專題9.5拋物線

三）題型目錄

題型一拋物線的定義與方程

題型二拋物線方程與位置特征

題型三距離的最值問題

題型四實(shí)際問題中的拋物線

題型五拋物線中的三角形和四邊形問題

題型六拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

才典例集練

題型一拋物線的定義與方程

例1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）過拋物線焦點(diǎn)尸的直線與拋物線交于P,Q兩點(diǎn)，若尸，Q

在拋物線準(zhǔn)線上的射影為匕Qi，則等于（）

A.45°B.60°C.90°D.30°

例2.（2023?山東煙臺(tái)?統(tǒng)考三模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)。（p,0）,過

點(diǎn)廠的直線交。于M，N兩點(diǎn)，直線MO垂直工軸，|何產(chǎn)|=3,則|NF|=.

舉一反三

練習(xí)1.（2023秋?高三課時(shí)練習(xí)）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)

到焦點(diǎn)的距離是6,則拋物線的方程為（）

A.y2=-2xB.y2=-4x

C.y2=2xD.y2=4x或）*=36x

練習(xí)2.（2021秋.高三課時(shí)練習(xí)）分別求符合下列條件的拋物線方程：

⑴頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且過點(diǎn)4（2,3）；

（2）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為土

練習(xí)3.（2023.北京.北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線。：/-2內(nèi)（〃>0）的焦點(diǎn)為方，準(zhǔn)

線為/，點(diǎn)A是拋物線C上一點(diǎn)，4。，/于。.若4尸=2,/。4￡=60,則拋物線C的方程為

（）

A.y2=8xB.y2=4.t

C.y2=lxD.y2-x

練習(xí)4.（2023?福建福州?福州三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線產(chǎn)=4x與圓（x-1尸+『=1,

過拋物線的焦點(diǎn)”作斜率為％的直線/與拋物線交于AO兩點(diǎn)，與圓交于仇C兩點(diǎn)（A8在

x軸的同一側(cè)），若通=4比，則公的值是__________.

練習(xí)5.（2023?河南?洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知產(chǎn)是拋物線U_/=心的焦

點(diǎn)，”是C上一點(diǎn)，尸M的延長(zhǎng)線交），軸于點(diǎn)N,若麗=2麗，則|取|=

題型二拋物線方程與位置特征

例3.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考二模）將拋物線丁=如繞其頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90之后，正好與拋

物線y=2/重合，則〃?=（）

A.—B.gC.-2D.2

22

例4.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程如下，分別求其焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程：

（l）y2=6x：

（2）2/+5x=0.

舉一反三

練習(xí)6.（2023春?上海普陀?高三曹楊二中校考階段練習(xí)〕在同一坐標(biāo)系中，方程，+營(yíng)=1

與曲;+如2-0（々>6>0）的曲線大致是（）

練習(xí)7.（2022?高三單元測(cè)試）已知?jiǎng)t方程+，“2=1與〃）3=〃江在同一坐標(biāo)系

內(nèi)對(duì)應(yīng)的圖形編號(hào)可能是（）

練習(xí)8.（2022?高三課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并畫圖:

⑴準(zhǔn)線方程為＞=-］3；

⑵焦點(diǎn)在x軸上且其到準(zhǔn)線的距離為6；

⑶對(duì)稱軸是x軸，頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于2；

（4）對(duì)稱軸是），軸，經(jīng)過點(diǎn)（卜2）.

練習(xí)9.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）十一世紀(jì)，波斯（今伊朗）詩(shī)人奧馬爾?海亞姆（約1048-1131）

發(fā)現(xiàn)了三次方程/+/犬=爾〃*0）的幾何求解方法，如圖是他的手稿，目前存放在伊朗的德

黑蘭大學(xué).奧馬爾采用了圓錐曲線的工具，畫出圖像后，可通過測(cè)量的方式求出三次方程的

數(shù)值解.在平面直角坐標(biāo)系xQv上，畫拋物線/=少，在1軸上取點(diǎn)。仔0卜〃工0）,以O(shè)C

為直徑畫圓，交拋物線于點(diǎn)P.過戶作1軸的垂線，交上軸于點(diǎn)Q.下面幾個(gè)值中，哪個(gè)是

方程x3+a2x=。的解？（）

舉一反三

練習(xí)11.（2023?上海虹口?華東師范大學(xué)第?附屬中學(xué)校考三模）己知產(chǎn)是拋物線C：V=4x

的焦點(diǎn)，P是拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，Q是曲線/+＞，2-8%-2），+16=0上一動(dòng)點(diǎn)，則|尸尸|十歸。

的最小值為.

練習(xí)12.（2022秋?河南焦作?高三統(tǒng)考期末）已知。是拋物線），2=41上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)尸

到直線/,:3A-4V+12=0和4:x+2—0的距離之和的最小值是（）

22

A.3B.4C.—D.6

5

練習(xí)13.（2023?江蘇南通統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)尸伍，兒）是拋物線y2=4%上的動(dòng)點(diǎn),則

&.%+1%-%+11的最小值為.

練習(xí)14.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)。為拋物線CV=4%上的動(dòng)點(diǎn)，A（2,4）關(guān)于P

的對(duì)稱點(diǎn)為從記P到直線x=-l,x=-3的距離分別4,4，則4+&+|明的最小值為（）

A.2V17+2B.2V13+2

C.VT7+2D.713+717+2

練習(xí)15.（河北省唐山市、保定市四校（保定中恒高級(jí)中學(xué)有限公司等）2023屆高三一模數(shù)

學(xué)試題）（多選）拋物線f=6x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，〃為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)A不在拋物線上,

且滿足|硝+|尸石的最小值為￡，則|"1的值可以為（）

935

A.-B.3C.-D.-

224

題型四實(shí)際問題中的拋物線

例7.（2023?青海海東?統(tǒng)否模擬預(yù)測(cè)）圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在〃，時(shí)，拱頂距離水面

2米，水面寬度為8米，則當(dāng)水面寬度為10米時(shí)，拱頂與水面之間的距離為（)

m

8米

A.弓米B.個(gè)米C.0米25平

D.T*

4o

例8.（2023春?廣東韶關(guān)?高三?？茧A段練習(xí)）有?個(gè)隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路，其截面由-長(zhǎng)方

形和拋物線構(gòu)成，如圖所示.為了保證安全，要求行駛車輛頂部（設(shè)為平頂）與隧道頂部在

豎直方向上的高度之差至少為0.7m,若行車道總寬度為7.2m,則車輛通過隧道時(shí)的限制高

度為m.

舉一反三

練習(xí)16.（2023春?廣西南寧?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神

舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，全國(guó)人民都為我國(guó)的科技水平感到自豪.

某學(xué)校科技小組在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn).如圖，航天器按順時(shí)針方向運(yùn)行的軌

跡方程為志+卷=1,變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以y軸

為對(duì)稱軸，（0,日）為頂點(diǎn)的拋物線的一部分（從點(diǎn)C到點(diǎn)8）.已知觀測(cè)點(diǎn)A的坐標(biāo)（6,0）,

當(dāng)航天器與點(diǎn)A距離為4時(shí)，指揮中心向航天器發(fā)出變機(jī)指令.

⑴求航天器變軌時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）求航天器降落點(diǎn)3與觀測(cè)點(diǎn)4之間的距離.

練習(xí)17.（2023?上海?高三專題練習(xí)）如圖所示，一種建筑由外部的等腰梯形尸QRS、內(nèi)部的

拋物線以及水平的杠桿4B組成，其中PS和QR分別與拋物線相切于4,B,A,B分別是

PS和QR的中點(diǎn).梯形的高和CD的長(zhǎng)度都是4米.

POQ

⑴求杠桿A8的長(zhǎng)度；

（2）求等腰梯形的周長(zhǎng).

練習(xí)18.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）有一正方形景區(qū)加G“，所在直線是一條公珞,

該景區(qū)的垃圾可送到位于尸點(diǎn)的垃圾回收站或公路E”上的流動(dòng)垃圾回收車，于是，景區(qū)分

為兩個(gè)區(qū)域5和邑，其中H中的垃圾送到流動(dòng)垃圾回收車較近，其中的垃圾送到垃圾回收

站較近，景區(qū)內(nèi)怎和邑的分界線為曲線C,現(xiàn)如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)。為

E尸的中點(diǎn)，點(diǎn)廠的坐標(biāo)為（1，。）.

（1）求景區(qū)內(nèi)的分界線。的方程;

⑵為了證明耳與巨的面積之差大于1,兩位同學(xué)分別給出了如下思路，思路①：求分界線C

在點(diǎn)G處的切線方程，借助于切線與坐標(biāo)軸及景區(qū)邊界所圍成的封閉圖形面積來證明；思

路②：設(shè)直線L：y=x+b,分界線C恒在直線L的下方（可以接觸），求〃的最小值，借助

于直線L與坐標(biāo)軸及景區(qū)邊界所圍成的封閉圖形面積來證明.請(qǐng)選擇一個(gè)思路，證明上述結(jié)

論.

練習(xí)19.（2023春?福建莆田?高三莆田一中?？计谥校┤鐖D1所小，拋物面天線是指由拋物

面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇

叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方向

性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn).圖2是圖1的軸截面，A,8兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的灼稱軸對(duì)稱，F(xiàn)

是拋物線的焦點(diǎn)，NAFB是饋源的方向角，記為焦點(diǎn)尸到頂點(diǎn)的距離/與口徑d的比值

《稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等.如果某拋物面天線饋源

的方向角。滿足，tan6=-46，則其焦徑比為（）

練習(xí)20.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）探照燈、汽車前燈的反光曲面、手電筒的反光鏡面、太陽(yáng)

灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點(diǎn)位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，

如圖所示，這就是探照燈、汽車前燈、手電筒的設(shè)計(jì)原理.已知某型號(hào)探照燈反射鏡的縱斷面

是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，燈口直徑是80cm,燈深40cm,則光源到

反射鏡頂點(diǎn)的距離為（）

A.20cmB.10cmC.30cmD.40cm

題型五拋物線中的三角形和四邊形問題

例9.（2023?廣東珠海?珠海市斗門區(qū)第一中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€4），的焦點(diǎn)為F,

準(zhǔn)線/與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)M股是拋物線上一點(diǎn)，若則的面積為（）

A.4R.2百C.242D.2

例10.（2023?福建莆田?校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：/=2），的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,A、

B是C上異于點(diǎn)O的兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若ZAFB=60,過A3的中點(diǎn)。作OE_L/于點(diǎn)E,

\AB\

則舄的最小值為_________-

\DE\

舉一反三

練習(xí)21.（2023?吉林長(zhǎng)春?長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線C：9=2P工（。>o）

焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為/,過第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)A作/的垂線，垂足為4.設(shè)。2〃，0）,

心與BC相交于￡>.若|。/|=|人下|,且AACD的面積為還，則拋物線的方程為

練習(xí)22.（2023春?海南?高三海南中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，”為拋物線C：

丁=20，（〃>0）的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)小且傾斜角為。的直線/與拋物線C交于例，N兩點(diǎn)（點(diǎn)N

在第一象限），當(dāng)。=30,時(shí)，|M/|=2,則〃=,

練習(xí)23.（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知拋物線C：V=2/M〃>0）的焦點(diǎn)為/，直線/與C

交于A,。兩點(diǎn)，AF±BF,線段A"的中點(diǎn)為"，過點(diǎn)”作拋物線。的準(zhǔn)線的垂線，垂

足為2，則需的最小值為——?

練習(xí)24.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知廠是拋物線），2=-12x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A,3在拋物線上，

且△AB尸的重心坐標(biāo)為-不-2,則UJ'（）

（3）\AB\

A.-B.6C.—D.—

3375

練習(xí)25.（2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）己知拋物線C：產(chǎn)=81的焦點(diǎn)

AfT

為F,準(zhǔn)線/交k軸于點(diǎn)E,過戶的直線與C在第一象限的交點(diǎn)為4則—的最大值為_____.

AF

題型六拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

例11.（2023?全國(guó)?高三對(duì)口高考）已知A4是拋物線），2=2px（p>0）上的兩個(gè)點(diǎn)，O為坐標(biāo)

原點(diǎn)，若|。4|=|。網(wǎng)且aAOB的垂心恰是拋物線的焦點(diǎn)，則直線A5的方程是（）

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A.x=pB.x=3pC.x=-pD..r=-/?

例12.（2022秋?重慶?高三統(tǒng)考期末）已知。*0,則方程=。表示的曲

舉一反三

練習(xí)26.（2023春?甘肅張掖?高三高臺(tái)縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）對(duì)于拋物線），=」/，