】由題知~~7=4,進而令r=3x+2,s=2y+l,將x+2y的最小值轉(zhuǎn)化為：+s-：的最小值，再

3x+22y+\33

根據(jù)基本不等式求解即可.

x6x?6y2（3x+2）—4?3（2y+l）-311

【詳解】解：由-----+y二一得

3x+22y+\63x+22y+\~3x+22y+\

434

所以.整理得+-------=4,

3x+22y+\

t-2s-\

令，=3x+2,s=2y+l,則1=>0,y=——>0

32

435

llt?—/—2.t5I7+---

^^x+2y=--+s-\=-+s--=-s3

—25——5=—5

12312

I1cI1c5

當(dāng)且僅當(dāng)r=2s時取等號,此H、jx=-,y=—，x+2y=-4—x2=—.

686812

故答案為：—

6.(2022?黑龍江?鐵人中學(xué)高三階段練習(xí))已知0<a<l,0</?<1,不等式52+x+〃之o對于xeR恒成立，且

17

方程bf+x+anO有實根，則;一+「的最小值為______.

\-a\-b

【答案】4+迪

3

【分析】根據(jù)題意結(jié)合一元二次不等式在R上恒成立可得1-*0,消。整理得丁二1+2三二丁4丁+^；-2-+2,

\-a\-b4-4"46/-1

注意到(4-4a)+(4a-1)=3,結(jié)合基本不等式求最值.

【詳解】由題意可得:

不等式ax2+x+b>0對「xeR恒成，則A=\-^cib<0

方程以2+4+〃=0有實根，則△=1一4c心NO

1.1十2_1十2_1卜8a_4?2十2

/.1—4</Z?=0?l?1.lb--^―,則I—4\—h1—a?1I—a4〃-14—4〃4〃一I

,:（4-4?）+（4n-l）=3,

則

X匕+高卜［(4一甸+(4"W高2）_4（4a-l）2（4-旬

----------------------+-------------

4?-lJ4-4674rLi

當(dāng)且僅當(dāng)4（4"7）=2（”旬時等號成立

4一4。4。一1

?42、4右,制12

??---------1---------2-------->-29Jjl]-------F“+逑

4一4。4。-131-611-/?3

故答案為：4+逑.

3

7.（2021.天津.高考真題）若，〉0,b>0,貝哈+春的最小值為

【答案】2近

【分析】兩次利用基本不等式即可求出.

【詳解】I。>0,b>0,

當(dāng)且僅吟唱且?！匆?4時等號成立,

所以1+白+/）的最小值為2播.

aD

故答案為：2夜.

(1+1)(2)，+1)

8.（2019.天津?高考真題（理））設(shè)工>0,y>0,x+2y=5,則而的最小值為

【答案】473

【分圻】把分子展開化為2^+6,再利用基本不等式求最值.

【詳解】,,3理=至3里

而

x>0,y>0,x+2y=5,xy>0,:.

8y]xy

當(dāng)且僅當(dāng)沖=3,即x=3,y=l時成立,

故所求的最小值為4G.

（x-3t/）2<0

9.（2022?河北?唐山市第十一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/（"=，若對任意xwR恒有

x+一4+9as>0

x

/W>/（0）,則屋〃）=唾2卜+￡的最大值為.

\J/Iz

【答案】47

4

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對任意xwR恒有/(司之/(0),求得實數(shù)”的取值范圍，在根據(jù)對數(shù)函數(shù)

與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)g(〃)的單調(diào)性，從而可求解g(〃)的最大值.

(k-/4o

【詳解】解:由己知函數(shù)/("=<4

什——、0

x

則”>0時,+9〃=4+9。，當(dāng)且僅當(dāng)戶2時，取到最小值4+9°；

xWO時，若對■任意xeR恒有〃工”〃0)，則此時〃x)=(x-3力單調(diào)遞減,

則對稱軸x=3aN0即a之0,所以/11in(x)=/(O)=9a2.

r14

4+9〃>9a2——<a<—

結(jié)合可知對任意xuR恒有/(x)?/(O),則有<"=>\3一一3,

〔心。卜20

4

所以O(shè)MaK1

又g(〃)=log2(a+g)-(乎，其中y=log2(〃+g在時是增函數(shù)，在時是減函

數(shù)，故8(。)=睡2a+g)在時是增函數(shù)，故&由(")=&母=喝(：+升［停)=:?

故答案為：.

4

1().(2023?全國?百三專題練習(xí))已知P是曲線。：'=1以+/+(&_〃卜上的一動點，曲線。在p點處的切線

的傾斜角為。，若則實數(shù)〃的取值范圍是___________

【答案】(YO,2A］

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)表示出切線斜率，根據(jù)傾斜角與斜率的變化關(guān)系，將問題第價轉(zhuǎn)化為含參

不等式恒成立，利用參變分離以及基本不等式，可得答案.

［詳解］因為y=lnx+x2+(G-a)x,所以p=g+2x+>/J_a,

穴式,所以y'Nlang=G對于任意的x>0恒成立,

因為曲線在M處的切線的傾斜角0e?，-2

即+G—后對任意x>0恒成立，即aK2x+,，乂2x+,22式,當(dāng)且僅當(dāng)2工=,，即工=巫時，等

XXX2

號成立，

故〃42加，所以〃的取值范圍是（9，2&］.

故答案為：（ro,2應(yīng)］

四、解答題

1L（2022?安徽?高三階段練習(xí)）若正數(shù)。，滿足。+⑦=1.

⑴求而的最大值；

⑵求二7+：的最小值.

【答案】⑴（時）M="

（2）最小值g+Ji6.

【分圻】（1）由基本不等式和定，積最大求解.

（2）根據(jù)已知4+