第04講空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

囤練基礎(chǔ)

一、單選題

1.如圖所示，若正方體ABC。-A片GA的棱長(zhǎng)為小體對(duì)角線AG與8R相交于點(diǎn)o,則

有（）.

A.ABA^=2a2B.痔猬=后C.ABAO=-a2D.BCDA；=a2

2.已知向量。=(3,-1,2),/?=(-1,3,-2),c=(6,2㈤，若b?2三向量共面，則實(shí)數(shù)4=

()

A.-B.2C.-D.3

22

3.如圖，在平行六面體ABC。-人/6。中，E,尸分別在棱B片和。。上，且。尸二;。R.

]BE

iEEF=xAB+yAD+zAA,若x+y+z=—,則^"二()

4明

4.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱

稱為塹堵.已知在塹堵A8C-ABG中，ABC=90,AB=2,8C=2&，若直線與

直線他所成角為60,則44=()

A.75B.2C.272D.2y/3

二、填空題

5.如圖所示，在四棱錐尸-A8CZ)中，AB//CD,且NB4P=NCDP=90。，若

PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,則二面角4P4-C的余弦值為.

6.下列結(jié)論中，正確的序號(hào)是_______.

①若￡、B、工共面，則存在實(shí)數(shù)x、y,使得Z=H+y2；

②若入B、工不共面，則不存在實(shí)數(shù)X、y,使得％=M+y2；

③若入5、3共面，人工不共線，則存在實(shí)數(shù)小y,使得2=口+,；

④若Uiy),貝1」￡、/；、工共面.

三、解答題

7.如圖，在三棱柱ABC-A46中，A4,JL平面4BCABJ_4cA8=AC=A4,=1,M為線段

AG上的一點(diǎn).

(1)求證：BM±AB.;

⑵若M為線段AG上的中點(diǎn)，求直線AB】與平面BCM所成角大小.

8.如圖，已知圓錐的頂點(diǎn)為。，點(diǎn)。是圓。上一點(diǎn)，^BOC=45\AB=2OP=4,點(diǎn)D是

劣弧AC上的一點(diǎn)，平面尸COP!平面?/$=/,且/〃

(1)證明：OC±OD.

(2)求點(diǎn)。到平面PC。的距離.

9.如圖所示，已知空間四邊形ABCO的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,F,G分別是

A8,AD,CD的中點(diǎn).設(shè)AB=a，AC=b?AD=c-

⑴求證EG_LAB；

⑵求異面直線AG和CE所成角的余弦值.

10.如圖，在四棱柱A8CD-A與GR中，AA_L平面ABC。，底面A8CO滿足AO//6C,且

AB=AD=AA,=2,BD=DC=2&

⑴求證：8。//平面

(2)求直線與平面8cA所成角的正弦值.

小為5則△AOQ面積的取值范圍是（）

邛明

二、填空題

5.化學(xué)中，晶體是由大量微觀物質(zhì)單位（原子、離子、分子等）按一定規(guī)則有序排列的結(jié)

構(gòu).構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞.已知鈣、鈕、氧可以形成如圖所示的立方體品

胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點(diǎn)位置，。原子位于棱的中點(diǎn)），則圖中

原子連線BF與片石所成角的余弦值為

6.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形

構(gòu)成的多面體（各面都是會(huì)等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，

即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正八面體48CDE/

的棱長(zhǎng)都是2（如圖），P,。分別為棱A44。的中點(diǎn)，則.

三、解答題

7.如圖所示，在四棱錐P-A8c。中，PALAISABCD,AB1AD,AB+AD=4,CZ)=&,

ZC/M=45°.

(1)求證：平面尸AB_L平面PA。；

(2)設(shè)八直線尸B與平面PC。所成的角為30。，求線段4B的長(zhǎng).

8.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面A8CD為平行四邊形，叫_L平面ABC。，M為尸。中

點(diǎn).

(1)求證：必〃平面MBD：

(2)^AB=AD=R\=2,ZBAD=120°,求二面角&AM-D的正弦值.

9.如圖所示，多面體/1BCDE/中，AD〃E尸〃BC,平面ADEF，平面BCEF,AD1EC,

且AO=CD=2,CB=EF=1,/BCD..

(I)證明：BFA.DEx

Q奇FB=6,求直線OC與平面人防所成角的正弦值.

10.如圖，在四棱錐尸一人8c。中，底面48C。為菱形，^DCB=60,ABLPB.

(I)證明：為等腰三角形.

⑵若平面PQC_L平面ABCD.AB=2,求二面角A-PB-C的余弦值的取值范圍.

II.如圖多面體A3co瓦'中，四邊形48co是菱形，ZABC=60°,￡4_L平面A8CD,EA//BF,

AB=AE=2BF=2

⑴證明:平面E4CJ■平面￡FC；

⑵在棱EC上有一點(diǎn)使得平面與平面A8CO的夾角為45。，求點(diǎn)M到平面灰尸的

距離.

國(guó)繪真題

一、解答題

1.(2022?天津?高考真題)直三棱柱ABC-AgG中，A4,=AB=AC=2,A4,±AB,AC1AB,

。為A4的中點(diǎn)，￡為AA的中點(diǎn)，尸為C。的中點(diǎn).

B

(I)求證：EF〃平面ABC；

⑵求直線的與平面CC.D所成角的正弦值；

⑶求平面人(。與平面cq。所成二面角的余弦值.

2.(2022.全國(guó)?高考真題(理))如圖，四面體48co中，AD工CD,AD=CD,ZADB=NBDC,

E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面ACD；

(2)設(shè)48=8。=2,4磁=60。，點(diǎn)尸在8。上，當(dāng)△AAC的面積最小時(shí)，求C尸與平面人切

所成的角的正弦值.

3.(2022?浙江?高考真題)如圖，已知A8CD和CO律都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,

AB=5,DC=3,EF=1,N84O=NCDE=60。，二面角廠一￡>C—3的平面角為60。.設(shè)

M,N分別為AE/C的中點(diǎn).

(1)證明：FN1AD；

(2)求直線BM與平面AOE所成角的正弦值.

4.(2022?全國(guó)?高考真題)如圖，PO是三棱錐尸—A8C的高，PA=PB,ABLAC,E走PB

的中點(diǎn).

⑴證明：(兒7/平面“AC；

（2）若NAB。=NC30=30。，PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

5.（2022?全國(guó)?高考真題［理））在四棱錐P-A8C。中，PO_L底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6

⑴證明：BD1.PA；

⑵求PD與平面P48所成的角的正弦值.

6.（2022?北京?高考真題）如圖，在三棱柱A8C-A8IG中,側(cè)面8CG4為正方形，平面

8CG￡_L平面A84A，AB=BC=2,M,N分別為Ag,AC的中點(diǎn).

⑴求證：MN〃平面Bcqq；

（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線A4與平面8MN所成角的

正弦值.

條件①：4B_LMN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

7.（2022?全國(guó)?高考真題）如圖，直三棱柱ABC-A4c的體積為4,AABC的面積為2血.

⑴求A到平面ABC的距離:

(2)設(shè)。為AC的中點(diǎn)，44,=43,平面48。_1平面八844，求二面角71—8?！?。的正弦值.

8.(2021?天津?高考真題)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體43。。-A4GA中，E為棱8。的中

點(diǎn)，產(chǎn)為棱CQ的中點(diǎn).

(I)求證：平面4EG；

(II)求直線AG與平面AEG所成角的正弦值.

(III)求二面角A-AG-E的正弦值.

9.(2021?全國(guó)?高考真題)在四棱錐Q-A8CQ中，底面A8CQ是正方形，若

AD=2,QD=QA=亞,QC=3.

(1)證明：平面QADJ■平面A8cO；

(2)求二面角8-QQ-4的平面角的余弦值.

10.(2021?全國(guó)?高考真題(理))如圖，四棱錐P-A8CQ的底面是矩形，尸加,底面”。。,

PD=DC=\,M