微重點(diǎn)8數(shù)列的遞推關(guān)系

數(shù)列的遞推關(guān)系是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容，作為兩類特殊數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列，可

直接根據(jù)它們的通項(xiàng)公式求解，但也有一些數(shù)列要通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)歹J,再

利用公式求解，體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的應(yīng)用.

考點(diǎn)一構(gòu)造輔助數(shù)列

例1(1)已知數(shù)列｛痣｝滿足0=1,3%+|=2知斯+i(〃￡N")，則下列結(jié)論不正確的是()

A.15+1｝為等比數(shù)列

B.｛〃“｝的通項(xiàng)公式為m=0乂」

C.｛?,｝為遞增數(shù)列

D喘的前〃項(xiàng)和T?=3n-n-\

答案C

解析因?yàn)閍n—3atl+1=2a:lan+\,

兩邊同除以a同〃+i,

I3

可得二；=：；+2，

所以六+匚3質(zhì)+)

又十+1=2X0,

所以｛￡+1｝是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故A正確；

所以9+1=2X3"',即處i_1，

(-hi/入JI

所以｛的｝為遞減數(shù)列，故B正確，C不正確；

所以《=2X3"J1,,的前〃項(xiàng)和為

cin

3(2X3°—1)+(2X3]-1)+…+(2X3〃r-l)

=2X(3°+35…+3門)一〃

1—3”

=2X----n=3n-n-\,故D正確.

I—5

⑵(2022?呂梁模擬)已知S〃為數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，且〃|=1,%+|+%=3*2〃,則5100等于()

A.2|00-3B.2|00-2

C.2,01-3D.2,0,-2

答案D

解析由小+|+即=3'2"得,

4〃+L2"”=一伍〃—2").

又?i—2,=—1,

所以｛斯一2"｝是首項(xiàng)為-1,公比為一1的等比數(shù)列，所以如一2〃=(一1)。

即4=2”+(—1)”,

所以5IOO=2I4-22+-+299+2,()O+(-1)+(-1)2+-+(-1)"+(-1),0()

=2^+O=2J.

規(guī)律方法(1)若數(shù)列｛如｝滿足小+|=〃即+q(〃WO,l,gWO),構(gòu)造如+i+/=p(斯+2).

⑵若數(shù)列｛a,J滿足為+]=網(wǎng)〃+fin)(p片0,1),構(gòu)造a”+1+gQt+\)=p[a?+g(〃)].

跟蹤演練1(1)在數(shù)列｛斯｝中，m=3,斯=2加|一〃+2(g2,〃￡N*),若斯>980,則，的最

小值是()

A.8B.9C.10D.11

答案C

解析因?yàn)樗?2a“—i—〃+2(〃22,〃￡N*),

所以斯一〃=2[即-]一(〃-1)](〃22,〃￡N").

因?yàn)?=3,所以0—1=2,

所以數(shù)列｛〃“一〃｝是首項(xiàng)和公比都是2的等比數(shù)列，則如一〃=2",即斯=2"+〃，

因?yàn)?一m-1=2"-I+1X),

所以數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列,

因?yàn)椤?=521<980,?IO=1O34>98O,

所以滿足斯>980的〃的最小值是10.

(2)(2022?蘭州模擬)若數(shù)列｛斯｝滿足曲+i=(〃+l"+l(〃￡N*),且0=1,則。2023等于()

A.4045B.4044

C.2023D.2022

答案A

解析因?yàn)椤ㄎ?(〃+1)如+1(〃￡N),所以篙=臂+而%:資+%本，

即篙+卡=*+*即鎧=中,所以代芳為常數(shù)列，又e，

所以鋁=鋁=2,

所以“立;2V=2

解得。2023=4045.

考點(diǎn)二利用斯與S”的關(guān)系

例2已知工是數(shù)列｛知｝的前〃項(xiàng)和，m=3,且當(dāng)〃22時，S”，拳Sr成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛所｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛〃”｝滿足為=1—?a，若岳?加?磔9，求正整數(shù)〃的值.

UnI/O

解(1)方法一由題意知當(dāng)八22時，

S“+5”T=〃4”

S“+S”一1=n(Sn—S“_1),

*j?"+?

整理得S“=—

n-I

由Si=0=3,

.?$=斗、…X9；X3=%+〃)，

經(jīng)檢驗(yàn)，5i=3也符合5”=孤+〃).

???當(dāng)〃。2時，an=Sn-Sn-i

33

=#2+〃)一][(〃—1月+(〃-1)]=3〃.

=

“1=3也滿足an3ri,

???數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式為0=3兒

方法二由題意知當(dāng)〃22時，S〃+S〃7=〃a〃，

:.當(dāng)時，SLI+S”-2=(〃-1)?1，

兩式相減得4“+〃”1=〃?！耙?〃一1)4“1(〃白3),

即(〃一1)斯=〃斯7,

〃印訓(xùn),

慌為常數(shù)列,

???當(dāng)〃23時,

又由52+Si=2a2得“2=6,

同理可得侑=9,

.且一絲_色一々

,,3-2-1T

?臂=岸=3,即an=3n,

；?數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為備=3〃.

91

(2)由⑴得bn=?一片=1-^2

-?^=2X7X3X3X4X4X…X~n~X~~n~=^ii~'

由7T=T拓'付〃=88.

規(guī)律方法在處理斗，處妁式子時，一般情況下，如果要證明_/(如)為等差(等比)數(shù)列，就消

去S”，如果要證明人S〃)為等差(等比)數(shù)列，就消去??；但有些題目要求求｛為｝的通項(xiàng)公式，

表面上看應(yīng)該消去S”，但這會導(dǎo)致解題陷入死胡同，這時需要反其道而行之，先消去詼，求

山S”，然后利用dn=Sn—Sn-1求出

跟蹤演練2(1)(2022?焦作模擬)已知數(shù)列｛6｝滿足----1■生必產(chǎn)2〃,則m+2a2

+22<73d-----F2?。21a2022等于()

2

A.2(22022-1)BJ(22O22+1)

C.j(24044-l)D.|(24(M4+1)

答案C

解析因?yàn)?i+1?2+^.d------H^;-r?M=2n,

所以當(dāng)〃22時,

〃I+52+/G+…+上加1=2(〃-1),

兩式相減得5*%=2,

所以斯=2"(〃與2),

又卬=2也適合該式，

故為=2".

所以｛斯｝為等比數(shù)列，

所以?|+2?2+22?34-***4-22027/2022

(2)(2022?濟(jì)寧模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列｛“〃｝的前〃項(xiàng)和為S”，若2a￡=1+足，兒=1/2專，數(shù)列

｛兒｝的前n項(xiàng)和為T”,則滿足的n的最小正整數(shù)的值為.

答案10

解析因?yàn)?asi=1+湍a.X),當(dāng)〃=1時，2a5=1+鬲,解得S=l,

當(dāng)〃22時，an=Sn-Sn-i,即2(S〃-Si)S”=l+(S”-Si)2,

整理得求一S%.1=1,所以數(shù)列｛S於是首項(xiàng)為W=l,公差為1的等差數(shù)列，

所以忌=I+(〃-l)x|=〃，又正項(xiàng)數(shù)列(〃”)的前〃項(xiàng)和為S”所以5“=加，

〃+2、2]〃+2I

所以S”+2=W+2,所以s=log2黑=log2=l°g----=51og2-1-=51log2（〃+2）

"*2n）乙〃乙

—Iog2〃],所以7；="+⑦+加H----H兒-1+b”=與[log?3—log21+log24—log22+log25-Iogz3

+…+log2（〃+1）-log2（〃-l）+log2（〃+2）-10g2〃]=51一1+10g2（〃+1）+log2（〃+2）]=][-1+

10g2（〃+l）（〃+2）],

由。23,即省一l+log2（/i+l）（〃+2）]土3,化簡整理得/?+3〃一126±0,

當(dāng)〃=9時，92+3X9-126=-18<0,當(dāng)〃=10時，10-126=4>0,

所以滿足的〃的最小正整數(shù)的值為10.

專題強(qiáng)化練

1.（2022?哈爾濱模擬）已知數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為10,且24rH+斯=3,則滿足不等式依〃一1|七

的〃的最小正整數(shù)的值為（）

A.9B.10C.11D.12

答案D

解析由2%+1+%=3,即a“+i=—得斯+1—1=—/（〃〃一I）,又。1-1=9,

所以數(shù)列｛斯一1｝是以9為首項(xiàng)，一藍(lán)為公比的等比數(shù)列，

所以如一1=9X（—分廠I所以|小一1|<^,即為9X（一分卜擊，

即即2”l>1125,所以〃212.

2.已知數(shù)列｛&“｝滿足必+i=（〃+l）a”+2（〃￡N）且ai=l,則。2023等于（）

A.6065B.6067

C.4044D.4043

答案B

解析因?yàn)閚an+1=（〃+1）〃〃+2,

所以黑嚀+木，

即箸_詈=2（/制，

。1=2信3

nn—1

…十

即a”=3〃一2,當(dāng)〃=1時也成立,

貝U。2023=6067.

3.（2022.焦作模擬）已知數(shù)列他“｝的前〃項(xiàng)和S〃=（一1）%+/（〃￡N*）,則Sioo等于（）

A.-2^)oB.0C.^TooD.'jmT

答案B

解析由題意知$102=。102+加L

所以5102—^102—5101—yi02?

一1

XSioi=—moi十I^TUT

1

所以0oi=5102,

故Sioo=Sioi—aioi=0.

4.（2022?衡陽模擬）已知數(shù)列｛斯｝滿足2小”一〃消”7=1,則下列結(jié)論錯誤的是（）

\\

A.。2=可

數(shù)列［占｝為等差數(shù)列

B.

④的最小值為由

C.

D.。”的最大值為3

答案C

解析由2斯+1—?浦”+1=1,

得知+|=士?

所以11_?一一]_2_I___J_=1L

a”+i—1an—\I]an—\an—\an—\'a\—\2'

2—a”

故數(shù)列為以學(xué)為首項(xiàng)，―1為公差的等差數(shù)列，則一4=￥+(〃一”(一i)=?一〃,

I。”1乙斯—1z2

故詼=l+yj?—,。2=募，數(shù)列｛斯｝的最小值為47=-1,最大值為46=3.

~2~n

5.(2022?洛陽模擬)若數(shù)列｛4｝和｛仇｝滿足m=2,2=0,2al+i=3a〃+兒+2%”+1=4〃+3”,一2,

貝0。2023+5023=.

答案22023

解析因?yàn)?a”+i=3?！?兒+2,2b”+i=a”+3b”-2,

所以2a?4-14-2bn+!=3a?4-4-2+r/n4-3h?—2=4(?,f4-h?),即an+1+bll+)=1(cin+bn),

又0+濟(jì)=2,

所以｛斯+6｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

n

所以an+bn=2t

所以C12023+bl023=22023.

6.(2022?河南省重點(diǎn)高中聯(lián)考)已知數(shù)列｛3｝中，斯：”=士,則滿足〃”＞焉;的

a〃〃十幺?！?]n~r11vuv

n的最大值為.

答案5

解析根據(jù)題意，

(〃+1)斯—2(〃+l)a”+]=a〃+2a〃+i,

?！?1〃

化簡得

瓦-=2(〃+2)，

所以京n—1

=2(〃+1)，

an-\n-2

。〃-2-2〃

7=2X3("N2)，

運(yùn)用累乘法計算得

aHn—1n—2〃-32、，1

a\2(〃+1)2〃202-1)2X42X3

=2〃-2.〃(〃+1)522),

且?i=4?

所以""=2"?/2(〃+1)‘〃22,ai=W符合該式，

當(dāng)“”>1(；()0時,2"團(tuán)(〃+1)<1000,

當(dāng)〃=5時，2"?小〃十1)=950<1000,

當(dāng)〃=6時，2"(〃+1)=2688>1000,

所以滿足條件的〃的最大值為5.

7.(2022?邯鄲模擬)已知數(shù)列｛斯｝滿足桂科

⑴證明：數(shù)歹膽辿為